华中科技大学第4讲：谱线加宽均匀加宽+非均匀加宽

1、自然加宽：
现象：自发辐射谱线具有一定的宽度 H。 自然加宽的经典理论解释：电子的阻尼振动造成的频谱展宽
由阻尼谐振子模型可以得到其辐射场表达式：
为了得到频率域分布，对E作傅立叶变换，并取t从0到的范围，则：
E



Et
0
E0
i
2
0
ei0t dt E0


0
d

0

n1
c
0

m
2 KT
1
2
mc2
e
2
KT
2 0
0
2
0

d

0
n2、n1 按中心频 率的分布
令gD 0 ,0 则
n2


0
n2
n1


0
n1


n2
0
d 0 n2 gD 0 , 0 d 0
I ( )
P max
P / 2 max
0

5.1 谱线加宽与线型函数
均匀加宽
非均匀加宽（自学）
一、均匀加宽(Homogenous Broadening)
概念：引起加宽的物理因素对每个原子都是相同的。每个 发光的原子都以整个线型发射，不能把线型函数上的某一 特定频率和某些特定的原子联系起来。

1

自发辐射线宽等于自然加宽线宽，即线型函数半宽度；
g ,0


/ 22 4 2
0
2
ne2
G 4m 0 c
H / 2
2
0 H / 2
2
vH / 2
当 0时，线型函数有最大值：
1 Na aa L aa
16KT
ma
气体激光器一般由工作气体a、辅助气体b、c等等组成，则其
碰撞寿命为：
1 / L 1 /
L
1/
aa
L
1/
ab
L

ac
线宽的计算，通常采用经验公式： L
P
P为气体压强；
为实验测得的系数；
对于CO2气体有： 49kHz / Pa;
f
x, x0 ,
1


1

x

x0
2

1



x x0


2


2

如果将其视为概率密度函数，则 它在统计学中被称为柯西分布。
g ,0


/ 22 4 2 0
2
rad

0 N / 2


N


1
2 s
对于多能级系统，考虑某个能级Em向i个下能级跃迁的自发辐射
系数为Ami，则有：
dnm dt



dnm1 dt

dnm 2 dt


dnmi dt

Am1nm Am2nm
Aminm
nm Ami nmi Am
1
g ,0
P
P
P P d

/ 22 0 2


1
/ 22 0
2 d

d
1
/ 22
0
2


g , 0

的关系：
2
前面曾经证明对二能级系统，自发辐射引起的上能级粒子数
变化满足公式： n2 t n20 exp t / s
其中 1 / A21为高能级粒子平均寿命。则跃迁辐射功率为：
P
t
dn2 t dt
h

n et / s 20
h
P0 et / s
gmax , 0 g 0 , 0 4 /
阻尼系数的 物理含义？
当 时，g ,0
g 0 , 0
2
, 此时可以解出--谱线宽度：

4

N

2
阻尼系数的 物理含义？
阻尼系数
与原子在E2能级上的自发辐射寿命
Vz ~ Vz dVz 内的原子数：
Vz
z
1
dn Vz
n Vz
dVz

n

m
2 KT
2
exp

mVz2 2KT

dVz
K 为波尔兹曼常数，T 为绝对温度， n为单位体积内原子数，m为原子 质量，n(Vz )为原子数分布。
20
dn Vz
当Vz
c，对上式级数展开并取一级近似有：


0

1

Vz c

在激光器中，讨论的问题是原子与光场的相互作用，因此考
虑中心频率为 0的运动原子和频率为的单色光场相互作用。
单色光波
假想光源
运动原子
感受光波的接收器
原子静止（Vz=0） 原子感受频率 沿z向运动 ’ =(1-vz/c)
均匀加宽的线型函数：

gH , 0
H / 2
2
2




H


N
0 L
1
2
H / 2

1


2
L

当原子从E2 E1 跃迁时，有： h 0 E2 E1
设原子在上下能级Ei 上的自发辐射寿命为 si，则 si可理解为

e
2
t
e
i

0

t
dt

0

则功率随频率的变化：

2

E0
i 0
e
i 2
0
t

自发辐射
0
P
E


2



2
2
E02
0

2

P





2
2
CI0
0


2
根据线型函数的定义：
第4讲：谱线加宽和线型函数
主讲人：朱 晓 2014-03
这就是谱线加宽。
自发辐射的光并不是单色光，而是存在一定的谱线宽度!
引入谱线的线型函数g(
,
0
)：
g

, 0


P

P

量纲：[s]

g
, 0
d
P d

P
从量子学能级的角度来看：
由测不准原理——不可能同时测 准微观粒子的时间和能量：
自然加宽、碰撞加宽、晶格振动加宽
自然加宽：在不受外界影响时，受激原子并非永远处在激 发态，他们会自发地向低能级跃迁，因而受激原子在激发 态上的寿命有限。
碰撞加宽：大量原子（分子）之间无规“碰撞”引起的谱 线加宽。
晶格振动加宽：固体工作物质中，晶格的振动使激活离子 所对应的能量在一定的范围内变化，引起的谱线加宽。
由阻尼谐振子公式得到的自发辐射功率为：
P t P0 e t
比较两式得到
s

1

自然加宽线型函数的线宽： N

2

1
2 s
这个线宽唯一地由原子高能级的平均寿命决定，则用自然加宽
的线宽表示的线型函数为：

gN , 0
N / 2
2
2

激发态寿命的缩短，称为无辐射跃迁。
在固体工作物质中，无辐射跃迁起因于离子和晶格振动相互
作用，离子释放的内能转化为声子能量。
若粒子在Ei
能级的自发辐射跃迁寿命为
，无辐射跃迁寿命为
si
nri，则该能级的寿命 i 为：
1
i
1
si
1
nri
则当存在无辐射跃迁时自发辐射均匀加宽为：
N

1
2
1


2
1
1

2、碰撞加宽
加宽机制：大量原子、分子之间的无规则碰撞； 原子之间的无规“碰撞”造成的 • 非弹性碰撞: 内能转移,等效激发态寿命 基态原子～激发态原子；激发态原子～其它原子或容器管壁 • 弹性碰撞: 自发辐射波列相位发生突变,波列长度
晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶格热驰豫无 辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状态发生改变。
对He3 : Ne20混合气体 7 : 1 有： 750kHz / Pa
对于一般气体： L N 对于低压气体： L ~ N
3、晶格振动加宽
固体工作物质中，激活离子镶嵌在晶体中，周围的晶格场将 影响其能级的位置。
晶格振动使激活离子处于随时间变化的晶格场中，使激活离子 的能级所对应的能量在一定范围内变化，引起谱线加宽。
原子的时间测不准量t， 由测不准原理E t h可以得到
若上、下能级的自发辐射寿命分别为

s1和
s
，则原子发光的频率不确定量
2
或自然线宽为：
N

1
2
1


s1
1
s2

h
Ei

si
当下能级为基态时，
为无穷大，有
s1
N

1
2 s2
非均匀加宽（自学）
由于碰撞的随机性，原子激发态上的有限寿命只能用统 计的方法来研究，它等价于发生碰撞的平均时间间隔；
碰撞加宽的线型函数为：

gL , 0
L / 2
2
2


0 L / 2
其中的 L为一原子与其它


L

1
L
原子发生碰撞的时间间隔，等于单位时间内碰撞次数的倒数，
1、多普勒效应
热运动的发光粒子发出的光存在多普勒频移造成加宽
气体中的多普勒加宽和固体物质中的晶格缺陷加宽
一个发光原子的发射谱线中心频率为 0，当原子相对于接收 器静止时，接收器测到的光波频率为 0；
当原子相对于接收器以Vz 速度 0 运动时，接收到的光波频率为：
1 Vz / c 1 Vz / c
i
可得：
sm

1 Am

1 Ami
如果跃迁发生在Em
i

En之间，
则自发辐射的自然加宽为
N

1
2
1


sm
1
sn

激发态原子可以和其它原子或器壁发生碰撞而将自己的内能
变为其它原子的动能或给予器壁，而自己回到基态。
这一过程属于非弹性碰撞，它与自发辐射过程一样，也会引起
因此与压强、温度、原子碰撞截面有关。
如果存在a、b两种气体，则： 1 Nb ab L ab
8KT


1 ma

1 mb

其中N b 为单位体积内b类原子数；
ab为a、b原子的碰撞截面；ma与mb为两种原子的质量；
1
当只有一种原子时，其碰撞寿命为：
L
温度越高，振动越剧烈，谱线越宽。 对于固体激光工作物质， 晶格振动对所有激活离子的影响基本 自发辐射和无辐射跃迁造 相同，所以这种加宽属于均匀加宽。 成的谱线加宽是很小的，
晶格振动式主要的均匀加 宽因素。
4、均匀加宽小结
均匀加宽具有以下的特点： 引起加宽的因素对每个原子都相同； 每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡 献，每个原子在形成谱线时的作用与地位都是相同的；
0 时, 共振相互作用最大 ’=0时, 共振相互作用最大
• 速度为Vz的运动原子与z向传播的光波相互作用时，原子表现 出来的中心频率(表观中心频率）为 0
19
2、原子数按中心频率的分布
根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统计分布
规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体积内z方向速度 V

c


0
0
0

dVz

c
0
d

0


dn2
考虑E2 和E1 能级上的原子数n2 和n1：1


0
n2


0
d

0

n2
c
0

m
2 KT
2
e

2
mc2 KT
2 0

0
2
0
d

0



dn1


0
n1
从经典电动力学的角度来看：
谐振子所发出的电磁波：
rad

1

tE
当原子能级寿命→∞时，能级的宽 度→0，原子的有限寿命会引起能 级的展宽，从而使得发出的光子的
频率不再是单一频率，
E
E e e
2
t

i0 t
0

E e e
t 2

i0 t
0
自发辐射的上能级 寿命有限造成！
n Vz
dVz

n

m
2 KT
1
2
mVz2
e 2KT
dVz
dn 0 n 0 d 0

c n
0

m
2 KT
1
2
mc2
e
2
KT
2 0
0
2
0
d 0
0


0

1

Vz c


Vz


/ 22
0
2
gN ,0


/ 22 4 2 0
2

1
பைடு நூலகம்

/ 4
/ 4 2 0

2
洛仑兹线型
由洛仑兹在研究电子谐振时最先
得到的受迫振动的运动微分方程
的解，其形式如下：
Hendrik Antoon Lorentz Augustin Louis Cauchy