第二十七章薛定谔方程

n
n
称为能量本征波函数，每个本征波函数所描述的粒子的 状态称为粒子的能量本征态
基态能量 激发态能量
E1
2

2 2 2
2ma
2
(n 1)
En n
2
2
2ma
n E1 , (n 2,3, ) 4 E1 , 9 E1 ,
2
E1 2 2 n π 基态 n 1 概率密度 n ( x) sin ( x) a x x0 a 2 a an =1时， 粒子在 x = a /2处出现的概率最大
2 pn n En ,k 2m a

a
k
基态
n2
n 1
x0
a 2
a x
粒子的德布罗意波长
h 2a 2 n , n 1, 2,... pn n k
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一 n与两端固定弦的驻波波 2 长形式相同（见P158式n=2L/n） n n ( x)
Ψ x, t e
x i 2 π t
E E h 1 p p 根据德布罗意公式 , h 2 p h 2 i 有 Et px —自由粒子波函数 Ψ ( x, t ) e
E 和 p 分别为自由粒子的能量和动量(E=p2/2m)；自由粒 子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（ =E/h， 1 2 m2 v2 p 2 =h/p），可认为是一平面单色波 E mv
2 Ce
De
k x
波函数有限，即应满足x→∞时有限，则有D = 0
2 Cek x
波函数的连续性条件
x ,
d 在边界连续 dx
k a
波函数应满足在 x=a 处连续，则有
A sin(ka ) Ce
还有，d/dt在x=a处也应连续，又有
kA cos(ka ) k Cek a
2 U x E —定态薛定谔方程 2 2m x
2
3）做为上式的解与 均满足叠加原理，即
c1 1 c2 2 cn n 或 Ψ c1Ψ1 c2Ψ 2 cnΨ n
它们的线性组合态也是一种可能的状态；
4）对于任何能量值E定态薛定谔方程都有解，需满足波 函数的标准条件：单值、有限、连续 3.三维定态薛定谔方程
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
U x E 2 2m x
2 2
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子 存在，则
0
, x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程 2 2mE 2 0 2 x 2mE 2mE 2 令 k Fra Baidu bibliotek 2 k
上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（E<U0）的 能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂 略）
在x>a的势能有限的区域，粒子 出现的概率不为零，即粒子的运动 可能进入这一区域，但概率随x增 k x Ce 大按指数规律衰减（ 2 ） 根据经典理论，当粒子能量 E< U0 时，粒子只能在 0≤x≤a的势阱内运动
2
2ma 2
n 2 , n 1, 2,...
上式表明，粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的, 只能取分立值； 每一能量值对应一个能级，称为能量本征值，n称 为量子数 i Et 粒子的全部波函数为 Ψ ( x, t ) ( x)e
Ψ n ( x, t ) n exp( 2 iEt h)
En
16E1
n k a
L
1 2 L
n4
4 a 2
1 2
3 2a 3
2 L
3 2 L 3
2
33 2 弦线振动的简正模式
基态
n3
n2
2 a
9E1 4E1
n 1
1 2a
a 2
E1
x0
a x
无限深方阱壁粒子的 每一个能量本征态对应德 布罗意波的一个特定波长 的驻波； 波函数为驻波形式， 阱壁处为波节，波腹的 个数与量子数 n 相等
二 薛定谔方程 自由粒子（质量为m）在势场U(x,t)中的一维薛定谔方程 1.一维运动自由粒子的含时薛定谔方程 （对自由粒子的波函数 取x的二阶偏导数和t的一阶偏导 数可得） 一维（设沿x向运动）自由粒子的薛定谔方程：
Ψ x, t i Ψ x, t 2 2m x t
2
三 波函数与坐标的关系 1.粒子在势阱中各处出现的概率 不同（n～x-蓝色实线） 2 n n sin x a a 2.粒子在势阱中各处出现的概率 密度不同(|n|2～x-红色虚线)
n n ( x)
n4
2
n
En
16E1
n3
n2
9E1 4E1
根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动， 在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关
E1
2
2 2
2mp a

2 (1.05 1034 )2
2 1.67 10
27
(1.0 10 )
13
14 2
3.3 1013 J
第一激发态能量
E2 4E1 13.2 10
J
E E2 E1 9.9 1013 J 6.2MeV
作业：4 , 8
Ψ ( x, t ) ( x)e
Et
[ Ψ x, t x t ]
将 代入含时一维薛定谔方程，可得 的空间部分 = (x)满足方程
注意： 1） = (x)称为粒子的定态波函数，所描述的粒子的状 态称定态—粒子的能量E不随时间变化的状态（粒子具 有确定的能量值），粒子在空间的概率分布不随时间改 变；定态波函数的性质：粒子能量E不随时间变化，概 率密度| |2 不随时间变化
En
2
2 2
2ma
n2
2 2
, n 1, 2,...
En
n ma
2
n ( x)
n4
2
n
En
16E1
n , En En 2 n 0
结论：当n很大时，能量趋于连续， 即经典物理的图像 n3 3.粒子在势阱中运动的动量
9E1 4E1 E1
pn 2mEn n
第 二十 七 章
薛定谔方程
概述 1.一维定态薛定谔方程 2.定态波函数 3.粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长 4.势垒穿透 隧道效应 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程
§27.1薛定谔方程 一 波函数及其统计解释 1.波函数 微观粒子具有波粒二象性，其位置与动量不能同时 确定，无法用经典物理方法描述其运动状态；量子力学 用波函数来描述微观粒子的运动 经典波的波函数: x 机械波 y ( x, t ) A cos 2 π( t ) x 电磁波 E ( x, t ) E0 cos 2 π( t )
2 2 k 0 , k 2mE 2 x
在x>a的区域，薛定谔方程为
d 2 2m 2 U 0 E 2 dx
令 k 2m(U 0 E ) ，有
2 U 0 E 2 2m x
2
方程的解为
2 2 k 2 x
k x

H ( x, t ) H 0 cos 2 π( t )
x
经典波为实函数
x i 2 π (t ) y ( x, t ) Re[ Ae ]
微观粒子的波函数（复函数） 自由粒子：不受外力场的作用，其动量和能量都不变的 粒子 x 自由粒子平面波函数: Ψ x, t cos 2 ( t ) 波函数的复指数形式：
x a : A sin ka 0 ka n n k , n 1, 2,... a n A sin x , n 1, 2,... a

归一化条件确定振幅A：

dx *dx 1
2 0
a

a
0
nπ dx A sin xdx 1 0 a 2 a 2 nπ A sin xdx 1 0 a 1 cos 2 2
2 2m 2m
2.波函数的统计意义 波函数是粒子在各处被发现的概率，量子力学用波 函数描述微观粒子的运动 概率密度: 某处单位体积内粒子出现的概率
—正实数 粒子某一时刻出现在某点体积元dV中的概率:
Ψ
2
2
*
Ψ dV ΨΨ *dV
3.波函数的归一化条件
Ψ
2
dV 1
即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为1 4.波函数的标准条件 波函数必须是单值、连续、有限的函数
2 2 2 ( 2 2 2 ) U E —直角坐标系 2m x y z z P(r , , ) 2 2 2 1 [ 2 2 (sin ) r 2m r r r r sin o 2 y 1 2 2 ] U E —球坐标系 x 2 r sin
n n ( x)
U0
2
U0
E3
E2
E1
不可能进入x > a区域，因为粒子在这 一区域的动能会出现负值（Ek=E-U0 < 0）； 量子力学的结论：在势能大于粒子能量（ U0 > E） 的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入 这一区域，只不过概率密度随着进入的深度很快减小
基态
n n ( x)
n4
2
En
16E1
4 a 2
3 2a 3
n3
n2
2 a
9E1 4E1
n 1
1 2a
a 2
E1
x0
a x
例27.2核内的质子和中子可认为处于无限深势阱中不能逸 出，在核中是自由运动；估算质子从第一激发态（n=2） 到基态（n=1）转变时放出多少MeV的能量。核的线度为 (1J 6.25 1018 eV 1eV 1.6 1019 J 1MeV 106 eV ) 1.0×10-14m。 解：势阱宽度a即核的线度，则质子基态能量
2
§27.2 无限深方势阱中的粒子 一 无限深方势阱 1.无限深方势阱 粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为
U
0 0 xa x 0, x a


U
U
势能曲线呈无限深的井，称为（一维） 无限深方势阱—简单的理论模型(固体物 a x 0 理金属中自由电子的简化模型)； 势能曲线 势阱内，势能为常量，粒子不受力做 自由运动；在x=0和x=a的边界处，势能为无限大，粒子 会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限 定在势阱内，粒子的这种状态称为束缚态
2 a 2 2
a 2
sin
2 A a
可得粒子在无限深方势阱中的波函数为
2
2 n n sin x , n 1, 2,... a a
n表示对应整数n，粒子的相应定态波函数
二 粒子在无限深方势阱中的能量
k
2mE
可得粒子的能量为
n ,k a
2
, n 1, 2,...
E
2 2 k 2 0 x
2 d x 2 2 2 与简谐运动方程 x 0比较，解为 k 0 2 2 dt x
A sin(kx ) ,0 x a
波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在 x=0，x=a处连续，即
x 0 : A sin 0 0
2 2
当粒子在势场U(x,t)中运动，则有
2Ψ U x, t Ψ i Ψ 2 2m x t
2
称为含时一维薛定谔方程 自由粒子在势场中的能量为 E p 2 2m U x, t
2.一维定态薛定谔方程 若势场只是坐标的函数，与时间无关， 即U=U(x)， 为恒定势场，则波函数为 i
§27.3 势垒穿透 隧道效应 U 一 半无限深方势阱 势能函数为
U
,x 0 0 ,0 x a U0 , x a
U0
U0 E
E
在x< 0区域，U=∞，粒子的波函数 = 0 势能曲线 在0≤x≤a区域的势阱内，粒子的能量E<U0，波函数满 足定态薛定谔方程
o
a
x
其解仍为 1 A sin(kx ) ,0 x a