三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质（1）
教学目标
1、能借助正弦函数画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；
2、借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质． 重点难点
重点：正弦函数、余弦函数的图象及其性质； 难点：借助正弦函数画出正弦函数的图象． 教学过程
]2,0[,sin π∈=x x y 的图象→R x x y ∈=,sin 的图象→余弦函数的图象→五点作图法
问题情境
学习函数我们需要研究它的图象和性质。

借助三角函数线，我们已经得到了正弦、余弦函数的哪些性质？
“为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象．”怎样作出正弦函数的图象？ 学生活动
问题1：直接作出y = sinx ，x ∈ R 的图象有困难，我们该怎么作图呢？
根据周期性，可以先作出y = sinx ，x ∈ [0,2π]的图象，再由周期性得到整个图象． 问题2：描点法的基本步骤是什么？在[0,2π]上需要找几个点？ ————列表描点连线。

比比看 ，看谁画的最快，最准确！ 归纳出1、列表描点法 建构数学
（一）正弦函数的图像 问题3：如何比较精确的作出这些点并且可以准确的反映函数的变化趋势呢？利用正弦线可以实现吗？
————演示几何描点法和电脑描点法。

基本步骤详细化：（2、几何描点法）
先作单位圆，把⊙O1十二等分（当然分得越细，图象越精确）；
十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π
,…2π等角，并作出相应的正弦线；
将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”； 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合； 描图（连接）得y=sinx x ∈[0,2π]；
由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0与函数y=sinx x ∈[0,2π]图象相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长．
3、电脑作图法
问题4：前面我们用“几何描点法”描了12个点，较准确的作出了函数的图像，但是此法较繁琐。

在以后的学习中主要用到函数的大致图像。

观察图像能不能从中找出起关键作用的五点来确定函数图象？最少需要几个点可以确定图像？ 3、正弦函数的五点作图法：y=sinx ，x ∈[0,2π]．
五点法：五个关键点（0，0），(,1)2π
，(,0)π，3(,1)
2π-，(2,0)π
优点：是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以．
定义1：因此，只要将函数y=sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y=sin x ，x ∈R 的图象．正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)． 注意：正弦曲线和正弦线的区别。

4.几种作图方法的区别：
（1）列表描点法：方法较基本，但较繁琐，细节不够准确；
（2）几何法充分反映x 与y 之间的依存关系，但较繁琐； （3）电脑作图法精确度高，作图方便，对设备要求较高． （4）五点法：简便
（二）余弦函数的 图像：
问题5：如何作出余弦函数的图象？
------可以用列表法、几何法、电脑作图法
问题6：函数y cosx =可以看成由函数sin y x =的图像如何变换得来？
------sin()
2y cosx x π==+，所以只需把sin y x =图像向左平移2π
个单位。

这种方法叫图像变换法。

3．也同样可用五点法作图：y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1)、(2π,0)、(π,－1)、(32π
,0)、(2π,1)
余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve ）．
x
y o
2
π2
3π2π
-
π
π
2
余弦曲线与余弦线的区别．例1（课本P31例1）
（1）
（2）
问题7：如何由
cos
y x
=的图象得到2cos
y x
=的图象？如何由sin
y x
=的图象得到
sin2
y x
=的图象？
课内练习（P33练习2．3．）
例2根据正余弦函数图象，在[0，2π]的范围内求使得sinx≥cosx成立x的集合．解：．
问题：你能用三角函数线求解此题吗？
变题：如果去掉条件“在[0，2π]的范围内”呢？
课后思考：你能利用余弦函数线，作出y=cosx， x∈[0，2π]的图象吗？
回顾反思
作三角函数的图象，为了使自变量与函数值为实数，角的大小要用弧度制来度量．在目前，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同．
根据正、余弦曲线的形状，总结出了与正、余弦函数有关的“五点法”作图，使用“五点法”，要注意五个点出现的顺序．
几种作图法的特点：
①列表描点法：方法较基本，但较繁琐，细节不够准确；
②几何法：充分反映x与y之间的依存关系，但较繁琐；
③电脑作图法：精确度高，作图方便，对设备要求较高。

④五点作图法：简便。