第六章 投影变换

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习题
1.为什么需要做投影变换？ 2.什么叫投影变换? 3.试述投影变换的分类 4.沿Z方向正投影的变换矩阵是什么样的？ 5.若给出投影方向矢量［A，B，C］，且以Z=0的 平面作为投影平面，则斜平行投影变换矩阵是什 么样的？ 6.若投影中心处于观察坐标系的原点，投影平面与Z 轴垂直并距原点的距离为d，则透视投影变换矩阵 是什么样的？
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6.4 透视投影
• 透视投影：投影射线汇聚于投影中心，或者 说投影中心在有限远处的投影。
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6.4 透视投影
• 透视投影变换的观察坐标系中（见上图所 示），投影中心处于坐标系原点，投影平面与Z轴 垂直并距原点距离为d。由相似三角形关系求得空 间点P(x0，y0，z0)和投影平面上投影点P'(xp，yp， zp)的坐标关系： xp=x0· d/z0 yp=y0· d/z0 zp=d 可见随着物距z0的增大，投影点的xp和yp将 减小。在齐次坐标系中这个变换关系可写成如下 2016/3/10 23 所示：
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6.2.2 正轴测投影
•
在观察坐标系中的正投影是去掉它们的 z分量，即可得到正轴测投影的图形。 2016/3/10 11 • 常用的正轴测投影有：
6.2.2 正轴测投影
• • 1、正等轴测投影 正等轴测投影：投影方向与各坐标轴 夹角相等的正轴测投影，此时物体中各边 以相同比例缩小，如图所示。
另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单 位长度的投影长度是k，即：
• 从而可以确定投影变换矩阵H。
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6.2.2 正轴测投影
• 3、正三轴测投影 • 正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全 不相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条 边各以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。
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6.3 斜平行投影
•
• •
Xp=Xo－A· Zo/C和Yp=Yo－B· Zo/C。 这些变换关系可写成：
[xp yp zp 1]=[xo yo zo 1]· Mob其中
•
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常用的斜平行投影有：
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6.3 斜平行投影
• 1、斜等测投影 • 斜等测投影：投影方向与投影平面成 45°的斜平行投影，它保持平行投影平面 和垂直投影平面的线的投影长度不变。 • 2、斜二测投影 • 斜二测投影：与投影平面成arctg(2)角 的斜平行投影，它使垂直投影平面的线产 生长度为原来1/2的投影线。
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其中，xp,yp,zp是投影点坐标，xo,yo,zo是物体 2016/3/10 8 上点的坐标。
•
6.2.2 正轴测投影
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6.2.2 正轴测投影
• 正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向 平行。 • 为了达到投影要求，需在用户坐标系 中安排恰当的观察坐标系位置。假设观察 坐标系与用户坐标系重合。经将用户坐标 系先绕y轴旋转θ角，再绕x轴旋转φ角的变 换，形成观察坐标系与用户坐标系的新的 位置关系，如上图所示。两坐标系之间的 变换矩阵为：
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6.2.2 正轴测投影
• 在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上 述三点到坐标原点的长度是 ,按正等轴测投 影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长 度的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O 即
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6.2.2 正轴测投影
•
•
解上述方程组： ， ， 以正等轴测投影变换矩阵为：
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6.1 投影概念分类
• 一、投影的概念 投影变换分为平行投影和透 视投影两种： • 1、透视投影变换：投影射线汇聚于投影中心， 或者说投影中心在有限远处的投影。 • 即从空间选定的一个投影中心和物体上每点 连直线从而构成了一簇射线，射线与选定的投影 平面的交点集便是物体的投影。见下图（a）。 • 2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中 心在无限远处的投影。见下图（b）。
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6.4 透视投影
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ห้องสมุดไป่ตู้
6.4 透视投影
• 2、两点透视 • 二点透视：按照投影平面的方向可对在用户 坐标系中正放的矩形体产生二主消失点，即投影 平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透 视。
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二点透视示意图
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6.4 透视投影
• 3、三点透视 • 三点透视：按照投影面的方向可对在 用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失 点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种 投影被称为三点透视。
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6.1 投影概念分类
a透视投影变换示意图 b平行投影变换示意图
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6.1 投影概念分类
• 二、投影的分类
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6.2 正平行投影
• 正平行投影的投影中心是在无限远处， 且投影射线与投影平面垂直。 正轴测投影
• 正投影
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6.2.1 正投影
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6.3 斜平行投影
•
斜平行投影：是指投影射线方向不与投 影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢 量［A，B，C］表示，则点(Xo,Yo,Zo)的投 影直线可用参数写成：
•
以Z=0（Zp=0）的平面作为投影平面 时，射线与投影面的交点满足t=-Zo/C，所 以投影点的坐标是:
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•
根据正轴测投影的变换公式（见正轴测 投影示意图），在用户坐标系中， 2016/3/10 12
6.2.2 正轴测投影
• x轴上A点［1 0 0 1］。 • 变换后为：［1 0 0 1］·H = [cosθ sinθ·sinφ -sinθ·cosφ 1] • y轴上B点［0 1 0 1］。 • 变换后为：［0 1 0 1］· H = [0 cosφ sinφ 1] • z轴上C点［0 0 1 1］。 • 变换后为： ［0 0 1 1］·H = [sinθ cosθ·sinφ cosθ·cosφ 1] 2016/3/10
，
，所
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6.2.2 正轴测投影
• 正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中有两个相 等，使得物体中有两个与坐标轴平行的边等比例缩小的正 轴测投影，如图所示。
•
设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A‘O=B’O 即：
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6.2.2 正轴测投影
•
• • 解上述方 • 程： ， ， ， 。
第六章 投影变换
重点：掌握平行投影、透视投影以及投 影分类的概念。 难点：理解并推导透视投影的变换 公式及变换矩阵。 课时安排：授课4学时；上机2学时。
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第六章 投影变换
• 实际物体都是三维的，可以在三维直角坐标系 中描述，但显示屏是二维的，所以最终还是用二维 图形基元产生图形。从三维物体模型描述到二维图 形描述的转换过程称为投影变换。
•
正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴 方向平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平 面是垂直的。示意图中给出了立方体的各种正投影。
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6.2.1 正投影
• 在观察坐标系中进行平行正投影很方便，因 为是按Z方向投影，物体的投影图坐标便与它的Z 值无关，所以去掉Z变量便是三维物体的二维投影 描述。沿Z方向正投影的变换可表示成：
6.4 透视投影
• [x'p y'p z'p w]=
• 由上式得[x'p y'p z'p w]=[x0 y0 z0 z0/d]，可见 w=z0/d，所以
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• 透视投影分为三类：
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6.4 透视投影
• 1、一点透视 • 一点透视：由透视变换关系可见，只有与投 影平面平行的平行线（它们有相同的z0值）才能 在投影线之间继续保持平行，垂直投影平面的平 行线的透视投影线将汇聚到一个消失点 （xi=0,yi=0）上（见示意图）。由平行于用户坐 标轴的平行线投影产生的消失点称为主消失点。 按照投影面的方向可对在用户坐标系中正放的矩 形体产生一个主消失点，即投影平面与一个坐标 轴相交，这种投影被称为一点透视。