1.3.3二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3.
10
（1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值8 ；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线x=1
由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5
4
x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
例1、已知函数f(x)=
x2 –2x
–
3.
10
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值；8
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
8
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10
15
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
8
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
8
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)max6=f(k)=k2-2k-3
6 f(x)min=f(k+2)=k6 2+2k-3
当-1<k <0时 8
f(x)8max=f(k)=k2-2k-38
当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+21k0 -3
核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
变式:已知函数y=x2+2x+2, x 3, m , m 3 ,函数的值域为
1,5 ，求m的范围。
练习：已知函数 f (x) x2 2ax a2 2
当 x1,3 时，求函数的最大值.
1、当a 1时.
10
10
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=8- 4 f(x)min=f(1)=10- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
10
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例:8 求函数yy == x28x2∙x2-3 2x-3在x∈[k,k+210 ]时
8
的最6 值
6
8
6
6
4
4
4
2 x=1
k+2
15
k
5
x=1
2
k
10
5
15
k+2
5
10
10
x=1
2
k k+2
5
15
5
4
2 x=1
10 5
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
y X=a
f (x)max f (3) a2 6a 11 2、当1 < a 2时.
0 12 3 x
y
X=a
f (x)max f (3) a2 6a 11
3、当2 < a < 3时，
0 12 3 x
y
X=a
f (x)max f (1) a2 2a 3
4、当a 3时，
解：f(x)=(x-1)2+1，对称轴为x=1 (1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t+1; (2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=1; (3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2+1;
g(t)=
t2+1; 1; t2-2t+2;
(t<0)
(0≤t ≤1) (t>1)
（3）若x∈[ 1
,
5
6
],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
10
5
x=
5 2
时有最大值
f (5) 2
1 3 4
2 x=1
1
ห้องสมุดไป่ตู้
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈yy[== xx–22 222，∙∙xx 033 ]，求函数f(x)的最值；
者是最大值，较小者是最小值.
思考：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:
y1=0 x2 2∙x 3
(1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;
(2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3;
(3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;
g(t)=
t2-4.3; -4.3; t2-2t-3.3;
(t<0)
(0≤t ≤1) (t>1)
例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1 x
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)min=f(1)=4+a
fmin

f


a 2

3
a2 4
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y的最小值为
O -1 1
x
f(

a
)=
a2 3
2
4
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
(3)当 a 1即a<-2时 2
函数在[-1,1]上是减函数
O -1 1 x
y的最小值为f(1) =4+a
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
0 12 3 x
y
X=a
f (x)max f (1) a2 2a 3
0 12 3 x
综上可知：
y
X=a
a2 6a 11 (a < 2) f (x)max a2 2a 3 (a 2)
0 12 3 x
y
X=a
0 12 3 x
问题三： 设函数 f(x) =x2-2x+2在区间[t，t+1]上的最 小值为g(t)，求g(t)的解析式。
1 2
,
5 2
]（4）x6 ∈[
1 2
,
3] 2
6
6
4
4
4
x=1
2
0
10
-2
2
55
4
2 x=1
10 15
2
5
10
10
4 15
2
2 x=1
1
5
2
2
5
10 2
2
1 -2
5
15 2
x=1
3 2
10
4
4
4 4
6
思考6 ：通过以上几6 题，你发现二次6 函数在区间[m，n]
8
上的8 最值通常在哪8 里取到？
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]，
y
求y的最大值
O
-1
1x
课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法
2. 含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动
2
x=0时15有最小值f(010)=-3
5
0
5
-2
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈yy ==[xx22
–2，0 2∙x 3 2∙x 3
]，求函数f(x)的最10 值；