变分原理的直接方法

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结构动力学8

{u}——有限元节点系位移向量。当采用时域逐步积分法进行分析，阻尼矩阵[C]可以采用Rayleigh阻尼阵。
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度阵和质量阵的方法更具通用性。前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间的节点上连续（连接）。在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个节点上有两个自由度，横向位移和转角。在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义的量（位移和转角）来形成的。

建模方法

五，灰色系统的建模方法信息不完全的系统称为灰色系统。灰色系统可分为本征灰色系统和非本征灰色系统。
本征灰色系统本征灰色系统的基本特点是：没有物理原型，缺乏建立确定关系的信息，系统的基本特征是多个互相依存、互相制约的部分，按照一定的序关系组合，且具有一种或多种功能。例如，社会：经济、农业、生态等均是本征灰色系统。非本征灰色系统有些信息暂时还不确切，或尚未获得
2、人工神经网络的分类 (1)前馈(多层)网络
在前馈神经元网络中，人工神经元(也叫做结点或处理单元)被组织成前馈方式(常常以层的形式)，即每个神经元从外部环境或别的神经元接收输人，但没有反馈。
(2)反馈(递归)网络
3、人工神经网络的工作过程
人工神经网络的工作过程主要分为两个阶段： (1)学习期，此时各计算单元传递函数不变，其输出由两个因素决定，即输人数据和与此输入单元连接的各输入量的权重。因此，苦处理单元要学会正确反映所给数据的模式，唯一用以改善处理单元性能的元素就是连接的权重，各连线上的权值通过学习来修改。 (2)工作期，此时连接权固定，计算神经元输出。编制神经网络程序，主要是确定： (1)传递函数(即决定闭值的方程)； (2)训练计划(即设置初始权重的规则及修改权重的方程) (3)网络结构(即处理单元数，层数及相互连接状况)。
窗口售票服务系统的Petri图
三、系统辨识的建模方法 1962年扎德(L．A．zader)就作了以下定义：“辨识就是在输入和输出数据的基础之上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。” 1978年L．Lj”n2给辨识下了一个比较实用的定义：“辨识有三个要素：数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。”

变分法

x1
x0
F ( x) ( x)dx 0
(1.18)
则在 [x0,x1] 上就有F(x)≡0. 证明用反证法
1.3.2 欧拉方程

x1
[ y] F ( x, y, y )dx
x0
x1
x1
x0
F y F ydx y y b a
数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不
变条件
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作 φ[y(x)]或φ(y)等。 • 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
1.1.2 泛函自变函数的变分
• 函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变量x微分。 • 泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy • δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
x0 x0
x1
x1
(dy ) d ( y )
dy d ( y ) , 或 ( y) ( y) dx dx
3.注意：d ( xy) ydx xdy
( xy) x y
1.2.2 泛函极值的条件
泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果
(u v) u v,
(uv) u v v u, (u v) (v u u v) / v 2
2
变分号可由积分号外进入积分号内
x1 x1 x0 x0
F ( x, y, y)dx F ( x, y, y)dx

多普勒雷达资料三维变分直接同化方法研究

多普勒雷达资料三维变分直接同化方法探究一、引言多普勒雷达(Doppler radar)是一种常用于天气预报和气象探究的重要工具。

它通过测量气象目标的径向速度和回波功率，能够提供大气中的风速、涡度等重要资料，对于天气的分析、预报和短临天气预警具有重要意义。

然而，由于天气系统的复杂性和多普勒雷达观测的局限性，单独使用多普勒雷达资料可能无法准确地描述和猜测大气的变化。

因此，将多普勒雷达资料与数值天气预报模型相结合，利用同化方法对多普勒雷达资料进行三维变分直接同化，可以提高天气预报的准确性，增强对天气系统的理解。

二、多普勒雷达观测资料的特点多普勒雷达观测资料是通过接收回波信号的频率偏移来测量气象目标的径向速度。

与传统的天气雷达资料(例如，回波强度、径向速度)相比，多普勒雷达资料具有以下特点：一是近地面的观测精度较高，能够提供较准确的径向速度；二是三维空间上的观测区分率较低，受限于雷达的技术条件和地形的影响。

因此，多普勒雷达观测资料需要通过合适的同化方法来融合到数值模型中，以得到空间上的连续、准确的三维风场等资料。

三、三维变分直接同化方法的基本原理三维变分直接同化方法是将观测资料与模型状态变量进行最优化耦合的方法。

详尽而言，它通过最小化观测资料与模型资料之间的差异来更新模型状态变量，使模型的状态更加贴近于实际观测状况。

这一过程分为两个阶段：解耦阶段和耦合阶段。

在解耦阶段，通过观测算子将模型状态变量转化为观测空间上的预估；在耦合阶段，通过求解代价函数最小化的问题，更新模型的状态变量。

详尽的数值方法包括变分方法、卡尔曼滤波方法等。

四、多普勒雷达资料三维变分直接同化方法的关键问题多普勒雷达观测资料的特点决定了在同化过程中需要解决一些关键问题。

起首，由于雷达观测数据的噪声和采样不匀称性，需要对观测数据进行质控，以去除异常数据和杂波。

其次，多普勒雷达观测数据具有非线性和非高斯性，需要引入适当的变换方法(如变分变换、对数正态变换等)将其转化为线性高斯形式。

fluent中文攻略笔记（已读，不错）

单精度和双精度求解器在所有的操作系统上都可以进行单精度和双精度计算。

对于大多数情况来说，单精度计算已经足够，但在下面这些情况下需要使用双精度计算：（1）计算域非常狭长（比如细长的管道），用单精度表示节点坐标可能不够精确，这时需要采用双精度求解器。

（2）如果计算域是许多由细长管道连接起来的容器，各个容器内的压强各不相同。

如果某个容器的压强特别高的话，那么在采用同一个参考压强时，用单精度表示其他容器内压强可能产生较大的误差，这时可以考虑使用双精度求解器。

（3）在涉及到两个区域之间存在很大的热交换，或者网格的长细比很大时，用单精度可能无法正确传递边界信息，并导致计算无法收敛，或精度达不到要求，这时也可以考虑采用双精度求解器。

网格文件是包含各个网格点坐标值和网格连接信息2，以及各分块网格的类型和节点数量等信息的文件进程文件（journal file）是一个FLUENT 的命令集合，其内容用Scheme 语言写成。

可以通过两个途径创建进程文件：一个是在用户进入图形用户界面后，系统自动记录用户的操作和命令输入，自动生成进程文件；另一个是用户使用文本编辑器直接用Scheme 语言创建进程文件，其工作过程与用FORTRAN 语言编程类似。

File -> Write -> Start Journal系统就开始记录进程文件。

此时原来的Start Journa（l 开始进程）菜单项变为Stop Journal（终止进程），点击Stop Journal（终止进程）菜单项则记录过程停止。

边界函数分布文件（profile file）用于定义计算边界上的流场条件，还可以将边界网格写入单独的文件，相应的菜单操作是：File -> Write -> Boundary Grid在打开的文件选择窗口中保存文件即可。

在用户对网格不满意时，可以先将边界网格保存起来，然后再用Tgrid 软件读入这个网格文件，并重新生成满意的立体网格。

最优控制问题的数值方法

最优控制问题的数值方法最优控制问题是应用数学中的一类重要问题，涉及到优化某些目标函数的控制策略。

这类问题在很多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学、环境科学等。

为了求解最优控制问题，研究者们开发了多种数值方法，以提供高效准确的策略。

一、动态规划法动态规划法是求解最优控制问题中最常用的方法之一。

其基本思想是将问题划分为若干个阶段，在每个阶段选择最优的控制策略，以达到整体的最优目标。

动态规划法的核心是计算值函数或状态函数，通过递归的方式实现最优解的求解。

在动态规划法中，首先需要建立状态转移方程，描述状态之间的变化关系。

然后通过迭代求解，逐步更新值函数，直到收敛为止。

具体的计算方法可以根据不同的最优控制问题进行调整，以提高计算效率。

二、最优控制问题的间接方法除了动态规划法，最优控制问题还可以通过间接方法求解。

间接方法主要基于变分原理，通过构建哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来求解问题。

该方法将最优控制问题转化为一个偏微分方程，通过求解该方程得到最优解。

在应用最优控制问题的间接方法时，需要确定合适的控制参数，并在求解偏微分方程时进行迭代计算。

这种方法的优势在于能够处理一些非线性和约束等较为复杂的情况，但同时也带来了计算复杂度较高的问题。

三、最优控制问题的直接方法最优控制问题的直接方法是另一种常用的数值求解方法。

它直接构造控制策略的参数化形式，并通过参数调整来实现目标函数的最小化。

该方法需要事先构造一个合适的优化模型，并选择合适的优化算法进行求解。

在直接方法中，常用的优化算法有梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。

通过迭代计算，优化参数逐步调整，直到达到最优解。

直接方法不需要建立状态函数或值函数，因此可以简化运算，但需要根据具体问题进行参数化建模和算法选择。

总结：在求解最优控制问题时，可以根据问题的特点选择适合的数值方法。

动态规划法适用于离散的最优控制问题，通过递归计算值函数实现最优策略的求解。

间接方法利用变分原理将问题转化为偏微分方程，并通过迭代计算获得最优解。

有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用

有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用有限元法是采用直接法计算变分问题的重要方法，在土木工程计算领域的分析软件如ANSYS、Workbench、Autobank等均以变分法为理论基础。

本文将就有限元法的变分原理作一简单梳理，并采用Autobank软件建模分析某土石坝的渗流场及应力变形，计算结果表明大坝应力变形符合工程实际，计算分析对大坝设计工作起到了指导作用。

标签：有限元；变分法；Autobank；土石坝设计；应力变形分析引言随着坝工技术的发展，土石坝建设高度越来越高，其应力和变形计算越来越关系到大坝安全。

因此，结构计算分析将会在土石坝的设计和科学研究中发挥越来越重要的作用。

有限元法的理论基础为变分法，变分法历史悠久，是近代发展起来的一门重要数学分支，在工程技术及科学研究中有着广泛的应用。

变分法起源于泛函的极值问题，其关键定理是欧拉-拉格朗日方程。

Autobank软件应力变形分析模块是以变分法为理论基础开发的一款有限元分析软件，提供线弹性模型、非线性模型（如邓肯E-B、E-μ模型）等，在水利工程设计中有着广泛的应用。

1、有限元法简介目前在水利工程结构分析领域常用的数值计算方法有：有限差分法FDM、有限元法FEM、边界元法BEM、离散元法DEM等，其中有限元法是应用最广泛的方法。

有限元法是以变分原理为基础发展起来的，是一种高效的数值计算方法。

工程计算和科学研究领域，常常需要求解各类常微分方程（组）、偏微分方程（组），而许多微分方程（组）的解析解很难得到，甚至无法求出。

使用有限元法将微分方程离散化后，编制计算机程序辅助求解，是一种可行且高效的方法。

2、有限元法的变分原理2.1 泛函及其极值设有泛函的极值问题：研究泛函在某函数类中的极值问题即变分问题，例如最小曲面问题、悬链线问题、边坡稳定最小安全系数的滑弧问题、重力坝的最优断面问题等。

研究泛函极值的方法即变分法。

直接法是求解泛函极值的近似方法，对于无法求解解析解的变分问题及工程计算，有着及其重要的作用。

7第5章哈密顿原理

拉格朗日函数为
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量看作一阶小量，则由公式(1)看出，是二阶小量，在略去四阶小量后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。

经典物理学中的变分问题

经典物理学中的变分问题变分问题是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础性问题。

它通过一个函数的最大值或最小值来描述物理系统的性质。

变分问题的研究直接涉及到很多领域的问题，包括力学、电磁学、热力学等等。

本文将重点讨论经典物理学中的变分问题，介绍变分问题的基本定义和求解方法，同时介绍变分问题在物理学中的应用。

1. 变分问题的基本定义变分问题是一个在函数空间内的极值问题，它是一种求解特定函数的变化情况和性质的方法。

通常情况下，变分问题描述的是给定函数的最小值或最大值。

它的基本形式为：Minimize J(y) = ∫ a b f(x, y, y') dx其中，f(x, y, y')是与函数y及其导数有关的函数，a、b是区间端点。

变分问题不仅是数学中的一个重要问题，同时也是物理学中的一个基础性问题。

物理学中的变分问题主要源于拉格朗日力学和哈密顿力学，通过解决变分问题可以得到物理系统的规律和性质。

2. 变分问题的求解方法为了求解变分问题，需要采用数学中的一些工具和方法。

下面是求解变分问题的一些基本方法：2.1 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用来求解变分问题的一种重要方法。

它的基本形式为：∂f/∂y- d/dx (∂f/∂y')=0其中 f(x, y, y')是拉格朗日量，y(x)是定义在区间[a,b]上的未知函数。

欧拉-拉格朗日方程的解是y(x)的一条光滑曲线。

2.2 经典极小化方法经典极小化方法是另一种用来求解变分问题的方法，它的基本思想是极小化给定函数J(y)。

此方法的优点是可以求解非线性、高阶和多维问题，但缺点是计算量较大。

2.3 线性变分法线性变分法是一种求解变分问题的特殊方法，仅适用于一些简单的线性问题。

线性变分法的基本思想是将变分问题转化为一个线性问题，然后再求解它。

3. 变分问题在物理学中的应用变分问题在物理学中有广泛的应用。

下面介绍几个典型的例子：3.1 悬链线问题悬链线问题是最早的变分问题之一。

navierstokes方程的三种迭代法

navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。

以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。

它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。

这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。

有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。

它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。

通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。

这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。

有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。

它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。

通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。

这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。

以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。

GAMBIT 网格划分基础

第二篇预处理技术第三章 GAMBIT网格划分基础GAMBIT软件是Fluent 公司提供的前处理器软件，它包含功能较强的几何建模能力和强大的网格划分工具，可以划分出包含边界层等CFD特殊要求的高质量的网格。

GAMBIT 可以生成FLUENT6、FLUENT5.5、FIDAP、POLYFLOW等求解器所需要的网格。

使用Gambit 软件，将可大大缩短用户在CFD应用过程中建立几何模型和流场以及划分网格所需要的时间。

用户可以直接使用Gambit软件建立复杂的实体模型，也可以从主流的CAD/CAE系统中直接读入数据。

Gambit软件高度自动化，可生成包括结构和非结构化的网格，也可以生成多种类型组成的混合网格。

如果你熟练掌握了GAMBIT, 那么在CFD应用中你将如虎添翼。

让我们赶紧进入GAMBIT的学习吧。

3.1 对连续场的离散化处理现阶段对非定常（完全）N-S方程的直接数值求解往往受到计算机运行速度和内存大小的限制尚不现实，而且工程上对瞬时流场也不感兴趣，因此在实际应用中一般是从简化的数学模型出发，并要在简化模型的复杂程度和可处理的几何外形的复杂程度之间作出某种权衡，要求对模型的合适程度和计算的可行性（物理上和几何上）作出判断。

目前计算流体力学完全可以模拟具有复杂几何外形的简单物理问题或者模拟具有简单几何外形的复杂物理问题，而不能完全模拟既具有几何复杂性又具有物理复杂性的问题，对此仍在进一步发展中。

完全N-S方程按时间平均并按从高到低的层次可简化成雷诺平均N-S方程、边界层方程、无粘非线性方程（如Euler方程、位势方程、跨音速小扰动方程）、无粘线性方程（如Lap1ace方程）等。

从数值求解上述控制方程的进程来看，20世纪60年代解决了无粘线性方程的求解，已能用无粘线性方程模拟相当复杂外形的小攻角绕流，并有大量的实用软件；20世纪70年代主要集中于无粘非线性全位势方程和Eu1er方程的求解，已能用于模拟许多复杂外形的亚、跨、超音速绕流；20世纪80年代较集中于求解雷诺平均N-S方程及其它近似的N-S方程，着重解决定常问题，已取得了丰硕的成果，并趋于成熟；20世纪90年代开始了非定常粘性流场模拟的新局面，并且它已逐渐成为计算流体力学的发展主流。

变分法

一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，如果对于C的任一元素y(x) 在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J=J[y(x)].必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数y(x)本身的变化（即从A到B的不同曲线）所引起的．它的值既不取决于某一个x值，也不取决于某一个y值，而是取决于整个集合C中y与x的函数关系．最速降线落径问题：已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B 时，所需的时间T最小．（重力势能完全转化为动能，在B点的速率可以求出来）泛函的变分、泛函的增量、变分问题分别类比于函数的微分、函数的增量、微分问题在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法．泛函的极值――变分法对于不同的自变量函数 y(x),与此相应的泛函J[y(x)]也有不同的数值。

找出一个确定的自变量函数y(x),使泛函J[y(x)]具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为泛函的极值．引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函J[y(x)]的极小值问题．物理学中常见的有光学中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．所谓的变分法就是求泛函极值的方法．研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为y(x)；并定义与函数曲线y(x)邻近的曲线（或略为变形的曲线）作为比较曲线，记为y(x,ε)=y(x)+εη(x).其中ε是一个小参数；η(x)是一个具有二阶导数的任意选定函数，规定它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将η(x)固定，而令ε变化，这样规定的好处在于：建立了由参数ε到泛函J[y(x)]值之间的对应关系，因此泛函J[y(x)]就成为了参数ε的普通函数．原来泛函的极值问题就成为普通函数对ε的求极值的问题．同时，函数曲线y(x)的变分定义为δy=η(x)dε泛函的变分定义为在极值曲线y(x)附近，泛函J[y(x)]的增量，定义为ΔJ=J[y(x,ε)]-J[y(x)]依照上述约定，当ε->0时，泛函增量ΔJ的线性主要部分定义为泛函的变分，记为δJ。

变分法

13
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小。再以最简单的轴向受压的杆件为例，总势能包括外力势能和弹性体的变形势能，这两个势能都以杆件顶部的位移为参数，随位移增大，弹性体的应变能增大，而外力势能减小，其变化曲线如图所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x
15
使用最小势能原理的解题方法：直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的，相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
ui 0
0 ain
19
迦辽金法 (Galerkin)
基本思路：寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这些容许函数的组合构造一个试函数。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
最小势能原理�� 在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。

第3章有限元分析的数学求解原理-三大步骤

U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi

0 X
y
¼ 1-9 Í

ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j

x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移最小势能原理：中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中

U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是的转置矩阵。
T

*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法

数学中的泛函不等式

数学中的泛函不等式泛函不等式（functional inequality）是数学中一类重要的不等式，它涉及到函数和数学分析中的泛函。

泛函不等式在许多领域中都起到关键作用，如泛函分析、偏微分方程等。

本文将介绍泛函不等式的基本概念、性质以及一些典型的应用。

一、泛函不等式的定义在数学中，泛函不等式可以被定义为对于一类函数的不等式约束。

具体而言，设F为定义在某个函数空间上的泛函，若存在某个不等式g(x)≥0，对于任意符合特定条件的函数x，都有F(x)≥g(x)，则称F为泛函不等式。

二、泛函不等式的性质1. 保号性：泛函不等式中的不等号通常是非严格的，即F(x)≥g(x)。

这是由于在实际问题中，往往只需要找到一个函数解满足不等式，而不需要求出所有满足不等式的函数。

2. 线性运算：若F和G都是泛函不等式，且a和b为实数，则aF(x)+bG(x)也是泛函不等式。

3. 相容性：泛函不等式具有相容性，即若F(x)≥g(x)且g(x)≥h(x)，则有F(x)≥h(x)。

三、泛函不等式的应用泛函不等式的应用非常广泛，下面介绍几个典型的例子。

1. 弹性力学中的应用：弹性力学研究物体的变形和应力分布，其中涉及到各种泛函不等式。

例如，虚位移原理、极大极小位移原理等都是基于泛函不等式的思想建立起来的。

2. 偏微分方程中的应用：泛函不等式在偏微分方程中扮演着重要的角色。

利用泛函不等式可以证明解的存在性、唯一性以及稳定性，进而研究偏微分方程的性质和行为。

3. 几何学的应用：几何学中的一些最优性问题可以转化为泛函不等式的问题。

例如，布鲁诺·贝尔曼最大值原理就是一种典型的泛函不等式在几何学中的应用。

四、泛函不等式的解法解决泛函不等式可以采用不同的方法，具体选择方法取决于具体问题的性质。

1. 直接证明法：通过对泛函不等式进行变换，结合数学分析中的技巧，直接证明不等式的成立。

2. 极大极小法：通过找到泛函的上界和下界，以及极大值和极小值，来求解泛函不等式。

弹性力学变分原理

fiuikdv
tiuik ds
s ij
ikj
dv
V
S
V
证明：
因为
s是静力容许的
ij
fiuik dv
s ij
,
juik
dv
V
V
s ij
n
juik
ds
us k
ij i ,
j
dv
S
V
移项后
tiuik ds
s
ij
k ij
dv
S
V
fiuikdv tiuikds isjikj dv
又 I （ b f ( x, y, y )dx） a
与上式比较，可得：
b
b
（ f (x, y, y' )dx） f (x, y, y' )dx
a
a
结论：变分运算和积分运算可以交换次序
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都不大于或都不小于y(x0)，即
三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增量可以写成
f f ( x, y y, y y ) f ( x, y, y )
f y f y ...
y y
上式中,右边的前两项是 f 的增量的主部，定义为 f 的一阶变分，表示为
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
V
S
ij (ij ij )dv
V

变分法初步

理学院邓胜华第19章变分法初步引言：从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似．常用近似解法涉及：有限差分法、模拟法、变分法等．有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．变分法：是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中。

本课主要介绍经典变分法的基本概念和理论．变分法是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法，变分问题即是求泛函的极值问题，把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解。

变分法的优点:(1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；(2)变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；(3)变分法是求解数学物理定解问题常用的近似方法。

基本思想：是把数学物理定解问题转化为变分问题。

由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；(4)变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．19.1 变分法的基本概念变分法变分问题变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题．泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．为了说明泛函概念先看一个例题：考虑著名的最速降线落径问题。

基于变分问题直接法原理设计圈条盘螺旋形曲线斜管

ｄｐａｉｔｆｈｇ —ｐｅｎｆｃｕｒｃｓｔｍｏｅｄａｒｍｅａｔｂｌｙｏｉｈｓｅｄｍａｕａｔｒｐｏｅｓｏ。ｄｍｒｗｆａ．ｉｅＫｅｒｓｙｗｏｄ：ｄａｒｍｅａｏｌｒｃｅｉｅａａｏａｔｏｒｗｆａ；ｃｎｃｉ；ｓｒｗｐｐ；ｖｒｔｎｍｅｈｄｅｙｉｉｌ
１圈条过程运动分析
圈条过程中棉条经过的导管为螺旋型斜管，其与棉条接触的母线为一空间曲线，图１如所示．它与棉条在管道内的滑动曲线一致，故此曲线可表示为时间ｔ的参数方程：
㈩
眼及筒底乱条有明显的改善作用，对棉条在斜管中但
的运动受力情况只是做了简要定性分析．为满足高速并条机出条要求，降低圈条盘螺旋形曲线斜管堵眼频率以及改善条筒乱条几率，本文对棉条圈条过程定量地进行了动力学分析，以棉条所受曲线斜管摩擦力最小为目标函数，基于变分问题直接法法原理设计了圈条盘螺旋形曲线斜管．式中，为微段棉条通过导管的时间．质量为ｍ的棉条微段，图１中以点表示．在从工艺角度与产品质量考虑，棉条微段在导管内应做相对匀速滑动，相对滑动速度为：
ｂｓｄｏｈｈｏｙｏｅｖｒａｉｎｉｃ — ｔｏ．Ｔｈｓｓｒｗｉｅｍａｅｓｆｅｔｆｇｆｅｔｆｍｏｌａｅｎｔｅｔｅｒｆｈａｔａｄｒｔｔｉｏｌｅｍｅｈｄｉｃｅｐｐｋｓｕｅｏｎｒｕａｅｆｃｏｒｌｙｃｉｌｒ — ｉｇｃｎｃｆｒｔｋｉｔｎｍｉｉｍ．Ｔｅｒｓｌｓｏｈｔｔｅｃｔｎｓｖｒｉｏｔｕｍｏｔｌ，ｉｄｃｅｓｓｎａｏｅｍａｅｆｃｉｎｍｕｏｒｏｈｅｕｔｈｗｓｔａｏｔｌｅｓｕｐｔｓｏｈｙｔｅｒａｅｈｏｉ

1s3p变分计算方法

P p s 1)31(态能量的变分计算氦原子(含类氦离子)的非相对论性哈密顿为2222222212121212121212222p p Ze Ze e Z Z e H m m r r r r r r a⎡⎤∇∇=+--+≡-+---+⎢⎥⎣⎦ (1)其中Z 为核电荷数，能量单位为哈特利，即 eV a e 6.132/2⨯≈(方括号中的各量无量纲)。

对于氦原子的()p s 31组态，有两个谱项，即P 1和P 3。

利用对角和方法或拉卡公式，可以导出这两个谱项能量的表达式。

实际上，按照1122()n n 组态的拉卡公式，)()()()(2211LS E n I n I LS E C ++= ， (2a))12)(12()(21++= LS E C∑⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯k k L n n F k L k k ),(000000)1(2211)(12212211 ⎥⎥⎦⎤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+),(000)1(2211)(1212221n n G k L k k S ， (2b) ()p s 31组态3P 谱项的能量为()()()()P E p I s I P E C 3331++=，()()()()∑⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k C p s F k k k P E 3,1101100100100000133()()()⎥⎥⎦⎤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p s G k k k 3,1100110100012， ()()∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k p s F k k k 3,11011001001000003 ()()∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k p s G k k 3,1100110100032，对第一个求和，由000000k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的条件：00k ≤≤，可知只有0k =一项，对第二个求和，由010000k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的条件：11k ≤≤，可知只有1k =一项，因而()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p s F P E C3,1010110010001000000303()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p s G 3,1110011010100312，()()()()p s G p s F 3,1313,110-=，即)3,1()3,1()3()1()()1(31)0(3p s G p s F p I s I P E -++= (3) 同理)3,1()3,1()3()1()()1(31)0(1p s G p s F p I s I P E +++= (4) 其中)(2)()1(101121101x r Z x s I s s m s m sψ-∇-ψ= (5-a))(2)()3(2322223x r Z x p I s s m pm m pmψ-∇-ψ= (5-b)2122212211230021222122312100)0()()(1)()(1)3,1(dr dr r r r R r R r dr dr r r r R r R r p s F s p p s ⎰⎰⎰⎰∞∞>∞∞>== (5-c) 21222121132311002)1()()()()()3,1(dr dr r r r R r R r R r R r r p s G s p p s ⎰⎰∞∞><= (5-d) 式中),m i n(21r r r =<, ),max(21r r r => (6) )1(s I 和)3(p I 是单电子积分，)3,1()0(p s F 和)3,1()0(p s G 分别是直接积分和交换积分。