八年级上数学培优试题

第十二章全等三角形及其应用

证明线段（或角）相等

【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

.

（2）证明线段平行

【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

D C

E F

B

A

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。（ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

(4)证明线段相互垂直

【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

5、中考点拨：

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．

求证：∠F＝∠A．

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

【例2】如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

题型展示：

【例1】如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），

其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．

【实战模拟】

1. 下列判断正确的是（ ）

（A ）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B ）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 （C ）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D ）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠

BAC ．求证：OB ＝OC ．

3. 如图，已知C 为线段AB 上的一点，∆ACM 和∆CBN 都是等边三角形，AN 和CM 相交于F 点，BM 和CN 交于E 点。

求证：∆CEF 是等边三角形。

4.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线。 求证：AD<1

2

(AB+AC)

5. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．

A

B

C

M

N

E F

1

2

第十三章轴对称

题型一:轴对称图形的判断

【例1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )

①②③④

A．①②③B．②③④C．③④①D．④①②

举一反三：

1、下列图形中，不是轴对称图形的是( )

A．角B．等边三角形C．线段D．不等边三角形

2、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A. 两条相交直线

B. 线段

C.有公共端点的两条相等线段

D.有公共端点的两条不相等线段

3、下列英文字母属于轴对称图形的是（）

A、N

B、S

C、L

D、E

4、下列说法中，正确的是( )

A．两个全等三角形组成一个轴对称图形

B．直角三角形一定是轴对称图形

C．轴对称图形是由两个图形组成的

D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形

题型二：找轴对称图形的对称轴

【例2】等腰三角形的对称轴_______条.

举一反三：

1、下列说法中，正确的个数是（）

（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

2、轴对称图形的对称轴的条数（）

（A）只有一条（B）2条（C）3条（D）至少一条

3、正五角星的对称轴的条数是( )

A．1条B．2条C．5条D．10条

4、下列图形中有4条对称轴的是( )

A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形

常见图形及其对称轴：

名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置