概率论和数理统计实训03
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9
经验累积分布函数图形
设有总体X的一简单随机样本(X1,X2,...,Xn),(x1,x2,...,xn ) 是样本的一个观测值,将样本观测值依从小到大的次序排成
x1* x*2 .... x*n,令
0
Fn
(x)
k n
1
xk* x xk*
x x1* k 1,2,...,n
x xn*
称Fn (x)为X的经验分布函数。
实验三 统计概率密度与分布函数作图
一、 实验问题
1. 问题背景 对实验数据进行处理,其中包括数据统计作图,是我们在学习和
工作以及科研中必须经常进行的一项几何上的分析方法. 通过对实 验数据的统计图形分析, 我们可以观察或发现一些随机事件(或随 机变量)的性质. 利用概率密度函数图形和分布函数图形, 我们可以 观察或发现一些随机事件(或随机变量)的规律. 本实验学习一些经常使用的统计数据的作图命令, 掌握这些作图命 令将会帮助读者大大提高进行实验数据处理和作图分析的能力. 2. 实验目的与要求 (1) 熟练掌握MATLAB 软件的关于统计作图的基本操作; (2) 会进行常用的概率密度函数和分布函数的作图; (3) 会用命令计算概率, 画出分布律图形; (4) 会操作交互式经验分布函数和概率密度函数图形的工具箱; (5) 会在图形中标注文字, 填充颜色等操作; (6) 提高观察实验现象或处理数据方面的能力.
解 在命令窗口中输入: data=normrnd (0, 1, 30, 1); p=capaplot(data, [-2, 2])
附加有正态分布概率密度曲线的直方图
调用格式: ·histfit(data) %data 为向量, 返回直方图和正态曲
线. ·histfit(data, nbins) % nbins 指定bar 的个数, 缺
解在命令窗口中输入: X=normrnd (0,1,50,1); % 产生 50×1 标准正态分布的随机数,用命令 normrnd (0,1,1,50) 也可以, 这时产生 1×50 标准正态分布的随机数. [h,stats]=cdfplot(X)
难 以 启 齿 的 痛ω夏 初 、伤 °忘不 掉玓伤 涼了時 光傷了 心心有 芊芊结 痛、就 是撕心 裂 肺 心 含 柠 檬自然 酸妳若 轉身、 後會無 期没人 把你当 真何必 入戏太 深爱如 毒酒含 笑 饮 i他 是 太 阳深拥 必伤情 深不寿 爱极必 伤再見 小时候 °微笑 掩饰忧 伤的大 雨ぬ糾 結 de小 青 春 柠 心紫 叶之殇 乍然离 场舊傷 口寂寞 徘徊殇 无泪i斷 喬湜娝 芐過膤瞳瞳眼 眸 一 丝 忧 伤 i最凉不 过人心 当孤单 生烟时 誓言是 深爱时 残留的 谎言折 翼しé天 使﹌ 生 活 如 此 心 酸三分 委屈七 分痛i不 如不见 放不下 的忧伤 我的心 爲妳流 淚如哽 在喉沉 默 代 替 依 赖 i话扎心 深知你 是梦沈 澱妳的 想念苦 涩的回 忆。错 过了就 是陌路 ~浅唱 忧 伤 所 有 星 星都哭 了微笑 ヅ难掩 内心の 悲伤デ 我只是 你流浪 过的一 个地方 原谅我 孤 独 成 性 心 软成病 心要走 ,人难 留含泪 听雨忽 略我的 感受失 落了的 寄托り ℡謊言 ╮厌 倦 孤 独 爱 你是 孤单的 心事丶 暖心姑 娘的忧 伤别哭 我走雨 季、莫 忧离配 角而已 , 何 须 入 戏 訡後啲 鏴⒈個 魜赱巴 黎彼岸 °破碎 後會無 期患上 思念这 种毒° 伪装的 坚 强 i累 感 不 爱℡你 不懂我 。空城 旧梦、 一世悲 凉淡的 不仅是 思念i只 是你忘 了ˉ等 ① 個 旧 亾 胭 脂淚孤 单的城 旧人离 梦吣疼 了、誰 会在乎 你我终 年不遇 感受不 到温暖 七 月 , 失 落 季。梦 醒来那 些伤凉 城已无 爱倒影 的孤独 葬天使 乜寂寞 薄荷加 冰不及
具体作法是:load data.txt 这样在内存中建立了一个变量data,它是一个数据矩阵。
4
作频数表及直方图
调用格式: ·n = hist(Y) % n = hist(Y)将 Y 中的元素分到 10 个间隔相
同的条形中, 并返回每个条形中元素的个数. 若Y 是矩阵, 则 hist 函数对每一列生成直方图. ·n = hist(Y, x) % n = hist(Y, x)中 x 为向量, 返回 Y 的分布. 如, 若 x 为 一个 5 元素向量, 则 hist 函数将 Y 中的元素分 配到五组分组中. ·n = hist(Y, nbins) % n = hist(Y, nbins)中 nbins 为标量, 使用 nbins 组条形. ·[n, xout] = hist(…) %[n, xout] = hist(…)返回包含频数和 条形位置的向量n 和xout. 可以使用 bar(xout, n)来绘直方 图. ·hist(…) %无输出变量的 hist 函数创建一个上面描述的直方 图输出. hist 函数在 y的最小值和最大值之间沿x 分配条形.
身高 体重 169 64 165 52 164 59 173 74 172 69 169 52 173 57 173 61 166 70 163 57
身高 体重 171 65 169 62 170 58 172 64 169 58 167 72 175 76 164 59 166 63 169 54
5
例1 学生的身高和体重
学校随机抽取50名学生,测量他们的身高和体重,所 得数据如表
身高 体重 172 75 171 62 166 62 160 55 155 57 173 58 166 55 170 63 167 53 173 60
身高 体重 169 55 168 67 168 65 175 67 176 64 168 50 161 49 169 63 171 61 178 64
省时为data 中数据个数的平方根.
例 5 产生 100 个均值为 10, 标准差为 1 的正态 分布的随机数, 画出它们的直方图并附加正态密度 曲线, 观察它们之间的拟合程度.
解 在命令窗口中输入: r = normrnd (10, 1, 100, 1); histfit(r)
在指定的界线之间画正态分布概率密度曲线并 求概率
解 在命令窗口中输入: p=normspec([10 Inf],11.5,1.25)
2. 常见分布的概率密度函数及分布
函数图形
(1) 二项分布 例7.设随机变量 X=0,1,…,10,计算 X 的服从二项
分布 B(10,0.5)的概率, 并画出二项分布分布律图 形,指出取概率最大的X 的值.
解 在命令窗口中输入: x = 0:10; y = binopdf(x, 10, 0.5); Z=binocdf(x,10,0.5); plot(x, y, '+‘,x,z,’*’) P=binospec
若样本容量不大,能够手工作出频数表和直方图,当 样本容量较大时则可以借助MATLAB 这样的软件了。
3
数据输入
两种方法
◦ 一种是在交互环境中直接输入
如果在统计中数据量比较大,这样作不太方便;
◦ 另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件 data.txt中,数据列之间用空格键或Tab键分割,该数 据文件data.txt存放在matlab\work子目录下,在 MATLAB中用load命令读入数据
具体作法是:load data.txt 这样在内存中建立了一个变量data,它是一个数据矩阵。
7
作频数表及直方图
用hist命令实现,其用法是:[N,X] = hist(Y,M)
◦ 数组(行、列均可)Y的频数表 ◦ 它将区间[min(Y),max(Y)]等分为M份(缺省时M设定
为10),N返回M个小区间的频数,X返回M个小区间 的中点。
(4)指数分布
例10.设随机变量X服从λ=2的指数分布,画出其概
我
(3) 绘制正态分布概率图形——判断总体或样本是否 服从正态分布
如果数据来自正态分布, 则正态分布概率图形显示 为直线, 而其它分布可能在图中产生弯曲.
调用格式: ·normplot(X) % 若 X 为向量, 则显示正态分布概
率图形, 若X 为矩阵, 则显示每 一列的正态分布概率图形; 样本数据在图中用加号
身高 体重 167 47 168 65 165 64 168 57 176 57 170 57 158 51 165 62 172 53 169 66
数据输入
两种方法
◦ 一种是在交互环境中直接输入
如果在统计中数据量比较大,这样作不太方便;
◦ 另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件 data.txt中,数据列之间用空格键或Tab键分割,该数 据文件data.txt存放在matlab\work子目录下,在 MATLAB中用load命令读入数据
调用格式:
·cdfplot(X) % 作样本 X(向量)的累积分布函数图形. ·h = cdfplot(X) %h 表示曲线的句柄. ·[h,stats] = cdfplot(X) %stats 表示样本的一些特征:样本最小值、 最大值、平均值、中位数和标准差.
例2.产生 50 个标准正态分布的随机数, 指出它们 的分布特征, 并画出经验累计分布函数图
hist(Y,M)
◦ 数组Y的直方图。
8
例1的程序
load data.txt; high=data(:,1:2:9);high=high(:); weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:); [n1,x1]=hist(high) [n2,x2]=hist(weight) subplot(1,2,1) hist(high) subplot(1,2,2) hist(weight)
调用格式: ·p = normspec(specs,mu,sigma) %specs 指定
界线, mu,sigma 为正态分 布的均值和标准差, 返 回参数 p 为样本落在上、下界之间的概率.
例6.画出区间[10, +∞)上均值为 11.5, 标准差为 1.25 的正态密பைடு நூலகம்曲线, 并计算样本落在[10, +∞) 上的概率.
样本的概率图形——获得概率分布和落入区间概率
利用“样本的概率图形”, 可以获得随机变量落在 指定范围内的概率, 获得样本分布的概率密度图形.
调用格式: ·p = capaplot(data,specs) % data 为所给样本数
据, specs 指定范围, p 表示在指定范围内的概率.
例4.产生 30 个标准正态分布的随机数, 计算这些 数据落入区间[-2, 2] 的概率.
频数表和直方图
一组数据(样本)往往是杂乱无章的,作出它的频数 表和直方图,可以看作是对这组数据的一个初步整理 和直观描述。
将数据的取值范围划分为若干个区间,然后统计这组 数据在每个区间中出现的次数,称为频数,由此得到 一个频数表。以数据的取值为横坐标,频数为纵坐标, 画出一个阶梯形的图,称为直方图,或频数分布图。
(2)泊松分布 例8.画出lamada=12,n=25的泊松分布图形
x=0:25; y=poisspdf(x,12); z=poisscdf(x,12); plot(x,y,'-',x,z,'*');
(3)均匀分布 例9.设X是[-2,5]上的均匀分布随机变量,画出其密
度函数和分布函数
x=-2:0.1:5; y=unifpdf(x,-2,5); z=unifcdf(x,-2,5); plot(x,y,'-',x,z,'+');
“+”显示. ·h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄.
例3.产生 50 个标准正态分布的随机数和指数分布 的随机数, 并画出它们的正态分布概率图形
解 在命令窗口中输入: X=normrnd(0, 1, 1, 50); % 产生50 个标准正态分布的随机数. Y=exprnd(1, 1, 50); % 产生50 个参数是1 的指数分布的随机数. normplot(X) % 标准正态分布的随机数及其拟和直线. normplot(Y) % 指数分布的随机数及其拟和直线.
经验累积分布函数图形
设有总体X的一简单随机样本(X1,X2,...,Xn),(x1,x2,...,xn ) 是样本的一个观测值,将样本观测值依从小到大的次序排成
x1* x*2 .... x*n,令
0
Fn
(x)
k n
1
xk* x xk*
x x1* k 1,2,...,n
x xn*
称Fn (x)为X的经验分布函数。
实验三 统计概率密度与分布函数作图
一、 实验问题
1. 问题背景 对实验数据进行处理,其中包括数据统计作图,是我们在学习和
工作以及科研中必须经常进行的一项几何上的分析方法. 通过对实 验数据的统计图形分析, 我们可以观察或发现一些随机事件(或随 机变量)的性质. 利用概率密度函数图形和分布函数图形, 我们可以 观察或发现一些随机事件(或随机变量)的规律. 本实验学习一些经常使用的统计数据的作图命令, 掌握这些作图命 令将会帮助读者大大提高进行实验数据处理和作图分析的能力. 2. 实验目的与要求 (1) 熟练掌握MATLAB 软件的关于统计作图的基本操作; (2) 会进行常用的概率密度函数和分布函数的作图; (3) 会用命令计算概率, 画出分布律图形; (4) 会操作交互式经验分布函数和概率密度函数图形的工具箱; (5) 会在图形中标注文字, 填充颜色等操作; (6) 提高观察实验现象或处理数据方面的能力.
解 在命令窗口中输入: data=normrnd (0, 1, 30, 1); p=capaplot(data, [-2, 2])
附加有正态分布概率密度曲线的直方图
调用格式: ·histfit(data) %data 为向量, 返回直方图和正态曲
线. ·histfit(data, nbins) % nbins 指定bar 的个数, 缺
解在命令窗口中输入: X=normrnd (0,1,50,1); % 产生 50×1 标准正态分布的随机数,用命令 normrnd (0,1,1,50) 也可以, 这时产生 1×50 标准正态分布的随机数. [h,stats]=cdfplot(X)
难 以 启 齿 的 痛ω夏 初 、伤 °忘不 掉玓伤 涼了時 光傷了 心心有 芊芊结 痛、就 是撕心 裂 肺 心 含 柠 檬自然 酸妳若 轉身、 後會無 期没人 把你当 真何必 入戏太 深爱如 毒酒含 笑 饮 i他 是 太 阳深拥 必伤情 深不寿 爱极必 伤再見 小时候 °微笑 掩饰忧 伤的大 雨ぬ糾 結 de小 青 春 柠 心紫 叶之殇 乍然离 场舊傷 口寂寞 徘徊殇 无泪i斷 喬湜娝 芐過膤瞳瞳眼 眸 一 丝 忧 伤 i最凉不 过人心 当孤单 生烟时 誓言是 深爱时 残留的 谎言折 翼しé天 使﹌ 生 活 如 此 心 酸三分 委屈七 分痛i不 如不见 放不下 的忧伤 我的心 爲妳流 淚如哽 在喉沉 默 代 替 依 赖 i话扎心 深知你 是梦沈 澱妳的 想念苦 涩的回 忆。错 过了就 是陌路 ~浅唱 忧 伤 所 有 星 星都哭 了微笑 ヅ难掩 内心の 悲伤デ 我只是 你流浪 过的一 个地方 原谅我 孤 独 成 性 心 软成病 心要走 ,人难 留含泪 听雨忽 略我的 感受失 落了的 寄托り ℡謊言 ╮厌 倦 孤 独 爱 你是 孤单的 心事丶 暖心姑 娘的忧 伤别哭 我走雨 季、莫 忧离配 角而已 , 何 须 入 戏 訡後啲 鏴⒈個 魜赱巴 黎彼岸 °破碎 後會無 期患上 思念这 种毒° 伪装的 坚 强 i累 感 不 爱℡你 不懂我 。空城 旧梦、 一世悲 凉淡的 不仅是 思念i只 是你忘 了ˉ等 ① 個 旧 亾 胭 脂淚孤 单的城 旧人离 梦吣疼 了、誰 会在乎 你我终 年不遇 感受不 到温暖 七 月 , 失 落 季。梦 醒来那 些伤凉 城已无 爱倒影 的孤独 葬天使 乜寂寞 薄荷加 冰不及
具体作法是:load data.txt 这样在内存中建立了一个变量data,它是一个数据矩阵。
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作频数表及直方图
调用格式: ·n = hist(Y) % n = hist(Y)将 Y 中的元素分到 10 个间隔相
同的条形中, 并返回每个条形中元素的个数. 若Y 是矩阵, 则 hist 函数对每一列生成直方图. ·n = hist(Y, x) % n = hist(Y, x)中 x 为向量, 返回 Y 的分布. 如, 若 x 为 一个 5 元素向量, 则 hist 函数将 Y 中的元素分 配到五组分组中. ·n = hist(Y, nbins) % n = hist(Y, nbins)中 nbins 为标量, 使用 nbins 组条形. ·[n, xout] = hist(…) %[n, xout] = hist(…)返回包含频数和 条形位置的向量n 和xout. 可以使用 bar(xout, n)来绘直方 图. ·hist(…) %无输出变量的 hist 函数创建一个上面描述的直方 图输出. hist 函数在 y的最小值和最大值之间沿x 分配条形.
身高 体重 169 64 165 52 164 59 173 74 172 69 169 52 173 57 173 61 166 70 163 57
身高 体重 171 65 169 62 170 58 172 64 169 58 167 72 175 76 164 59 166 63 169 54
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例1 学生的身高和体重
学校随机抽取50名学生,测量他们的身高和体重,所 得数据如表
身高 体重 172 75 171 62 166 62 160 55 155 57 173 58 166 55 170 63 167 53 173 60
身高 体重 169 55 168 67 168 65 175 67 176 64 168 50 161 49 169 63 171 61 178 64
省时为data 中数据个数的平方根.
例 5 产生 100 个均值为 10, 标准差为 1 的正态 分布的随机数, 画出它们的直方图并附加正态密度 曲线, 观察它们之间的拟合程度.
解 在命令窗口中输入: r = normrnd (10, 1, 100, 1); histfit(r)
在指定的界线之间画正态分布概率密度曲线并 求概率
解 在命令窗口中输入: p=normspec([10 Inf],11.5,1.25)
2. 常见分布的概率密度函数及分布
函数图形
(1) 二项分布 例7.设随机变量 X=0,1,…,10,计算 X 的服从二项
分布 B(10,0.5)的概率, 并画出二项分布分布律图 形,指出取概率最大的X 的值.
解 在命令窗口中输入: x = 0:10; y = binopdf(x, 10, 0.5); Z=binocdf(x,10,0.5); plot(x, y, '+‘,x,z,’*’) P=binospec
若样本容量不大,能够手工作出频数表和直方图,当 样本容量较大时则可以借助MATLAB 这样的软件了。
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数据输入
两种方法
◦ 一种是在交互环境中直接输入
如果在统计中数据量比较大,这样作不太方便;
◦ 另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件 data.txt中,数据列之间用空格键或Tab键分割,该数 据文件data.txt存放在matlab\work子目录下,在 MATLAB中用load命令读入数据
具体作法是:load data.txt 这样在内存中建立了一个变量data,它是一个数据矩阵。
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作频数表及直方图
用hist命令实现,其用法是:[N,X] = hist(Y,M)
◦ 数组(行、列均可)Y的频数表 ◦ 它将区间[min(Y),max(Y)]等分为M份(缺省时M设定
为10),N返回M个小区间的频数,X返回M个小区间 的中点。
(4)指数分布
例10.设随机变量X服从λ=2的指数分布,画出其概
我
(3) 绘制正态分布概率图形——判断总体或样本是否 服从正态分布
如果数据来自正态分布, 则正态分布概率图形显示 为直线, 而其它分布可能在图中产生弯曲.
调用格式: ·normplot(X) % 若 X 为向量, 则显示正态分布概
率图形, 若X 为矩阵, 则显示每 一列的正态分布概率图形; 样本数据在图中用加号
身高 体重 167 47 168 65 165 64 168 57 176 57 170 57 158 51 165 62 172 53 169 66
数据输入
两种方法
◦ 一种是在交互环境中直接输入
如果在统计中数据量比较大,这样作不太方便;
◦ 另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件 data.txt中,数据列之间用空格键或Tab键分割,该数 据文件data.txt存放在matlab\work子目录下,在 MATLAB中用load命令读入数据
调用格式:
·cdfplot(X) % 作样本 X(向量)的累积分布函数图形. ·h = cdfplot(X) %h 表示曲线的句柄. ·[h,stats] = cdfplot(X) %stats 表示样本的一些特征:样本最小值、 最大值、平均值、中位数和标准差.
例2.产生 50 个标准正态分布的随机数, 指出它们 的分布特征, 并画出经验累计分布函数图
hist(Y,M)
◦ 数组Y的直方图。
8
例1的程序
load data.txt; high=data(:,1:2:9);high=high(:); weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:); [n1,x1]=hist(high) [n2,x2]=hist(weight) subplot(1,2,1) hist(high) subplot(1,2,2) hist(weight)
调用格式: ·p = normspec(specs,mu,sigma) %specs 指定
界线, mu,sigma 为正态分 布的均值和标准差, 返 回参数 p 为样本落在上、下界之间的概率.
例6.画出区间[10, +∞)上均值为 11.5, 标准差为 1.25 的正态密பைடு நூலகம்曲线, 并计算样本落在[10, +∞) 上的概率.
样本的概率图形——获得概率分布和落入区间概率
利用“样本的概率图形”, 可以获得随机变量落在 指定范围内的概率, 获得样本分布的概率密度图形.
调用格式: ·p = capaplot(data,specs) % data 为所给样本数
据, specs 指定范围, p 表示在指定范围内的概率.
例4.产生 30 个标准正态分布的随机数, 计算这些 数据落入区间[-2, 2] 的概率.
频数表和直方图
一组数据(样本)往往是杂乱无章的,作出它的频数 表和直方图,可以看作是对这组数据的一个初步整理 和直观描述。
将数据的取值范围划分为若干个区间,然后统计这组 数据在每个区间中出现的次数,称为频数,由此得到 一个频数表。以数据的取值为横坐标,频数为纵坐标, 画出一个阶梯形的图,称为直方图,或频数分布图。
(2)泊松分布 例8.画出lamada=12,n=25的泊松分布图形
x=0:25; y=poisspdf(x,12); z=poisscdf(x,12); plot(x,y,'-',x,z,'*');
(3)均匀分布 例9.设X是[-2,5]上的均匀分布随机变量,画出其密
度函数和分布函数
x=-2:0.1:5; y=unifpdf(x,-2,5); z=unifcdf(x,-2,5); plot(x,y,'-',x,z,'+');
“+”显示. ·h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄.
例3.产生 50 个标准正态分布的随机数和指数分布 的随机数, 并画出它们的正态分布概率图形
解 在命令窗口中输入: X=normrnd(0, 1, 1, 50); % 产生50 个标准正态分布的随机数. Y=exprnd(1, 1, 50); % 产生50 个参数是1 的指数分布的随机数. normplot(X) % 标准正态分布的随机数及其拟和直线. normplot(Y) % 指数分布的随机数及其拟和直线.