差分与差分方程的概念

含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx ,的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) 0
定义2
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 ,的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx1,, yxn ) 0
7.P(t ) 1 1 ,Q(t ) (1 1)2t
t
t
Vx是所给差分方程的解.
三、常系数线性差分方程解的结构
n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx 0
1
n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
f x 0
注：1为2所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.
解 ， 求 常 数α ，β .
7、 已 知y1 (t ) 2t , y2 (t ) 2t 3t是 方 程yt1 P(t ) yt Q(t ) 的 两 个 特 解 ， 求P(t)，Q(t)．
练习题答案
1.a x (a 1);2.2;3.C;4.C;
6.ห้องสมุดไป่ตู้1)α
1
1 e2
(2)α
7,β
10
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
例10 验证：y C 2x 是差分方程yx1 yx 2的通解.
证明 把函数y C 2x代入差分方程yx1 yx 2，
则左边 C 2x 1 C 2x 2 右边，
所以y C 2x是差分方程y x1 y x 2的解，
它又含有一个任意常数，而所给差分方程又 是一阶的，
2 yx1
y
，
x
恰 好 等 于 右 端 ， 故 不 是差 分 方 程.
例 7 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
故y C 2x是该差分方程的通解.
四、小结
1.差分的定义 2.差分方程与差分方程的阶 3.差分方程的解、定解条件和通解 4.常系数线性差分方程解的结构
练习题
1、 设y a x， 求Δ y x . 2、 设y x 2 2x， 求Δ2 y. 3、 下 列 等 式 是 差 分 方 程的 有 （ ） A、 3 y x 3 y x a x , B、Δ2 y x y x2 2 y x1 y x , C、y x 2 y x1 3 y x2 4, D、y x 3 x . 4、 函 数y A 2 x 8是 差 分 方 程 （ ） 的 通 解． A、y x2 3 y x1 2 y x 0, B、y x 3 y x1 2 y x2 0, C、y x1 2 y x 8, D、y x2 2 y x 8 .
5、 证 明 下 列 各 等 式 ：
(1)Δ(U xVx ) U x1Δ Vx VxΔ U x
(2)Δ(U x ) VxΔ U x U xΔ Vx
Vx
VxV x1
6、(1)已 知yt e t是 方 程yt1 α yt1 e1t的 一 个 特 解 ， 求α .
(2)设yt 2t 5是 差 分 方 程yt1 α yt β yt1 20的 一 个 特
求证Vx y x Ux Zx是差分方程
yx1 ayx f1( x) f2 ( x) f3 ( x)的解.
证明 由题设知：yx1 ayx f1( x) U x1 aU x f2 ( x) Z x1 aZ x f3 ( x)
Vx1 aVx yx1 ayx U x1 aU x Z x1 aZ x f1(x) f2(x) f3(x)
第六节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构
一、差分的概念
二、差分方程的概念
三、常系数线性差分方程解的结构 四、小结
一、差分的概念
1.差分的定义
设 函 数y f (n).当n取 非 负 整 数 时 ， 函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
f (0)，f (1)，，f (n)，f (n 1)， 将之简记为
2.差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
初始条件 确定任意常数的条件
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
例8 yx ,U x , Z x分 别 是 下 列 差分 方 程 的解 yx1 ayx f1( x), yx1 ayx f2( x), yx1 ayx f3( x)
参照导数的四则运算法则学习
例5 设y e 2 x，求Δ2 y x .
解 yx yx1 yx
e2x1 e2x
e2x e2 1 ;
2 yx yx e2x e2 1
e2 1 e2x e2x e2 1 2 .
二、差分方程的概念
1.差分方程与差分方程的阶
定义1
2(n 1) 1 (2n 1) 2
3yn 3 (n2 ) 2 2 0 例2 求(n3 ), 2 (n3 )
例 3 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f1 x f2 x
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f1 x yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f2 x
或G( x, yx , yx1,, yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
例4 设y x(n) x(x 1)(x 2)(x n 1), x(0) 1，求yx (即(x(n) )).
解 yx ( x 1)(n) x(n) ( x 1)x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1) ( x n 2)( x n 1)
( x 1) ( x n 1)x( x 1)( x n 2)
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
例 6 下列等式是差分方程的有( ).
A.2yx yx x
B. 3yx 3 yx a x
C .2 yx yx2 2 yx1 yx
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
，
x1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
yx
( yx1
yx)
y x 1
yx
yx2
y0，y1，y 2，，yn，yn1 ,
称
函
数
的
改
变
量y n 1
y
为
n
函
数y的
差
分
，
也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 为yn yn1 yn .
函数y f (n)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差 分,即
2yn (yn ) (yn1 yn ) (yn2 yn1 ) (yn1 yn ) yn2 2yn1 yn
同 样 可 定 义 三 阶 、 四 阶差 分 ： 3yn (2yn ),4yn (3yn )
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求 Δ(n 2),Δ2(n 2),Δ3(n 2) . 解 设y n2，则
yn (n2 ) (n 1)2 n2 2n 1
2yn 2(n2 ) (2n 1)
nx(n1) （公式）
2.差分的四则运算法则
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4
yx zx
zxyx yxzx zx zx1
zx1yx yx1zx zx zx1
2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.