奥数:完全平方数

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小学中级奥数第26讲-完全平方数

小学中级奥数第26讲-完全平方数

课后作业
课后作业 <作业6>
从1到1997的所有自然数中,乘以90后是完全平方数的数共有多少个?
平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
精讲7(20+8)2
(12-2)2
= 202 +2×20×8+ 82 = 400 +320+ 64
= 122 -2×12×2+ 22 = 144-48+ 4
= 784
= 100
完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式:
(X-Y)2=X2 - 2XY+Y2
精讲1
解法精讲
02 = 0
52 = 25
102 = 100
252 = 625
完全平方数
精讲2 尾数特征1
完全平方数的 个位只可能是 0,1,4,5,6,9
常用完全平方数表
尾数特征2
奇数平方 个位数字是奇数 十位数字为偶数
精讲3 尾数特征3
偶数平方 个位数字 是偶数
常用完全平方数表
尾数特征4
两个相临平方数 之间不可能再有 平方数
1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是 的平方。
12345678987654321×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)

的平方。
写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。
从1到2011中有几个有偶数个因数的整数?
最小数的最小值为

一个数的完全平方有39个约数,求该数的因数个数是多少?

小学五年级奥数完全平方数

小学五年级奥数完全平方数

第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。

例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,……判断一个数是否为完全平方数,我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积,这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料:毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、4、9、16……等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫“正方形数”,如图所示:分别记各图所示的小石子个数为i a (i =1、2、3、……、n)不难发现: 1a =1=212a =1+3=4=223a =1+3+5=9=234a =1+3+5+7=16=24………n a =1+3+5+…+(2n -1)=[]2)1(1n n ⨯-+=2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来,得到一个定理:从1开始,任何连续个奇数之和都是完全平方数。

(注:这个和其实就是奇数个数的平方)【例一】 求自然数列前n 个奇数的和:1+3+5+7+……+(2n -1)一讲一练:(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球,第一次从袋子里取出1只小球,第二次从袋子里取出3只小球,第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球,如果剩下的球不够取,则将剩下的球留在袋中。

那么,最后袋中留下多少个球?【例二】 1234567654321×(1+2+……+6+7+6+……+2+1)是多少的平方?练习一:1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方?练习二:2A=1008×B,其中A,B都是自然数,B的最小值是()。

【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个?约数个数是奇数的数有什么特征?一讲一练: 360、3969、7744各有多少个约数?【例四】(01ABC)少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣。

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式一.知识要点1.乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。

公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2.基本公式完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2立方和(差)公式:(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广(1)多项式平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

(2)二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4.公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)5.由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n由公式的推广③可知:当n为正整数时a n-b n能被a-b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n-b2n能被a+b及a-b整除。

奥数数论:完全平方数要点及解题技巧

奥数数论:完全平方数要点及解题技巧

奥数数论:完全平方数要点及解题技巧一、完全平方数的定义:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。

二、完全平方数特征:1.末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质:性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。

性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。

性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。

性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。

性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。

性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

性质11:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数。

性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若n^2<k^2<(n+1)^2,则k一定不是整数。

性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

小五奥数-完全平方数

小五奥数-完全平方数

一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。

平方数有些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停。

这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。

开始时,灯泡全部是暗的;第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗。

第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明,...,以此类推,第n秒钟,凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,每200秒钟为一周期,即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态。

问:第200秒时明亮的灯泡有多少?事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的的灯泡将变明亮。

由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡变亮)起到200秒止,中间的平方数有4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的。

下面举例来讨论平方数的一些问题。

从1~1989的自然数中,完全平方数共有个。

试一试在324,897,211,247,546中,哪些数是完全平方数。

46035乘以一个自然数a,是一个平方数,a最小是多少?试一试203500乘一个自然数a,是一个平方数,求a最小是多少?下面是一个算式:11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方?请找出符合下列性质的所有四位数:(1)它是一个平方数(2)开始两位数的数字要相同(3)最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数,它是一个完全平方数,而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数,这样的自然数是自然数的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49,...,问第612个位置的数是几?下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字。

小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)

小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固、8,88,888,8888…中有完全平方数吗?
二、完全平方数的等价条件:奇数个因数
注:计算一个数的因数先把这个数分解质因数,然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2.完全平方数的约数一定有奇数个;有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1;
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1;
偶数的平方是4的倍数,奇数的平方除以4余1。
(二)一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m,n都是自然数,且n2 126m,则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二:除以3或4只能余0或1
注:奇数的平方是奇数,偶数的平方为偶数,而奇数的平方除以4余1,偶数的平方能被4整除
例1、形如11,111,1111,11111,…的数中有没有完全平方数?
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数,即444444……(2018个4),A是不是某个自然数B的平方?如果是,写出B;如果不是,请说明理由.
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

完全平方数奥数题目

完全平方数奥数题目

完全平方数奥数题目摘要:一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文:完全平方数是一个数学概念,它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。

例如,4、9、16 等都是完全平方数,因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。

完全平方数具有一些有趣的性质,例如,如果一个数是完全平方数,那么它的因数一定是成对出现的。

在数学中,完全平方数有着广泛的应用。

例如,在求解完全平方数时,我们可以使用公式:如果一个数的平方根是整数,那么这个数就是完全平方数。

此外,完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。

勾股定理指出,在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此,如果一个数是完全平方数,那么它一定可以表示为两个整数的平方和。

在概率论中,完全平方数也有着重要的应用。

例如,假设有一个袋子,里面有若干个红球和白球,我们想要取出一个红球。

如果我们随机地从袋子中取出一个球,那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。

如果我们想要计算这个概率的平方,那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率,这些概率可以表示为完全平方数。

在奥数比赛中,完全平方数也是一个常见的考点。

例如,可能会给出一个数,要求我们判断它是否为完全平方数。

或者,可能会给出两个数,要求我们求它们的平方和。

对于这类题目,我们需要熟悉完全平方数的性质,并且能够灵活运用它们来解决问题。

总的来说,完全平方数是一个有趣的数学概念,它在数学和概率论中都有着广泛的应用。

五年级奥数春季班第8讲 完全平方数

五年级奥数春季班第8讲 完全平方数

第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1:完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9;性质2:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数;例1.(1)写出12、22、32、……、202的得数,观察这些得数的个位,并总结一下完全平方数的个位有什(2)根据刚才发现的规律,判断20737是平方数吗?为什么?(3)进一步判断1000是平方数吗?1004000呢?解:(1)如果完全平方数末位是0,那么它从个位开始,连续的0的个数一定是偶数个。

例2.(1)10001到11000之间存在哪些数的平方?写出这些数;(2)非零自然数的平方按大小排列成14916253649……,则第92个位置的数字是。

解:(1)1002=10000,1042=10816,1052=11025,所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。

(2)1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字,100、121、……、直到312=961,一共有22×3=66个数字,前面共有66+15=81个数字,从322=1024开始,每个平方数有4个数字,32、33、34、35,它们的平方都有4个数字,81+11=92,所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3:自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数;性质4:自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。

特别地,因数个数为3的自然数是质数的平方。

例3.240乘一个非零自然数a,或者除以一个非零自然数b,结果都是一个完全平方数,那么a的最小值是;b的最小值是。

解:240=24×3×5,乘a是一个完全平方数,a的最小值是3×5=15,同样240÷15也是一个完全平方数,b的最小值是15.例4.(1)从1到100这100个自然数中,有奇数个因数的自然数有;(2)从1到100这100个自然数中,有且仅有3个因数的自然数有;解:(1)1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100,共10个;(2)1到100这100个自然数中,有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49,共4个。

五年级奥数完全平方数

五年级奥数完全平方数

五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,……判断一个数是否为完全平方数,我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积,这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料:毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、4、9、16……等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫“正方形数”,如图所示:分别记各图所示的小石子个数为i a (i =1、2、3、……、n)不难发现:1a =1=212a =1+3=4=223a =1+3+5=9=234a =1+3+5+7=16=24………n a =1+3+5+…+(2n -1)=[]2)1(1n n ⨯-+=2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来,得到一个定理:从1开始,任何连续个奇数之和都是完全平方数。

(注:这个和其实就是奇数个数的平方)【例一】 求自然数列前n 个奇数的和:1+3+5+7+……+(2n -1)一讲一练:(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球,第一次从袋子里取出1只小球,第二次从袋子里取出3只小球,第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球,如果剩下的球不够取,则将剩下的球留在袋中。

那么,最后袋中留下多少个球?【例二】 1234567654321×(1+2+……+6+7+6+……+2+1)是多少的平方?练习一:1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方?A=1008×B,其中A,B都是自然数,B的最小值是()。

练习二:2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个?约数个数是奇数的数有什么特征?一讲一练: 360、3969、7744各有多少个约数?【例四】(01ABC)少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣。

13北京版小五奥数教材课程十三、完全平方数

13北京版小五奥数教材课程十三、完全平方数

课程十三完全平方数1.完全平方数的基本概念2.完全平方数的性质3.判断完全平方数的方法一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又 称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7= 49、8×8=64、9×9=81共10个。

平方数有一些特别的性质,可以解决一些 有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗, 闪烁不停。

这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明 暗状态。

开始时,全部灯泡是暗的。

第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗; 第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗 的变明,……,依此类推,第n 秒钟,凡编号为n 的倍数的灯泡改变原来的 明暗状态,每200秒钟为一周期,即到201秒时,全部灯泡大放光明,然 后继续上述规则改变原来的状态。

问:第200秒时,明亮的灯泡有多少? 事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗 状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡学习目标重 点将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮。

由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的。

(2)完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。

(3)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数。

(4)末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数。

(5)个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

小学奥数25完全平方数

小学奥数25完全平方数

2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1,2*2,3*3等等,依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式,则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。

2.7.2性质推论例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9。

此为完全平方数的必要不充分条件,且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数,故0是完全平方数性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数,十位数字为偶数;偶数的平方的个位数字一定是偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一:10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后,得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。

性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m2=10k+6,证明k为奇数。

因为k的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。

小升初奥数知识点:完全平方数及余数同余与周期

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小升初奥数知识点:完全平方数及余数同余与周期小升初是孩子最重要的起步方向,我们需要关注怎样的信息才能对孩子的未来有帮助呢?店铺网小编告诉大家!小升初奥数知识点:余数、同余与周期一、同余的定义:①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。

二、同余的性质:二、同余的性质:①自身性:a≡a(mod m);②对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m);③传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡ c(mod m);④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡ b×d(mod m);⑥乘方性:若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m);⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整数c,则a×c≡ b×c(mod m×c);三、关于乘方的预备知识:①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod 9)或(mod 3);②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M 的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(mod p)。

余数及其应用基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0余数的性质:①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。

五年级奥数——完全平方数

五年级奥数——完全平方数

第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。

例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,……判断一个数是否为完全平方数,我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积,这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料:毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、4、9、16……等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫“正方形数”,如图所示:分别记各图所示的小石子个数为i a (i =1、2、3、……、n)不难发现:1a =1=212a =1+3=4=223a =1+3+5=9=234a =1+3+5+7=16=24………n a =1+3+5+…+(2n -1)=[]2)1(1n n ⨯-+=2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来,得到一个定理:从1开始,任何连续个奇数之和都是完全平方数。

(注:这个和其实就是奇数个数的平方)【例一】 求自然数列前n 个奇数的和:1+3+5+7+……+(2n -1)一讲一练:(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球,第一次从袋子里取出1只小球,第二次从袋子里取出3只小球,第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球,如果剩下的球不够取,则将剩下的球留在袋中。

那么,最后袋中留下多少个球?【例二】 1234567654321×(1+2+……+6+7+6+……+2+1)是多少的平方?练习一:1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方?A=1008×B,其中A,B都是自然数,B的最小值是()。

练习二:2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个?约数个数是奇数的数有什么特征?一讲一练: 360、3969、7744各有多少个约数?【例四】(01ABC)少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣。

小学奥数数论专题--完全平方数(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数数论专题--完全平方数(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数数论专题--完全平方数(六年级)竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx 题总分得分一、xx题评卷人得分(每空xx 分,共xx分)【题文】是的平方.【答案】7777777的平方【解析】,,原式.【题文】,这个算式的得数能否是某个数的平方?【答案】不可能【解析】判断一个数是否是某个数的平方,首先要观察它的个位数是多少.平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9,而2,3,7,8不可能是平方数的个位数.这个算式的前二项之和为3,中间二项之和的个位数为0,后面二项中每项都有因子2和5,个位数一定是0,因此,这个0算式得数的个位数是3,不可能是某个数的平方.【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【答案】361,400,441,484,529,576,625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知,我们所求的为360~630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360~630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252.即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.【题文】一个数的完全平方有39个约数,求该数的约数个数是多少?【答案】14,20【解析】设该数为,那么它的平方就是,因此.由于,⑴所以,,,可得,;故该数的约数个数为个;⑵或者,,可得,那么该数的约数个数为个.所以这个数的约数个数为14个或者20个.【题文】从1到2008的所有自然数中,乘以72后是完全平方数的数共有多少个?【答案】31【解析】完全平方数,其所有质因数必定成对出现.而,所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍,由于,所以、、……、都满足题意,即所求的满足条件的数共有31个.【题文】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是________.【答案】254【解析】先将1016分解质因数:,由于是一个完全平方数,所以至少为,故a最小为.【题文】已知恰是自然数b的平方数,a的最小值是。

小学奥数数论问题完全平方数练习题【六篇】

小学奥数数论问题完全平方数练习题【六篇】

【导语】⽣活的海洋已铺开⾦⾊的路,浪花正分列两旁摇动着欢迎的花束。

勇敢地去吧,朋友!前进,已吹响出征的海螺;彩霞,正在将鲜花的⼤旗飞舞……以下是为⼤家整理的《⼩学奥数数论问题完全平⽅数练习题【六篇】》供您查阅。

【篇⼀】⼀个⾃然数减去45及加上44都仍是完全平⽅数,求此数。

解答:设此⾃然数为x,依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为⾃然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或: (n-m)(n+m)=89 因为n+m>n-m ⼜因为89为质数, 所以:n+m=89; n-m=1 解之,得n=45。

代⼊(2)得。

故所求的⾃然数是1981。

【篇⼆】求证:11,111,1111,这串数中没有完全平⽅数 解答:形如的数若是完全平⽅数,必是末位为1或9的数的平⽅,即 或在两端同时减去1之后即可推出⽭盾。

证明若,则 因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

若,则 因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

综上所述,不可能是完全平⽅数。

【篇三】求满⾜下列条件的所有⾃然数: (1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平⽅数 解答:设,其中n,N为⾃然数,可知N为奇数。

11|N - 4或11|N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此⾃然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

【篇四】决断下列各数哪⼏个数是完全平⽅数:486,1156,4128。

解:486=4×121+2,因为形如4k+2的数肯定不是完全平⽅数,所以486不是完全平⽅数。

如果1156是平⽅数,设A2=1156,则A的个位数字为4或6,因为302<1156<352,342=1156,所以1156是完全平⽅数。

因为完全平⽅数的个位数只能是0,1,4,5,6,9这6个数字中的⼀个,所以4128不是完全平⽅数。

25.五年级奥数第25讲——完全平方数

25.五年级奥数第25讲——完全平方数

学生课程讲义一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。

【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有()个随堂练习1在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。

【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:随堂练习412345654321是平方数吗?练习题一、填空题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方,这个和是()3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于()年。

小学数学奥数测试题完全平方数人教版精选文档

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1 / 72019年小学奥数数论专题——完全平方数1.1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方. 2. 112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯,这个算式的得数能否是某个数的平方?3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.4.一个数的完全平方有39个约数,求该数的约数个数是多少?5.从1到2019的所有自然数中,乘以72后是完全平方数的数共有多少个?6. 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数,则a 的最小值是________.7.已知3528a 恰是自然数b 的平方数,a 的最小值是 。

8.已知自然数n 满足:12!除以n 得到一个完全平方数,则n 的最小值是 。

9.考虑下列32个数:1!,2!,3!,……,32!,请你去掉其中的一个数,使得其余各数的乘积为一个完全平方数,划去的那个数是 .10.一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个数是多少?11.能否找到这么一个数,它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?12.三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为80,第二大的数减去最小的数的差为60,求这三个数.13.有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的最小值为 .14.求一个最小的自然数,它乘以2后是完全平方数,乘以3后是完全立方数,乘以5后是5次方数.15.两个完全平方数的差为77,则这两个完全平方数的和最大是多少?最小是多少?16.有两个两位数,它们的差是14,将它们分别平方,得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同,那么这两个两位数是 .(请写出所有可能的答案)17.A 是一个两位数,它的6倍是一个三位数B ,如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数,并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方),那么A 的所有可能取值之和为 .18.已知ABCA 是一个四位数,若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数,CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是________.19.一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数.已知一个完全平方数是四位数,且各位数字均小于7.如果把组成它的数字都加上3,便得到另外一个完全平方数,求原来的四位数.20.有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.21.能够找到这样的四个正整数,使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够,请说明理由.22.证明:形如11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数。

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绝密★启用前奥数:完全平方数注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2.请将答案正确填写在答题卡上;卷I(选择题)一、选择题(本题共计 6 小题,每题 5 分,共计30分,)1. 把两个整数平方得到的数“拼”起来(即按一定顺序写在一起)后仍然得到一个平方数,则称最后得到的这个数为“拼方数”.如把整数4,3分别平方后得到16,9,拼成的数“169”是13的平方,称“169”是“拼方数”.在下列数中,属于“拼方数”的是()A.225B.494C.361D.12192. 在不大于100的自然数中,既不是完全平方数(平方根是整数)也不是完全立方数(立方根是整数)的数的概率有()A.3 25B.87101C.87100D.881013. 一个完全平方数的最前两位数为19,最末两位数为99,则这样的完全平方数()A.不存在B.只有一个C.有两个D.有两个以上4. 如果对于不<8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数时,n+1能表示成k个完全平方数的和,那么k的最小值为()A.1B.2C.3D.45. 连续正整数a,b,c,d,e之和为完全立方数,b,c,d之和为完全平方数,则c的最小值为()A.100B.225C.375D.6756. 11,111,1111,11111,…中,完全平方数的个数为()A.0B.1C.10D.无数多卷II(非选择题)二、填空题(本题共计 13 小题,每题 5 分,共计65分,)7. 一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44,仍是一个完全平方数,则这个自然数是________.8. 在2001、2002、…、2010这10个数中,不能表示成两个平方数差的数有________个.9. 有一个整数,加上100则为一个完全平方数,如果加上168,则为另一个完全平方数,则这个数为________.10. 已知n为正整数,且47+4n+41998是一个完全平方数,则n的一个值是________.试卷第2页,总12页11. 若a 是一个完全平方数,则比a 大的最小完全平方数是________.12. 使得m 2+m +7是完全平方数的所有整数m 的积是________.13. 要使26+210+2x 为完全平方数,那么非负整数x 可以是________.(要求写出x 的3个值)14. 已知四位数x 是完全平方数,将其4个数字各加1后得到的四位数仍然是完全平方数,则x =________.15. 已知n 是自然数,且n 2−17n +73是完全平方数,那么n 的值是________或________.16. 满足3n +1≤2017,使得5n +1是完全平方数的正整数n 共有________个.17. 已知x 为正整数,设A =x 3+3x 2−45x −175,若A 为完全平方数,则A 的最小值是________.18. 已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数,则其中最大的数的最小值是________.19. 3042乘以一个自然数A ,乘积是一个整数的平方,那么A 最小是________. 三、 解答题 (本题共计 1 小题 ,共计5分 , )20. (5分) M 为何整数时,9m 2+5m +26能分解成两个连续自然数之积.奥数:完全平方数一、选择题(本题共计 6 小题,每题 5 分,共计30分)1.【答案】C【考点】完全平方数【解析】首先理解“拼方数”的概念,然后分别对各项进行检验,看看是否符合“拼方数”的定义,即可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用.【解答】解:A、∵225=152,但22与5或2与25均不是两个整数平方得到的数,∴225不属于“拼方数”,故本选项错误;B、∵494可以看作把整数7,2分别平方后得到49,4拼成的,但494不是整数的平方,∴494不属于“拼方数”,故本选项错误;C、∵361可以看作把整数6,1分别平方后得到36,1拼成的数,是19的平方,∴361属于“拼方数”,故本选项正确;D、∵1219可以看作把整数11,3分别平方后得到121,9拼成的,但1219不是整数的平方,∴1219不属于“拼方数”,故本选项错误.故选C.2.【答案】D【考点】完全平方数平方根立方根的实际应用概率公式【解析】先列举出0−100中的完全平方数与完全立方数,再利用概率的求解方法进行解答即可.【解答】解:∵0−100中的完全平方数有:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100;完全立方数有:0,8,27,64;∴0−100的自然数中既不是完全平方数与也不是完全立方数的共有101−11−4+2=88个;∴在不大于100的自然数中,既不是完全平方数(平方根是整数)也不是完全立方数(立方根是整数)的数的概率为88.101故选D.3.【答案】A【考点】完全平方数【解析】试卷第4页,总12页设这个数是a 2,a 2个位是9,则a 的个位是3或7,然后讨论即可得出答案. 【解答】解:设这个数是a 2, a 2个位是9,则a 的个位是3或7,若a 个位是3,则a =10n +3,∴ a 2=(10n +3)2=100n 2+60n +9, ∴ 十位是6n 的个位数,是偶数, ∴ 十位不可能是9;若a 个位是7,则a =10n +7,∴ a 2=(10n +7)2=100n 2+140n +49, ∴ 十位是14n +4的个位数,也是偶数, ∴ 十位也不可能是9,∴ 这样的完全平方数有0个, 故选A . 4.【答案】 C【考点】 完全平方数 【解析】根据完全平公式计算即可. 【解答】解:由已知3n +1是一个完全平方数,所以我们就设3n +1=a 2, 显然a 2不是3的倍数,于是a =3x ±1,从而3n +1=a 2=9x 2±6x +1,n =3x 2±2x , 即n +1=2x 2+(x ±1)2=x 2+x 2+(x ±1)2, 即把n +1写为了x ,x ,x ±1这三个数的平方和, 也就是说表示成了3个完全平方数的和, 所以k =3. 故选C . 5.【答案】 D【考点】 完全平方数 【解析】将a ,b ,c ,d ,e 之和及b ,c ,d 之和分别用c 表示出来,然后根据题意可根据题意得出C 的关系式. 【解答】解:因a +b +c +d +e =5c ,b +c +d =3c ,从而5c =n 3,3c =m 2,n ,m 为正整数,∴ n =5p ,m =3q ,p ,q 为整数,c =52⋅p 3=3q 2, ∴ c 的最小值为52⋅33=675. 故选D . 6.【答案】 A【考点】完全平方数【解析】奇数的平方根必为奇数,故设其平方根为2k+1,则满足(2k+1)2=11...1,根据该等量关系式即可求得k值是否存在,即可解题.【解答】解:因为以上各数均为奇数,假设在数列1,11,111,1111,中有完全平方数,设为2k+1.∵(2k+1)2=4k2+4k+1=11...1;即:4k(k+1)=11...10①,∵4不能被10,110,1110…整除,所以①式不成立,即在数列1,11,111,…,中不存在完全平方数.故选A.二、填空题(本题共计 13 小题,每题 5 分,共计65分)7.【答案】1981【考点】完全平方数【解析】设该数为x,则x−45为完全平方数,x+44为完全平方数,故这两个完全平方数的差值为2k+1=x+44−(x−45),即可计算k的值,即可解题.【解答】解:设该数为x,则x−45为完全平方数,x+44为完全平方数,故这两个完全平方数的差值为2k+1=x+44−(x−45),即k=44,故x−45是44的平方,x+44是45的平方,故该数为1981.故答案为:1981.8.【答案】3【考点】完全平方数【解析】首先将符合条件的整数分解成两整数的和与这两整数的差的积,再由整数的奇偶性,判断这个符合条件的整数,是奇数或是能被4整除的数,从而找出符合条件的整数的个数.在2001、2002、…、2010这10个数中,奇数有5个,能被4整除的有2个,所以不能表示成两个平方数差的数有10−5−2=3个.【解答】解:对x=n2−m2=(n+m)(n−m),(m<n,m,n为整数)因为n+m与n−m同奇同偶,所以x是奇数或是4的倍数,在2001、2002、…、2010这10个数中,奇数有5个,能被4整除的数有2个,所以能表示成两个平方数差的数有5+2=7个,则不能表示成两个平方数差的数有10−7=3个.故答案为:3.9.试卷第6页,总12页【答案】 156【考点】完全平方数 【解析】首先设这个数是n ,则n +100=a 2,n +168=b 2,两式作差,则(b +a)(b −a)=68,所以b +a =34,b −a =2,继而求得答案. 【解答】解:设这个数是n ,∵ 有一个整数,加上100则为一个完全平方数,如果加上168,则为另一个完全平方数,∴ n +100=a 2①,n +168=b 2②, ∴ ②-①得:b 2−a 2=68, ∴ (b +a)(b −a)=68, ∵ a 与b 都是正整数,∴ b +a 与b −a 同奇或同偶, ∴ {b +a =34b −a =2,解得:a =16, ∴ n =156. 故答案为:156. 10.【答案】 1003或3988 【考点】 完全平方数 【解析】本题分两种情况讨论n 的取值.把47+4n +41998化简为完全平方式的形式,根据化简后的式子得出n . 【解答】解:(1)47+4n +41998=(27)2+2⋅27⋅22n−8+(21998)2∵ 47+4n +41998是一个完全平方数. ∴ 22n−8=21998 即2n −8=1998.∴ 当n =1003时,47+4n +41998是完全平方数;(2)47+4n +41998=47+41998+4n , =(27)2+2⋅27⋅23988+(2n )2,∵ 47+4n +41998是一个完全平方数. ∴ 23988=2n , ∴ n =3988.综上得n =1003或n =3988. 11.【答案】 a +2√a +1 【考点】 完全平方数【解析】由于a 是一个完全平方数,则a =(√a)2.可知比a 大的最小完全平方数是(√a +1)2. 【解答】解:∵ a 是一个完全平方数, ∴ a 的算术平方根是√a ,∴ 比a 的算术平方根大1的数是√a +1,∴ 这个完全平方数为:(√a +1)2=a +2√a +1. 故答案为:a +2√a +1. 12.【答案】 84【考点】 完全平方数 【解析】将m 2+m +7表示为k 2的形式,然后转化可得出(2m +2k +1)(2m −2k +1)=−27,从而讨论可得出m 的值,从而得到所有整数m 的积. 【解答】设m 2+m +7=k 2, 所以m 2+m +14+274=k 2,所以(m +12)2+274=k 2,所以 (m +12)2−k 2=−274, 所以(m +12+k)(m +12−k)=−274,所以(2m +2k +1)(2m −2k +1)=−27因为k ≥0(因为k 2为完全平方数),且m 与k 都为整数,所以①2m +2k +1=27,2m −2k +1=−1,解得:m =6,k =7; ②2m +2k +1=9,2m −2k +1=−3,解得:m =1,k =3; ③2m +2k +1=3,2m −2k +1=−9,解得:m =−2,k =3; ④2m +2k +1=1,2m −2k +1=−27,解得:m =−7,k =(7) 所以所有m 的积为6×1×(−2)×(−7)=(84) 13.【答案】 0,9,12. 【考点】 完全平方数 【解析】根据完全平方公式得到(25+1)2=210+2⋅25+1=210+26+1,要使26+210+2x 为完全平方数,2x 可以为1,即2x =1=20,即可解得x 的值;又(25+23)2=210+2⋅28+26=210+26+29,或(26+23)2=212+2⋅29+26=210+26+212,同样能得到x 的值. 【解答】∵ 26=(23)2,210=(25)2,∴ (25+1)2=210+2⋅25+1=210+26+1, ∴ 要使26+210+2x 为完全平方数,2x 可以为1, 即2x =1=20,解得x =0;试卷第8页,总12页又∵ (25+23)2=210+2⋅28+26=210+26+29, ∴ 要使26+210+2x 为完全平方数,2x 可以为29, 即2x =29,解得x =9;又∵ (26+23)2=212+2⋅29+26=210+26+212, ∴ 要使26+210+2x 为完全平方数,2x 可以为212, 即2x =212,解得x =12; 14.【答案】 2025 【考点】 完全平方数 【解析】设x =a 2①,则x +1111=b 2②,将②-①,得出b 2−a 2=1111,由于1111=101×11,那么(b +a)(b −a)=101×11,从而得出方程组{b +a =101b −a =11,解方程组求出a 、b 的值即可. 【解答】解:设x =a 2①,则x +1111=b 2②, ②-①,得b 2−a 2=1111, 即:(b +a)(b −a)=101×11, 所以{b +a =101b −a =11,解这个方程组,得{a =45b =56,所以x =a 2=452=2025,b 2=562=3136. 所以这个四位数是2025. 故答案为2025. 15.【答案】 8,9【考点】 完全平方数 【解析】题目的要求是n 2−17n +73是完全平方数,可设为a 2,然后利用十字相乘法进行因式分解,根据原方程的判别式可求得a 的值,从而得到n 的数值. 【解答】解:由于n 2−17n +73是完全平方数,令y =n 2−17n +73=a 2则n 2−17n +72=a 2−1∴ (n −8)(n −9)=(a +1)(a −1)③ 原方程(视a 为常数)△=4a 2−3 要使该方程有整数解, 有△=4a 2−3=b 2 易得a =−1或1 代入③,③=0这就表明③成立的条件为a =−1或1 ∴ n =8或9 故答案为8或9. 16.【答案】22【考点】完全平方数【解析】先确定出n的范围,设5n+1=a2(a为正整数),得出n=(a+1)(a−1)5,进而判断出a+ 1或a−1是5的倍数,分两种情况,判断出a的范围,即可确定出个数.【解答】∵3n+1≤2017,∴n≤672,∵n为正整数,∴0<n≤672(n为整数),设5n+1=a2(a为正整数),∴n=(a+1)(a−1)5,∵n为正整数,∴(a+1)(a−1)5为正整数,∴a+1或a−1是5的倍数,①当a+1是5的倍数时,∵0<n≤672(n为整数),∴4≤a<58(a+1最小是5,得出a≥4)设a+1=5k(k为正整数),∴k=a+15,∴1≤a+15<595,∴1≤k<595=11.8,∵k为正整数,∴k共有11个,∴满足条件的正整数n有11个,②当a−1是5的倍数时,∵0<n≤672(n为整数),∴6≤a<58(a−1最小是5,得出a≥6),设a−1=5m(m为正整数),∴m=a−15,∴1≤a−15<575,∴1≤m<11.4,∵m为正整数,∴m共有11个,∴满足条件的正整数n有11个,即:满足条件的正整数n有22个,17.【答案】试卷第10页,总12页【考点】 完全平方数 【解析】把x =1,2,…分别代入A =x 3+3x 2−45x −175,得到x =7时,A =0,得到A 的最小值是0. 【解答】解:∵ x 为正整数,∴ 把x =1,2,…分别代入A =x 3+3x 2−45x −175, 当x =7,A =73+3×72−45×7−175=0, 而0为完全平方数,∴ 若A 为完全平方数,则A 的最小值是0. 故答案为:0. 18.【答案】 2133 【考点】 完全平方数 【解析】设连续2008个正整数中最小的数是m ,则m +(m +1)+...+(m +2007)=(2m +2007)×2008÷2=2008m +2007×1004,根据这2008个正整数的和是一个完全平方数,则存在正整数n ,使2008m +2007×1004=n 2,由上式左边能被1004整除,故n 2也必能被1004整除,1004=2×2×251,故n 也必能被251×2=502整除,设n =502k ,k 为正整数.从而得出连续2008个正整数为126,127,128,…,2133. 【解答】解:设连续2008个正整数中最小的数是m ,则m +(m +1)+...+(m +2007)=(2m +2007)×2008÷2=2008m +2007×1004 如果这2008个正整数的和是一个完全平方数,则存在正整数n 有2008m +2007×1004=n 2由于上式左边能被1004整除,故n 2也必能被1004整除,1004=2×2×251, 故n 也必能被251×2=502整除,设n =502k ,k 为正整数,代入2008m +2007×1004=n 2得 2m +2007=251k 2,故2m +2007能被素数251整除,即2m −1能被251整除,取最小的m ,使2m −1能被251整除,取2m −1=251,m =126,代入2m +2007=251k 2,解得k =3,n =1506,此时连续2008个正整数为126,127,128,…,2133. 满足条件的2008个正整数中最大的数的最小值是2133. 19.【答案】 2【考点】 完全平方数 【解析】先将3042写成132×32×2的形式,显然可以看出,再乘以2即可得出答案. 【解答】解:∵ 3042=132×32×2,∴ 3024只须乘以2就可变成78的平方, 故答案为2.试卷第11页,总12页三、 解答题 (本题共计 1 小题 ,共计5分 ) 20.【答案】解:设对某个自然数k ≥0,有9m 2+5m +26=k(k −1)将此式整理成关于m 的一元二次方程,得9m 2+5m −(k 2−k −26)=0(1),因为m 为整数,k 为自然数,故(1)的判别式△1=25+36(k 2−k −26)=36k 2−36k −911,必为完全平方数,再设36k 2−36k −911=p 2(p 为自然数),则36k 2−36k −(p 2+911)=0(2),为使方程(2)的根为自然数,须使(2)的判别式△2=362+4×36(p 2+911)=122(p 2+920)为完全平方数,又设p 2+920=q 2(q 为自然数),则 (q +p)(q −p)=920(3),因为q +p >q −p >0,q +p 与q −p 同奇偶,即它们均为偶数, 从而{q +p =460q −p =2;{q +p =230q =p =2;{q +p =92q −p =10;{q +p =46q −p =20解之得:{p =229q =231;{p =113q =117;{p =41q =51;{p =13q =33. 把p 的值代入(2)求得k 的值,再把k 值代入(1)可求得m 值,从而即得m =−1,2,6,−13.即当m =−1,2,6,−13时,9m 2+5m +26能分解成两个连续自然数之积. 【考点】一元二次方程的整数根与有理根 完全平方数 【解析】利用根的判别式确定p 与q 的方程,进而得出所有的可能,注意不要漏解. 【解答】解:设对某个自然数k ≥0,有9m 2+5m +26=k(k −1)将此式整理成关于m 的一元二次方程,得9m 2+5m −(k 2−k −26)=0(1),因为m 为整数,k 为自然数,故(1)的判别式△1=25+36(k 2−k −26)=36k 2−36k −911,必为完全平方数,再设36k 2−36k −911=p 2(p 为自然数),则36k 2−36k −(p 2+911)=0(2),为使方程(2)的根为自然数,须使(2)的判别式△2=362+4×36(p 2+911)=122(p 2+920)为完全平方数,又设p 2+920=q 2(q 为自然数),则 (q +p)(q −p)=920(3),因为q +p >q −p >0,q +p 与q −p 同奇偶,即它们均为偶数, 从而{q +p =460q −p =2;{q +p =230q =p =2;{q +p =92q −p =10;{q +p =46q −p =20解之得:{p =229q =231;{p =113q =117;{p =41q =51;{p =13q =33. 把p 的值代入(2)求得k 的值,再把k 值代入(1)可求得m 值,从而即得m =−1,2,6,−13.试卷第12页,总12页即当m =−1,2,6,−13时,9m 2+5m +26能分解成两个连续自然数之积.。

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