1.3.3二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

2
x=0时15有最小值f(010)=-3
5
0
5
-2
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈yy ==[xx22
–2，0 2∙x 3 2∙x 3
]，求函数f(x)的最10 值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
8
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)max6=f(k)=k2-2k-3
6 f(x)min=f(k+2)=k6 2+2k-3
当-1<k <0时 8
f(x)8max=f(k)=k2-2k-38
当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+21k0 -3
分析
解：f(x)=(x- a )2+a- a2 ，对称轴为x= a
2
4
2
(1)若 a 1，即a≤-2时，
2
f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;
(2)若-1< a 2
<0
,即-2<a<0时，f(x)min=f(
a 2
)=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;
(1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;
(2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3;
(3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;
g(t)=
t2-4.3; -4.3; t2-2t-3.3;
(t<0)
(0≤t ≤1) (t>1)
例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。
(3)若0 ≤
a
<1
2
,即0≤a<2时，f(x)min=f(
a
)=
2
a-a2/4，
f(x)max=f(-1)=1+2a;
(4)若a 1 , 即a≥2时， f(x)min=f(1)=1， 2
8
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10
15
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
8
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
y的最小值为
O -1 1
x
f(

a
)=
a2 3
2
4
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
(3)当 a 1即a<-2时 2
函数在[-1,1]上是减函数
O -1 1 x
y的最小值为f(1) =4+a
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
思考：二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a] (a>-3)上的最值是多少？
y
-3 o a 1
(1)当 3 a < 1时
fmin=f(a)=a2-2a-3 x fmax=f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1 x
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)min=f(1)=4+a
fmin

f


a 2

3
a2 4
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
1 2
,
5 2
]（4）x6 ∈[
1 2
,
3] 2
6
6
4
4
4
x=1
2
0
10
-2
2
55
4
2 x=1
10 15
2
5
10
10
4 15
2
2 x=1
1
5
2
2
5
10 2
2
1 -2
5
15 2
x=1
3 2
10
4
4
4 4
6
思考6 ：通过以上几6 题，你发现二次6 函数在区间[m，n]
8
上的8 最值通常在哪8 里取到？
解：f(x)=(x-1)2+1，对称轴为x=1 (1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t+1; (2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=1; (3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2+1;
g(t)=
t2+1; 1; t2-2t+2;
(t<0)
(0≤t ≤1) (t>1)
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
例1、已知函数f(x)=
x2 –2x
–
3.
10
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值；8
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3.
10
（1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值8 ；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线x=1
由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5
4
x=1
0 12 3 x
y
X=a
f (x)max f (1) a2 2a 3
0 12 3 x
综上可知：
y
X=a
a2 6a 11 (a < 2) f (x)max a2 2a 3 (a 2)
0 12 3 x
y
X=a
0 12 3 x
问题三： 设函数 f(x) =x2-2x+2在区间[t，t+1]上的最 小值为g(t)，求g(t)的解析式。
y
y
y
O -1 1 x
O -1 1 x
O -1 1 x
评注：例2属于“轴动区间定”的问题，看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。
练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上
恒成立，求a的值。
y
解:令f(x)=x2+2x+a
5a x
(2)当1 a < 5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(-3)=12
(3)当a 5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3
例题讲解：
例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值 为g(t)，求g(t)的解析式。
分析 解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1
4
4
6
6
6
6
Βιβλιοθήκη Baidu
8
8
8 8
10
6
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
当k+2≤1即k ≤-1时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5
10
15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
x=1
2
k k+2
10
82
64
4 6
x=1
2 8
k k+2
10 2
4
当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
解：
⑴当

a 2

1即a≥
2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
10
10
10
意开口方向及端点情况。
10
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例:8 求函数yy == x28x2∙x2-3 2x-3在x∈[k,k+210 ]时
8
的最6 值
6
8
6
6
4
4
4
2 x=1
k+2
15
k
5
x=1
2
k
10
5
15
k+2
5
10
10
x=1
2
k k+2
5
15
5
4
2 x=1
10 5
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
（3）若x∈[ 1
,
5
6
],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
10
5
x=
5 2
时有最大值
f (5) 2
1 3 4
2 x=1
1
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈yy[== xx–22 222，∙∙xx 033 ]，求函数f(x)的最值；
10
10
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=8- 4 f(x)min=f(1)=10- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
变式:已知函数y=x2+2x+2, x 3, m , m 3 ,函数的值域为
1,5 ，求m的范围。
练习：已知函数 f (x) x2 2ax a2 2
当 x1,3 时，求函数的最大值.
1、当a 1时.
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
x=1
2
13
-2
2
2 4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3y = x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
2∙例x 3 1、已知函数f(x)=
2∙x 3
10
10
x2 –2x
–8
3
10
8
（1）8 x∈[–2，0]（2）8 x∈[ 2，4 （] 3）x6 ∈[
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]，
y
求y的最大值
O
-1
1x
课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法
2. 含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
2
（4）若x∈[
12, 2
3 2]，求函数f(x)的最值；
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2]
，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f ( 1) 13
8
10 10
10 10
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 上的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0=

b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
者是最大值，较小者是最小值.
思考：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:
y1=0 x2 2∙x 3
当5 f(k)>f(k+10 2)时， 15
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当f(k) ≤f(k+2)时，
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
5 f(x)max=10f(k+2)=（1k5 +2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
y X=a
f (x)max f (3) a2 6a 11 2、当1 < a 2时.
0 12 3 x
y
X=a
f (x)max f (3) a2 6a 11
3、当2 < a < 3时，
0 12 3 x
y
X=a
f (x)max f (1) a2 2a 3
4、当a 3时，