整数的若干性质讲解
数论初步整数的性质与应用
数论初步整数的性质与应用整数是数论中的基本概念之一，它在数学和实际应用中扮演着重要角色。
本文将介绍数论初步中整数的性质和应用。
一、整数的定义及性质整数是由正整数、负整数和零组成的集合。
它们具有以下性质：1. 加法性质：对于任意两个整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。
2. 减法性质：对于任意两个整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。
3. 乘法性质：对于任意两个整数a和b，它们的积ab也是一个整数。
4. 整数的封闭性：整数集合在加法和乘法运算下都是封闭的，即对于任意两个整数a和b，它们的和a+b和积ab仍然是整数。
二、整数的因数和倍数1. 因数：对于整数a和b，如果存在整数c使得a=bc，那么称b是a的因数，a是b的倍数。
特别地，一个数的因数中必然包含1和它本身。
2. 素数和合数：如果一个大于1的整数只有1和它本身两个因数，那么它被称为素数；否则，它被称为合数。
素数是整数中最基本的构成单元，每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积。
三、整数的整除、互质和最大公因数1. 整除和余数：对于整数a和b，如果存在整数c，使得a=bc，那么称a能被b整除，b能整除a，记作b|a。
如果a不能被b整除，那么称a不能被b整除，记作b∤a。
除法算式中的余数指的是满足整数除法关系的余数。
2. 互质：如果两个整数a和b的最大公因数是1，那么称a和b是互质的。
3. 最大公因数：a和b的最大公因数是同时能整除a和b的最大整数，记作gcd(a, b)。
最大公因数可以用辗转相除法求得。
四、整数的质因数分解1. 质因数：一个大于1的整数的质因数是指能整除它的素数因子。
每一个整数都可以唯一地分解成多个质因数的乘积。
2. 质因数分解：将一个合数分解为质因数的乘积的过程被称为质因数分解。
五、整数的应用1. 模运算：模是整数除法中的余数。
模运算在密码学等领域有着重要应用。
2. 同余定理：同余是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
0和正整数的一些性质
整数：这里只涉及0和正整数。
1.是否能被2整除分为奇数和偶数。
能被2整除的数称之为偶数，除以2后余数为1称之为奇数。
奇数和偶数的运算定律有以下13条。
（1）奇数±奇数＝偶数（2）偶数±偶数＝偶数（3）奇数±偶数＝奇数（4）偶数±奇数＝奇数（5）奇数×奇数∑奇数（6）奇数×偶数＝偶数（7）偶数×偶数＝偶数（8）奇数÷奇数＝奇数（若可以除尽的话）（9）奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数相乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定是偶数（10）相邻两个自然数之和必然为奇数，相邻两个自然数之积必然为偶数（11）两个整数的和与两个整数的差具有相同的奇偶性（12）奇数的平方被4除余1，整数的平方是4的倍数（13）奇数用（2k－1）或（2k＋1）来表示，偶数用2k表示（其中k为整数）2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能够被b整除，或者说b能整除a。
记作：b |a整除的几个性质：（1）两个数a和c都能够被b整除，那么（a+c）也能够被b整除（2）a能够被b整除，那么用任意不为零的整除c乘以a得到ca也能被b整除。
（3）对任意不为零的数a，有a能够被1和本身整除（4）若a能够被b整除，b也能够被a整除，那么a与b的绝对值相等。
常用的几个数字整除的判断方法（1）能被2整除的特征：个位数字为0，2，4，6，8的整数（2）能被3整除的特征：各个数位数字和能被3整除（3）能被4整除的特征：末两位数能够被4整除（4）能被5整除的特征：个位数字为0，5的整数（5）能被8整除的特征：末三位数能够被8整除（6）能被9整除的特征：各个数位数字和能够被9整除（7）能被7整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除（8）能被11整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除②奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之差能被11整除③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除（9）能被13整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除3.如果a能够被b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。
整数的奇偶性及其在解题中的应用知识系统
整数的奇偶性及其在解题中的应用（知识系统整理）摘要：整数的奇偶性有许多十分明显又十分简单的性质，但利用其中的一些性质，可以求解一些与整数有关的数学题。
例如：判别整数的整除性，判别方程是否有整数解等。
关键词：奇偶性整除合数完全平方数不定方程我们知道，整数可分为两大类：奇数类和偶数类。
凡是能被2整除的整数叫做偶数,例如，0，±2，±4，±6……不能被2整除的整数叫做奇数,例如，±1，±3，±5……偶数一般用2k表示，奇数一般用2k﹣1（或2k+1）表示，这里k 为整数。
整数的奇偶性有许多十分明显又十分简单的性质，但利用其中的一些性质，可以求解一些与整数有关的数学题。
包括一些看上去很难的问题，特别是一些趣味数学问题和数学竞赛题。
只要对其中的数量关系作简单的奇偶性分析，问题就能迎刃而解。
本文就整数的奇偶性进行分析归纳，并分类举例说明其在解题中地应用。
一、???????????? 奇数和偶数的性质性质1 奇数≠偶数；奇数+偶数≠0。
性质2 奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。
性质3若干个整数的和与差奇偶性相同。
性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和是偶数。
性质5任意有限个奇数之和是奇数；偶数与任意整数之积是偶数。
性质6 若干个整数的乘积是奇数，则其中没一个因子都是奇数；若干个整数之积是偶数，则其中至少有一个因子是偶数。
性质7若干个整数之和为奇数，则其中至少有一个奇数；奇数个整数之和为偶数，则其中至少有一个偶数。
性质8 n个偶数之积必为2的倍数。
性质9 n为偶数当且仅当n 为偶数；n为奇数当且仅当n 为奇数。
性质10 整数a 与有相同的奇偶性。
性质11 两个连续的整数中，必有一个是奇数，一个是偶数；两个相邻整数之和是奇数，之积是偶数。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
整数的概念及其意义
整数的概念及其意义整数是数学中最基本的概念之一，它由正整数、负整数和零组成。
整数的概念和意义在数学和实际生活中都具有重要意义。
本文将讨论整数的定义、性质以及其在数学和实际生活中的应用。
一、整数的定义和性质整数是数学中的一种数的类型，用来表示没有小数或分数部分的数。
它包括正整数、负整数和零，可以用数轴上的点表示。
正整数是大于零的整数，如1、2、3等；负整数是小于零的整数，如-1、-2、-3等；而零是唯一的既不是正整数也不是负整数的整数。
整数具有许多重要的性质。
首先，整数可以进行加法、减法和乘法运算，并仍然得到一个整数结果。
例如，2 + 3 = 5，5 - 2 = 3，2 × 3 = 6。
其次，整数也满足交换律、结合律和分配律等基本运算法则。
这些性质使整数成为数学中重要的研究对象，也为后续讨论整数的应用提供了理论基础。
二、整数在数学中的应用1. 代数方程整数在代数方程中有广泛应用。
代数方程是指将一个或多个未知数与常数通过加法、减法、乘法和除法等运算相连的等式。
在解代数方程时，整数的概念被广泛使用。
例如，在解二次方程x^2 + 2x - 3 = 0时，可以使用整数系数以及整数解。
数论是研究整数本身性质的数学分支，它探讨整数的性质和规律。
数论有着广泛的应用，如密码学、编码理论和信息安全等领域都离不开数论的基础。
整数在数论中扮演着重要的角色，研究整数的性质有助于理解数的规律和运算。
三、整数在实际生活中的意义1. 计算和计量整数在计算和计量中具有重要意义。
在商业交易中，整数被广泛用于货币计算、库存管理和财务报表等方面。
整数也用于测量长度、时间、重量和温度等各种实际物理量。
2. 分配和排列在分配和排列的问题中，整数被广泛应用。
例如，在旅行中，需要将一定数量的人员分配到若干辆车中，整数的概念和运算可用于确定最佳分配方案。
在航班调度、路线规划和会场布置等情况下，整数也被用来解决实际问题。
3. 统计学整数在统计学中扮演着重要的角色。
第1课 整数的基本性质、有理数
第1课 整数的基本性质、有理数一 、主要知识点：1、整数的十进位数码表示： 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：122321*********a a a a a n n n n +⨯+⨯++⨯+⨯--- ，其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0.对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n -2、正整数指数幂的末两位数字(1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。
(2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。
3、整除的数字特征：(1)一个整数的个位是偶数，则必被2整除；(2)一个整数的末位是0或5，则必被5整除；(3)末两位数字组成的整数被4(或25)整除，则该数被4(或25)整除；(4)末三位数字组成的整数被8(或125)整除，则该数被8(或125)整除；(5)数字之和被3(或9)整除，则该数被3(或9)整除(6)奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除，则此数被11整除。
(7)奇位千进位数段之和与偶位千进位之和的差能被7(11、13)整除，则此数被7(11、13)整除。
例如：123456789，(123+789)-456=456,只要看456能否被7(11、13)整除。
4、质数与合数的性质；质数2的特殊性；最大公因数与最小公倍数；辗转相除法5、奇数与偶数，奇偶分析法二、例题分析1、不超过100的自然数中，将凡是3或者5的倍数的数相加，其和为多少？2、173□是一个四位数，老师说，我在这个□里先后填入3个数字，所得的三个四位数依次能被9.11.6整除。
那么老师先后填入的数字之和是多少？3、已知一个七位数62xy 427是99的倍数，求这个数。
4、讲一个三位数的数字重新排列所得的最大的三位数减去最小的三位数正好等于原来的三位数，求这个数。
整数的性质及应用(四)整数的分类-
整数的性质及应用（四）整数的分类一、 例题：1.一个六位数的左边第一个数是1，如果把这个数从左边第一位移到右边第一位，那么所得的数字是原数的3倍，求原数。
2.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的各数字之和，那么他的年龄是多少岁？3.已知存在正整数n ，能使数11111n 个被1987整除。
求证：数p=1(1)9(1)8111999888777n n ++(n+1)个个个(n+1)个7和q=1(1)9(1)8111999888777n n ++(n+1)个个个(n+1)个7都能被1987整除。
4.有大、小两个位数，在大数的右边写上一个0后再写上小数，得到一个五位数；又在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数；第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590，此外，二倍大数与三倍小数的和是72，求这两个两位数。
5.试求：4343和9999999的末位数字。
6.如果用记号n ！表示前n 个自然数的乘积，如321!3⨯⨯=。
试求!1992!3!2!1++++= s 的末位数字。
7.已知，199719961995199619951994199519941993199419931992⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=N 则N 的末位数字是多少？8.不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的且个位数字是7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是多少？9.根据报道，目前用超级计算机找到的最大的质数是12859433-，这个质数的末位数字是多少？10.编写一本数学书的页数共用去6869个数字（例如一本10页的书，它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字11129=⨯+个），那么这本书的页数是多少？11.请说明三个连续自然的平方和能否是某个自然数的平方。
12.黑板上写有1，2，…，1998，1998个自然数，对它们进行998次操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添上所擦掉的三个数之和的末位数字。
初中数的性质知识总结
初中数的性质知识总结在初中数学学习中，数的性质是一个重要的基础知识点。
理解和掌握数的性质可以帮助我们解决实际问题，进行推理和证明。
以下是对初中数的性质的总结。
1. 自然数的性质：自然数由1开始，没有上界。
自然数有着相邻和大小关系，例如3是2的后继，2是3的前驱。
自然数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
2. 整数的性质：整数包括自然数和负整数，用负数表示倒数。
整数之间的加法和乘法运算满足交换律和结合律，但减法和除法不满足交换律和结合律。
3. 有理数的性质：有理数指可以写成两个整数的比例的数。
有理数包括整数和分数，用分数表示可以表示一个数的各种方式。
有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，运算结果仍然是有理数。
4. 实数的性质：实数包括有理数和无理数。
实数有着良好的大小关系，可以进行各种运算，并满足代数运算的性质。
实数之间可以进行比较大小，有大小关系。
5. 质数与合数的性质：质数指除了1和它本身外没有其他因数的数，例如2、3、5、7等。
合数指除了1和它本身外还有其他因数的数，例如4、6、8、9等。
质数和合数是整数的基本性质，在解决问题时起到重要的作用。
6. 分解质因数的性质：将一个合数分解成质数的乘积叫做质因数分解。
质因数分解是分解一个数的唯一的一种方式，可以通过质因数分解来研究一个数的因子。
7. 偶数与奇数的性质：偶数是可以被2整除的数，奇数则不能被2整除。
偶数与偶数相加、相乘的结果仍是偶数；奇数与奇数相加、相乘的结果仍是奇数；偶数与奇数相加的结果是奇数，相乘的结果是偶数。
8. 互质与最大公约数的性质：如果两个或多个数除1以外没有其他公因数，那么它们就是互质的。
最大公约数是指一组数的公约数中最大的一个数，最大公约数可以用来简化分数、求解线性方程以及进行问题的计算。
9. 排列与组合的性质：排列是从一组不同的对象中选出若干个对象进行排列，组合是从一组不同的对象中选出若干个对象进行组合。
排列与组合有着不同的计算方式和应用场景，可以通过排列与组合解决实际问题。
第一讲整数与整除的基本性质(一)
第一讲 整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成410510210123+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=-----经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）)A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）)A 26 )B 28 )C 36 )D 38解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是_____________。
整数的有关性质
推论2：任意n个连续的自然数的积都能被n整除。
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n 例2：n是大于零的自然数，求证： 3 2n 能被3整除。
解：
n3 2n n3 n 3n (n 1)n(n 1) 3n
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设整数N an an1 a2a1a0
判定方法1 如果一个整数的末尾数字能被2整除，则该 数能被2整除，即如2|a ,则2|N。
0
判定方法2 如果一个整数的末尾数字能被5整除，则该 数能被5整除，即如果5|a ,则5|N。
0
判定方法3 如果一个整数的各位数字之和能被3整除， 则该数能被3整除，即如果3| an an1 a1 a0 , 则3|N。 判定方法4 如果一个整数的各位数字之和能被9整除，则 该数能被9整除，即如果9| an an1 a1 a0 , 则9|N。
解：要使所求数能被1,2,3,4,5,6,7,8,9整除，只要它 能被5,7,8,9整除，根据这个数能被5,8整除，这个整 数的末位数学应为0 又 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45
所以1234567890是末位为0，数字1～9各用一 次并且能被9整除的最小的数。
下面将此数调整为8的倍数，并使其尽可能小。
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判定方法5 如果一个整数的后两位数字组成的整数能被 4整除，则该数能被4整除，即如果 4 | a1a0 , 则4|N。 判定方法6 如果一个整数的后两位数字组成的整数能被 25整除，则该数能被25整除，即如果25 | a1a0 , 则25|N。 判定方法7 如果一个整数的后三位数字组成的整数能被 8整除，则该数能被8整除，即如果 8 | a2 a1a0 , 则8|N。 判定方法8 如果一个整数的后三位数字组成的整数能被 125整除，则该数能被125整除，即若125| a2a1a0 , 则125|N。 判定方法9 如果一个整数的偶位数字之和与奇位数字之 和的差能被11整除，则该数能被11整除，即如果 11| (a0 a2 ) (a1 a3 ) ，则11|N。
整数的乘法和除法知识点总结
整数的乘法和除法知识点总结整数是我们在数学中经常使用的数字，它们包括正整数、负整数和零。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到整数的乘法和除法运算。
本文将对整数的乘法和除法进行详细总结和讲解。
一、整数的乘法整数的乘法是指将两个整数相乘的运算。
在进行整数乘法运算时，需要注意以下几个知识点：1. 乘法的性质：整数乘法具有封闭性、交换性和结合性。
- 封闭性：两个整数相乘的结果仍然是整数。
例如，2乘以3等于6，结果仍然是整数。
- 交换性：两个整数相乘的结果与交换它们的顺序无关。
例如，2乘以3等于6，与3乘以2等于6的结果相同。
- 结合性：三个整数相乘的结果与它们相乘的顺序无关。
例如，2乘以3再乘以4等于24，与4乘以2再乘以3等于24的结果相同。
2. 正数乘正数和负数乘负数的规律：- 正数乘以正数的结果是正数。
例如，2乘以3等于6。
- 负数乘以负数的结果也是正数。
例如，-2乘以-3等于6。
3. 正数乘负数和负数乘正数的规律：- 正数乘以负数的结果是负数。
例如，2乘以-3等于-6。
- 负数乘以正数的结果也是负数。
例如，-2乘以3等于-6。
4. 乘法的分配律：对任意的整数a、b和c，有如下分配律成立。
- a * (b + c) = a * b + a * c- (b + c) * a = b * a + c * a二、整数的除法整数的除法是指将一个整数除以另一个整数的运算。
在进行整数除法运算时，需要注意以下几个知识点：1. 除法的性质：整数除法具有封闭性、非交换性和非结合性。
- 封闭性：两个整数相除的结果不一定是整数。
例如，5除以2的结果是2.5，不是整数。
- 非交换性：两个整数相除的结果与它们的顺序相关。
例如，5除以2的结果是2.5，而2除以5的结果是0.4。
- 非结合性：三个整数相除的结果与它们相除的顺序相关。
例如，10除以2再除以5的结果是1，而10除以(2除以5)的结果是25。
2. 除数不能为零：在整数除法中，除数不能为零。
整数的概念与性质
整数的概念与性质整数是数学中的基本概念之一。
在日常生活中，我们经常会接触到整数，例如计算距离、年龄、身高等。
本文将介绍整数的定义、性质以及与其他数集的关系。
一、整数的定义整数是数学中的一种数集，用符号“Z”表示。
整数包括正整数、负整数和0。
正整数是大于0的整数，例如1、2、3；负整数是小于0的整数，例如-1、-2、-3；0是既不属于正整数也不属于负整数的特殊整数。
二、整数的性质1. 整数的加法整数的加法是封闭的，即两个整数相加的结果仍是整数。
例如2 + 3 = 5，-2 + (-3) = -5。
整数的加法满足交换律、结合律和存在加法逆元的性质。
2. 整数的减法整数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
例如5 - 3 = 5 + (-3) = 2，-5 - (-3) = -5 + 3 = -2。
3. 整数的乘法整数的乘法也是封闭的，即两个整数相乘的结果仍是整数。
例如2 ×3 = 6，-2 × (-3) = 6。
整数的乘法满足交换律、结合律和存在乘法逆元的性质。
4. 整数的除法整数的除法并不总是封闭的，除非被除数可以被除数整除。
例如6 ÷ 2 = 3，而5 ÷ 2 = 2.5，不是整数。
但是，整数的除法满足除法取消律。
5. 整数的乘方整数的乘方是指一个整数自乘若干次的运算。
例如2³ = 2 × 2 × 2 = 8，(-2)² = (-2) × (-2) = 4。
整数的乘方满足乘方的基本性质，如乘方的加法、乘法、幂等律等。
三、整数与其他数集的关系1. 整数与自然数的关系自然数是大于等于1的整数，即正整数。
整数包含了自然数，并且自然数是整数的一个子集。
2. 整数与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
整数是有理数的一个子集。
3. 整数与实数的关系整数是实数的一个子集。
实数包括所有的整数、有理数和无理数。
正整数知识点总结
正整数知识点总结一、正整数的性质1. 除了1以外，正整数可以表示成若干个不同的质数的乘积。
例如，6=2×3，8=2×2×2。
2. 正整数可以分为两类：偶数和奇数。
偶数能被2整除，奇数除以2有余数。
3. 正整数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
加法和乘法满足交换律和结合律，乘法还满足分配律。
4. 正整数的乘积和最大公因数、最小公倍数的关系。
若a和b是两个正整数，那么a和b的最大公因数乘以最小公倍数等于a和b的乘积。
5. 正整数的除法运算。
当b是a的因数时，可以用a除以b得到商和余数。
商是整数，余数小于除数。
6. 正整数的质因数分解。
每个正整数都可以分解为若干个质数的乘积，这些质数就是这个数的质因数。
7. 正整数的约数和倍数。
a的约数是能整除a的正整数，a的倍数是a的整数倍。
8. 正整数的末位数字的规律性。
末位数字的规律可以用来判断一个数能否被另一个数整除。
9. 正整数的个位数之和的规律性。
个位数之和的规律可以用来判断一个数能否被另一个数整除。
10. 正整数的乘方运算。
a的n次方是a连乘n次，0的任何正整数次方都为0。
11. 正整数的素数和合数。
大于1的正整数，如果除了1和它本身以外没有其他因数，就是素数，否则是合数。
12. 正整数的完全数。
如果一个正整数等于它的约数之和，就是完全数。
例如，28=1+2+4+7+14。
13. 正整数的欧拉函数。
正整数n的欧拉函数是小于等于n且与n互质的正整数个数。
14. 正整数的阶乘。
正整数n的阶乘是从1到n所有整数的乘积，记作n!。
15. 正整数的质数数量。
正整数n之前的所有质数的数量是n/ln(n)的渐进值。
二、正整数的应用1. 在数论中，正整数的性质和规律被用来研究数列、数学归纳法和整除性等问题。
2. 在代数中，正整数被用来进行多项式的运算，解方程和证明等各种计算和推理问题。
3. 在几何中，正整数被用来表示长度、面积和体积等几何量，作为计算和比较的基础。
初数数学公式认识正整数的性质
初数数学公式认识正整数的性质正整数是我们在日常生活和学习中经常接触到的数，它们具有一些独特的性质和特点。
通过数学公式的认识，我们可以更深入地理解和应用正整数的性质。
本文将通过对正整数的性质进行初步认识，介绍一些与其相关的数学公式。
一、正整数的定义与性质介绍正整数是自然数中大于零的整数，可以用1、2、3、4、5……等表示。
正整数具有以下性质：1. 正整数的特点：正整数由1开始无限递增，没有边界或者终点。
2. 正整数的序列：正整数可以组成一个无穷递增的序列，可以通过加法或者乘法规律进行推导。
3. 正整数的奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数两种。
奇数是无法被2整除的整数，而偶数可以被2整除。
二、正整数的加法公式加法是我们在日常生活中最常使用的数学运算之一，可以使用正整数加法公式来求解两个或多个正整数的和。
在正整数加法中，我们可以使用符号“+”来表示两个数的相加运算，公式为：A + B = C，其中A和B是参与计算的正整数，C是它们的和。
举例来说，对于两个正整数5和3的加法运算，可以写成5 + 3 = 8。
除了两个正整数相加，我们还可以通过加法公式计算多个正整数的和。
例如，4 + 2 + 6 + 1 = 13。
三、正整数的乘法公式乘法也是一种常见的数学运算，可以使用正整数乘法公式来求解两个或多个正整数的积。
在正整数乘法中，我们可以使用符号“×”或者“·”来表示两个数的相乘运算，公式为：A × B = C 或者 A · B = C，其中A和B是参与计算的正整数，C是它们的积。
举例来说，对于两个正整数4和3的乘法运算，可以写成4 × 3 = 12 或者 4 · 3 = 12。
同样地，我们也可以通过乘法公式计算多个正整数的积。
例如，2 ×3 × 5 = 30 或者 2 · 3 · 5 = 30。
四、正整数的除法公式除法是数学中常用的一种运算方式，可以使用正整数除法公式来求解两个正整数之间的商和余数。
数学教学备课正整数的特征和性质
数学教学备课正整数的特征和性质数学教学备课：正整数的特征和性质正整数是数学中的基本概念之一，它具有一些独特的特征和性质。
在数学教学中，了解和掌握正整数的特点对于学生的数学素养发展至关重要。
本文将从不同角度分析正整数的特征和性质，以期帮助教师更好地备课和教学。
一、正整数的定义正整数是指大于零且不带小数部分的整数，可以用自然数的形式表示为1、2、3、4...。
正整数是数学中最基本的数，也是数学研究以及其它数学概念与理论的基础。
二、正整数的特征1. 顺序性：正整数是按照自然数顺序依次递增的，每个正整数都有其前驱和后继。
例如，2是1的后继，1是2的前驱。
2. 包容性：正整数包含了所有大于零的整数，任何一个大于零的整数都可以由正整数表示。
3. 唯一性：每个正整数都有唯一的前驱和后继，不存在两个不同的正整数具有相同的前驱或后继。
三、正整数的性质1. 有限性：正整数是无穷多个的，但在给定的范围内是有限的。
例如，在0和100之间的正整数共有100个。
2. 奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数。
一个正整数是奇数，当且仅当它不能被2整除；一个正整数是偶数，当且仅当它可以被2整除。
3. 因数分解：正整数可以分解为若干个素数的乘积形式，这种分解唯一性的证明是数论中的重要问题之一。
例如，12可以分解为2^2 * 3。
4. 约数性质：正整数的约数是能够整除该正整数的整数，包括1和它本身。
正整数的约数个数是有限的。
5. 除法性质：正整数除法的结果有唯一性，即给定一个正整数n和一个非零正整数m，存在唯一的商和余数，使得n=m*q+r，其中q是商，r是余数，满足0≤r<m。
结语正整数作为数学中的基础概念，具有丰富的特征和性质。
通过全面了解正整数的特性，我们能够更好地教授学生，帮助他们理解和掌握数学知识，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。
教师在备课过程中，应该充分利用正整数的特点，设计合理的教学活动和教学资源，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
整数的若干性质
本科毕业论文(设计)分类号学号 密级 题 目 （中、英文）整数的若干性质及其应用 Some properties and applications of integers 作者姓名指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称学校代码成绩评定数学与信息科学学摘要整数的性质有很多。
其在整个初等数论中是非常有研究意义的一部分。
把对整数的研究深度剖析，细分到众多的性质研究当中。
可以加深对整数性质及整数的认识。
这里着重讨论的是数的整除特性及尾数特征、奇数与偶数、约数与倍数及带余除法。
这四个性质在整数中是我们较为常见的、常用的，同时在整个数论中也具有相当重要的地位。
并且在中学数学的教学中有着比较广泛的应用基础。
文中阐述了以上性质的含义及对个别性质的证明，并通过实例讨论了整数的若干性质涉及到实际生活中的应用以及涉及到中学数学学习方面的应用,使我们对其更加熟悉并能熟练的应用它解决问题。
所总结的解题方法在实际解题当中会更加方便快捷。
关键词:整数的性质；奇数与偶数；约数与倍数；带余除法；应用AbstractThere are many properties of integers. It is a very meaningful research in the elementary number theory. The depth analysis of the study of integer, subdivision into the nature of many of the study, you can deepen the understanding of the nature of integer and integer. It emphatically discusses the characteristics and features, the number of mantissa is divisible by odd and even number, and multiple and division. The four properties in the integer is we are more common, common, and it has a very important position in the theory of numbers. And has a wide range of applications in the teaching of mathematics in secondary schools. This paper expounds the above nature of meaning and of individual nature of proof, and through example discussed some properties of integers related to real life application and relates to the middle school mathematics learning application, enable us to become more familiar with and skilled in it is applied to solve the problem. The summary of the problem solving method in the actual problem solving which will be more convenient and quick.Keywords: Properties of integers; Odd and even; And a few times; With complementary division; Application目录摘要 (I)Abstract (II)1 整数若干性质的由来 (1)2 整数若干性质的基础知识 (3)2.1 整数整除的概念 (3)2.1.1 数的整除特性 (3)2.1.2数的尾数特征 (5)2.2 奇数与偶数的概念 (5)2.3 约数与倍数的概念 (5)2.3.1 约数 (5)2.3.2 倍数 (6)2.4 带余除法定理及其证明 (6)3 整数若干性质在中学学习中的应用 (7)3.1 整除特性及尾数特征的应用 (7)3.2 奇数与偶数的应用 (9)3.3 约数与倍数的应用 (10)3.4 带余除法的应用 (11)4 整数若干性质在著名问题中的应用 (11)4.1中国剩余定理 (11)4.2 辗转相除问题 (12)5 整数若干性质的总述 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）从人们对世界有了认知起,便已经开始接触神秘而又深奥的整数世界,它总能让人充满遐想而又望尘莫及，引起人们不断地思考和探索，使它成为在日常生活中我们不可缺少的好帮手.正因为它的实用性强，才使得其有着非常广泛的应用基础。
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本科毕业论文(设计)分类号学号 密级 题 目 （中、英文）整数的若干性质及其应用 Some properties and applications of integers 作者姓名指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称学校代码成绩评定数学与信息科学学摘要整数的性质有很多。
其在整个初等数论中是非常有研究意义的一部分。
把对整数的研究深度剖析，细分到众多的性质研究当中。
可以加深对整数性质及整数的认识。
这里着重讨论的是数的整除特性及尾数特征、奇数与偶数、约数与倍数及带余除法。
这四个性质在整数中是我们较为常见的、常用的，同时在整个数论中也具有相当重要的地位。
并且在中学数学的教学中有着比较广泛的应用基础。
文中阐述了以上性质的含义及对个别性质的证明，并通过实例讨论了整数的若干性质涉及到实际生活中的应用以及涉及到中学数学学习方面的应用,使我们对其更加熟悉并能熟练的应用它解决问题。
所总结的解题方法在实际解题当中会更加方便快捷。
关键词:整数的性质；奇数与偶数；约数与倍数；带余除法；应用AbstractThere are many properties of integers. It is a very meaningful research in the elementary number theory. The depth analysis of the study of integer, subdivision into the nature of many of the study, you can deepen the understanding of the nature of integer and integer. It emphatically discusses the characteristics and features, the number of mantissa is divisible by odd and even number, and multiple and division. The four properties in the integer is we are more common, common, and it has a very important position in the theory of numbers. And has a wide range of applications in the teaching of mathematics in secondary schools. This paper expounds the above nature of meaning and of individual nature of proof, and through example discussed some properties of integers related to real life application and relates to the middle school mathematics learning application, enable us to become more familiar with and skilled in it is applied to solve the problem. The summary of the problem solving method in the actual problem solving which will be more convenient and quick.Keywords: Properties of integers; Odd and even; And a few times; With complementary division; Application目录摘要 (I)Abstract (II)1 整数若干性质的由来 (1)2 整数若干性质的基础知识 (3)2.1 整数整除的概念 (3)2.1.1 数的整除特性 (3)2.1.2数的尾数特征 (5)2.2 奇数与偶数的概念 (5)2.3 约数与倍数的概念 (5)2.3.1 约数 (5)2.3.2 倍数 (6)2.4 带余除法定理及其证明 (6)3 整数若干性质在中学学习中的应用 (7)3.1 整除特性及尾数特征的应用 (7)3.2 奇数与偶数的应用 (9)3.3 约数与倍数的应用 (10)3.4 带余除法的应用 (11)4 整数若干性质在著名问题中的应用 (11)4.1中国剩余定理 (11)4.2 辗转相除问题 (12)5 整数若干性质的总述 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）从人们对世界有了认知起,便已经开始接触神秘而又深奥的整数世界,它总能让人充满遐想而又望尘莫及，引起人们不断地思考和探索，使它成为在日常生活中我们不可缺少的好帮手.正因为它的实用性强，才使得其有着非常广泛的应用基础。
初等数论是经过知识不断积累发展起来的一门科学,而整数的性质又在整个数论中有着非常重要的地位.我们知道数论与整数之间的关系,这是数学家经过大量的知识积累和时间总结出来的，可想而知整数性质的广泛及难理解程度。
显而易见它的应用将是一个更高的台阶.但通过学习积累，使我对整数的若干性质有了深刻的认识。
在查阅资料总结方法之后,使我轻松的解决了很多关于整数性质的一系列问题,使我在有关这个知识领域有了更好的了解，更多的实际应用。
1 整数若干性质的由来人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，经过漫长岁月的沉淀和不同文明的冲击，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”的概念逐渐形成。
数概念的形成可能与火的使用一样古老，对于人类文明的意义也绝不亚于火的使用。
随着对数的认识，人们不断的探索，逐渐学会运用这种方式来表达事物的属性，于是就有了计数。
最早可能是用手指计数，也就演变成了后来的五进制、十进制。
这是中国古代所使用的方法，中国算盘的发明就是利用这个原理。
而同时期的其他文明也有相应的发展。
如：古巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制等。
随着人类社会不断地发展，接触的事物和种类越来越多，这时指头已经不敷运用，于是又有了结绳计数和刻痕计数等的出现。
中国古代文献《周易。
系辞下》有：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。
即结绳计数或结绳记事“书契”就是刻画符号。
在此基础上，初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。
由于与人们的生产生活、日常贸易息息相关，早期数学得以迅速发展。
如：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书所涉及的问题及数学算法法则的运用。
中国的《孙子算经》中也有关于筹算计数法则的记载“凡算之法，先识其位。
一纵十横，百立千僵。
千十相望，万百相当。
”人们所用来记年的算法也与此相当。
如闰年的计算，若能被4整除的年份就叫做闰年，末尾为两个零的（如2000年），若能被400整除则为闰年。
并且沿用至今。
说到整数的发展，古希腊的毕达哥拉斯学派有着辉煌的一笔。
毕达哥拉斯学派基本的信条是“万物皆数”。
他们所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系，导致了“第一次数学危机”。
直到毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出的新比例理论而暂时消除。
这也为后来整个数学的大发展、大繁荣奠定了基础。
到了宋、元时代，各种手工业、商业和对外贸易都有很大发展，对数学提出了日益繁重复整数的若干性质及其应用杂的计算任务。
大量的计算问题，要求计算即快又简便。
这就使数学进一步发展，形成了十三、十四世纪我国民间数学的发展和算筹口诀化的特点。
其中算法口诀化在由筹算演变到珠算过程中，具有很重要的地位。
据历史记载，最迟在十五世纪初期，珠算已经在当时社会上被广泛应用。
并且我们现在的算法口诀和算盘的使用也源于此处。
即使到了科技相当发达的今天，人们对整数的运用以及其性质的研究也不曾间断过，可以说整数的发展源于生活而用于生活。
奇数与偶数是由古希腊先哲毕达哥拉斯提出的。
学派将数分成三类：奇数,偶数,奇偶数（即1）。
他认为1是构成奇数和偶数的基础,同时兼备二者的性质,虽然用现代数学看来,这是不成熟的看法。
但在当时却被奉为真理。
中国古代对此认识也相差不多。
在中国文化中，一是始，也是全。
这种观点最早是由老子提出来的，他说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。
”认为道是单独无偶的“一”，是万物的本源，具有本体性的意义。
“二”是最小的偶数，含有“两、双、再”的意义。
中国人常用来表示成双成对的事物以讨个吉利的说法。
“三”在中国文化的内含有正向的（如高、大、长等），也有负向的（如少、小、短），然而在中国原始数理思维发展过程中，曾存在一个无法超越的“三”，对“三”充满迷惑、恐惧和敬畏的原始数觉时期。
这也促使了许多先贤的研究。
《易经》记载：在数里面奇数代表阳，偶数代表阴。
《道德经》里讲：万物负阴而抱阳。
古人喜欢阳而不喜欢阴，奉承天而忘记地。
而且在个位数里面，3.5.7都是质数，只能被本身除尽，不能再次分解，在古人眼里就有神秘的力量。
而从数的顺序来看，1是数的起源，是所有数的最低分子；5是数的正中，符合中位观；9是代表单数内最大、最高级同样也有特殊的含义。
而3是稳固的代表，表示稳定，三足鼎立；7往往用于参照，恰好古代人最早认识最有用处的星星组合是北斗七星。
因此奇数与偶数对占星、历法和宗教来说都意义重大。
这就造成了其特殊地位。
由此可知，奇数与偶数的产生是源于人们对事物个数的认知出现疑惑，从而为了解除疑惑而总结出来的。
因此，在古代关于奇数与偶数的运用非常广泛，许多传统节日的日期；房屋建造的层数；书籍的卷数；一些习俗或说法的寓意等等。
约数与倍数源于中国古典数学著作《九章算术》里的“方田”章，该章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。
其中“约分数”给出了求分子、分母等数（中国古代数学家称最大公约数为“等数”）的“更相减损”法，与欧几里得《原本》卷VII中给出的方法是一致的。
从远古时代的结绳记数和刻痕计数到满含智慧的古罗马人的罗马数字，到阿拉伯数字。
数的发展过程十分漫长，也因此使数越发完善。
这也得益于后世日益繁荣的经济发展，随着集市的出现，人们日常的交易的增多，数只是一个表达事物属性的工具，不足以解决咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）交易中的问题。
约数与倍数的运用就很方便的解决这些烦恼。
最有利的证据就是秤的发明与使用。
完美的运用了整数的约数与倍数这一性质。
正是因为人们日常生活的需要，所以这一性质已经完全融入了人们生活中的方方面面。
带余除法的运用由来已久，探索出了各种计算工具和计算方法。