函数单调性方法和各种题型

(一)判断函数单调性的基本方法

Ⅰ、定义法：

定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明

Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：

在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数

例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性

Ⅲ、图像法：

说明：⑴单调区间是定义域的子集

⑵定义x

1、x

2

的任意性

⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数

自变量与函数相对→单调减函数

例3：y＝|x2＋2x－3|

练习：

(二) 函数单调性的应用

Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值）

根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论：

（1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。

（2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。

例1：求下列函数的值域

(1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2]

(2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4]

练习题：

1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在

[a,b]上的最小值是 ( )

2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是

( )

3、(

)有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4

-44

-00

4 4、](()(

)的值域为时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、⎢⎣⎡⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、求函数y=-x-6+

的值域

x -1

Ⅱ、利用函数单调性求单调区间

1、()________..62是的单调区间函数-+=x x x f

2、的递增区间是函数)4-lg(52x x y -= .

3、若函数22()82,()2,g x x x f x x =+-=-则(())y g f x =的单调区间是 .

Ⅲ、利用函数单调性求未知数范围

1. 函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是

2、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．

3、

在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。 A ．

B ．

C ．

D ． 4、函数

,当 时,是增函数,当 时是减函数,则f(1)=_____________

5、函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0

Ⅳ、利用函数单调性解不等式

1、（1）若f(x)在R 上是减函数，试比较f(2)与f(a 2-2a+4)的大小。

（2）若f(x)在R 上是减函数，试比较f(a 2)与f(-2a)的大小。

2、已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0则a 的取值范围是( )

A.(22，3)

B.(3，10)

C.(22，4)

D.(－2，3) 3、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若

0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。

4、设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式

的x 的取值范围.

能力突破： 1．已知(31)4,1()log ,1a

a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上满足1212()()0f x f x x x -<-，那么a 的取值范围是 .

2.已知()f x x a x a x b x b =++-+++-，若存在正数m 使得()0f m =,则不等式()0f x ≤的解集是 .

3.解方程3381050.(1)1

x x x x +--=++（提示：已知()f x 是单调函数，若1212()().f x f x x x =⇒=）

4.定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当x ＞0时，1)(>x f ，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.

（1）求证：f （0）=1；

（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；

（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；

（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.