线性代数第6册
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华东理工大学
线性代数 作业簿（第六册）
学 院____________专 业____________班 级____________
学 号____________姓 名____________任课教师____________
4.3 向量空间
1．设*A 为6阶方阵A 的伴随矩阵，则当A 的秩为2时，齐次线性方程组0A x *=的解空间的维数为______,而当A 的秩为5时，齐次线性方程组0A x *=的解空间的维数为 . 解：6；5.
2. 设*A 为n (2)n >阶方阵A 的伴随矩阵，设对任意的n 维向量
x 均有*
0A x =,则齐次方程组0=Ax 的基础解系中所含向量个数
k
满足( )
(A) k n = ； (B) 1k =； (C) 0k =； (D) 1k >. 解：D.
3.设A 为n 阶矩阵，若3)(-=n A r ，且321,,ααα为0=Ax 的三个线性无关的解向量，则下列各组中为0=Ax 的基础解系是（ ）. (A)133221,,αααααα--- ； (B) 323123,,αααααα--+； (C) 12220,,ααα+； (D) 123132,,αααα+-. 解：B.
4. 设 1V = []123123,,0,,1,2,3T
i x x x x x x x x R i ⎫⎧
⎪
=++=∈=⎨⎬⎪⎩
⎭
，
2V = []123123,,1,,1,2,3T i x x x x x x x x R i ⎫⎧⎪
=++=-∈=⎨⎬⎪⎩⎭
,问
R 3的
这两个子集，对R 3的线性运算是否构成向量空间，为什么？ 解：按向量空间理论，只需验证每个子集对3R 的线性运算是否满足封闭性.
先看1V ，[]T
x x x x 321,,=∀，[]T
y y y y 321,,=∈1V ，及常数k ，有
[]
T
y x y x y x y x 332211,,+++=+及
00)()()()()(321321332211=+=+++++=+++++y y y x x x y x y x y x 即对加法满足封闭性；而[]T
kx kx kx kx 321,,=，及
)
(321321x x x k kx kx kx ++=++=0
亦即对数乘满足封闭性，故1V 构成向量空间.
再看2V ，2,V y x ∈∀，有[]T
y x y x y x y x 332211,,+++=+，但
112233123123()()()()()112
x y x y x y x x x y y y +++++=+++++=--=-即2V y x ∉+，亦即对加法不满足封闭性，故2V 不构成向量空间.
5．试求由1α，2α，3α生成的向量空间V =span （1α，2α，3α）的一个基及V 的维数dim V ，其中[]11,2,
3,0T
α=-，
[]21,1,5,2T
α=--，[]30,1,2,2T
α=-.
解：由于V 是向量组321,,ααα的生成子空间，故V 的基及维数完全等价于向量组321,,ααα的最大无关组及秩.由
[]123110110110110231011011011,,~~~3523520220000
2
20
2
20
2
20
0ααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
知可取21,αα为V 的一个基，且dim V =2.
6. 已知一个四维向量组[]11,3,2,1T
α=-，[]20,1,5,2T
α=-，
[]33,8,1,5T
α=-，[]41,6,17,5T
α=--，（1）求1α，2α，3α，4
α的一个最大无关组及秩；（2）将其余向量用这个最大无关组来线性表示；
解：构造矩阵[]4321,,,αααα并进行初等行变换，由
[]4321,,,αααα=
103110311031318601130113~~251170
55150
0001
2
5
50
2
2
60
0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
知
（1） 秩为2，可取21,αα为一个最大无关组；
（2） 由初等行变换的结果矩阵103
10
113
000
00
00⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，知
3124123,3αααααα=+=-.
7. 求下列齐次线性方程组的基础解系
（1）12341341
231
3424300
307730
x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩；
（2）02)1(121=+++-+-n n x x x n nx .
解：（1）由214310101
0110120
~311000017
7
30
0A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
即()r A =3<4，知方程组有非零解，且基础解系中含有4-()r A =1个线性无关解向
量.解为13
234
20x x x x x =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩,即知基础解系为[]1,2,1,0T ξ=-.
解：（2）显然方程组有非零解，且基础解系中含1n -个线性无关解向量，由解为1212)1(------=n n x x n nx x ，即知基础解系为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-21000,,10010,00011
21 n n n ηηη.