配方法解一元二次方程.2用配方法求解一元二次方程
2.2.2用配方法求解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用配方法求解一个具体的一元二次方程，从而直观地看到结果。
3.培养学生的数学运算能力，熟练运用配方法解一元二次方程，提高解题效率；
4.培养学生的数据分析能力，让学生在解决一元二次方程问题时，能够分析问题、提炼关键信息，并进行合理判断；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握配方法的基础上，探索和尝试新的解题方法，提高解决问题的灵活性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实际问题的数学建模：培养学生将现实问题抽象成一元二次方程，并运用配方法求解的能力。
-重点细节：
-识别问题中的已知量和未知量，建立方程模型；
-将实际问题中的条件转化为方程的约束条件；
-运用配方法求解方程，得出问题的解答。
2.教学难点
-配方法的推导过程理解：学生需要理解配方法背后的数学原理，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
-难点举例：
-学生可能会对为什么要添加和减去同一个数感到困惑；
-对于如何将方程转化为完全平方公式感到不熟悉。
-配方法在实际问题中的应用：将配方法应用于解决实际问题，需要学生具备一定的分析能力和创造性思维。
-难点举例：
-在实际问题中，学生可能难以找到合适的方程模型；
-在应用配方法时，可能会出现计算错误，导致最终答案错误。
-配方法的步骤及应用：配方法是一元二次方程求解的重要方法，本节课的核心是让学生掌握配方法的步骤，并能将其应用于求解实际问题。
用配方法求解一元二次方程
的平方，而另一边是一个非负实数时，可根据平方根的 意义，通过开平方求出这个方程的解。
对比探究，解决问题
问题2：做一做，填上适当的数，使下列等式成立。
x2+12x+( 62)=(x+6)2 x2+4x+( 22 )=(x+ 2 )2 x2-8x+( 42 )=(x- 4 )2
运用已有知识解决新问题。
创设情境，提出问题
要使一块矩形场地的长比宽多8米，并且 面积为9平方米，场地的长和宽各是多少？ （1）这个问题如何解决？
x·(x+8)= 9
↓
x2+8x-9= 0
（2）如何解列出的方程？
对比探究，解决问题
问题1：你会解下列一元二次方程？你是怎么做的？
(1) x2=5 (2)(x+2)2=5 (3) x2+6x+9=5
板书设计：
一、一元二次方程的一般形式 二、完全平方公式 三、平方根的概念 四、配方法的步骤
=25
变形
开平方，得
x+4=±5,
开方
即 所以
x+4=5,或x+4=-5.
求解
x1=1, x2=-9(如有实际问题背景则舍去）
.
对比探究，解决问题
什么是配方法？
通过配成完全平方形式求出一元二次方 程 的解的方法，称为配方法。
配方法的步骤：
移项 配方 变形 开方 求解
随堂练习，巩固深化
北师大版·九年级数学上册·第二章·一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
第一课时
知识目标
理解配方法，会利用配方法
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程首先，我们来看一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0。
要用配方法解这个方程，首先需要将方程的左边进行配方，使其变成一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程的左边ax^2+bx进行配方，即加上一个适当的常数，使得它可以写成一个完全平方的形式。
2. 然后再将方程的右边加上相同的常数，以保持方程的平衡。
3. 接下来，将方程化简成一个完全平方的形式，即(x+m)^2=n，其中m为常数，n为非负常数。
4. 最后，对完全平方形式的方程进行求解，得到方程的解。
通过这样的步骤，我们可以用配方法解一元二次方程。
下面，我们通过一个具体的例子来演示一下。
例，解方程x^2+6x+9=0。
首先，我们将方程的左边x^2+6x进行配方，加上一个适当的常数，使得它可以写成一个完全平方的形式。
这里我们加上9，得到(x+3)^2。
然后再将方程的右边加上相同的常数，以保持方程的平衡，得到x^2+6x+9=9。
接下来，将方程化简成一个完全平方的形式，即(x+3)^2=9。
最后，对完全平方形式的方程进行求解，得到x+3=±3，即x=-3±3。
因此，方程x^2+6x+9=0的解为x=-3+3和x=-3-3，即x=-6和x=0。
通过这个例子，我们可以看到用配方法解一元二次方程的具体步骤和原理。
配方法是一种简单而有效的方法，通过将方程进行配方，使其变成一个完全平方的形式，然后再对完全平方形式的方程进行求解，即可得到方程的解。
总之，用配方法解一元二次方程是一种常用且有效的方法，通过将方程进行配方，使其变成一个完全平方的形式，然后再对完全平方形式的方程进行求解，即可得到方程的解。
希望通过本文的介绍，可以帮助大家更好地理解和掌握用配方法解一元二次方程的方法和原理。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 导学案
2用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 导学案学习目标1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，探究配方法的意义。
2、通过以前所学的开平方方法，初步了解配方法；3、牢记配方法的一般步骤.学习过程一.复习回顾：1.利用直接开平方法解下列方程（1）9x 2=1 (2)(x+3)2=52.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征?3.下列方程能用直接开平方法来解吗？（1）x 2+12x+36=9（2）x 2+6x-15=0二.新课学习：1.例题练习交流探讨并回答问题：（1）你会如何解此方程：x 2-6x-40=0 呢？移项，得 x 2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x 2-6x+32=40+32即 （x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x 1=10,x 2=-4（2）做一做，填一填（1）x 2+2x+ =(x+ )2（2）x 2-8x+ =(x- )2（3）y 2+5y+ =(y+ )2（4）y 2-21y+ =(y- )2问题：你能从中总结出什么规律吗？2、例题学习并思考下列问题：例1: 用配方法解方程：x 2+12x-15=0解：移项得x 2+12x=15，两边同时加上62得，x 2+12x+62=15+36，即(x+6)2=51两边开平方，得x 1=651-；x 2=-651-（1）配方法的特点？（2）配方法的步骤？三.尝试应用：1、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -= 2、用配方法把方程210x x +-=化为21()2x m +=，则m= .3、用配方法解方程：x 2-23x+118=0;四.自主总结：1、配方法:通过配成 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 .2、用配方法解一元二次方程的步骤::把常数项移到方程的右边;:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式:根据平方根意义,方程两边开平方;:解一元一次方程;:写出原方程的解.五.达标测试一、选择题1．用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A ．（x+2）2=3B ．（x-2）2=3C ．（x-2）2=5D ．（x+2）2=52．用配方法解一元二次方程x 2－4x+3=0时可配方得（ ）A ．(x －2)2=7B ．(x －2)2=1C ．(x+2)2=1D ．(x+2)2=23．用配方法将代数式a 2+4a-5变形，结果正确的是（ ）Ａ． (a+2)2-1Ｂ．(a+2)2-5 Ｃ．(a+2)2+4 Ｄ．(a+2)2-9 二、填空题4．填上适当的数，使下面各等式成立：（1）x 2+3x+_______=(x+________)2；（2）_______-3x+14=(3x_______)2； （3）4x 2+_____+9=(2x________)2； （4）x 2-px+_______=(x-_______)2；（5）x 2+b a x+_______=(x+_______)2.5．x 2x+_____=（x-______）2．6．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：（1）x 2+px+________=（x+_______）2；（2）x 2+b ax+_________=（x+_______）2 三、解答题7．用配方法解方程：（1）x 2+4x-3=0（2）x 2﹣4x+1=0．达标测试答案：一、选择题1．A ．【解析】试题分析：移项得，x 2+4x=-1，配方得，x 2+4x+22=-1+4，（x+2）2=3，故选A ．2．B 【解析】原方程化为22441,(2)1,x x x -+=-=故选B3．D 【解析】a 2+4a-5=a 2+4a+4-4-5=（a+2）2-9，故选D ．二、填空题 4．（1）93,42；（2）9x 2，12-；（3）12x ，+3；（4）2,42p p ；（5）22,42b b a a5．12；2 【解析】试题分析：根据常数项等于一次项系数一半的平方，即可得到结果。
2 用配方法求解一元二次方程
(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
1.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标．
2．知识的综合与拓展，提高应考能力.
（续表）
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．课本P39中的随堂练习
【拓展提升】
例1[安徽中考]解方程：x2－2x＝2x＋1.
例2解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
1.对本节知识进行巩固练习，可让学生进一步熟悉用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.
2.知识的综合与拓展，提高应考能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P37中的随堂练习
④[习题反思]
好题题号________________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
第
课题
第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．通过经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．
④x2＋10x＋________＝(x＋________)2.
(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.
①x2＋6x＋8＝0；
②3x2＋18x＋24＝0.
探讨：方程②应如何去解呢？
2.复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？
.2 用配方法解一元二次方程（教案练习）
2.2.1.2 用配方法解一元二次方程班级：___________姓名：___________得分：__________（满分：100分，考试时间：40分钟）一．选择题（共5小题，每题8分）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上（）A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣42．用配方法解方程x（x﹣2）﹣5=0时，可将原方程变形为（）A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6C．（x﹣1）2=5 D．（x﹣2）2=53．用配方法解下列方程，配方正确的是（）A．3x2﹣6x=9可化为（x﹣1）2=4B．x2﹣4x=0可化为（x+2）2=4C．x2+8x+9=0可化为（x+4）2=25D．2y2﹣4y﹣5=0可化为2（y﹣1）2=64．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2=70711 B．（x+17）2=71289C．（x﹣17）2=70711 D．（x﹣17）2=712895．方程x2﹣4x﹣7=0的两个根为（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题，每题8分）6．用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣）2=．7．一元二次方程x2+2x﹣4=0的解是．8．把一元二次方程x2﹣4x+3=0配方成（x+a）2=b的形式，则a+b=．9．将一元二次方程﹣x2+6x﹣5=0化成（x﹣m）2=n的形式，则﹣（m﹣n）2017=．10．写出方程x2+x﹣1=0的一个正根．三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第13题10分）11．（1）x2﹣6x﹣6=0（2）2x2﹣7x+6=012．小明在解方程x2﹣2x﹣1=0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x=﹣1（第一步）x2﹣2x+1=﹣1+1（第二步）（x﹣1）2=0（第三步）x1=x2=1（第四步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．13．根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．试题解析一．选择题1．A【分析】方程两边加上一次项一半的平方，计算即可得到结果．【解答】解：用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上16，变形为x2﹣8x+16=25．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．A【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后再配方．【解答】解：x（x﹣2）﹣5=0，x2﹣2x=5，x2﹣2x+1=6，（x﹣1）2=6．故选：A．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．A【分析】利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果．【解答】解：A、3x2﹣6x=9可化为（x﹣1）2=4，故选项正确；B、x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4，故选项错误；C、x2+8x+9=0可化为（x+4）2=7，故选项错误；D、2y2﹣4y﹣5=0可化为（y﹣1）2=，故选项错误．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．B【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：x2+34x﹣71000=0x2+34x=71000x2+34x+172=71000+172（x+17）2=71289故选：B．【点评】题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．5．B【分析】直接利用配方法解方程进而得出答案．【解答】解：x2﹣4x﹣7=0x2﹣4x+4=7+4（x﹣2）2=11则x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配方是解题关键．二．填空题6．1；【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，故答案为：1；【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．﹣1【分析】配方法求解可得．【解答】解：∵x2+2x=4，∴x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，则x+1=，即x=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．-1【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，则把方程左边写成完全平方的形式得到（x﹣2）2=1，于是得到a=﹣2，b=1，然后计算a+b即可．【解答】解：x2﹣4x=﹣3，x2﹣4x+4=1，（x﹣2）2=1，所以a=﹣2，b=1，所以a+b=﹣2+1=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．1【分析】先利用配方法得到（x﹣3）2=4，则m=3，n=4，然后利用乘方的意义计算﹣（m ﹣n）2017的值．【解答】解：x2﹣6x=﹣5，x2﹣6x+9=﹣5+9，（x﹣3）2=4，所以m=3，n=4，所以﹣（m﹣n）2017=﹣（3﹣4）2017=1．故答案为1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10．【分析】找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可得到结果．【解答】解：这里a=1，b=1，c=﹣1，∵△=1+4=5，∴x=，则方程的一个正根为．故答案为：．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．三．解答题11．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣6x=6，x2﹣6x+9=15，（x﹣3）2=15，x﹣3=±，所以x1=3+，x2=3﹣；（2）（x﹣2）（2x﹣3）=0，x﹣2=0或2x﹣3=0，所以x1=2，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．12．【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2=2，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．故答案为一；不符合等式性质1；（1）x2﹣2x=1，x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．13．【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据规律，可得答案．【解答】解：①方程x2﹣x﹣2=0的解为x1=﹣1，x2=2；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为x1=﹣1，x2=3；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为x1=﹣1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为x1=﹣1，x2=10；②x2﹣9x﹣10=0，移项，得x2﹣9x=10，配方，得x2﹣9x+=10+，即（x﹣）2=，开方，得x﹣=x1=﹣1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．故答案为：x1=﹣1，x2=2；x1=﹣1，x2=3；x1=﹣1，x2=4；x1=﹣1，x2=10；x2﹣nx﹣（n+1）=0．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．。
《用配方法求解一元二次方程二》优秀教案
第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。
学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。
二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。
这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节复习回顾活动内容：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，2-6-40=0移项，得2-6= 40方程两边都加上32一次项系数一半的平方），得2-632=4032即（-3）2=49开平方，得-3 =±7即-3=7或-3=-7所以1=10,2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。
配方法求解一元二次方程
配方法求解一元二次方程（原创实用版3篇）目录（篇1）一、配方法求解一元二次方程1.介绍一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0（a≠0）2.配方法介绍：将一元二次方程移项，加上一次项系数一半的平方，得到：ax+bx+c+bx=0+bx3.配方法步骤：（1）移项，将方程化为x=a-b/2x（2）加上一次项系数一半的平方，得到x+bx+b/4x+bx+c=a-b/2x+b/4 （3）化简，得到x+bx+b/4x+b/4-b/2x-c=a-b/44.配方法的应用：配方法可以简化方程的解法，尤其适用于一次项系数为1的情况正文（篇1）一元二次方程是数学中的重要概念，求解一元二次方程的方法有很多种，其中之一就是配方法。
配方法是将一元二次方程移项，加上一次项系数一半的平方，从而得到更简单的形式。
具体步骤如下：1.移项，将方程化为x=a-b/2x2.加上一次项系数一半的平方，得到x+bx+b/4x+bx+c=a-b/2x+b/43.化简，得到x+bx+b/4x+b/4-b/2x-c=a-b/4通过配方法，可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而更容易求解。
在应用方面，配方法尤其适用于一次项系数为1的情况。
目录（篇2）一、配方法求解一元二次方程1.介绍一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=02.配方法的基本原理：将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别加上一次项系数的一半的平方，从而得到平方法。
3.配方法的步骤：将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别加上一次项系数的一半的平方，然后合并同类项，最终得到平方法。
4.配方法的应用：配方法可以用来求解一元二次方程，并广泛应用于解决其他数学问题。
正文（篇2）配方法是一种常用的数学方法，可以用来求解一元二次方程。
它的基本原理是将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别加上一次项系数的一半的平方，从而得到平方法。
接下来，我们将介绍如何使用配方法求解一元二次方程。
《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)
9
3
3
3
2
4
5
两边开平方，得 x
3
3
1
所以 x1 , x2 3
3
例2 如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它
的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽
5
都相等，草地面积占矩形土地面积的 ，求花砖路面的宽．
9
【方法指导】若设花砖路面宽为x m，
度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达
到10 m的高度？
解：根据题意得15t－5t2＝10；
方程两边都除以－5，得
t2－3t＝－2；
配方，得
t
3
3
2
2
－3t＋2 ＝－2＋2 ；
2Leabharlann 32 131
t－2 ＝ ；t－ ＝± ；
3 7
2± 2
，∴x1＝
3
7
3
7
－2
＋
，x
＝______．
2
2
2
2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p
x1 n p ,
,方程的两个根为
x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4 m.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
2.2 用配方法求解一元二次方程(分层练习)(解析版)
第二章 一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程精选练习一、单选题1．（2022·北京平谷·八年级期末）把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是（）A ．225x -=（）B ．223x -=（）C ．215x -=（）D ．213x -=（）【答案】C【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【详解】2240x x --=，221140x x -+--=，2(1)5x -=，故选C ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．2．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程21202x -=的根为（ ）A ．1x =±B．x =C ．2x =±D．x =±【答案】C【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．【详解】解：21202x -=，移项得2122x =，系数化1得24x =，开方得2x =±，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．3．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x 2−4x ＋1＝0化成（x ＋m ）2＝n 的形式是（ ）A ．（x −1）2＝12B ．（2x −1）2＝12C ．（x −1）2＝0D ．（x −2）2＝3【答案】D【解析】【分析】移项，再配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x +1=0，x 2-4x =-1，配方，得x 2-4x +4=-1+4，即（x -2）2=3，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．4．（2021·河南周口·九年级期中）如果2是方程20x c -=的一个根，则这个方程的其它根是（ ）A B ．C ．2-D ．【答案】C【解析】【分析】将2x =代入方程得出c 的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．【详解】解：将2x =代入方程，得：40-=c ，解得4c =，\方程为240x -=，则24x =，2x \=或2x =-，即这个方程的另一个根为2x =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．5．（2022·北京石景山·八年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．【详解】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．6．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．43【答案】B【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=，∴1a =，43b =，∴73a b +=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．二、填空题7．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2﹣6x +m 2﹣4m ﹣3＝0的一个根，则m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】把x =-1代入x 2-6x +m 2-4m -3=0即可得出m 的值．【详解】解：由题意可得：1+6+m 2-4m -3=0，整理，得2440m m -+=()220m \-=∴m =2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．8．（2021·江苏宿迁·九年级期中）一元二次方程2x-4x-3=0配方可化为_______________．【答案】（x-2）2=7【解析】【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：∵x2-4x-3=0，∴x2-4x=3，则x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，故答案为：（x-2）2=7．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．9．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________．【答案】m≤0【解析】【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．10．（2021·吉林辽源·九年级期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程()2325x =＋可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋3＝5，则另一个一元一次方程是________．【答案】35x +=-【解析】【分析】根据直接开平方法即可解答．【详解】解：()2325x =＋Q ，35x \+=或35x +=-，故答案为：35x +=-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·苏州市平江中学校八年级期中）解下列方程：(1)()2316x +=(2)2430x x --=【答案】(1)11x =，27x =-(2)12x =，22x =+．【解析】【分析】（1）利用直接开方法，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用配方法，再开方求解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：()2316x +=34x +=±，34x +=或34x +=-，11x \=，27x =-；(2)解：2430x x --=，2447x x -+=2(2)7x -=2x -=2x -=12x \，22x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．12．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)4（2x ﹣1）2﹣36＝0(2)（y ＋2）2＝（3y ﹣1）2【答案】(1)x ＝2或﹣1(2)y 132=，y 214=-．【解析】【分析】（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解；（2）对方程两边分别开平方，得到y +2＝±（3y ﹣1），解一元一次方程即可．(1)解：4（2x ﹣1）2﹣36＝0，4（2x ﹣1）2＝36，（2x ﹣1）2＝9，2x ﹣1＝±3，x ＝2或﹣1(2)解：直接开平方，得y +2＝±（3y ﹣1）即y +2＝3y ﹣1或y +2＝﹣（3y ﹣1），解得：y 1＝32，y 2＝14-．本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．【答案】0m <【解析】【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，∴0m <，故答案为：0m <．【点睛】考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．2．（2022·江苏·九年级专题练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【解析】【分析】先将2x 2﹣6x +y 2＝0，变形为y 2＝﹣2x 2+6x ，代入所求代数式并化简为x 2+y 2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x 2+y 2+2x ≤16，再因为y 2＝﹣2x 2+6x ≥0，求得0≤x ≤3，即可求解．解：∵2x 2﹣6x +y 2＝0，∴y 2＝﹣2x 2+6x ，∴x 2+y 2+2x ＝x 2﹣2x 2+6x +2x ＝﹣x 2+8x ＝﹣（x 2﹣8x +16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x 2+y 2+2x ≤16，∵y 2＝﹣2x 2+6x ≥0，解得0≤x ≤3，当x ＝3时，x 2+y 2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【解析】【分析】先求A -B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x +2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x 2﹣x +1﹣（4x 2+3x +7）＝﹣x 2﹣4x ﹣6＝﹣（x +2）2﹣2，∵﹣（x +2）2≤0，∴﹣（x +2）2﹣2<0，∴A ﹣B <0，∴A <B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．【解析】【分析】设22y a b =+，将已知方程整理为关于y 的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y 的值，即可确定出22a b +的值．【详解】解：设22y a b =+，则原方程变形为220y y --=，解得12y =，21y =-，∴22a b +=2或-1，∵220a b +³，∴222a b +=．故答案为：2．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．5．（2022·江苏·九年级专题练习）利用配方法解一元二次方程2670x x -+=时，将方程配方为()2x m n -=，则mn =______．【答案】6【解析】【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，求出m ，n 的值即可得出答案．【详解】解：x 2-6x +7=0，x 2-6x =-7，x 2-6x +9=-7+9，（x -3）2=2，则m =3，n =2，∴mn =3×2=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．【答案】(1)12312x x ==-,(2)121,9x x ==-(3)1266x x =-=-(4)1222x x =+=-(5)11,5x x =-=-(6)x =【解析】【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x =2移项得：x2-53x =23，配方得：x2-53x +2536=23+2536，合并得：（x -56）2=4936，解得：x 1=56+76=2，x 2=56-76=-13；（2）解：x2+8x =9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x +4）2=25，解得x 1=1，x 2=-9；（3）解：x2+12x −15=0移项得：x 2+12x +36=15+36，配方得：（x +6）2=51解得x 1=-6x 2（4）解：14x2−x −4=0去分母得：24160x x --=，移项得：2416x x -=，配方得：x2-4 x +4=16+4，合并得：（x -2）2=20，解得：x 1=2＋x 2=2－（5）解：2x2+12x +10=0 系数化为1得：2650x x ++=，移项得：265x x +=-，配方得：x2+6x +9=-5+9，合并得：（x +3）2=4，解得：x 1=-1，x 2=--5；（6）解：x2+px +q =0，移项得：2x px q +=-，配方得：x2+px +24p =-q +24p ，合并得：(x +2p )2=244p q -，解得x 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．7．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ．(1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．【答案】(1)21a b +=-；(2)12x =【解析】【分析】（1）根据方程的解的概念将x ＝a 代入方程并整理得a （2a +b +1）＝0，由a ≠0知2a +b +1＝0，可得答案；（2）由方程有两个相等实数根可得Δ＝0，将b ＝﹣2a ﹣1代入可得关于a 的方程，求出a 即可得方程的解．（1）解：∵方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ，∴2a 2+ab +a ＝0，即a （2a +b +1）＝0，∵a ≠0，∴2a +b +1＝0，∴2a +b ＝﹣1；（2）∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝b 2﹣8a ＝0，由（1）知，2a +b +1＝0，即b ＝﹣2a ﹣1，∴（﹣2a ﹣1）2﹣8a ＝0，整理得：（2a ﹣1）2＝0，解得：a ＝12，∴b ＝﹣2，∴此方程的解为：x ＝12=．【点睛】本题考查了方程的解的概念及一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．8．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0(1)求证：无论k 取何值，方程都有实根；(2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【答案】(1)见解析(2)34(3)k ＝﹣3或k ＝﹣1或k ＝3【解析】【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明；（2）将x =-1带入即可求解；（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k 的值．（1）证明：当k ≠0时，∵方程2(43)330kx k x k --+-=∴222(43)4(33)4129(23)k k k k k k D =---=-+=-∴2(23)0k D =-³当k ＝0时，3x ﹣3＝0，解得x ＝1．∴无论k 取何值，方程都有实根．（2）把x ＝﹣1代入方程得k +4k ﹣3+3k ﹣3＝0，解得k 34=．故k 的值为34．（3）解： 2kx ﹣（4k ﹣3），c ＝3k ﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x ==，∴此方程的两个根分别为11x = ，233x k =-，∵方程的两个实根均为正整数，∴k ＝﹣3或k ＝﹣1或k ＝3．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．。
配方法求解一元二次方程
配方法求解一元二次方程（原创实用版4篇）目录（篇1）1.一元二次方程的一般形式2.配方法的原理3.配方法的步骤4.配方法的应用举例5.结论正文（篇1）一元二次方程的一般形式为 ax + bx + c = 0，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
一元二次方程的求解方法有很多，其中配方法是一种比较常见的方法。
配方法的原理是将一元二次方程的二次项与一次项通过配方转化成完全平方的形式，从而将一元二次方程转化为一元一次方程，进而求解。
配方法的步骤如下：1.将常数项移到等式右边，得到 ax + bx = -c。
2.计算一次项系数 b 的一半，即 b/2，然后将其平方加到等式两边，得到 ax + bx + (b/2) = -c + (b/2)。
3.将等式左边化简成完全平方的形式，即 (x + b/2) = c - (b/2)。
接下来，我们可以通过开平方的方法求解 x 的值。
如果 c - (b/2) 是一个完全平方数，那么方程有实数解；如果 c - (b/2) 不是完全平方数，那么方程无实数解。
配方法的应用举例：求解方程 x - 3x + 2 = 0。
1.将常数项移到等式右边，得到 x - 3x = -2。
2.计算一次项系数 -3 的一半，即 -3/2，然后将其平方加到等式两边，得到 x - 3x + ( -3/2 ) = -2 + ( -3/2 )。
3.将等式左边化简成完全平方的形式，即 (x - 3/2) = 1/4。
对方程两边开平方，得到 x - 3/2 = ±1/2，解得 x1 = 2，x2 = 1。
因此，方程 x - 3x + 2 = 0 的解为 x1 = 2，x2 = 1。
总之，配方法是一种有效的求解一元二次方程的方法，适用于各种形式的一元二次方程。
目录（篇2）1.配方法求解一元二次方程的概述2.一元二次方程的标准形式3.配方法的具体步骤4.配方法求解一元二次方程的实例5.结论正文（篇2）一、配方法求解一元二次方程的概述配方法是一种求解一元二次方程的数值方法。
2.2用配方法求解一元二次方程(2)
第2节 用配方法求解一元二次方程(二)
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般 步骤： 1、移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右 边为常数项； 2、配：配方，方程两边都加上一次项系数一半 的平方，使原方程变为（x+m）2=n的形式；
3、开：如果方程的右边是非负数，即n≥0，就 可以左右两边开平方得 x m n;
3 2
57 6
,
x2
3 2
57 ; 6
3 (2)x1 2, x2 2 ;
(3)x1 1
7 2
,
x2
1
7. 2
2.解下列方程: (1)6x2 -7x+1=0; (3)4x2-3x=52;
1x1
1;
x2
1； 6
(2) x1
6 5
,
x2
3;
3x1
4;
x2
13； 4
(2)5x2-18=9x; (4)5x2 =4-2x.
另外,如果是解决实际问题,还要注意判断求得的 结果是否合理.
做一做
一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出,它
在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .小球何时能达到10m高?
解 : 根据题意得 :10 15t 5t 2.
即t 2 3t 2.
t2
3t
3
2
2
3
8
猴子总数是多少？
解：设总共有x只猴子,根据题意,得
(1 x)2 12 x. 8
即x2-64x+768=0.
解这个方程，得 x1=48,x2=16.
答:一共有猴子48只或16只.
4.如图,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16cm,
02用配方法求解一元二次方程
33
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解析 (1)配方得(x+2)2=4,所以x+2=±2,所以x1=0,x2=-4.
(2)移项得x2-2x=2,配方得(x-1)2=3,所以x-1=±? 3 ,所以x1=? 3 +1,x2=-? 3 +1.
? (3)系数化为1得x2-?3 2
x-3=0,配方得??
2
? ??
=1+???
1 3
2
? ?
,即?? x
??
?
1 3
2
? ??
=
?10
9
,
栏目索引
直接开平方,得x+?1 =±?10 , 33
∴x+?1 =?10 或x+?1 =-?10 ,
33
33
∴x1=?? 1? 10 ,x2=??1? 10 .
3
3
点拨 x1,x2表示方程的两个实根,其下标与根的大小无关.注意当方程配
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5.若3?x2m2 ?m y2与-x4m-2y2是同类项,则m=
.
答案 2或?1
2
解析 由题意得2m2-m=4m-2,移项、合并同类项,得2m2-5m=-2,二次项系
? ? ? 数化为1,得m2-?5 2
m=-1,配方,得m2-?5
2
m+??? ?
5 4
2
? ??
=-1+??? ?
5
2
?
4 ??
x2=-? 2 +2.
? (2)
系数化为1,得x2-?1
6
x-2=0.移项,得x2-?1
6
x=2.配方,得x2-?1