水力学课件第三章

ux u x u x 解：ax ux uy t x y 4 y 6 x 4 y 6 x t 6t 6 y 9 x t 4t 4 y 6 x 1 6t 2 6t 2



将t 2, x 2, y 4代入得， ax 4m / s2
dl dx dl dy dl dz , , u ux u u y u uz
dx dy dz dl ux u y uz u
迹线与流线的比较：
①流线由无穷多个质点组成的，它是表示这无穷多个
流体质点在某一固定瞬间运动的曲线。迹线则表示在一
段时间过程中同一流体质点运动的曲线。 ②流线与迹线方程是不相同的，迹线方程式以时间t为 自变量，由此决定其运动轨迹。流线方程式中，时间t是 给定量，随时间t不同(不同时刻) ，流线方程式也不相同。
y
欧拉法 (流场法)
以流场为研究对象，在流动空间的每一个固定空间点上，观 察其运动要素随时间的变化，把足够多的固定空间点综合起来， 得到整个流体的运动情况。
速度场
ux=ux(x,y,z,t) uy=uy(x,y,z,t) uz=uz(x,y,z,t)
压强场
x、y、z—流场内固定空间点坐标 x、y、z、t—欧拉变数
O
u1
z
流线方程：
根据流线定义，速度矢量与 流线相切，即速度矢量u与流 线上的微元段矢量dl重合， 即它们的方向余弦相等：
u
dz dx dy
dl
M
uz ux x uy
y
O
dx ux dy u y dz uz cos(u, x) , cos(u, y) , cos(u, z ) dl u dl u dl u
③在恒定流中，流线与迹线相重合。即流线和迹线是
一致的，没有区别。
例：已知平面流动ux=x+t, uy=-y+t, uz=0 试求：(1)t=0时，过点M(-1,-1)的流线。
dx dy 解： (1) 由式 ux u y dx dy 得 x t y t
积分得 ln( x t ) ln( y t ) ln C 即 ( x t )( y t ) C
同理可得， a y (6 y 9 x) (4 y 6 x)9t 2 (6 y 9t )6t 2 6m / s 2
欧拉法的几个基本概念
一、恒定流与非恒定流 恒定流(steady flow 又称定常流 )：在流场中任何空间点上所有
积分得
t x C e t 1 1 t y C e t 1 2 由t 0时刻，x 1, y 1
得C1 0, C2 0 x t 1 则 y t 1 最后得迹线方程： x y20
作业
1、2
三、流管、微小流束、总流、过流断面、流量、断面平均流 速 流管：假想流场是由无数根流线组成的微小的封闭的管子。
对均匀流，迁移加速度为零。即
u 0, l
p 0 l
均匀流特点:
①均匀流的流线为平行直线。 ②均匀流过水断面为平面，过水断面形状和尺寸沿程 不变。 ③均匀流中同一流线上各点流速均相等---各过水断面 上的流速分布相同---断面平均流速和水深沿流程不变。 ④均匀流过水断面上的动水压强分布规律符合静水压 强分布规律---同一过水断面上的测压管水头值等于常 数。(z+p/=c )
的运动要素都不随时间而改变。即运动要素仅是空间坐标的连 续函数，而与时间无关。
u x u x ( x, y , z ) u y u y ( x, y , z ) u z u z ( x, y , z )
为零。
u x u y u z 0 t t t p 0 t
注意：恒定流中流体质点的当地加速度为零，迁移加速度可以不 非恒定流(unsteady flow 又称非定常流)：流场中任何空间点上
第 三 章 水动力学基础
流体运动的描述方法
拉格朗日法（质点系法）
以质点为研究对象，通过研究流体各质点的轨迹，得到整个流
体的运动形态。
x=x(a,b,c,t)
质点的空间坐标
z
A(t0) B(t)
y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
O a
c
b x
z
y
a、b、c—质点起始坐标。 x a、b、c、t —拉格朗日变数
T / l 4 C / 2000km
旅客抵达北京时，感受到的气温变化是：
T T dT T T l u t l dt t l t
1 C / d 2000km / d 4 C 2000km
3 C / d
例：已知速度场 u 4 y 6 x t i 6 y 9 x t j 试问：t=2s时，在(2,4)点的加速度是多少？
例 如果有一位旅客于初夏时节沿京广线搭火车北上由广州去 北京，乘一天火车到达北京时，他感到的温度变化是多少 呢？ 解：一天的温度变化以dT／dt （℃／d）表示，
T / t：假定逐日气温上升率为1 ℃／d。
T / t = 1 C / d
T/l ：假定火车车速为一天走2000km，即
u=2000km／d，北京到广州的距离假定为2000km， 初夏时节北京的气温比广州气温低4 ℃。
u u u —迁移加速度或位变加速度 ux uy uz x y z
由于空间位置发生变化而产生的加速度
B
在水位恒定的情况下： A B不存在时变加速度和位变加速度 在水位变化的情况下： A B 存在时变加速度，但不存在位变加 速度
A
B A
在水位恒定的情况下： A B不存在时变加速度但存在位变加速 度 在水位变化的情况下： A B 既存在时变加速度，又存在位变加 速度
•
在静水压强分布公式
z
p C g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA / zA zB
DL2 D1 u1 C1 DL1 B1 A1
u2
u3
u4
流线的基本特性： ①恒定流时，流线不随时间而变，具有恒定性；非恒定 流时，流线随时间而变，具有瞬时性 ②恒定流时(每个质点的流线形状不变)，流线与迹线重合； 非恒定流时，流线与迹线不重合。 ③流线不能相交，也不能转折，只能是光滑的曲线。 u2
例如，空气绕地面建筑物的流动、
水在自然河道中的流动等。
恒定总流的连续性方程（质量守恒方程）
①流体是不可压缩的，流体密度不变,即1=2= ②流动为恒定流时，即流管形状不变。
③没有流体质点穿过流管的侧壁流进或流出。流管内的质量不变
2
1 u1
dA2
u2
A2
u1dA1dt u2 dA2 dt
u u dx u dy u dz du du( x, y, z, t ) a t x dt y dt z dt dt dt u u u u ux uy uz —全加速度 t x y z
u —当地加速度或时变加速度 t
由时间变化而引起的固定观察点的速度变化
非均匀流：
在流动过程当中，各运动要素随着空间位置而改变 的流动。
B
B
A A
非均匀流按照流线的不平行和弯曲的程度，又分 为渐变流和急变流。
渐变流：
流线之间的夹角很小，流线近乎平行且流线的曲 率半径很大，曲率很小，流线近乎直线的流动。
急变流：
流线之间的夹角很大，或者流线的曲率半径很小 的流动。
五、 一维流、二维流、三维流
即 得 u1dA1 =u2 dA2 dQ u1dA1 =u2 dA2
A1
2 d A1 1
对于总流：
Q dQ u1dA1 u2 dA2
Q A1 A2
Q 1 A1 2 A2
1 A2 2 A1
2
dA2
1 u1 A1 2 dA1
u2
A2
1
回顾：流体静力学基本方程的意义
y 流量：Q udA umax 2 ro y d ro y ro A ro
0
1/7
Q 49 断面平均流速：v umax A 60
2 umax 1/7 ro
ro
49 2 ro y y dy ro umax 60 0
至少有一个运动要素随时间而变化。
二、流线与迹线 迹线：一个流体质点在空间运动的轨迹线。
dx u x dt 运动方程：dy u y dt dz u z dt
dx dy dz 迹线微分方程： dt ux u y uz
流线：某一瞬时在流场中给出的线，在这条曲 线上所有各流体质点的流速矢量和该曲线相切。 流线显示了瞬时的流动方向。
Q dQ udA
Q A
断面平均流速：
Q dQ udA
Q A
Q udA dA dA A
A A A
Q A
断面平均流速概念的引入，可以使实际的三维流动 简化为一维的流动。实际工程中，很多情况只需知 道断面平均流速沿程与时间的变化，而不用求过水 断面的流速分布
例：已知半径为r0的圆管中，过流断面上的流速分布为： 1/ 7 y u umax ro 式中 umax 是轴线上断面的最大流速，y为距管壁的距 离。试求：(1)通过的流量和断面平均流速；(2)过流 断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。
解：取环形微元面积，面上各点的流速u相同 令r = r0-y 则dA=2rdr=2(r0-y)d(r0-y)
1/7
（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。
y umax ro