3 离散傅里叶变换解析
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
华北电力大学自动化系
15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
华北电力大学自动化系
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
华北电力大学自动化系
8
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第3章 离散傅里叶变换 (2)
中国矿业大学信息与电气工程学院
二、DFT和Z变换的关系
进行 对比
X ( z ) ZT[ x( n)] x( n) z n
n 0
N 1
X (k ) DFT[ x( n)] x( n)WN
n 0
N 1
nk
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
中国矿业大学信息与电气工程学院 3
学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
在矛盾中思考工程实现的背景
在解决问题的过程中感受知识的力量、体会学习的快乐
N 1 k 0
j( ) nk ~ N X (k )e
2
~ 式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便。X (k ) 为k次 谐波的系数。 2 j 将上式两边同乘 e N rn ，并从n=0到N-1求和，得到：
N 1 n 0
~(n)e x
j(
2 ) rn N
1 N
N 1 N 1
X (k ) X R (k ) jX I (k )
或 X (k ) X (k ) e j ( k )
例3.1 求有限长序列的DFT，其中a=0.8，N=8。
a n , 0 n N 1 x(n) 其它 0,
解
X ( k ) x( n)W8nk a n e
中国矿业大学信息与电气工程学院
4
本章学习要点
理解傅里叶变换的四种形式的意义 了解离散傅里叶级数（DFS）的定义、基本性质 掌握离散傅里叶变换（DFT：Discrete Fourier Transform） 的定义、基本性质以及与Z变换和DTFT的关系，理解隐含 周期性的意义，掌握圆周卷积的计算 掌握频域采样理论的意义、分析过程和结论 掌握DFT在计算线性卷积、线性相关和谱分析等方面的应用
三维离散傅里叶变换原理
三维离散傅里叶变换原理
三维离散傅里叶变换（3D DFT）是指对一个三维离散信号进行傅里叶变换的操作。
其原理可以概括如下：
1. 三维离散信号表示：将一个三维离散信号表示为一个由
N1×N2×N3个离散点组成的立方体，其中每个点上的数值表示信号在该点上的强度。
2. 三维频域表示：将三维信号的离散傅里叶变换表示为一个由N1×N2×N3个复数值组成的立方体，其中每个复数值表示信号在该频率下的振幅和相位。
3. 变换计算：根据定义，三维离散傅里叶变换可以通过对三维信号进行三次一维离散傅里叶变换（1D DFT）来计算。
即首先对信号在第一维进行1D DFT，然后对得到的结果在第二维进行1D DFT，最后对结果在第三维进行1D DFT。
这样就得到了三维频域表示。
4. 频率范围：三维离散傅里叶变换的频率范围由N1、N2和
N3决定，通常频率范围为[-N1/2, N1/2-1] × [-N2/2, N2/2-1] × [-N3/2, N3/2-1]。
5. 逆变换：根据傅里叶变换的性质，可以通过计算三维频域表示的逆变换（3D IDFT）来恢复原始的三维信号。
总之，三维离散傅里叶变换是一种将三维离散信号从时域转换到频域的变换方法，用于分析和处理三维信号。
信号与系统复习资料第3章离散傅立叶变换(DFT)
1 2
1 e 12
j 2 ( k 11)
1 e 12
B
Ak
6, 6,
1k 21 k 6 101
…11…22…rr…
10 0
11 0
B 0, 0其 0它 的…k… x(n) Xc(oks)6 n 6 0 ……
0 0
6 6, k 112r 6X~(k) 6, k 1112r
NT
T0
1 f0
T0 2 f0
N
1
fs
时域离散化==>频域周期化
时域周期化==>频域离散化
N NΩ0
NT0 fs s T f0 0
-7-
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
连续周期信号:
~xa(t) ~xa(t kT0) 基频：0 2/T0
x2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10
x2 1m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x2 2m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x2 3m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10
n 0
n 0
x ( n ) I D F S [ X ( k ) ] N 1 N k 0 1 X ( k ) e j2 N n k N 1 N k 0 1 X ( k ) W N n k
其中：
WN
j 2
e N
-9-
X k 与 z 变 换 的 关 系 ：
x (n ) x (n )R N (n )
x(n) x(nrN)
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。
通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。
《离散傅里叶变换》课件
离散傅里叶级数
探索离散傅里叶级数的定义、性 质和计算方法以及在数字信号处 理中的应用。
离散傅里叶变换
仔细研究离散傅里叶变换的离散 性质和变换公式，揭示其在信号 分析中的独特优势。
离散傅里叶变换的性质
探索离散傅里叶变换的对称性、 线性性以及快速计算算法，解开 其工程应用的奥秘。
离散傅里叶变换实践1海明窗函数图像处理
探索离散傅里叶变换在图像滤波、增强和压缩中的重要作用。
视频编码
揭示离散傅里叶变换在视频编码和压缩领域的关键应用和优化策略。
总结
离散傅里叶变换的优点与缺点
离散傅里叶变换未来的发展趋势
2
深入了解海明窗函数的定义和特性，以
及在信号处理中的应用场景。
3
快速傅里叶变换算法
介绍快速傅里叶变换算法的基本原理和 实现方法，让你轻松掌握高效算法的使 用。
离散傅里叶变换与信号处理实例
通过实际案例演示离散傅里叶变换在语 音信号和图像信号处理中的应用与效果。
离散傅里叶变换应用
语音信号处理
深入研究离散傅里叶变换在语音信号分析、压缩和合成中的广泛应用。
《离散傅里叶变换》PPT 课件
本课件介绍离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），让你轻松理解 该概念及其应用。从基本理论到实践应用，一网打尽。
简介
什么是离散傅里叶变换
深入探索离散傅里叶变换的定义、原理和作用，为你打开全新的数学世界。
应用领域
探索离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、视频编码等领域的广泛应用。
傅里叶理论基础
1 傅里叶级数
揭秘傅里叶级数的概念和 原理，了解它在周期信号 分析中的作用。
2 傅里叶变换
信号处理中的离散傅里叶变换原理
信号处理中的离散傅里叶变换原理信号处理是一种应用广泛的技术，它包括了一系列的算法和方法，用于处理和分析数字信号。
其中，离散傅里叶变换（DFT）是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，并且在数字信号处理、图像处理、音频处理等领域中被广泛使用。
一、傅里叶变换的基本概念首先，我们需要了解傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学方法。
在傅里叶变换中，一个连续信号可以分解为若干个正弦波的叠加，每个正弦波有特定的振幅、频率和相位。
在时域中，信号可以表示为一个函数 f(t)，其中 t 表示时间。
而在频域中，信号可以表示为一个函数F(ω)，其中ω 表示角频率。
傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫f(t)e^(−jωt)dt其中，j 表示虚数单位。
二、离散傅里叶变换在实际应用中，我们需要对数字信号进行处理。
由于数字信号是以离散时间表示的，因此需要使用离散傅里叶变换（DFT）来处理这些信号。
离散傅里叶变换的公式为：X(k) = Σ_n=0^(N−1)x(n)e^(−j2πnk/N)其中，x(n) 表示时域信号，X(k) 表示频域信号，N 表示信号的长度，k 表示频域中的采样点。
三、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在数字信号处理中得到广泛应用。
1. 线性性：离散傅里叶变换是线性的，即对于任意的常数 a 和b，有 DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性，即 DFT(x(n)) = DFT(x(N−n))。
3. 周期性：离散傅里叶变换具有周期性，即 DFT(x(n + N)) = DFT(x(n))。
4. 卷积定理：离散傅里叶变换具有卷积定理，即 DFT(x(n) * y(n)) = DFT(x(n)) × DFT(y(n))。
5. 解析性：离散傅里叶变换可以用于解析信号，即可以通过将信号从时域转换到频域来分析信号的特征。
第三章离散傅里叶变换
不变，F减小N增加，又因增加 因此，和N可按下面两式选择 例1 有一频谱分析用FFT处理器，抽样点数为2的幂，假定没有采用 任何 特殊的数据处理，已给条件为 ①频率分辨率 ②信号的最高频率 求：①最小记录长度 ②抽样点的最大间隔T ③在一个记录中最小点数N 解： ① ② ③ 取 （2）频域泄露（截短产生误差）
●任何有限长序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量 之和，即 ………… ……….(3-2) 对（3-2）式n换成N-n，并取复共轭得 (3-3) 联立（3-2），（3-3）可得：
●任何序列也可以表示实部和虚部 (3-4) 其中 (3-5) (3-6) （3）DFT的共轭对称性 ●对（3-4）进行DFT得： (3-7) ① 对（3-5）进行DFT得： .(3-8) ② 对（3-6）进行DFT得 (3-9) 结论：由（3-7），（3-8），（3-9）可得 其中 ● 任何序列可以表示为共轭对称和共轭反对称分量： (3-10) (3-11) (3-12) ① 对(3-10)进行DFT得 ② 对(3-11)进行DFT得 ③ 对(3-12)进行DFT得 结论: 其中 ●是长度为N的实序列，且，则 ① 共轭对称，即
2 (a) n,m 3 1 0
(b) 1 2 3 n,m
-2 6 5
2 1 -3 N=4 (c) m
m 3 2 n=0 (d)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m 3 0 n=1 (e)
m 1 0 n=2 (f)
2 m 1 n=3 (g)
2 3 2 m 1 (h) 1
图4
4、复共轭序列的DFT
设是的复共轭序列，长度为N，则 (3-1) 且。 证明：根据DFT的唯一性，只要证明（3-1）式右边等于左边即可。 又由的隐含周期性有 。 同理可证 。
离散傅里叶变换
N 1
0 k N -1X ( jkF) T
j2 kn N1
xa(nT )e NXa(jkF) Txa(nT)ej2kFnT, 0kN-1
n0
n0
n0
n0
▪ 令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得
N 1
2kn j
X a ( k ) T x( n ) e N T DFT[x(n)], 0 k N - 1
X ( e jw
)
FT [ ~x( n )]
2
N 1
X~
(
k
)( w
2
k
)
N n0
N
X~( k
)
DFS [
x( n )]
N 1
~x (
n
)e
j
2
N
kn
,
k (-, )且为整数
n 0
若x(n) ~x(n) RN (n), X(k) DFT[x(n)] X~(k) • RN (k)
▪
X~(k)DFS[x(n)]N1x~(n)ej2Nkn, k(-,)且为整数
M 1
X M (k ) DFT [ xM (n)]
n0
m ( N 1)
n0
~
2 kn
x(n)e mN
~
2 kn
x(n)e M
k 0,1, , mN 1
分析:
(1)只有在k=rm时，XM(rm)=m
~
X(r)
，表达
~x
(n)旳r次谐波
谱线，幅度扩大了m倍，在其他k值， XM(k)＝0。
ha (t)
sin( t) t
用DFT来分析ha(t)旳频率响应特征。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
第3章离散傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换
二.序列的圆周移位 1.定义 一个有限长序列 x( n )的圆周移位定义为
xm (n) xn mN RN n
这里包括三层意思： ~ 先将 x( n )进行周期延拓 x (n) xn N 再进行移位 ~ x (n m) x n m N 最后取主值序列：
第3章 离散傅里叶变换
3.共轭对称特性之一
如果X ( k ) DFT [ x( n )]，则 DFT [ x* ( n )] X * (( k ))N RN ( k )
证明：
X * (( N k ))N RN ( k )
nk DFT [ x ( n )] x* ( n )WN RN ( k ) * n 0 nk * nk * [ x( n )WN ] RN ( k ) [ x( n )WNNnWN ] RN ( k ) n 0 n 0 ( N k )n * [ x( n )WN ] RN ( k ) X * (( N k ))N RN ( k ) n 0 N 1 N 1 N 1 N 1
*复数序列实部的DFT 该序列DFT的圆周共轭对称分量。
5.共轭对称 特性之三
第3章 离散傅里叶变换
6.共轭对称 如果 X ( k ) DFT [ x( n )]，则 DFT{ j Im [x( n )]} 特性之四 1 [ X (( k ))N X * (( N k ))N ] RN ( k ) X op ( k ) 2 1 * j Im [ x ( n )] [ x ( n ) x ( n )] 证明： 2 1 DFT{ j Im [x( n )]} { DFT [ x( n )] DFT [ x* ( n )]} 2 1 [ X ( k ) X * (( N k ))N RN ( k )] 2 1 [ X (( k ))N X * (( N k ))N ] RN ( k ) X op ( k ) 2
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 e j 5 j 2 sin(5 / 2) e 1 e j sin( / 2)
对比（3-28）式可见
X (k ) X e )
j
2 k /10
e
j
2 k 5
sin( k / 2) sin( k /10)
说明：周期序列 x(n)的傅里叶级数的系数 X (k )等于
1 T 2 ，则变换对也可写成 T
n
jT 正变换： X (e )
x(nT )e jnT X (e jT )e jnT d
5
1 反变换： x(nT ) s
s / 2
s / 2
第3章 离散傅里叶变换 时域：离散非周期的时间函数 频域：周期连续的频谱函数 总结：1 ）时域的连续对应频 域的非周期，时域的非周期
N 1 k 0
j
周期序列的离散傅 里叶级数(DFS)对
j 2 kn N
~ X ( k )e
说明：时域周期序列的离散傅里叶级数在频域（即
其系数）仍然是一个周期序列， X (k ) 与 x(n) 是频域与 时域的一个周期序列对，是一对相互表达周期序列
的离散傅里叶级数关系（这个关系是非常对称的）， 因此我们把上两式一起看作是周期序列的离散傅里 叶级数（DFS）对。
10
第3章 离散傅里叶变换
e1 (n)
ek (n) ek rN (n)
复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说, 离
散傅里叶级数的谐波成分只有 N个独立量，因而将周期序列 展开成离散傅里叶级数时，只需取k=0 到N-1这N个独立谐波 分量即可。故 x(n) 可展成如下的离散傅里叶级数，即
N 1
故
DFS[ x(n m)] W
mk N
ki mk x ( i ) W W X (k ) N N i 0
N 1
21
第3章 离散傅里叶变换
三．调制特性
ln DFS[WN x(n)] X (k l )
（3-32）
j 2 ln N
或
ln IDFS[ X (k l )] WN x(n) e
N 1 k 0 2
1 ~ x (n) N
j kn ~ X (k )e N k次谐波
的系数
11
第3章 离散傅里叶变换
二. x(n)的k次谐波系数 X (k )的求法
预备知识：
1 N
2 rN N
e
n 0
N 1
2 j rn N
1, r mN , 1 1 e 2 j r 0, 其他r N N 1 e
三．离散时间、连续频率 —— 序列的傅里叶变换
正变换： X (e )
1 x ( n ) 反变换： 2
j n
x(n)e jn
X (e j )e j n d
由于序列 x(n) 可以看成是由模拟信号的抽样 得到的，现假设抽样时间间隔为T，抽样频率 为 fs , s
j 2 ln N
x(n)
证:
ln WN e
n j 2N e
l
ln ln kn (l k ) n DFS[WN x(n)] WN x(n)WN x(n)WN X (k l ) i 0 n 0
第3章 离散傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 引言
3.2 傅里叶变换的几种可能形式 3.3 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 3.4 离散傅里叶级数（DFS）的性质 3.5 离散傅里叶变换（DFT） 3.6 离散傅里叶变换的性质 3.7 抽样z变换——频域抽样理论
1
第3章 离散傅里叶变换
X (k )
（3-31）
证:
DFS[ x(n m)] x(n m)W
n 0 N 1 nk N
N 1 m
i m
ki mk x(i )WN WN
由于 x(i) 及 WNki 都是以N为周期的周期函数，
N 1 m
i m
ki x(i)W x(i )WN X (k ) ki N i 0
和来表示。具体证明过程见教材P104。
15
第3章 离散傅里叶变换
例3-2（教材P104）如图3-6（a）所示， x(n) 是周期为 N=10周期性矩形序列，其一个周期可表示为
1, 0 n 4 x ( n) 0, 5 n 9
（3-27）
试讨论 x(n) 的离散傅里叶级数的系数 X (k ) 与 x(n) 的
2
j
m为整数
（3-14）
1 ~ x (n) N
j kn ~ X ( k )e N k 0
N 1
x(n)e
n 0
N 1
j
2 rn N
1 N 1 N n 0
k 0
N 1
X (k )e
j
2 ( k r ) n N
k 0
N 1
( k r ) n 1 N 1 j 2N mN ) X (k ) e X (r ) N n 0
16
第3章 离散傅里叶变换
图3-6(a) 周期性矩形序列
图3-6 (b) 周期性矩形序列的离散傅里叶级数的系数的幅度
17
第3章 离散傅里叶变换
2）周期序列 x(n) 的一个周期的有限长序列x(n)的傅 里叶变换为：
X (e j ) x(n)e jn e jn
n 0 n 0 4 4
x(n) 的一个周期x(n)的傅里叶变换 X (e j ) 在ω=2πk/N
（这里N=10，即为 x(n) 的周期）上的抽样值。
18
第3章 离散傅里叶变换
|X(ej )|
~
5 … o 2 3 4 …
图 3-7 对图3-6所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值 系数等于周期序列一个周期上的序列的傅里叶变换的采样
式中：DFS［· ］表示离散傅里叶级数正变换， IDFS［· ］表示离散傅里叶级数反变换。
14
第3章 离散傅里叶变换
例3-1（教材P103） 用DFS证明
nk 1 N 1 j 2N (n iN ) e N k 0 i
证明：该式说明周期性抽样序列串可以用复指数之
1 x (n) 反变换： ~ N
j kn ~ X ( k )e N k 0
N 1
2
2 j nk 1 N 1 反变换： x(n) X (k )e N N k 0
说明：离散傅里叶变换相当于把序列的连续傅里 叶变换加以离散化（抽样），频域的离散化造成 时间函数也呈周期，故级数应限制在一个周期之 内（教材P100）。
~ x (n) ~ x (n rN )
r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，故不能进行 z变换，因 为在任何z值下，其z变换都不收敛，也就是
n n ~ | x ( n ) || z |
但周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，该级数 相当于周期为N的成谐波关系的复指数序列之和。
2 T0
）
FS
DFS
离散傅里叶变换DFT 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现
结论
一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，
而一个域的非周期必定对应另一个域的连续。
9
第3章 离散傅里叶变换
3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
一．周期序列离散傅里叶级数（DFS）的引入
x (n ) 是一个周期为N的周期序列， 即 设~
可证明: X (k ) X (k mN ) 即 X (k ) 为一个周期为N 的周期序列
X (k ) x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
12
第3章 离散傅里叶变换
N 1 n 0 2 kn N
正变换： X (k ) x(n)e
1 ~ 反变换： x (n) N
对应于频域的连续；时域的
离散对应频域的周期，时域 的周期对应频域的离散。 2 ） 三种变换中至少有一个 域上是连续的，这不适于应
图3-3 离散非周期信号及 其周期性的连续谱密度
用数字系统进行信号的处理.
6
第3章 离散傅里叶变换
四．离散时间、离散频率 —— 离散傅里叶变换
时域：离散周期的时间函数
频域：周期离散的频谱函数
8
第3章 离散傅里叶变换
表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期
频率函数 非周期和连续 FT
0
连续和周期(T0)
离散(T)和非周期 离散(T)和周期(T0)
非周期和离散（
周期（
s
2 ）和连续 DTFT T 2 2 周期（ s T ）和离散（0 T0）
T0 / 2
x(t )e jk 0t dt
反变换： x(t )
k
X ( jk 0 )e jk 0t
其中：时域周期为T0； Ω0 =2π/T0为频域谱线角频率间隔 k 为谐波序号
时域：连续周期的时间函数 频域：非周期离散的频谱函数
图3-2连续周期信号及 其非周期的离散谱线
4
第3章 离散傅里叶变换
3.1 引 言
由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有
限长序列在数字信号处理中就显得很重要，可以用 z变 换和序列的傅里叶变换来研究它。但是，这两种变换无 法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长” 这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变
换（Discrete Fourier Transform，简写为DFT）。