专题05 平面向量(章末分层突破)-2020-2021学年高一数学单元复习(人教A版必修4)

∴点C坐标为(3，－6). |C→E|＝14|E→D|，且 E 在 DC 的延长线上， C→E＝－14E→D. 设 E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－14(4－x，－3－y)，
得xy－ ＋36＝ ＝－34＋1＋14y，14x，
解得x＝83， y＝－7.
解析答案
(2)在△ABC 中，E 为线段 AC 的中点，试问在线段 AC 上是否存在一点 D， 使解得B→假D＝设13存B→在C＋D23点 B→E，，使若得存B→在D，＝说13B→明C＋D23点B→E位. 置；若不存在，说明理由.
λa＝(λx1，λy1)
a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0 向量的数
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投 量积运算
影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
2.两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面 内的任意 向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . ②基底：把 不共线 的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa .
类型二 向量的数量积运算 例 2 已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，设 C 是线段 OP 上的一点 (其中 O 为坐标原点). (1)求使C→A·C→B取得最小值时的O→C；
解析答案
(2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB. 解 当O→C＝(2,1)时，C→A＝(－1,6)，C→B＝(3,0)，
解析答案
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值. 解 若△ABC为直角三角形，且∠A为直角， 则A→B⊥A→C，而A→B＝(3,1)，A→C＝(2－m,1－m)， ∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得 m＝74.
解析答案
类型三 向量坐标法在平面几何中的运用 例 3 已 知 在 等 腰 △ABC 中 ， BB′ ， CC′ 是 两 腰 上 的 中 线 ， 且 BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.
单元复习一遍过
第二章 平 面 向 量
学习目标 1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相 等向量、两向量的夹角等概念. 2.了解平面向量基本定理. 3.向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接). 4.了解向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|和向量形 式的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2. 5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).
答案
3.向量的平行与垂直 a，b为非零向量， 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
a⊥b
a·b＝0
x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 向量的线性运算 例 1 (1)如图所示，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝ mA→B＋121A→C，则实数 m 的值为______.
解析答案
(2)已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋ π
sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量，则角A＝__3______. 解 ∵p∥q， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0， ∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A， ∴sin2A＝34. 又 A 为锐角，∴sin A＝ 23，∴A＝π3.
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的线 加法
性运算
三角形 平形四边形
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
答案
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
三角形
向量的线
性运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时， λa的方向与a的方向 相同 ； 数乘 当λ＜0时，λa的方向与a的
方向相；反当λቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0时，λa＝0
cos ∠ACB＝|C→C→AA|··|C→C→BB|＝
－3 37×3＝－
37 37 .
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2 已知向量O→A＝(3,－4)，O→B＝(6,－3)，O→C＝(5－m,－(3＋m))， (1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件； 解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线， ∵O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)， O→C＝(5－m，－(3＋m))， ∴A→B＝(3,1)，B→C＝(－m－1，－m)， 而A→B与B→C不平行， 即－3m≠－m－1，得 m≠12， ∴实数 m≠12时满足条件.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1 (1)平面上有 A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点 C 在直
线 AB 上，且A→C＝12B→C，连接 DC 延长至 E，使|C→E|＝14|E→D|，则点 E 的坐 标为_(_83_，__－_7_)_.
解析 ∵A→C＝12B→C，∴O→C－O→A＝12(O→C－O→B). ∴O→C＝2O→A－O→B＝(3，－6).
6.向量的坐标概念和坐标表示法. 7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积). 8.数量积(点乘或内积)的概念：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区 别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法.”
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满足C→M＝16C→B＋
B→D＝13B→C＋23B→E ⇒B→D＝13B→C＋23(B→C＋C→E)＝B→C＋23C→E ⇒B→D－B→C＝23C→E⇒C→D＝23C→E⇒C→D＝23×12C→A⇒C→D＝13C→A. 所以，存在点 D 为 AC 的三等分点C→D＝13C→A时，使得B→D＝13B→C＋23B→E.
解析答案