【人教A版】高三数学选修4-4《2.4渐开线与摆线》课件说课稿
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2019版数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
-3-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
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四
渐开线与摆线
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
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四
渐开线与摆线
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线
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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
【精选】_高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4
为参数)可
求 r 的值,然后把 φ=π2代入方程,即得对应的点的坐标.
-8-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
思维辨析
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
������ ������
= =
33((csions������������-���+���c���o���ss���i���n)���,���),所以基圆半径
D.
������ ������
= =
22((1������--scions������������)),(φ
为参数)
答案：C
-6-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
-4-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( )
A.
������ ������
= =
22((���1���--scions������������)),(θ 为参数)
所以 r=21������π(k∈Z).又根据实际情况可知 r 是圆的半径,故 r>0.所
以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆线的参数方程是
������ ������
= =
1 2������π
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
[命题立意]
本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义．
[解析]
由题设得 1＝1－cos t，
π 3 解得 t1＝2，t2＝2π. π x1＝ －1， 2 对应交点的坐标为 y1＝1， 3 x2＝ π＋1， 2 y2＝1， π 3 交点为(2－1,1)，(2π＋1,1)． π 3 [答案] (2－1,1)，(2π＋1,1)
[悟一法]
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚
动时，圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ
唯一确定．
[通一类]
2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上 点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
π 解：xM＝r· θ－r· [(φ＋θ)－2] cos ＝r[θ－sin (φ＋θ)]， π yM＝r＋r· (φ＋θ－2) sin ＝r[1－cos (φ＋θ)]．
π π π π π 得 x＝cos 2＋2· 2＝0＋2＝2， sin π π π y＝sin 2－2· 2＝1. cos
π ∴A(2，1)． 将
x＝cos φ＋φsin φ， φ＝π，代入 y＝sin φ－φcos φ，
得 x＝cos π＋π·sin π＝－1，y＝sin π－πcos π＝π. ∴B(－1，π)． ∴|AB|＝ ＝ π 2＋12＋1－π2
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
人教版高中数学选修2.4渐开线与摆线ppt课件
设 点 M 的 坐 标 为 ( x , y ) , 取 为 参 数 ， 根 据 点 M 满 足 的 几 何 条 件 ， 有
x O D O A D A O A M C r r s i n ,
y D M A C A B C B r r c o s .
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
B M ( x r c o s , y r s i n ) , | B M | r .
O
A
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。
x O D O A D A O A M C r r s i n ,
y D M A C A B C B r r c o s .
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
B M ( x r c o s , y r s i n ) , | B M | r .
O
A
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。
《2.4渐开线与摆线》课件3-优质公开课-人教A版选修4-4精品
3������ x = 3 ������������������ 2 + 2 ������������������ 2 , ������ x= 2 , 得 即 所以当参数 φ 取 时,对应的 ������ ������ ������ 2 y = 3. y = 3 ������������������ 2 - 2 ������������������ 2 , ������ ������ ������
曲线上的点的坐标是
3������ ,3 2
.
圆的渐开线的参数方程中,字母 r 表示基圆的半径,字母 φ 是指 绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角;另外,渐开线的 参数方程不宜化为普通方程.
二、圆的摆线的参数方程 活动与探究 2 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该 摆线的参数方程. x = r(φ-������������������φ), 思路分析:根据圆的摆线的参数方程 (φ 为参数), y = r(1-������������������φ) 只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最 大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.
1 ������ (φ 为参数). 1 = (1-������������������φ) ������
代入即可得圆的摆线的参数方程为
迁移与应用 2 x = 1 + 6������������������α, 已知圆 C 的参数方程是 (α 为参数)和直线 l 对应 y = -2 + 6������������������α 的普通方程是 x-y-6 2=0. (1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线满足什么关 系? (2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和 x 轴的交点.
曲线上的点的坐标是
3������ ,3 2
.
圆的渐开线的参数方程中,字母 r 表示基圆的半径,字母 φ 是指 绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角;另外,渐开线的 参数方程不宜化为普通方程.
二、圆的摆线的参数方程 活动与探究 2 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该 摆线的参数方程. x = r(φ-������������������φ), 思路分析:根据圆的摆线的参数方程 (φ 为参数), y = r(1-������������������φ) 只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最 大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.
1 ������ (φ 为参数). 1 = (1-������������������φ) ������
代入即可得圆的摆线的参数方程为
迁移与应用 2 x = 1 + 6������������������α, 已知圆 C 的参数方程是 (α 为参数)和直线 l 对应 y = -2 + 6������������������α 的普通方程是 x-y-6 2=0. (1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线满足什么关 系? (2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和 x 轴的交点.
高中数学人教A版选修4-4课件：2-4渐开线与摆线
目标导航 题型一 题型二 题型三
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
圆的渐开线的参数方程及应用 【例1】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线 π π 上两点A,B对应的参数分别 是 和 , 求������, ������两点间的距离. 3 2 分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B对应的参数分别 代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式 可得点A,B之间的距离. 解:根据题意可知圆的半径是1, 所以其对应渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (������为参数). ������ = sin������-������cos������ π π 分别把 φ= 和 ������ = 代入,
3 2
可得 A,B 两点的坐标分别为 ������
3+ 3π 3 3-π 6
,
6
, ������
பைடு நூலகம்π 2
,1 .
根据两点之间的距离公式可得 A,B 两点间的距离为
目标导航 题型一 题型二 题型三
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
|AB|=
������ = 9(������-sin������), (������为参数). ������ = 9(1-cos������)
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
人教版高中数学选修(4-4)-2.4《渐开线与摆线》参考教案
渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。
变式训练 2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
答案：A
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2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ.
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
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x＝2t－sin t， 3．摆线 y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点
的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
返回
4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点
O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4摆线课件
第二讲参数方程 四渐开线与摆线
2.摆线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
人民教育出版社 高中 |选修4-4
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动， 圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯 一确定．
人民教育出版社 高中 |选修4-4
[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时 圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚 动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说 明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求 法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
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2.摆线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
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所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动， 圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯 一确定．
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[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时 圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚 动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说 明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求 法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
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人教版数学选修4-4课件 2.4 渐开线与摆线
课末随堂演练
课后限时作业
制作者：状元桥
适用对象：高二学生
制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3
运行环境：WindowsXP以上 操作系统
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
第二讲
参数方程
• 2.4 渐开线与摆线
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程
栏目导 航
课前教材预案 课堂深度拓展 课末随堂演练 课后限时作业
课前教材预案
•要点一 渐开线
以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线
的参数方程为yx＝＝rrscions
AM，按渐开线定义，弧A︵M0 的长和线段 AM 的长相等，记―O→A 和 x 轴正向所夹的角为
θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A︵M0 ＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作直线 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得―O→A ＝
(4cos θ，4sin θ)，由几何知识知∠MAB＝θ，―AM→＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
• 解析A：．根据3渐π开线的定义B可．知弧4πAE 的长是半径为 1C的．圆周5长π的四分之一，长度
人教A版高中数学选修4-4渐近线与摆线课件
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取 为 参 数 ， 则 点 B 的 坐 标 为 （ r c o s , r s i n ） , 从 而
B M ( x r c o s , y r s i n ) , |B M | r .
O
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
解 得 x y r r((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。
这就是圆的渐开线的参数方程。
人教A版高中数学选修4-4渐近线与摆线
4
2、渐开线的参数方程
y
x y rr((cso ins cso ins ))(是 参 数 )。
B
M
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法] 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归
结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线 的参数方程．
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 的长 AM 相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)．
向量 OB ＝(2α，2)，
向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
[命题立意]
本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义．
[解析]
由题设得 1＝1－cos t，
π 3 解得 t1＝2，t2＝2π. π x1＝ －1， 2 对应交点的坐标为 y1＝1， 3 x2＝ π＋1， 2 y2＝1， π 3 交点为(2－1,1)，(2π＋1,1)． π 3 [答案] (2－1,1)，(2π＋1,1)
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
0
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
返回
[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
返回
[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
返回
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返回
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
返回
[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
返回
[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线
思维辨析
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直径 ������ = sin������-������cos������ π 是 ,当参数 φ= 时对应的曲线上的点的坐标 为 .
√2
四
渐开线与摆线
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.
1.渐开线 (1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支 铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的 曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)圆的渐开线的参数方程: ������ = ������(cos������ + ������sin������), (φ 为参数). ������ = ������(sin������-������cos������) 2.摆线 (1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上 一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线. (2)圆的摆线的参数方程: ������ = ������(������-sin������), (φ 为参数). ������ = ������(1-cos������)
)
做一做2 半径为2的圆的摆线的参数方程为( ������ = 2cos������, A. (φ 为参数) ������ = 2sin������ ������ = -2cos������, B. (φ 为参数) ������ = -2sin������ ������ = 2(������-sin������), C. (φ 为参数) ������ = 2(1-cos������) ������ = 2(1-sin������), D. (φ 为参数) ������ = 2(������-cos������) 答案：C
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x＝3cos
π2＋π2sin
π2，
y＝3sin
π2－π2cos
π2，
即x＝32π，ห้องสมุดไป่ตู้y＝3.
栏 目 链 接
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是32π，3.
答案：3 32π，3
例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数 方程．
解析：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0，
例 3 设摆线xy＝＝1t－－scionst，t (t 为参数，0≤t≤2π)与直
线 y＝1 相交与 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离．
栏
目
链
接
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0，
又 0≤t≤2π，
∴t1＝π2，t2＝32π.
当 t1＝π2时，
x＝π2－sinπ2＝π2－1，y＝1－cosπ2＝1.
φ， φ
(φ 为参数)，那么
圆的摆线方程中与参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离
栏
为( )
目
A.π2－1
B. 2
链 接
C. 10
D. 32π－1
答案：C
栏 目
半径)．
链 接
2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点
M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设
圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
____xy_＝＝__rr__1φ_－－__c_so_in_s_φφ__，____(_φ__为__参___数__)_______.
预习 思考
接
变式 训练
1．已知圆的渐开线的参数方程是
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应的基
栏
圆的直径是________，当参数 φ＝π4时对应的曲线上的点的
目 链 接
坐标为：___________.
答案：1
22＋
82π， 22－
2π
8
题型2 渐开线、摆线参数方程的应用
∴Aπ2－1，1.
栏 目
当 t2＝32π时，
链 接
x＝32π－sin32π＝32π＋1，
y＝1－cos32π＝1，
∴B32π＋1，1.
栏 目
故 A，B 两点间的距离为
链
|AB|＝ 32π＋1－π2－12＋1－12＝ π＋22＝
接
π＋2.
变式 训练
2．已知一个圆的参数方程为xy＝＝33scions
栏
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)可求 r 的值，然
目 链 接
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ，
栏
y＝3sin φ－φcos φ，
目 链 接
所以基圆半径 r＝3.
把 φ＝π2代入方程，可得
第二讲 参数方程
2.4 渐开线与摆线
栏 目 链 接
1.了解圆的渐开数的参数方程，了解摆线的生成过程及
它的参数方程。
栏
2.掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤。
目
链
接
栏 目 链 接
1．以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直
角坐xy＝＝标 ___系rr__，sc_ion_可s_φ_得φ_－＋_圆_φ_的φ_cs_渐oi_ns_开_φφ_线_，_的__参_(_数φ__方为__程_参_为_数_：__)(其中 r 为基圆的
半径为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
栏 目 链 接
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
栏 目 链 接
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)．
栏
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
目 链
__________，当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐
接
标是________．
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对
照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
栏
∵r≠0，∴cos φ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
目
代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得
链
接
2kπr＝1(k∈Z)．
由于 r 表示圆的半径，故 r>0，
∴r＝2k1π(k∈N*)
栏
故所求摆线的参数方程为
目
链
x＝2k1πφ－sin φ， y＝2k1π1－cos φ
(φ 为参数，其中 k∈N*)．