2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球

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高考数学总复习 9.11简单多面体和球精品课件文新人教B版

6.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，
就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离，l＝Rφ(φ为球心角的弧度数). 7.球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3.
1.球面距离是弧长，而非两点间的直线距离；求A、
B两点的球面距离的步骤是：⑴求弦长|AB| ，⑵求球心
6．(2004年北京，理11)某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2.
例1
已知球的两个平行截面的面积分别为49π、
400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积． [分析] 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的
3.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的
集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的半径，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．一个球或球面用它的球心的字母表示，例如球O. 4.球的截面：
(1)球的截面是一个圆；
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足r＝ . 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不
一、选择题 1．下列四个命题中错误的个数是 ( )
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一
个球的大圆；②球的表面积是它大圆面积的四倍； ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长． A．0 C．2 [解析] ①③错误． [答案] C B．1 D．3
2．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到
经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
5.经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆．纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆．经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数．纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数．

高三数学多面体和球

高三数学多面体和球9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：--侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，...，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体→长方体→ 正四棱柱→ 正方体.请在"→"上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质--侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质--定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

高考数学复习全套课件第九章第七节多面体、球

6．三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为 5，求三棱锥的内切球半径．解：如图，设E为CD中点，连结BE、AE.
设球心O到各面的距离为R.
4× S△BCD×R＝VA－BCD， ×6×4＝12，，，
∵S△BCD＝ ∴4×
VA－BCD＝2VC－ABE＝6 ×12R＝6
∴R＝
球面距离的求法，很少出现经纬度问题．但09年辽宁高考考查了纬线长与赤道长的比值，是一个新的考查方向．
[考题印证] (2009· 辽宁高考)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为 A．0.8 C．0.5 B．0.75 D．0.25 ( )
【解析】作出截面图．由图可知2πr：2πR＝sin30°＝
1.了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． 2．了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式．
1．多面体和正多面体
2．球 (1)球面和球的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球．
球也可以看作是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所
2．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是 A．π C．3π B．2π D．2 π ( )
解析：如图，设截面的圆心为O1，O1A＝2· cos60°＝1， ∴截面的面积为π.
答案：A
3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是 ( A. 96 3 C. 24 3 B. 16 3 D .48 3 )
，侧棱长为
的正六棱柱的所
有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为_____．

高中数学知识要点重温之(20)多面体与球

多面体与球江苏郑邦锁1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。

正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。

[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。

记SO=h （h< a ），则AO=22h a -，于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a .[举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。

高考数学(全国文理通用)一轮复习：大纲版考点34 多面体、球

考点34 多面体、球一、选择题1.（2011·湖北高考文科·Ｔ7）设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是（）(A)V 比V大约多一半 (B)V 比V 大约多两倍半 (C)V 比V大约多一倍 (D)V 比V 大约多一倍半【思路点拨】先找出球的半径与其内接正方体的棱长之间的关系，表示出V 与V后再比较大小.【精讲精析】选D.设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，则23r a =，又 33124,3V r V a π==，333312433()(1) 1.7.3a V V a a a ππ∴-=-=-≈因此V 比V 大约多一倍半2.（2011·全国高考理科·Ｔ11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决.【精讲精析】选D.由圆M 的面积为4π，知球心O 到圆M 的距离OM =在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴ON =OM sin303,故圆N 的半径∴圆N 的面积为213==S r ππ. 3.（2011·全国高考文科·Ｔ11）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =（）(A)4 (B)【思路点拨】根据条件确定出圆心在直线y=x 上并且在第一象限是解决这个问题的关键.【精讲精析】选C. 由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.4.(2011·重庆高考理科·T9)高为42的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) (A) 42 (B) 22 (C) 1 (D)2 【思路点拨】根据题意可分为球心与四棱锥的顶点在底面同侧和异侧两种情况，然后分别计算.【精讲精析】选C.设球心为O ,底面四边形的中心为E ,顶点在底面上的射影为F ,则易知SF OE //,且2242==，OE SF 当S O ,在底面的同侧时,过S 作OE SH ⊥,则SF HE =,又2242==，OE SF , 所以H 为OE 的中点,OSE ∆为等腰三角形,所以1==OS SE .当S O ,在底面的异侧时,设EF OS ,交于点H ,则由2242==，OE SF 及1=OS , 结合三角形相似,可知32=OH ,在直角三角形OEH 中,直角边22=OE 大于斜边32=OH ,故不满足题意.所以底面的中心和顶点的距离为1. 5.(2011·重庆高考文科·T10)高为2的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形,点S A B C D 、、、、均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )(A) 210 (B) 232+ (C) 23 (D) 2 【思路点拨】根据题意可知球心与四棱锥的顶点在底面同侧,然后利用三角形相似进行计算.【精讲精析】选A.设球心为O ,底面四边形的中心为E ,顶点在底面上的射影为F ,则易知SF OE //,且222==，OE SF , 过O 作OH SF ⊥,则22==HF SH ,又1=OS ,所以直角三角形SHO 中,22=OH , 所以22==OH EF ,在直角三角形SFE 中21022=+=FE SF SE . 二、填空题 6.（2011·四川高考理科·Ｔ15）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.【思路点拨】外接球的球心到圆柱底面圆周上任意一点的距离都等于球的半径R ，球心与圆柱上下底面圆心的连线垂直于圆柱的底面，不妨设圆柱底面的半径为r ，用r 与R 表示圆柱的侧面积.【精讲精析】如图，设圆柱的底面半径为r ，上底面的圆心为O '，连结OO ',则OO '垂直于圆柱的底面，设A 为圆O '上的任意一点，连结O A '，则=O A r '，22OO R r '=-，圆柱的高为2222OO R r '=-，圆柱的侧面积2222222224()=224()2.2r R r S r R r r R r R ππππ+-⋅-=-≤=侧当且仅当22222,2r R r R r =-=即时等号成立.此时球的表面积为24R π.球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422.R R R πππ-=【答案】22R π7.（2011·四川高考文科·Ｔ15）如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .【思路点拨】外接球的球心到圆柱底面圆周上任意一点的距离都等于球的半径4，球心与圆柱上下底面圆心的连线垂直于圆柱的底面，不妨设圆柱底面的半径为r ，用r 与4表示圆柱的侧面积.【精讲精析】如图，设圆柱的底面半径为r ，上底面的圆心为O '，连接OO ',则OO '垂直于圆柱的上底面，设A 为圆O '上的任意一点，连接O A '，则=4OA ， 224OO r '=-，圆柱的高为22224OO r '=-，圆柱的侧面积2222222224(4)=2244(4)24=32.2r r S r r r r πππππ+-⋅-=-≤=侧当且仅当即222224,42r r r =-=时等号成立.球的表面积为64π.球的表面积与圆柱的侧面积之差为643232.πππ-=【答案】32π 关闭Word 文档返回原板块。

数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

2011-2012年高考数学一轮总复习名师精讲第46讲多面体与球课件

❖ 答案：D
❖ 点评：本题着重考查空间想象能力和运算能力，添加适当的辅助线并结合平面几何知识可圆满解决．
5．如图，O 是半径为 1 的球的球心，点 A、B、C 在球面上，
OA、OB、OC 两两垂直，E、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，
则点 E、F 在该球面上的球面距离是( )
π
π
A.4
[分析] (1)利用三垂线定理证明； (2)利用正四面体性质及三垂线定理先作出二面角的平面角；再利用三角形进行计算； (3)在(2)的基础上求出高，应用体积公式 V＝13Sh.
❖ [解析] (1)证明：过A作AO⊥平面BCD于O，连结BO，DO并延长，分别交DC，BC于E、F，由题知四面体A—BCD为正四面体，故O为△BCD的中心，E、F分别为CD、BC的中点．
❖ ∴BE⊥CD，而BE是AB在平面BCD上的射影，
❖ ∴AB⊥CD.
❖ (2)∵DF⊥BC，∴AF⊥BC， ❖ ∴∠AFD为二面角A—BC—D的平面角．
在△ABC 中，AF＝ 23a，
而
OF＝13FD＝
13×
23a＝
3 6 a.
3
在 Rt△AFO 中，cos∠AFO＝FAOF＝ 63a＝13.
(3)在 Rt△AFO 中，
球面距离是π3R.
❖ 答案：B
❖ 3．设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为
❖ A．3 5 6 ❖ C．5 7 9
B．3 6 8 D．5 8 9
❖( )
❖ 解析：作出球的轴截面图如下图．
设球的半径为 3R，
❖ 点评：本题若不经过计算，凭想象，很可能会得到拼成的多面体为十面体，这是错误的．

高考数学第一轮复习第66课时—多面体与球

课题一：球与多面体一．复习目标：1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式；2．球的表面积；球的体积公式；3．球的截面的性质：．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为 ( )()A 2160 ()B 5400 ()C 6480 ()D 72002．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( )()A 3π ()B 4π ()C ()D 6π3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 61 4．地球表面上从A 地(北纬45，东经120)到B 地(北纬45，东经30)的最短距离为（球的半径为R ）（）()A 4R π ()B R π ()C 3R π ()D 2R π 5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。

例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，BC 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，CA 是球O 的直径，(1) 求证：平面ABD ⊥平面ADC ；(2) 如果球半径是13，D 分BC 为两部分, 且:1:2BD DC =，求AC 与BD 所成的角；(3) 如果:2BC DC =，求二面角B AC D --的大小。

五．课后作业：1．给出下列命题：①正四棱柱是正多面体；②正四棱柱是简单多面体；③简单多面体是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为（）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系是（）()A 24F V += ()B 24F V -= ()C 22F V += ()D 22F V -=3．棱长为a 的正方体中，连接相邻两个面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）()A 33a ()B 34a ()C 36a ()D 312a 4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为（）()A 2a π()B 22a π ()C 23a π ()D 24a π 5．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（）()A 3:1 ()B 1:3 ()C ()D 3:26．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为3Rπ，则,A B 两地的经度之差的绝对值为（）()A 3π ()B 2π ()C 32π ()D 4π 7．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为（）()A 2π ()B 3π ()C ()D 12π 8．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（） ()A 31()B 33 ()C 32 ()D 36 9．如图，,,A B C 是表面积为48π的球面上三点，2,4,60AB BC ABC ==∠=，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（）()A arcsin 6()B arccos 6()C arcsin 3 ()D arccos 310．一个多面体共有10个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形, 求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 .11．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是_____ ___．12．球面上三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形，18,24,30AB BC AC ===，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，(1) 求球的体积； (2) 求,A C 两点的球面距离。

2011届高考数学总复习第一轮课件__人教版(理) 第九章_立体几何9.6 多面体、球

多面体、 9.6 多面体、球基础知识自主学习
要点梳理
1.正多面体的定义 1.正多面体的定义每一个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体. 的凸多面体. 2.当给出的几何体比较复杂， 2.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法当给出的几何体比较复杂运用时，采用“ 的技巧，运用时，采用“ 割 ”或“ 补 ”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（如柱、几何体为简单几何体（如柱、锥）.
方法二
将斜三棱柱补成平行六面体（将斜三棱柱补成平行六面体（如图所
示），设B到面ACC1A1的距离为h，），设到面ACC 的距离为h 则平行六面体的体积为
V = S ACC1A1 h,
∴斜三棱柱的体积是 1 V = S ACC1A1 h, 2 1 又 | AQ |=| PC1 |,∴ S ACPQ = S ACC1A1 , 2 1 1 ∴VB ACPQ = S ACC1A1 h. 2 2 答案 B
割成三个小棱锥，割成三个小棱锥， 1 QVB A1B1C1 = V三棱柱 , 3 又S ACPQ = SQPC1A1 ,
1 ∴VB ACPQ = VBQPC1A1 ,∴VB ACPQ = V三棱柱 . 3 将斜三棱柱分割成三个棱锥之后，（将斜三棱柱分割成三个棱锥之后，体积的计算便
一目了然了. 一目了然了.）
答案 B
探究提高求不规则多面体的体积常用以下四种方法：（1）公式法.根据已知条件直接运用柱、锥、：（1 公式法.根据已知条件直接运用柱、球体体积公式求出相应多面体的体积, 球体体积公式求出相应多面体的体积,要抓好三个环节：一是正确记忆公式；二是求出公式中需要的一是正确记忆公式；量；三是简明正确地运算.（2）转移法.如在计算一三是简明正确地运算. 转移法. 个三棱锥体积时，直接算有困难，个三棱锥体积时，直接算有困难，则可转化一个等底等高的三棱柱进行计算. 底等高的三棱柱进行计算.（3）分割法.如果直接计分割法. 算较困难，算较困难，可将多面体分割为易求出体积的一些小多面体，逐个求体积，再求和. 多面体，逐个求体积，再求和.（4）补形法.将多面补形法. 体再补上一个多面体，体再补上一个多面体，使其变成一个易于计算体积的新几何体，的新几何体，再用新几何体体积减去所补部分的体积.

高三数学简单多面体与球(文)

简单多面体与球（文）一周强化一、一周知识概述1、棱柱、棱锥的定义：（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱；（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥.2、棱柱、棱锥的性质：（1）棱柱：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.（2）正棱锥：①各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形；②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；③（定理）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面与底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.3、长方体的对角线：如图，（1）长方体的对角线的长：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点处三条棱长的平方和；（2）设长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为∠C 1AB 、∠C 1AD 、∠C 1AA 1 ，则有cos 2∠C 1AB ＋cos 2∠C 1AD ＋cos 2∠C 1AA 1=1；（3）长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别为∠C 1AC 、∠C 1AB 1、∠C 1AD 1，则有cos 2∠C 1AC ＋cos 2∠C 1AB 1＋cos 2∠C 1AD 1=2 , 或sin 2∠C 1AC ＋sin 2∠C 1AB 1＋sin 2∠C 1AD 1 =1； 4、棱柱、棱锥有关的公式：（1）棱柱的侧面积：若直棱柱的底面周长为c ，高为h, 则它的侧面积为 S 侧= ch ；斜棱柱的直截面(垂直于侧棱的截面)的周长为c ，侧棱长为l ，则它的侧面积为S侧=cl ；（2）正棱锥的侧面积：若正棱锥的底面周长为c ，斜高为h ＇,则它的侧面积为 S 侧=ch ＇；5、正多面体：（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）正多面体一览表：类型每顶点处的棱数m 每面边数n 棱数E 面数F 顶点数V正四面体 3 3 6 4 4正六面体 3 4 12 6 8正八面体 4 3 12 8 6正十二面体 3 5 30 12 20正二十面体 5 3 30 20 126、（1）定义①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面．②球体：球面所围成的几何体．（2）性质①任意截面是圆面(经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆)．②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且其中R为球半径，r为截面半径，d为球心到截面的距离．（3）球的任何截面都是圆，过球心的截面是球的大圆，解球的问题，一般是作球的大圆，转化为平面图形来解决．（4）在球的有关计算中，由球的半径R，截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角三角形，也是常用的关键图形．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周复习的重点1、棱柱和正棱柱的概念和性质。

2011年高考数学总复习《教考名师伴你行》课件第九章学案8多面体与球

（2）球内几何体的有关性质应与球的知识结合，有时需将几何体分离出来，并将空间问题转化为平面问题.
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＊对应演练＊
若一个底面边长为
6 ，侧棱长为
2
6 的正六棱柱的所有
顶点都在一个球面上，则此球的体积为
.
4 3π(由于正六棱柱的所有顶点都在同一个球面上,则六
棱柱底面圆半径r= 6 ,球心O到底面的距离d= 6 ,球的半
2
∴A︿B= 2 π= π,A︿C= π ,BC= 1·2π= π.
3
42
2
6
3
∴从Ａ点沿球面经Ｂ，Ｃ再回到Ａ点的最短距离为
π + π + π = 4 π.
22 33
故应选C.)
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考点三组合体的有关计算【例3】棱长是a的正方体AC1内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切. （1）求证：两球半径之和为常数；（2）求两球表面积之和的最大值与最小值.
故球心O与A，B，C构成一个正三棱锥O—ABC，如图所示.
由正三棱锥的性质可知顶点O在底面ABC内射影是△ABC的
中心H.
AB=AC=BC= 2 3 ,
∴AH= 2 3
AE=
2× 3
3× 2
2
3 =2.
∴OH= OA2 - AH2 5 - 4 1.
故应选A.
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【评析】（1）球的计算问题通常涉及球的表面积、球的体积、球心到截面圆的距离、球面上两点间的距离等，熟记定义和公式是计算的根本.
︿ AB
的长.
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＊对应演练＊
如图,设球Ｏ的半径是１，Ａ，Ｂ，Ｃ是球面上三点，已
知Ａ到Ｂ，Ｃ两点的球面距离都是 π ,且二面角Ｂ—Ｏ

高三数学第一轮复习：多面体与球(理)人教版知识精讲

高三数学第一轮复习：多面体与球（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多面体与球二. 本周教学重、难点：1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。

2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。

【典型例题】[例1] 如图，地球半径为R ，地面上三点A 、B 、C 的经纬度分别是：A 点是东经︒20，北纬︒60；B 点是东经︒140，北纬︒60；C 点是东经︒140，北纬︒30，试求A 、B 与B 、C 两点的球面距离。

解：∵ A 、B 纬度均为︒60∴ A 、B 在同一纬线上设此纬线圈中心为O 1由已知有︒=∠1201B AO ，且︒=∠=∠6011OBO OAO ∴R R B O A O 2160cos 11=︒== 在B AO 1∆中，︒⋅-+=120cos 21121212B O A O B O A O AB =243R 在AOB ∆中，852cos 222=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ∴85arccos =∠AOB ∴ A 、B 两点的球面距离等于85arccos R∵ B 、C 两点在同一经线上，纬度差为︒30，即︒=∠30BOC∴ BC 两点的球面距离等于6Rπ[例2] 已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为a 2。

（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积。

解：如图（1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA=OC=OS∴ O 为SAC ∆的外心，即SAC ∆的外接圆半径就是球的半径 ∵ AB=BC=a ∴a AC 2=∵ SA=SC=AC=a 2∴SAC ∆为正三角形由正弦定理得a a •ASC AC R 36260sin 2sin 2=︒=∠=因此33276834,36a R V a R ππ===球（2）设内切球的半径为r作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连结EF 则有a a a BF SB SF 27)2()2(2222=-=-=247272121a a a SF BC S SBC =⨯=⋅=∆ 2)17(4a S S S SBC +=+=∆底棱锥全又a a a EF SF SE 26)2()27(2222=-=-=∴3266263131a a a h S V =⨯==底棱锥 ∴a a a S V r 12642)17(663323-=+⨯==全棱锥∴223744a r S ππ-==球[例3] 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中A 和B 的球面距离，A 和C 的球面距离都是2π，B 和C 的球面距离是3π，求球心O 到平面ABC 的距离。

高考数学总复习 9.7多面体、球课件人教版

＝
π 2
，则AB＝2
2 .如图，在正三棱锥O-ABC中，OA＝2，
可求得OO′＝2 3 3，
∴三棱柱的高为4 3 3，
故其体积为12×(2 2)2× 23×4 3 3＝8. 答案：8
已知正八面体的棱长为a，求： (1)两个相邻的面的中心间的距离； (2)两个相对面的距离．
【自主解答】(1)如图，正八面体S－ABCD－P，面SBC 与面SCD的中心分别为E、F，
(4)要求两点的球面距离，应找到过这两点的大圆，然后确定劣弧所对的圆心角，运用弧长公式l＝αR即可求得．
(5)球与多面体的组合问题要多利用对称性质进行求解，画图时可以只画出轴截面图，这样可使解题更加简洁．
1．给出下列命题，其中正确的有( )
①底面是正多边形，而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体；
5．球的体积公式
半径是R的球的体积V＝的表面积S＝
.球的表面积公式：半径是R的球 .
43πR3
4πR2
注意：
(1)球面仅仅是指球的表面，它只有一个面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．球面也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹)．
(2)教材上介绍的推导球的体积公式的一种方法，体现了“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的思想方法，这种方法实际上就是定积分的一种具体运用．“分割——求和——化为准确和”这一重要数学思想方法，在今后进一步学习微积分等近代数学知识时也会用到．
解析：作出多面体的部分图形，如图，可知CD∥FG， AB∥EF，则AB与CD所成的角为∠EFG，
∵△EFG为等边三角形， ∴∠EFG＝ 60°.
答案：60°(或π3)

高中数学专题复习多面体与球知识点例题精讲

多面体与球[高考能力要求]多面体与球是我们生活中最常见、最基本的几何体。

掌握它们的性质，会计算它们的表面积和体积是十分重要的，因此多面体和求球在高考中年年出现，其中多面体的考查依然是近几年高考的重点热点，而球有关的内容考查要求有所下降。

多面体内容考查的重点是：几种特殊多面体的概念（如：锥体、柱体），多面体中有关角度、距离、面积、体积的计算；球内容考查的重点是：球的概念，球面距离、球面积、体积的计算，几何体的内切球与外接球等。

球面距离的计算是球内容中的难点。

其计算步骤一般是：（1）计算线段AB 的长度；（2）计算AB 所对的球心角AOB ∠；（3）利用弧长公式计算大圆弧AB 的长。

关于球的问题，比如球的概念与性质、球面距离等在高考中多以客观题的形式出现。

多面体与球的切接问题，在高考试题中有时出现，也要给予适当的重视。

[例题精讲]【例1】70C 分子中有类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，各面是五边形或六边形，求70C 分子中五边形和六边形的个数。

分析：本题是欧拉公式的应用问题，在计算时应当注意顶点数、从顶点出发的棱数与多面体的棱数；面数及每一面的边数与多面体的棱数的关系。

解：设70C 分子中五边形和六边形分别有y x ,个，70C 这个多面体的顶点数V=70，面数F=y x +，棱数E=105)703(21=⨯，根据欧拉公式可得：2105(70=-++y x ，即)1(37=+y x ；另一方面，棱数是所有边数的一半，于是又得：105)65(21=+y x ，即)2(21065=+y x由（1）（2）可解得：25,12==y x 。

所以70C 分子中五边形有12个，六边形有25个。

【例2】如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线DE=h ，求三棱锥P-ABC 的体积。

分析1：直接求三棱锥的体积比较困难，考虑到DE 是对棱PA 和BC 的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC 和A-EBC ，利用PA ⊥截面EBC ，且∆EBC 的面积易求，从而体积可以求出。

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2011届高三数学精品复习之多面体与球1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。

记SO=h （h< a ），则AO=22h a -，于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a . [举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。

[巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC 的体积为：（） A ． 8 B ．10 C ．20 D ．30 [巩固2]对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则AD BC ⊥ ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的序号是。

（写出所有真命题的序号）2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2；[举例]已知锐角α、β、γ满足：cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ=1,则tan αtan βtan γ的最小ABCD A 1 B 1 C 1D 1C 1 B 1 A 1AC C 2A2B图3-1图3-2A 1A CB 1C 1BH值为。

解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ=1联想到锐角α、β、γ是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ,则tan αtan βtan γ=c b a b c a a c b 222222+⋅+⋅+≥cabb ac a bc 222⋅⋅ =22，当且仅当a=b=c 时，等号成立。

[巩固]已知空间三平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β所成的角都是300，则直线l 与平面γ所成的角是。

3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。

[举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的：（） A ．61 B ．41 C ．31 D ．51 解析：如图，以A 1B 和B 1C 的端点为顶点的四面体是三棱锥A 1-BB 1C ，将原平行六面体视为四棱柱 ADD 1A 1-BCC 1B 1，易见三棱锥的底面积是四棱柱的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是四棱柱的体积的61，选A 。

[举例2] 如图3-1是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．求此几何体的体积．（07高考江西理20）解析：过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ,1CC 于2A ,2C ．如图3-2，原几何体可视为四棱锥B-ACC 2A 2 与三棱柱A 1B 1C 1-A 2BC 2的组合体。

作22BH A C ⊥于H ，则BH 是四棱锥的高，22BH =，21222)21(2131312222=⋅+⋅⋅=⋅=-BH S V A ACC A ACC B 111122111BB S V C B A BC A C B A ⋅=∆-=1；故所求几何体体积为23。

[巩固1]在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，侧面BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，求平面C 1AB 1把棱柱分成两部分的体积的比。

[巩固2] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）A ．32 B ．33 C ．34 D ．23 4．解决多面体表面上两点间距离最小值的问题，常运用侧面展开法，转化为平面图形两点间距离处理。

（多面体展开时要注意各种不同的展开方式）。

[举例] 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，∠ABC=900，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，求沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度。

解析：题中E 、F 分别在AA 1、C 1B 1上，所以“展开”后的图形中必须有AA 1、C 1B 1；故“展开”方式有以下四种：（ⅰ）沿CC 1将面ACC 1A 1和面BCC 1B 1展开至同一平面，如图4-1，求得：EF 2=22211+；（ⅱ）沿BB 1将面ABB 1A 1和面BCC 1B 1展开至同一平面，如图4-2，求得：EF 2=2227+；（ⅲ）沿A 1B 1将面ABB 1A 1和面A 1B 1C 1展开至同一平面，如图4-3，求得：EF 2=227+；（ⅳ）沿A 1C 1将面ACC 1A 1和面A 1C 1B 1展开至同一平面，如图4-4，求得：EF 2=29；可见EF 的最小值为223。

[巩固]在正三棱锥S-ABC 中，SA=1，∠ASB=300，过点A 作三棱锥的截面AMN ，求截面AMN 周长的最小值.5．平面截球所得到的截面是圆，圆心与球心的连线垂直于截面；截面圆的半径、圆心与球心的连线段、球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的“核心”图形。

EFABC1C 1 B 1EACA 1 1FC 1图4-1EAB11FB 1图4-2EAA 11B 1图4-3EACA 1B 1FC 1图ABCPACPBABCD PO O 1[举例]如图，已知A ，B ，C 是表面积为48π的球面上的三点，AB=2，BC=4，∠ABC=600，O 为球心，则二面角O-AB-C 的大小为：（） A ．3π B ．4π C ．arccos33 D ．arccos 1133 解析：球的半径为32；⊿ABC 为直角三角形，斜边BC 是其外接圆的直径，记BC 的中点为O 1，则OO 1⊥面ABC ，在Rt ⊿OO 1B 中，OB=32， BO 1=2，∴OO 1=22；取AB 中点D ，连OD 、O 1D ，则AB ⊥OD ，AB ⊥O 1D ， ∴∠ODO 1是二面角O-AB-C 的平面角，在Rt ⊿ABC 中O 1D=21AC=3 故在Rt ⊿OO 1D 中，OD=11,cos ∠ODO 1=113,∴∠ODO 1= arccos1133,选D 。

[巩固]过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为。

6．求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。

[举例1] 三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA=AC=2，则该三棱锥的外接球的体积是。

解析：思路一：“找球心”（到三棱锥四个顶点距离相等等的点）。

注意到PC 是Rt ⊿PAC 和Rt ⊿PBC 的公共的斜边，记它的中点为O ，则OA=OB=OP=OC=21PC=1，即该三棱锥的外接球球心为O ，半径为1，故它的体积为：π34 方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC 是其外接球的直径。

[举例2]正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则这个球的表面积为。

解析：正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，PO=AO=R ，PO 1=4，OO 1=R-4，或OO 1=4-R （此时O在PO 1的延长线上），在Rt ⊿AO 1O 中，R 2=8+(R-4)2得R=3，∴球的表面积S=36π[巩固1] 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是。

[巩固2] 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（）（07高考陕西理6）（A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 123[迁移]点P 在直径为2的球面上，过P 两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是。

7．球面上两点间的球面距离是“球心角”（两点与球心的连线段的夹角）的弧度数与球的半径的积。