现代控制理论第一章01

例:考察下图所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻 抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。
图1 n级RC网络
系统以输入u、输出y作为变量的外部描 述为高阶线性常系数微分方程,即
y ( n ) a1 y ( n 1) a n 1 y (1) a n y bu
Ax Bu x y Cx Du
u1 u u 2 u r y1 y y 2 ym
x1 x x 2 xn
A－系统矩阵 B－控制矩阵 C－输出矩阵 D－直接传输矩阵
第一章
控制系统的状态空间表达式
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统 设计，都是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控 制系统的数学模型。
本章主要内容为：
1、状态和状态空间表达式
2、系统状态空间模型的建立 3、状态空间描述和传递函数矩阵 4、线性变换 5、组合系统的数学描述 6、离散系统的数学模型 线性连续时间 系统为主
对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:
状态方程描述的是系统动态特性， 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直接传输矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统 不存在这种直联关系,即矩阵D=0。
1 f 1 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) x x 2 f 2 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x x n f n ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t )
5、线性
当对于任何输入u1和u2及任何实数a，均有 可加性： H(u1+u2)=H(u1)+H(u2) 齐次性: H(au1)=aH(u1) 则称系统是线性的，否则为非线性。
1.2 系统状态空间描述中的基本概念
1、状态 表征系统运动的信息和行为 2、状态变量 完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。 表示符号：x1(t),x2(t),…,xn(t)
例：如下图所示电路， u(t ) 为输入量， uC (t ) 为输出量。
建立方程： L di (t ) Ri (t ) uC (t ) u (t ) dt 初始条件： i (t ) i (t0 ) t t
0 0
du C (t ) iC dt
uC (t ) t t uC (t0 )
du C (t ) 1 i (t ) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
i(t ) uC (t ) 0 1 u ( t ) C
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
简记为系统(A,B,C,D)
x(k 1) Gx(k ) Hu (k ) y (k ) Cx(k ) Du (k ) 简记为系统 (G,H,C,D)
例:
x Ax Bu ( A, B, C ) : y Cx
x Ax ( A, C ) : y Cx
y (t ) g ( x(t ), u (t ), t )
y1 g 1 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) y g ( x , x ,, x , u , u ,, u , t ) 2 2 1 2 n 1 2 r y m g n ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t )
x2
x(t0)
x(t1) x( t 2 ) x(t) x1
图 二维空间的状态轨线
6、状态方程
描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程 组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。
一般形式： x (t ) f ( x(t ), u(t ), t )
x(t k 1 ) f ( x(t k ), u (t k ), t k )
9、线性系统
向量方程中f(x,u,t)和g(x,u,t)的所有元都是状态变量和输入 变量的线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
a11 (t ) A(t ) an1 (t ) c11 (t ) C (t ) cm1 (t ) a1n (t ) b11 (t ) , B (t ) ann (t ) bn1 (t ) c1n (t ) d11 (t ) , D (t ) cmn (t ) d m1 (t ) b1r (t ) bnr (t ) d1r (t ) d mr (t )

系统数学描述的两种基本方法
被控过程 执行器 被控对象 控制器 x 观测y
控制u
传感器
反馈控制
控制输入
典型控制系统方框图
u1 u2 up
y1
x1 , x2 ,xn
被 控 过 程
y2 yq
1.1 系统描述中的基本概念
1、系统 一些相互制约的部分构成的且具有一定功能的整体 2、输入和输出 u1 y1 y2 u2 输入：环境对系统的作用 x1, x2, …,xn yq up 输出：系统对环境的作用 系统的方块图表示 3、系统数学描述的类型 （1）系统的外部描述 传递函数 （2）系统的内部描述 状态空间表达式
a. x t t t x (t 0 ) 表示系统在 t 0时刻的状态
0
b.
若初值x t 0 给定，t t 0时的u t 给定，则状态变量完全 确定系统在t t 0时的行为.
注：状态变量的选取不唯一。
状态变量不一定在物理上可量测。 尽可能选取易量测的量作为状态变量。


数值型和逻辑型 线性和非线性 时变和定常的 连续时间型和离散时间型 集中参数和分布参数等

这种描述系统动态特性的数学表达式称为系统的动态 方程
建立数学模型的主要方法有
机理分析建模 实验建模（系统辨识）
动态系统数学描述的基本方法
外部描述－输入输出描述 内部描述－状态空间描述
（2）
及
RL y ucn RL R0
(3)
在已知输入u的情况下，解方程式（2）、式（3）,不仅可求出输出响应y， 而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（2）、 式(3)是图所示电网络系统的一种完全描述。
4、因果性
系统在t时刻的输出取决于t时刻和t时刻之前的输入， 和t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。
A(t)－系统矩阵 B(t)－控制矩阵 C(t)－输出矩阵 D(t)－直接传输矩 阵
离散系统
x(k 1) G(k ) x(k ) H (k )u (k ) y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
tk=kT（T为采样周期）
10、线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu (t ) x y (t ) Cx(t ) Du (t )
设： x1 i(t )
C 0 1
x2 uC (t )
x1 x x2
R - L A 1 C
1 - L 0
1 b L 0
Ax bu x 则可以写成状态空间表达式： y Cx
推广到一般形式：
• 控制理论主要是研究动态系统的系统分析、 优化和综合等问题

动态系统（动力学系统）指能储存输入信息 （或能量）的系统。
含有电感和电容等储能元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能的
刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等
这类系统与静力学系统的区别在于：
1.2 系统状态空间描述中的基本概念
3、状态向量
把系统的n个状态变量构成一个列向量x(t)，称x(t)为n维状 态向量。
x1 (t ) x (t ) x n (t )
4、状态空间
以Hale Waihona Puke Baidu个状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。
5、状态轨线
状态向量的端点在状态空间中 的位置,代表系统在某一时刻的运 动状态。 随着时间的推移，系统状态 在变化，并在状态空间描绘出 一条轨迹。这种系统状态向量 在状态空间中随时间变化的轨 迹称为状态轨线。
a11 a1n A an1 ann nn c11 c1n C cm1 cmn m n
b11 b1r B bn1 anr nr d11 d1r D d m1 d mr m r
7、输出方程
描述系统输出变量和系统状态变量、输入变量之间关系的 代数方程。 一般形式：
y(t ) g ( x(t ), u(t ), t ) y (tk 1 ) g ( x(tk ), u (tk ), tk )
8、状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述， 称为动态系统的状态空间表达式。
静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入，而动
态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的 影响的叠加
如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值
之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去 的电流的积分值与电容值之比
• 在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该 系统的数学模型

在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态 系统的动态特性的数学表达式，
(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x y (t ) g ( x(t ), u (t ), t )
或
x(tk 1 ) f ( x(tk ), u (tk ), tk ) y (tk 1 ) g ( x(tk ), u (tk ), tk )
（1）
重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组
1 1 du c1 u u c1 dt R1C1 R1C1 du c 2 1 1 uc2 u c1 R2 C 2 R2 C 2 dt 1 1 du cn u u c ( n 1) cn dt Rn C n Rn C n
i (t ) 和 uC (t ) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态 变量
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
uC (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) dt L L L
di(t ) R dt L du (t ) 1 C dt C 1 i(t ) 1 L L u (t ) 0 uC (t ) 0