3 离散傅里叶变换解析

j 2 ln N
x(n)
证:
ln WN e
n j 2N e
l
ln ln kn (l k ) n DFS[WN x(n)] WN x(n)WN x(n)WN X (k l ) i 0 n 0
2
j
m为整数
（3-14）
1 ~ x (n) N
j kn ~ X ( k )e N k 0
N 1
x(n)e
n 0
N 1
j
2 rn N
1 N 1 N n 0

k 0
N 1
X (k )e
j
2 ( k r ) n N

k 0
N 1
( k r ) n 1 N 1 j 2N mN ) X (k ) e X (r ) N n 0
式中：DFS［· ］表示离散傅里叶级数正变换， IDFS［· ］表示离散傅里叶级数反变换。
14
第3章 离散傅里叶变换
例3-1（教材P103） 用DFS证明
nk 1 N 1 j 2N (n iN ) e N k 0 i

证明：该式说明周期性抽样序列串可以用复指数之
离散傅里叶级 数
图3-4 离散周期的时间函数及其周期离散的频谱函数
7
第3章 离散傅里叶变换
离散傅里叶级数(DFS)对:
正变换： X (k ) x(n)e
n 0 N 1 j 2 kn N
离散傅里叶变换(DFT)对为 ： 正变换： X (k ) x(n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
1 e j 5 j 2 sin(5 / 2) e 1 e j sin( / 2)
对比（3-28）式可见
X (k ) X (e )
j
2 k /10
e
j
2 k 5
sin( k / 2) sin( k /10)
说明：周期序列 x(n)的傅里叶级数的系数 X (k )等于
3.1 引 言
由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有
限长序列在数字信号处理中就显得很重要，可以用 z变 换和序列的傅里叶变换来研究它。但是，这两种变换无 法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长” 这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变
换（Discrete Fourier Transform，简写为DFT）。
一个周期x(n)的傅里叶变换 X (e j ) 的关系。
解：1）x(n) 的傅里叶级数为
kn kn X (k ) x(n)W10 W10 e n 0 n 0 n 0 9 4 4 j 2 kn 10
1 e j k 1 e j k 5
e j k 2 (e j k 2 e j k 2 ) j 2 k 5 sin( k / 2) （3-28） j k 10 j k 10 j k 10 e e (e e ) sin( k /10)
2 T0
）
FS
DFS
离散傅里叶变换DFT 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现
结论
一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，
而一个域的非周期必定对应另一个域的连续。
9
第3章 离散傅里叶变换
3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
一．周期序列离散傅里叶级数（DFS）的引入
x (n ) 是一个周期为N的周期序列， 即 设~
16
第3章 离散傅里叶变换
图3-6(a) 周期性矩形序列
图3-6 (b) 周期性矩形序列的离散傅里叶级数的系数的幅度
17
第3章 离散傅里叶变换
2）周期序列 x(n) 的一个周期的有限长序列x(n)的傅 里叶变换为：
X (e j ) x(n)e jn e jn
n 0 n 0 4 4
三．离散时间、连续频率 —— 序列的傅里叶变换
正变换： X (e )
1 x ( n ) 反变换： 2
j n




x(n)e jn
X (e j )e j n d

由于序列 x(n) 可以看成是由模拟信号的抽样 得到的，现假设抽样时间间隔为T，抽样频率 为 fs , s
8
第3章 离散傅里叶变换
表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期
频率函数 非周期和连续 FT
0
连续和周期(T0)
离散(T)和非周期 离散(T)和周期(T0)
非周期和离散（
周期（
s

2 ）和连续 DTFT T 2 2 周期（ s T ）和离散（0 T0）
可证明: X (k ) X (k mN ) 即 X (k ) 为一个周期为N 的周期序列
X (k ) x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
12
第3章 离散傅里叶变换
N 1 n 0 2 kn N
正变换： X (k ) x(n)e
1 ~ 反变换： x (n) N
T0 / 2
x(t )e jk 0t dt
反变换： x(t )
k


X ( jk 0 )e jk 0t
其中：时域周期为T0； Ω0 =2π/T0为频域谱线角频率间隔 k 为谐波序号
时域：连续周期的时间函数 频域：非周期离散的频谱函数
图3-2连续周期信号及 其非周期的离散谱线
4
第3章 离散傅里叶变换
~ x (n) ~ x (n rN )
r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，故不能进行 z变换，因 为在任何z值下，其z变换都不收敛，也就是
n n ~ | x ( n ) || z |
但周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，该级数 相当于周期为N的成谐波关系的复指数序列之和。
图 3-8 图3-6和图3-7的重叠图，它表明一个周期序列的DFS
19
第3章 离散傅里叶变换
3.4 离散傅里叶级数的性质
~ x1 ( n ) 和 ~ x2 ( n )皆是周期为N的周期序列，它们
各自的DFS分别为：
X1 (k ) DFS[ x1 (n)], X 2 (k ) DFS[ x2 (n)]
对应于频域的连续；时域的
离散对应频域的周期，时域 的周期对应频域的离散。 2 ） 三种变换中至少有一个 域上是连续的，这不适于应
图3-3 离散非周期信号及 其周期性的连续谱密度
用数字系统进行信号的处理.
6
第3章 离散傅里叶变换
四．离散时间、离散频率 —— 离散傅里叶变换
时域：离散周期的时间函数
频域：周期离散的频谱函数
1 T 2 ，则变换对也可写成 T
n
jT 正变换： X (e )

x(nT )e jnT X (e jT )e jnT d
5
1 反变换： x(nT ) s
s / 2
s / 2
第3章 离散傅里叶变换 时域：离散非周期的时间函数 频域：周期连续的频谱函数 总结：1 ）时域的连续对应频 域的非周期，时域的非周期
1 x (n) 反变换： ~ N
j kn ~ X ( k )e N k 0
N 1
2
2 j nk 1 N 1 反变换： x(n) X (k )e N N k 0
说明：离散傅里叶变换相当于把序列的连续傅里 叶变换加以离散化（抽样），频域的离散化造成 时间函数也呈周期，故级数应限制在一个周期之 内（教材P100）。
x(n) 的一个周期x(n)的傅里叶变换 X (e j ) 在ω=2πk/N
（这里N=10，即为 x(n) 的周期）上的抽样值。
18
第3章 离散傅里叶变换
|X(ej )|
~
5 … o 2 3 4 …

图 3-7 对图3-6所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值 系数等于周期序列一个周期上的序列的傅里叶变换的采样



1 x ( t ) 反变换： 2


X ( j)e jt d
时域：连续非周期的时间函数 频域：非周期连续的频谱函数
图3-1连续非周期信号及其 非周期、连续的频谱密度
3
第3章 离散傅里叶变换
二．连续时间、离散频率——傅里叶级数wk.baidu.com
1 正变换： X ( jk 0 ) T0

T0 / 2
X (k )
（3-31）
证:
DFS[ x(n m)] x(n m)W
n 0 N 1 nk N

N 1 m

i m
ki mk x(i )WN WN
由于 x(i) 及 WNki 都是以N为周期的周期函数，
N 1 m

i m
ki x(i)W x(i )WN X (k ) ki N i 0
第3章 离散傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 引言
3.2 傅里叶变换的几种可能形式 3.3 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 3.4 离散傅里叶级数（DFS）的性质 3.5 离散傅里叶变换（DFT） 3.6 离散傅里叶变换的性质 3.7 抽样z变换——频域抽样理论
1
第3章 离散傅里叶变换
10
第3章 离散傅里叶变换
e1 (n)
ek (n) ek rN (n)
复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说, 离
散傅里叶级数的谐波成分只有 N个独立量，因而将周期序列 展开成离散傅里叶级数时，只需取k=0 到N-1这N个独立谐波 分量即可。故 x(n) 可展成如下的离散傅里叶级数，即
一. 线性
DFS[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (k ) bX 2 (k )
（3-30）
式中 a和 b为任意常数，所得到的频域序列也是周 期序列，周期为N。
20
第3章 离散傅里叶变换
二. 序列的移位
mk DFS[ x(n m)] WN X (k ) e j 2 mk N
和来表示。具体证明过程见教材P104。
15
第3章 离散傅里叶变换
例3-2（教材P104）如图3-6（a）所示， x(n) 是周期为 N=10周期性矩形序列，其一个周期可表示为
1, 0 n 4 x ( n) 0, 5 n 9
（3-27）
试讨论 x(n) 的离散傅里叶级数的系数 X (k ) 与 x(n) 的
13
第3章 离散傅里叶变换
三. 离散傅氏级数的习惯表示法
定义
WN e
j 2 N
离散傅里叶级数（DFS）对变为
X (k ) DFS[ x(n)] x(n)e
n 0 N 1 j 2 nk N nk x(n)WN n 0 N 1
2 N 1 j nk 1 N 1 1 nk x(n) IDFS[ X (k )] X (k )e N X (k )WN N k 0 N k 0
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶 变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的 快速算法——快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信 号处理的算法中起着核心作用。
2
第3章 离散傅里叶变换
3.2 傅里叶变换的几种可能形式
一．连续时间、连续频率——傅里叶变换
正变换：
X ( j) x(t )e jt dt
N 1
故
DFS[ x(n m)] W
mk N
ki mk x ( i ) W W X (k ) N N i 0
N 1
21
第3章 离散傅里叶变换
三．调制特性
ln DFS[WN x(n)] X (k l )
（3-32）
j 2 ln N
或
ln IDFS[ X (k l )] WN x(n) e
N 1 k 0 2
1 ~ x (n) N
j kn ~ X (k )e N k次谐波
的系数
11
第3章 离散傅里叶变换
二. x(n)的k次谐波系数 X (k )的求法
预备知识：
1 N
2 rN N
e
n 0
N 1
2 j rn N
1, r mN , 1 1 e 2 j r 0, 其他r N N 1 e
N 1 k 0
j
周期序列的离散傅 里叶级数(DFS)对
j 2 kn N
~ X ( k )e
说明：时域周期序列的离散傅里叶级数在频域（即
其系数）仍然是一个周期序列， X (k ) 与 x(n) 是频域与 时域的一个周期序列对，是一对相互表达周期序列
的离散傅里叶级数关系（这个关系是非常对称的）， 因此我们把上两式一起看作是周期序列的离散傅里 叶级数（DFS）对。