整数的若干性质讲解

本科毕业论文(设计)

分类号学号 密级 题 目 （中、英文）

整数的若干性质及其应用 Some properties and applications of integers 作者姓名指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称学校代码成绩评定数学与信息科学学

摘要

整数的性质有很多。其在整个初等数论中是非常有研究意义的一部分。把对整数的研究深度剖析，细分到众多的性质研究当中。可以加深对整数性质及整数的认识。这里着重讨论的是数的整除特性及尾数特征、奇数与偶数、约数与倍数及带余除法。这四个性质在整数中是我们较为常见的、常用的，同时在整个数论中也具有相当重要的地位。并且在中学数学的教学中有着比较广泛的应用基础。文中阐述了以上性质的含义及对个别性质的证明，并通过实例讨论了整数的若干性质涉及到实际生活中的应用以及涉及到中学数学学习方面的应用,使我们对其更加熟悉并能熟练的应用它解决问题。所总结的解题方法在实际解题当中会更加方便快捷。

关键词:整数的性质；奇数与偶数；约数与倍数；带余除法；应用

Abstract

There are many properties of integers. It is a very meaningful research in the elementary number theory. The depth analysis of the study of integer, subdivision into the nature of many of the study, you can deepen the understanding of the nature of integer and integer. It emphatically discusses the characteristics and features, the number of mantissa is divisible by odd and even number, and multiple and division. The four properties in the integer is we are more common, common, and it has a very important position in the theory of numbers. And has a wide range of applications in the teaching of mathematics in secondary schools. This paper expounds the above nature of meaning and of individual nature of proof, and through example discussed some properties of integers related to real life application and relates to the middle school mathematics learning application, enable us to become more familiar with and skilled in it is applied to solve the problem. The summary of the problem solving method in the actual problem solving which will be more convenient and quick.

Keywords: Properties of integers; Odd and even; And a few times; With complementary division; Application

目录

摘要............................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................... II

1 整数若干性质的由来 (1)

2 整数若干性质的基础知识 (3)

2.1 整数整除的概念 (3)

2.1.1 数的整除特性 (3)

2.1.2数的尾数特征 (5)

2.2 奇数与偶数的概念 (5)

2.3 约数与倍数的概念 (5)

2.3.1 约数 (5)

2.3.2 倍数 (6)

2.4 带余除法定理及其证明 (6)

3 整数若干性质在中学学习中的应用 (7)

3.1 整除特性及尾数特征的应用 (7)

3.2 奇数与偶数的应用 (9)

3.3 约数与倍数的应用 (10)

3.4 带余除法的应用 (11)

4 整数若干性质在著名问题中的应用 (11)

4.1中国剩余定理 (11)

4.2 辗转相除问题 (12)

5 整数若干性质的总述 (15)

参考文献 (16)

谢辞 (17)

咸阳师范学院2016届本科毕业毕业论文（设计）

从人们对世界有了认知起,便已经开始接触神秘而又深奥的整数世界,它总能让人充满遐想而又望尘莫及，引起人们不断地思考和探索，使它成为在日常生活中我们不可缺少的好帮手.正因为它的实用性强，才使得其有着非常广泛的应用基础。初等数论是经过知识不断积累发展起来的一门科学,而整数的性质又在整个数论中有着非常重要的地位.我们知道数论与整数之间的关系,这是数学家经过大量的知识积累和时间总结出来的，可想而知整数性质的广泛及难理解程度。显而易见它的应用将是一个更高的台阶.但通过学习积累，使我对整数的若干性质有了深刻的认识。在查阅资料总结方法之后,使我轻松的解决了很多关于整数性质的一系列问题,使我在有关这个知识领域有了更好的了解，更多的实际应用。

1 整数若干性质的由来

人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，经过漫长岁月的沉淀和不同文明的冲击，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”的概念逐渐形成。数概念的形成可能与火的使用一样古老，对于人类文明的意义也绝不亚于火的使用。随着对数的认识，人们不断的探索，逐渐学会运用这种方式来表达事物的属性，于是就有了计数。最早可能是用手指计数，也就演变成了后来的五进制、十进制。这是中国古代所使用的方法，中国算盘的发明就是利用这个原理。而同时期的其他文明也有相应的发展。如：古巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制等。随着人类社会不断地发展，接触的事物和种类越来越多，这时指头已经不敷运用，于是又有了结绳计数和刻痕计数等的出现。中国古代文献《周易。系辞下》有：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。即结绳计数或结绳记事“书契”就是刻画符号。在此基础上，初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。由于与人们的生产生活、日常贸易息息相关，早期数学得以迅速发展。如：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书所涉及的问题及数学算法法则的运用。中国的《孙子算经》中也有关于筹算计数法则的记载“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当。”人们所用来记年的算法也与此相当。如闰年的计算，若能被4整除的年份就叫做闰年，末尾为两个零的（如2000年），若能被400整除则为闰年。并且沿用至今。说到整数的发展，古希腊的毕达哥拉斯学派有着辉煌的一笔。毕达哥拉斯学派基本的信条是“万物皆数”。他们所说的

数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系，导致了“第一次数学危机”。直到毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出的新比例理论而暂时消除。这也为后来整个数学的大发展、大繁荣奠定了基础。到了宋、元时代，各种手工业、商业和对外贸易都有很大发展，对数学提出了日益繁重复