【人教A版】高三数学选修4-4《2.4渐开线与摆线》课件说课稿

例 3 设摆线xy＝＝1t－－scionst，t (t 为参数，0≤t≤2π)与直
线 y＝1 相交与 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离．
栏
目
链
接
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0，
又 0≤t≤2π，
∴t1＝π2，t2＝32π.
当 t1＝π2时，
x＝π2－sinπ2＝π2－1，y＝1－cosπ2＝1.
x＝3cos
π2＋π2sin
π2，
y＝3sin
π2－π2cos
π2，
即x＝32π， y＝3.
栏 目 链 接
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是32π，3.
答案：3 32π，3
例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数 方程．
解析：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0，
栏
∵r≠0，∴cos φ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
目
代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得
链
接
2kπr＝1(k∈Z)．
由于 r 表示圆的半径，故 r>0，
∴r＝2k1π(k∈N*)
栏
故所求摆线的参数方程为
目
链
x＝2k1πφ－sin φ， y＝2k1π1－cos φ
(φ 为参数，其中 k∈N*)．
栏
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)可求 r 的值，然
目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ链 接
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ，
栏
y＝3sin φ－φcos φ，
目 链 接
所以基圆半径 r＝3.
把 φ＝π2代入方程，可得
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)．
栏
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
目 链
__________，当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐
接
标是________．
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对
照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
第二讲 参数方程
2.4 渐开线与摆线
栏 目 链 接
1.了解圆的渐开数的参数方程，了解摆线的生成过程及
它的参数方程。
栏
2.掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤。
目
链
接
栏 目 链 接
1．以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直
角坐xy＝＝标 ___系rr__，sc_ion_可s_φ_得φ_－＋_圆_φ_的φ_cs_渐oi_ns_开_φφ_线_，_的__参_(_数φ__方为__程_参_为_数_：__)(其中 r 为基圆的
栏 目
半径)．
链 接
2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点
M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设
圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
____xy_＝＝__rr__1φ_－－__c_so_in_s_φφ__，____(_φ__为__参___数__)_______.
预习 思考
φ， φ
(φ 为参数)，那么
圆的摆线方程中与参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离
栏
为( )
目
A.π2－1
B. 2
链 接
C. 10
D. 32π－1
答案：C
半径为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
栏 目 链 接
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
栏 目 链 接
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
接
变式 训练
1．已知圆的渐开线的参数方程是
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应的基
栏
圆的直径是________，当参数 φ＝π4时对应的曲线上的点的
目 链 接
坐标为：___________.
答案：1
22＋
82π， 22－
2π
8
题型2 渐开线、摆线参数方程的应用
∴Aπ2－1，1.
栏 目
当 t2＝32π时，
链 接
x＝32π－sin32π＝32π＋1，
y＝1－cos32π＝1，
∴B32π＋1，1.
栏 目
故 A，B 两点间的距离为
链
|AB|＝ 32π＋1－π2－12＋1－12＝ π＋22＝
接
π＋2.
变式 训练
2．已知一个圆的参数方程为xy＝＝33scions