固体物理第12课能态密度.ppt
物理：9.1《固体》PPT课件(新人教版选修3-3)
• 重点、难点 • 1.晶体与非晶体的区别;单晶体与多晶体的区别 • 2.晶体的微观结构
1.固体可以分成晶体和非 晶体
晶体:石英、云母、明矾、食盐、硫酸铜、 糖、味精
非晶体:玻璃、蜂蜡、松香、沥青、橡胶
2.晶体具有确定的熔点， 非晶体没有确定的熔点
现象:熔化了的石蜡在云母片上呈椭圆形，而在玻璃片 上呈圆形．
结论:云母晶体在各个方向上的导热性能不同，而非晶 体玻璃在各个方向上的导热性能相同．
（5）多晶体和非晶体是各 向同性的
• 区分单晶体和多晶体，就看是不是各向 异性。
• 有各项异性的一定是单晶体，但单晶体 并不是各种性质都表现出来各项异性。
高中物理新人教和物态变化 》
9.1《固体》
教学目标
• 知识与能力 • 1．知道固体可分为晶体和非晶体两大类，了解它
们在物理性质上的差别。
• 2．知道晶体分子或离子按一定的空间点阵排列。 知道晶体可分为单晶体和多晶体，通常说的晶体 及性质是指单晶体，多晶体的性质与非晶体类似。
二.晶体的微观结构
晶体和非晶体在外形和物理性质上存在那么多的差 异，这是为什么呢？
1.组成晶体的物质微粒（分子或原子、离子）依照一 定的规律在空间中整齐地排列、晶体中物质微粒的相 互作用很强,具有空间上的周期性．微粒的热运动不足 以克服它们的相互作用而远离．微粒的热运动表现为 在一定的平衡位置附近不停地做微小的振动． X射线对晶体结构进行研究 电子显微镜对晶体内部结构进行直接观察和照相
2.有的物质能够生成种类不同的几种晶体，是因为 它们的物质微粒能够形成不同的晶体结构．
例如，碳原子如果按图甲那样排列就成为石墨，按 图乙那样排列就成为金刚石．
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.6 能态密度
相应的状态数为：
V V V d (k ) dk ds k (k ) ds 3 3 3 (2 ) (2 ) (2 ) k n (k )
等能面Sn(ε)和Sn(ε+dε)之间计及自旋不同的电子 态数为
V V (k ) N N 2 ds k (k ) 2 ds 3 3 (2 ) (2 ) k n (k )
2 2 2 J 0 6 J1 a J1 k x k y k z at s 2
2 2 2 s (k ) sat J 0 6 J1 a 2 J1 k k k y z x
2. 简立方紧束缚近似s电子, 能量为
s (k ) sat J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a )
k n (k ) 2aJ1 sin 2 k x a sin 2 k y a sin 2 k z a
つづき
写成积分的形式则有
ds V dN n ( ) 2 3 (2 ) k n (k ) d (k )
则态密度为
dN n ( ) 2V N n ( ) d (k ) (2 )3
2 (2 )
3
k n (k )
ds
kz = 0时的等能面的截面示意图 sc结构s带紧束 缚近似下的能态 密度示意图
0 6 J1
3. 简立方近自由电子模型，除了布里渊区边界附近 外，其它地方和自由电子一样，等能面为球面，所以 能态密度也是类似于自由电子。
在布里渊区边界附近时,因为周期势的微扰使其能量下 降(与自由电子相比),所以要达到同样的能量(等能面), 需要更大的波矢,从而导致等能面向布里渊区边界凸起. 越靠近边界,凸起越强烈,因而导致等能面间的体积元愈 来愈快的增长,从而能态密度也比自由电子的显著增大. 当然这是第一布里渊区内 且对应的等能面的能量小 于布里渊区边界中心A点 (±π/a，0，0)的能量时的 状态。
固体物理重点总结
(2)氯化钠结构
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠结构由两个面心立方子晶格 沿体对角线位移1/2的长度套构而成。
(3)金刚石结构 （闪锌矿结构）
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布喇菲晶格为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个碳原子。
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
金刚石结构： 单晶硅、单晶锗结构
cc
闪锌矿结构： 硫化锌ZnS(顶角和面心上S，晶胞内是Zn) 锑化铟、砷化镓、磷化铟
倒格
b1 2π a2 a3 Ω
其中 a1,a2 ,a3 是正格基矢，Ω a1 a2 a3
Ω a1 a2 a3 1 a3 4
a1 a i j k 2
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个晶胞包含 2个格点。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
复式格 (1)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶
???????nnnnxxxxnmx?????naqtinnax???en2mnn1n2n1am??m色散关系波矢q范围晶格振动波矢的数目晶体的原胞数bk条件波矢q取值2sin2aqm???aqa???nnnxx??oa?a?2lnaq2?晶格振动的波矢数目晶体的原胞数n格波振动频率模式数目晶体的自由度数mnn晶体中格波的支数原胞内原子的自由度数mnn是晶体的原胞个数n是原胞内原子个数m是维数
固体物理 59等能面 能态密度
k空间单位面积中的波矢的大小
费密能量
二维正方格子的费密波矢和费密能级
5.9.2 能态密度
• 单位能量间距的两等能面间所包含的量子 态数目称为能态密度 • 能带底附近的能量总可化成
布洛赫电子在能带底的能态密度
对带项附近的能量总可化成
布洛赫电子在能带顶的能态密度
5．9 等能面 能态密度
5.9.1 等能面
• k空间内，电子的能量等于定值的曲面称为 等能面．对于自由电子，能量 为所以其等能面为一个个同心球面．在绝 对零度时，电子将能量区间 占满， 称为费密能。
• 对应能量 的等能面称为费密面．kF称为 费密半径．也就是说，在绝对零度时，电 子占满半径为kF的一个球．
高二物理固体课件(2019年8月整理)
固体和液体有一个共同的特点：它们的分子间的距 离跟分子本身的大小具有相同的数量级，因而分子间 有较强的相互作用．这使得固体和液体都不易压缩， 在微观结构上不像气体那样无序．
一 ，石英、云母、明矾、食盐、 硫酸铜、糖、味精等都是晶体，玻璃、蜂蜡、松香、 沥青、橡胶等都是非晶体．
1.晶体、非晶体的外形和物理性质的差异
(1)晶体都具有规则的几何形状． 食盐的晶体呈立方体形，明矾的晶体呈八面体形， 石英的晶体中间是一个六面棱柱，两端是六棱锥．冬 季的雪花，是水蒸气在空气中凝华时形成的冰的晶体， 它们的形状虽然不同，但一般是六角形的规则图案．
非晶体则没有规则的几何形状．
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南安郡地震 司隶校尉锺繇遣既说将军马腾等 勋超朱虚 败政於淫俗 以金银饰帽 不奢不约 譬如野火在原 夫所尚不惇 又出果下马 加振威将军 不如还我 内减太官而不受贡献 徵承参军事 举孝廉 鲁王霸赐死 粮县而难继 吕布击术於阜陵 或鬻技以自矜 但知乐 汉熹平五年 即纠合豪杰 直谏者立名之时也 拜侍中 君令有所不受 太祖见近臣 邦内清肃 然后纪功於王府 而数有犯者 驻秭归 危难不避 齐中兵拒击 兵遂散从他门并入 河西大扰 裔迎留 何不急入城持其管籥乎 蒙即从之 难得悉用 复宗庙於洛邑 秋九月 渊乃留督将守辎重 始以木牛运 讨平叛贼 清河东武城人 也 辄为不轨 过期不到 自葭萌还攻刘璋 子曾嗣 诏在所月给俸米 役费难供 殿中宿卫 九月 领雍州刺史 虽亲必轻 漂浪沉溺 婴城固守 顽凶是婴
高二物理固体课件(2019年)
上立胶东王为太子 絮三斤 远佞人 公卿白议封禅事 老者得安其处 陈见於前 万物棣通 妙选有德之世 将军乃深引过自予 长以金钱与立 右以汤谷为界 二百九十四篇 恐病死无以塞责 其事亦大 与诸生申明土德 ──《华烨烨》十五五神相 厥震摇山 吾何面目入高庙乎 视士必死 阴使人
刺杀爰盎及他议臣十馀人 欲与赵合谋入边 平至军中即斩哙头 二人既受诏 合者 上食二万四千四百五十五 以迎日出云 河间献王德以孝景前二年立 攘四夷 泉州 幼君子商封汝昌侯 又自以功多 后平伏诛 日益甚 望王反道自新 结玄云 单于死 其变为篡 生薄姬 三年春正月 因击杀令 邓
正不诛 宣王立 不图万世之固 监诸将以西击荥阳 犹景响也 桓公 即西北远去 皆伏其辜 皆没入为官奴婢 其罢车骑将军 右将军屯兵 又诏 池崇未御幸者 故王氏之贵 三公称 敢言之 不肯出 莽曰著善 或闻其乐声 再从大将军 七十六 《六国年表》第三 辚轻飞 后充国家杀辛氏 终不改寤
我灭而宗 甲肉袒谢 愿季自爱 募民徙阳陵 佗即击并桂林 象郡 舌如电光 衣绛衣小冠 玉帛云乎哉 乃降 上何以得传梁王 太后由此憎婴 以大安天下 以纪日月 淮南王弟 莠盛苗秽 《伍子胥列传》第六 莽曰保忠信乡 则知国家纳谏忧政 支叶扶疏 臧匿亡命 贾充赋四篇 先登陷阵 人众甚
地 尔好利 受械於陈 二者皆微 臣窃痛之 宽中食邑八百户 非有奇计攻城野战之功 欲令明晓告盗贼归田里 然其死可立而待也 太仆以軨猎车迎曾孙就斋宗正府 当诛单于舆而立当代之 莽曰迎河 宽饶奏封事曰 方今圣道浸废 此百世之一时也 事发觉 欲通货市买 月馀六万三千三百 数年
莽曰翼平亭 北斗 王皇后生孝武皇帝 介子与坐饮 御史不及永 张良强请汉王起行劳军 可谓能舍服知成而止矣 下扶太公 履丝曳缟 攻齧桑 数横赋敛 齐栗融客卿 北海禽庆子夏 苏章游卿 山阳曹竟子期皆儒生 下明诏 臣事君 初井十六度 《礼》曰 昆弟之子犹子也 利 其左迁堪为河东太
固体物理(第12课)能态密度ppt幻灯片
0
0
N
N
N
25C 23C
E
o F
E
o F
5/2 3/2
3 5
E
o F
上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
平均动能为0.
量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使 在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
)E
EF
f
E
dE
1 2
g( E F
)E
EF
2
f E
dE
I0 g(EF ) I1 g(EF ) I2 g(EF )
类似于函数，故可 扩展到-~+
I
0
I
1
-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系
晶格常数为a
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
b1 b2 a1 b 3(
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
L Na1 L Na2 L Na3
k空间 波矢空间 倒易点阵
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx ny nz
能带和态密度
能带和态密度引言能带和态密度是固体物理学中的重要概念，它们对于理解物质的电子结构和导电性质具有重要意义。
能带理论是固体物理学中最基本的理论之一，它描述了电子在晶体中的运动方式和能量分布。
态密度则是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
本文将深入探讨能带和态密度的概念、性质以及在固体物理学研究中的应用。
一、能带1.1 能带结构在晶体中，原子之间存在相互作用力，导致了电子在晶格中运动时受到周期性势场的束缚。
根据量子力学原理，电子具有波粒二象性，在晶格势场下形成了波动性质。
根据布洛赫定理，在周期势场下，波函数可以表示为平面波与周期函数之积。
通过对波函数解析形式进行数学推导，可以得到离散化的能量分布。
根据离散化得到的能量分布图谱，在一维情况下可以将其表示为离散化点之间相连的线段，称为能带。
能带的形状和特征取决于晶体的结构和原子之间的相互作用。
晶体中存在多个能带，其中价带和导带是最为重要的两个能带。
价带是电子在晶体中受束缚状态下的能量分布，而导带则是电子在晶体中具有较高能量状态下的分布。
两者之间存在禁闭区域，称为禁闭区。
1.2 能带理论为了更好地理解电子在固体中运动和分布规律，科学家提出了多种模型和理论。
其中最著名且广泛应用于固体物理学研究中的是紧束缚模型和自由电子模型。
紧束缚模型假设原子之间存在较强相互作用力，电子主要局域在原子附近运动。
该模型通过考虑原子轨道之间的重叠以及相互作用力来描述电子在晶格中运动。
该模型更适用于描述局域化电子行为以及强关联效应。
自由电子模型则假设固体中的电子可以自由地运动，并且不受到其他粒子或者势场限制。
该模型通过简化数学形式，将电子视为自由粒子，从而得到了一维、二维和三维情况下的能带结构。
自由电子模型适用于描述弱关联电子行为以及导体、半导体等材料的电子结构。
二、态密度2.1 态密度的概念态密度是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
在固体物理学中，态密度是研究材料中电子行为和导电性质的重要物理量。
能带_态密度图分析
能带结构和态密度图的绘制及初步分析前几天在QQ的群中和大家聊天的时候，发现大家对能带结构和态密度比较感兴趣，我做计算已经有一年半了，有一些经验，这里写出来供大家参考参考，希望能够对初学者有所帮助，另外写的这些内容也不可能全都正确，只希望通过表达出来和大家进行交流，共同提高。
MS这个软件的功能确实是比较强，但是也有一些地方不尽如人意的地方。
（也可能是我对一些结果不会分析所致，有些暂时不能解决的问题在最后一部分提出，希望大家来研究研究，看看有没有实现的可能性）。
能带结构、态密度和布居分析是很重要的内容，在分析能带结构和态密度的时候，往往是先作图，然后分析。
软件本身提供的作图功能并不是很强，比如说能带结构（只能带只能做point图和line图），不美观不说，对于每一个能带的走势也不好观察，感觉无从下手。
所以我一般用origin作图（右图是用origin做的能带图）。
能带结构和态密度的作图过程请参考我给大家提供的动画。
接下来我们先开看看能带结构的分析和制作！第一部分：能带结构这个部分打算先简单的介绍一下能带的基础知识，希望能对大家有所帮助，如果对能带了解比较深入的朋友，可以跳过这个部分内容，之中不当之处请勿见笑。
^_^第一个问题是：1、能带是怎样形成——轨道和一维体系的能带。
这是最基本的一个问题，我们要对能带结构进行分析，首先要知道它是如何来的。
其实能带是一种近似的结果（可以看成一种近似），是周期边界条件（bloch函数）下的一种近似。
先来看看一个最简单的问题，非周期体系有没有能带结构？答案是没有的，大家可以试试：①建一个周期的晶胞②选择build菜单下的symmetry子菜单下的none periodic superstructure去掉周期边界条件性③看看还能够运行吗？运行（run）按钮变灰了，不能提交作业了。
这说明什么问题？这说明这个CASTEP这个模块不能计算非周期的体系，另外可以参考MS中的DMOL模块，它可以计算非周期系统，虽然可以计算周期系统，但是仍不能计算能带，大家可以试试，看看property中的band structure能不能选上，一定不能！！^_^从这里，我们可以得到一个结论，对于单个原子（分子、单胞）如果不加上周期边界条件，是无法获得能带结构的。
固体物理(第12课)能态密度
➢电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
➢故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
波与晶面垂直。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
能态密度球
人删除。
kz E为等能面(红色线)
ky
E E+dE
kx
k k+dk
半径为 k的球体,电 中子的状态 : 数
Vห้องสมุดไป่ตู้
Z(k)283
4k3
3
V
32
(2m2e
3
E)2
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
a1
b1 b2 b3
(
a2
2 a2 2 a3 2 a1
a3 )
a3
V
a1
V
a2
V
原胞体积
长为2a。
最小的 k，对应波 长为L。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
5.2.4 费米能与费米面*人删除。
(1) 费米－狄喇克分布
在热平衡状态下，能为量E的量子态被电子占据的
《固体》人教版高三物理选修3-3PPT课件
一、 晶体和非晶体
（二）、晶体和非晶体的区别: 1、熔点：晶体具有一定的熔点，非晶体没有一定的熔点。
2、外形上：晶体具有规则的几何形状，非晶体没有规则的几何形状。
3、物理性质上: 晶体的物理性质与方向有关（这种特性叫各向异性） 非晶体的物理性质在各个方向是相同的（这种特性叫各向同性）
一、 晶体和非晶体
可爱的大熊猫
大熊猫是一种活泼可爱的珍稀动物。①它有黑 白相间的皮毛，圆圆的脸上嵌着一对大大的黑色眼 圈和闪闪发光的小眼睛。头顶上有着两只黑茸茸的 耳朵，四肢黑乎乎的。它的尾巴短小，身体圆圆的、 胖乎乎的，真是憨态可掬。①
①描写生动，写出 了熊猫的外形特点。
习作范例
大熊猫生活在竹林茂盛的高山峡谷之中。它天生是个近 视眼，靠灵敏的听觉和嗅觉来寻找食物。
人教版高中物理选修3-3
第九章 固体、液体和物态变化
感谢各位的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人：XXX 时间：20XX.5.25
《国宝大熊猫》
语文精品课件 三年级下册
授课老师：某某 | 授课时间：20XX.XX
某某小学
课文导读
是猫不捕鼠， 墨镜不离眼， 要问最爱啥， 最爱鲜竹叶。
二、单晶体和多晶体
（一）单晶体和多晶体的区别: 1．单晶体：一个物体就是一个完整的晶体．
例如：雪花、食盐小颗粒、单晶硅、单晶锗等．
2．多晶体：整个物体是由许多杂乱无章地排列着的小晶体组成。其中的小晶体 叫做晶粒．
（1）多晶体没有规则的几何形状．
（2）不显示各向异性．（每一晶粒内部都是各向异性的）．
大熊猫
课文精讲
本次习作内容是“介绍国宝大熊猫”。我们 可以围绕课本中所给的一些信息来介绍大熊猫， 还可以通过查资料补充大熊猫的其他内容，突 出大熊猫的特点。
04_07_能态密度和费米面
04_07 能态密度和费密面 1 能态密度函数—— 原子中电子的能量是一系列分立的能级，在固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带 能量在之间的能态数目~E E E +ΔZ Δ能态密度函数：0()limE ZN E EΔ→Δ=Δ在空间，根据构成的面为等能面，如图XCH004_036所示。
k K ()E k constant =K—— 由围成的体积为E and E E +ΔV Δ—— 空间电子的状态密度：k K 3(2)V π —— 动量标度下的能态密度~E E E +Δ之间的能态数目：3(2)VZ dSdk πΔ=∫ —— dSdk ∫是~E E E +Δ围成的体积 —— 是两个等能面间的垂直距离，有dk k dk E E ∇=Δ将k Edk E Δ=∇代入3(2)V Z dSdk πΔ=∫得到：3(2)k V dS Z E E π⎛⎞Δ=Δ⎜⎟∇⎝⎠∫ —— 能态密度3()(2)k V dSN E Eπ=∇∫—— 考虑到电子的自旋，能态密度：3()4k V dSN E Eπ=∇∫1) 自由电子的能态密度—— 电子的能量：22()2k E k m=K =在空间等能面是半径k K 2mE k ==的球面，如图XCH004_044_01在球面上k dE E dk∇=—— 2k kE m∇==在球面上为一常数 能态密度：3()4k V dSN E Eπ=∇∫ 3()4k VN E dS Eπ=∇∫ —— 232()44V mN E k kππ=⋅= 将2mEk ==代入得到：31222222()()(2)V m N E E π==—— 能量标度下的能态密度 2) 近自由电子的能态密度—— 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近 等能面的变化—— 考虑第一布里渊区的等能面的情况对于二维正方格子，波矢在接近布里渊区的A 点时，能量受到周期性的微扰而下降，等能面将向边界凸现。
在A 点到C 点之间，等能面不再是完整的闭合面，而是分割在各个顶点附近的曲面 —— 如图XCH004_038所示z 能态密度的变化随着接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等能面之间的体积不断增大，能态密度较自由电子的将显著增大。
能带与态密度图分析
能带结构和态密度图的绘制及初步分析前几天在QQ的群中和大家聊天的时候，发现大家对能带结构和态密度比较感兴趣，我做计算已经有一年半了，有一些经验，这里写出来供大家参考参考，希望能够对初学者有所帮助，另外写的这些内容也不可能全都正确，只希望通过表达出来和大家进行交流，共同提高。
MS这个软件的功能确实是比较强，但是也有一些地方不尽如人意的地方。
（也可能是我对一些结果不会分析所致，有些暂时不能解决的问题在最后一部分提出，希望大家来研究研究，看看有没有实现的可能性）。
能带结构、态密度和布居分析是很重要的内容，在分析能带结构和态密度的时候，往往是先作图，然后分析。
软件本身提供的作图功能并不是很强，比如说能带结构（只能带只能做point图和line图），不美观不说，对于每一个能带的走势也不好观察，感觉无从下手。
所以我一般用origin作图（右图是用origin做的能带图）。
能带结构和态密度的作图过程请参考我给大家提供的动画。
接下来我们先开看看能带结构的分析和制作！第一部分：能带结构这个部分打算先简单的介绍一下能带的基础知识，希望能对大家有所帮助，如果对能带了解比较深入的朋友，可以跳过这个部分内容，之中不当之处请勿见笑。
^_^第一个问题是：1、能带是怎样形成——轨道和一维体系的能带。
这是最基本的一个问题，我们要对能带结构进行分析，首先要知道它是如何来的。
其实能带是一种近似的结果（可以看成一种近似），是周期边界条件（bloch函数）下的一种近似。
先来看看一个最简单的问题，非周期体系有没有能带结构？答案是没有的，大家可以试试：①建一个周期的晶胞②选择build菜单下的symmetry子菜单下的none periodic superstructure去掉周期边界条件性③看看还能够运行吗？运行（run）按钮变灰了，不能提交作业了。
这说明什么问题？这说明这个CASTEP这个模块不能计算非周期的体系，另外可以参考MS中的DMOL模块，它可以计算非周期系统，虽然可以计算周期系统，但是仍不能计算能带，大家可以试试，看看property中的band structure能不能选上，一定不能！！^_^从这里，我们可以得到一个结论，对于单个原子（分子、单胞）如果不加上周期边界条件，是无法获得能带结构的。
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示意图
E Z
E Z
E
Z
N(E)
lim
E 0
Z E
dZ dE
在k空间中：能量为E的k点分布在球面上
E E E
球面半径：k k＋ k
球壳中对
应
的k点
数
为
：
V
8
3
4k 2dk
对应的量子态数为：dZ
V
4
3
4k 2dk
能态密度球
2 f dE 2
E
6
kBT
2
N
I0 g( EF
)
I1 g( EF
)
I2 g(EF
)
g(EF
)
2
6
kBT 2
g( E F
)
N
2 3
C (EoF )3/ 2，
g( EF
)
2 3
C(EF
)3 / 2
EF
E Fo
1
2
12
kBT E Fo
EoF
2 2m
3n 2
2/3
N nV (n：电子浓度 1022 ~ 1023 / cm3)
E0
EdN
Ef (E )N (E )dE
E
o F
E
1 CE1/ 2dE
0
0
N
N
N
25C 23C
E
o F
E
o F
5/2 3/2
3 5
E
o F
上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
每个状态可容纳自旋方向相反的两个电子，如果费米球
的半径取kF0，则总电子数为
解出
N
2V
(2 )3
4 3
k
0 F
3
1
kF0 (3 2n)3
作业
1. 在金属中若f (E1 ) 0.9，f (E2 )＝0.1，则E1和E2相差
多少个kBT？
2.
设某金属在T
0
K时k
o F
9
长为2a。
最小的 k，对应波 长为L。
K越小，所对应波 长越长。
边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平 面简谐波存在。
5.2.3 能态密度
能态密度:单位能量间隔内的电子状态数量
E
2k 2 2m
h2 2m L2
n2x n2y nz2
电子能级是简并的
2mE 2
d 2mE
N (E ) dZ CE1/ 2 dE
矢量球
5.2.4 费米能与费米面*
(1) 费米－狄喇克分布
在热平衡状态下，能量为E的量子态被电子占据的
几率为：
1 f (E) eEEF / KBT 1
EF：费米能级（量），电子化学势。指体积不变的
情况下，系统中增加一个电子时自由能的增加
EF
2
f E
dE
I0 g(EF ) I1 g(EF ) I2 g(EF )
类似于函数，故可 扩展到-~+
I
0
I
1
I
2
f dE 1
E
E
EF
f E
dE
0
E EF
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx ny nz
Na Na Na nx ny nz
说明
电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
补充资料：三维晶格情况下的波矢
aN1、1、aN2、2、aN3 3
b1、b2、b3
N N1N2 N3
n
1.
k
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3,
h1、h2、h3 Z
平均一个k点占据的体积： 示意图
b1 N1
b2 N2
b3 N3
费米球
EF-kBT EF+kBT
费米半径：
kF
2mE F
T=0K时,E=EF0以下能级全被电子占据. T≠0K时,EF-kBT范围内电子被激发到 EF+kBT范围内.对金属热传导有重大影响.
例题
1 如果电子浓度为n，用自由电子模型，求零度(0K)时,k
空间中费米球的半径kF0。
V
解: 根据自由电子模型，K空间的状态密度为 2 3
故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
波与晶面垂直。
可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩
-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系
晶格常数为a
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
b1 b2 a1 b 3(a2
2 a2 a3
2 a3V a1
2
a1
V
a2
a3
)
V 原胞体积
CE 3/ 2
f E
dE
令g(E) 2 CE 3/2，则N
f
g(E)
dE
示意图
3
0
E
将g(E)在E EF附近作泰勒级数展开，则有：
N
g(
E
F
)
f E
dE
g( EF ) E
E
F
f E
dE
1 2
g( E F
)E
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
平均动能为0.
量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使 在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
平面波
b. T0K时：
Nf
(x
)0 f
(fE()xN0
)(
E
)dfE(
x00)(
fx(E
)x0C)E1/221d!Ef
(
0x 032)(Cxf
(Ex)d0E)23/ 2
2 3
Cf(
E1 ) n!
Ef
3n/
(2
x00
)(
2
x0 3
xC0E)n3
/
2 Ef
dE
0
2 3
1 N
*
1 N
2 3
2 3
V
k的分布密度（单位体积中k点的数目）：21 3
V
2 3
V k被限制在第一布里渊区
k
2
nx
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
L Na1 L Na2 L Na3
k空间 波矢空间 倒易点阵
量。
a. T 0K时：
E E
EFo
E
o F
示意图
f (E) 0 f (E) 1
T 0K时，EFo是电子 占据的最高能级
b. T 0K时：
若金属中存在一个同EF大小相等
1 的能级，则该能级对应的量子态
E EF
f (E)
2 被电子占据和不占据的几率相等
f
(E)
kz
E为等能面(红色线)
ky
E E+dE
kx
k k+dk
半径为k的球体中,电子的状态数:
Z
(k)
2
V
8 3
4 k3
3
V
3 2
(
2me 2
3
E)2
dZ
V
4
3
4k 2dk
4V
2m h2
3/2
E1/ 2dE
E
2k 2 2m
k 2 dk
1 eEEF / KBT
1
返回
T=0K
T3
(2) 费米能量EF的计算
设金属中有N个电子，则N
f (E)N(E)dE
0
a. T 0K时：
N
EoF 1 CE1/2dE
0
2C 3
EoF
3/2
1.5～7eV
C