第十一章反常积分习题课教学总结
大学物理-第11章小结与习题课
c
d
B 0 nI
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内 外
内 外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
o r nI
,
磁场强度H=
nI
.
7.将流过强度为I=1000 A电流的直导线置于匀强磁场 中，且垂直磁力线。若磁感应强度B=1T，磁场作用在 长度为L=1 m的一段导线上的力F为
1000N
.
F BIL
8.质量为m、电量为q的粒子具有动能E，垂直磁力线
方向飞入磁感应强度为B的匀强电场中，当该粒子越出
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
1.一运动电荷q，质量m，以初速度 V0 进入均匀磁场 中，若 V0 与磁场的方向夹角为 ，则
A、其动能改变，动量不变. B、其动能和动量都改变. C、其动能不变，动量改变. D、其动能、动量都不变.
[ C
]
2. 有一个半径为 R 的单匝圆线圈，通以电流 I ，若 将该导线弯成 匝数 N = 2 的平面圆线圈，导线长度 不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强 度和线圈的磁矩分别是原来的 （A） 4倍和 1 / 8 ， （B） 4倍和 1 / 2 ， （C） 2倍和 1 / 4 ， （D） 2倍和 1 / 2 。
/4
方法二: 在稳恒磁场中，一个与磁场方向垂直放置的闭 合线圈所受的合力为零。 与直线电流ab所受的力大小相等，方向相反。
F 2BIR
数学分析之十一章反常积分
于是: a 0
dx
a
lim
a2 x2 0 0
dx a2 x2
1 a
lim
0
arcsin
x a a c
o
lim
0
arcsin
a
a
a
0c
arcsin
1
2
a a x
图5-7-1
例5 : 讨论反常积分
1 1
dx x2
的收敛性
.
解
:
被积函数f
(x)
1 x2
在积分区间[1,1]上除x
0外连续,
f (x)dx
0
都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在
区间(, +)上无穷积分.记作 f (x)dx ,即
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0
0
b
lim f (x)dx lim f (x)dx (3)
a a
b 0
这时, 也称无穷积分 f (x)dx 收敛;
a
b
a
( )
22
y
y
1
1 x2
obx
注:
为方便起见,
把
lim F
b
(x)ba
记作F
( x)a .
例2 : 计算无穷积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
解:
te ptdt lim b te ptdt
0
b 0
lim
b
t p
e pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
1 dx x
又
b 1
1 dx 2 x
数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分
第十一章反常积分教学目的：1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。
教学时数：8学时§ 1 反常积分概念（2学时）教学目的：深刻理解反常积分的概念。
教学重点难点：反常积分的含义与性质一问题的提出:例（P264）.二两类反常积分的定义定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积，如果存在极限（1）则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作,并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在极则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分发散.例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 .⑵计算积分.例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴; ⑵.例3 讨论积分的敛散性 .例4判断积分的敛散性 .例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有，把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。
教学重点难点：反常积分敛散性的判别。
一无穷积分的性质⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:Th 积分收敛 .⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .二比较判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则 < , < ；, .例6判断积分的敛散性.推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 : ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时, . ( 证 )推论2 （Cauchy判敛法）: (以为比较对象, 即取.以下> 0 )设对任何>, , 且, < ；若且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间可积的正值函数. 且. 则ⅰ> < ；ⅱ> . ( 证 )例7讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ>三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:1.Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.2.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，.则积分收敛.例8 讨论无穷积分与的敛散性.例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, , .例10 ( 乘积不可积的例 ) 设, 。
数学分析华东师大第十一章反常积分
第十一章反常积分§1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0 至少要多大?设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为mg R2F = .x2于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为rmg R ∫∫2∫d x = mg R21 - 1 .Rx2Rr当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:图 11 - 1+ ∞mg R 2d x = limrmgR2Rx2r → + ∞ Rd x = mg R . x2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使1 22mv 0 = mg R .用 g = 9 .81 ( m 6s /2) , R = 6 .371× 106( m ) 代入 , 便得v 0 =2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?2∫· R u∫ R2§1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h - x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足πR 2 d x = v πr 2 d t ,图 11 - 2由此则有d t =R d x , x ∈ [0 , h] . r 22g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:ht f =R 2d x .r 22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是u2t f = lim∫2d xu → h-r 2 g( h - x)= lim-22g r 2h - h - uu → h=2 h R .g r相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]上可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J, ( 1)u → + ∞ a则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作+ ∞J =f ( x ) d x ,( 1′)a∫ ∫ + ∞ + ∞并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d xaa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :bb∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫u266第十一章 反 常 积 分∫ f ( x )d x =lim∫f ( x ) d x .( 2)- ∞u → - ∞ u对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ ∞af ( x ) d x = - ∞- ∞+ ∞ f ( x) d x + af ( x) d x ,( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .+ ∞注 3af ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .例 3 讨论无穷积分+ ∞图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x1xp( 4)ud x 1x p=1 1 - p ( u1 - p - 1 ) , p ≠ 1 ,ln u ,p = 1 ,1lim∫d x=u → + ∞ 1xpp - 1 ,p > 1 + ∞p ≤ 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为1; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性:∫1∫)+ ∞d x2x( ln x)p ; 2) + ∞d x- ∞ 1 + x2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图 11 - 4a b∫ ∫∫ §1 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有∫+ ∞d x+ ∞d t 2x ( l n x )p=∫ln 2tp.从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :∫d x+ ∞d x- ∞1 + x2和∫a由于a1 + x2.lim∫d x =lim ( arctan a - arctan u )u → - ∞u 1 + x 2vu → - ∞= arctan a + π,2lim∫d x =lim ( arctan v - arctan a)v → + ∞a1 + x 2v → + ∞π2- arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,∫+ ∞d x ad x+ ∞d x- ∞1 + x2=∫- ∞1 + x2+∫a1 + x2= π .注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J ,( 5)u → a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作bJ =f ( x ) d x ,( 5′)ab并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 .a=∫在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 b界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :bu∫f ( x) d x =lim∫f ( x )d x . au → b-a其中 f 在 [ a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] ì [ a , b)1 268第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分bcb∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x aacub= lim∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .( 6)u → c - av → c+v其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u] ì[ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分bcb∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaaccv= lim∫f ( x) d x + lim ∫f ( x) d x , ( 7)u → a+uv → b-c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .例 5 计算瑕积分∫d x的值 .1 - x 2解 被积函数 f ( x) =1 在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u] ì [ 0 , 1)1 - x2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1u∫d x = lim∫d x 01 - x 2-u → 11 - x2例 6 讨论瑕积分= limu → 1 -1arcsin u = π.2∫d x 的收敛性 .xq( q > 0 ) ( 8)∫1 1 x解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1d x uxq=1 1 - q( 1 - u1 - q) ,q ≠ 1 ,( 0 < u < 1) ,- ln u ,q = 1故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且∫d x ∫ d x 1 q=limu → 0 +uxq= 1 - q;∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫§1 反常积分概念269而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分+ ∞我们定义d x 0xp ( p > 0 ) .( 9)∫+ ∞d x 1d x + ∞d x 0xp=∫xp+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 . 习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :( 1∫)+ ∞x e- x2+ ∞d x ; (2)- ∞2x e - xd x ;( 3∫)+ ∞1+ ∞d x ; (4)d x20 e x+ ∞1 x ( 1 + x)+ ∞( 5∫)d x; (6)∫ e- xsin x d x;- ∞ 4 x 2+ 4 x + 50 + ∞+ ∞( 7∫)e xsin x d x ; (8)- ∞d x .1 + x 22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :( 1∫)bd x 1d x;(2);a( x - a) p2 0 1 - x 21( 3∫)d x ;(4)∫xd x ;| x - 1| 01 - x 2( 5∫)11ln x d x ;(6)xd x; 1 - x( 7∫)1d x1d x;(8)p.x - x 2x( ln x);a∫ b3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x 收敛时∫, bf 2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明∫:+ ∞f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 limax → +∞f ( x) = 0 .+ ∞ 5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim x → +∞f ( x) = A , 则 A = 0 .∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫270 第十一章 反 常 积 分+ ∞ 6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且a+ ∞f ( x)d x 与 af ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ ∞由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数 F( u ) =f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则 .+ ∞定理 11 .1 无穷积分a≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 Guuu∫2f ( x ) d x -∫1f ( x )d x= ∫ f ( x )d x< ε .a au此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 .+ ∞ 性质 1 若a+ ∞+ ∞f 1 ( x) d x 与 af 2 ( x ) d x 都 收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k1 f 1( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且a+ ∞+ ∞+ ∞[ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1aaf 1 ( x ) d x + k 2af 2 ( x) d x .( 1)+ ∞性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则af ( x ) d x 与+ ∞f ( x) d x 同敛态 ( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有b+ ∞b+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x ,( 2)aab21∫ ∫ 其中右边第一项是定积分 .+ ∞性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有+ ∞f ( x ) d x< ε .u∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2=§2 无穷积分的性质与收敛判别271事实上 , 这可由+ ∞u+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得 .+ ∞性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 , 且有a+ ∞f ( x) d x 亦必收敛 , 并有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ ∞ + ∞f ( x) d x ≤ aa+ ∞f ( x ) d x . ( 3)证 由af ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥a , 当 u 2 > u 1 >G 时 , 总有uuf ( x )d x 2uf ( x )d x < ε .1u 1利用定积分的绝对值不等式 , 又有uu2f ( x ) d x ≤ 2uu11+ ∞f ( x )d x < ε .再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .uu又因∫ f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ ∞+ ∞当f ( x ) d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出 : 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .∫ ∫ ∫我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 . 二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u+ ∞由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x 收敛的u充要条件是a| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何∫ ∫ ∫∫ 0∫∫ ∫∫ ∫∫∫272 第十一章 反 常 积 分有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足f ( x) ≤g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,+ ∞ + ∞ 则当g( x ) d x 收敛时 a a+ ∞+ ∞| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ ∞例 1 讨论sin xd x 的收敛性 .1 + x2+ ∞解 由于1d x π1 + x2≤ 1 + x2 , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及∫1 + x 2=为收敛2(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫,sin xd x 为绝对收敛 . 01 + x2上述比较法则的极限形式如下 : 推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞| f ( x) | g( x )= c,则有 :( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫,+ ∞+ ∞+ ∞| f ( x ) | d x 与aa+ ∞g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由ag( x ) d x 收敛可推知 a+ ∞f ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(i ) ) 当 c = + ∞ 时 , 由a+ ∞g( x ) d x 发散可推知 a+ ∞f ( x ) d x 也发散 .当选用∫d x 作为比较对 象g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成1x pa为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 , 则有 :( i ) 当 f ( x) ≤ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时+ ∞+ ∞∫∫∫∫f ( x) d x 收敛 ;xpa+ ∞( i i) 当 f ( x) ≥ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时f ( x) d x 发散 .xpa推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 :lim x → + ∞x p f ( x ) = λ .+ ∞( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,f ( x ) d x 收敛 ;a+ ∞( ii) 当 p ≤ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时 ,af ( x) d x 发散 .∫∫ ∫ ∫∫§2 无穷积分的性质与收敛判别273例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 :1∫)+ ∞x αe - x d x; 2 )1+ ∞x 2d x .x 5+ 1解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有limx → + ∞x 2 · x αe- x= lim x → + ∞xα+ 2ex= 0 ,因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .2) 由于12limx → + ∞x 2 · x x 5+ 1= 1 ,因此根据上述推论 3( p = 1, λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .- ∞三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .u定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) =f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 ,a+ ∞ g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则af ( x ) g( x ) d x 收敛 .limx → + ∞u证 由 条 件 设f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x >G 时 , 有g( x ) < ε.4 M又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何 u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得u∫ ∫ 21∫ f ( x ) g( x ) d x = g ( u 1∫) ξf ( x ) d x +g ( u 2∫)u2f ( x) d x .uuξ11于是有uξuf ( x ) g( x ) d x ≤g( u 1 ) ·uuf ( x ) d x+ g( u 2 ) ·∫ f ( x ) d x11ξξu= g( u 1 ) ·∫f ( x ) d x ∫-f ( x ) d xaa22u ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫274 第十一章 反 常 积 分2+ g( u 2 ) ·ξf ( x ) d x -∫f ( x ) d xε4 M·2 M ++ ∞aaε4 M·2 M = ε .根据柯西准则 , 证得af ( x ) g( x ) d x 收敛 .+ ∞ 定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若af ( x) d x 收敛 , g( x ) 在[ a , + ∞ )+ ∞ 上单调有界 , 则af ( x )g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .+ ∞例 3 讨论∫sin x d x 与+ ∞cos x1xp1xpd x ( p > 0 ) 的收敛性 .解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ∞( i) 当 p > 1 时1sin xd x 绝对收敛 .这是因为 xp + ∞d x而sin x xp≤ 1x p , x ∈ [1 , + ∞ ) ,+ ∞sin x1xp当 p > 1 时收敛 , 故由比较法则推知∫1+ ∞xpd x 收敛 .( ii) 当 0 < p ≤ 1 时1usin xd x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 xp∫sin x d x =cos 1 - cos u ≤ 2 , 而 1当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故1xp+ ∞由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于sin xxp≥+∞sin 2xx=+ ∞<∫∫∫12 x -cos 2 x2 x ,x ∈ [ 1 , +∞ ) ,cos 2 x 1其中12 xd x =22cos t td t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而+ ∞d x 12 x是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条件收敛的 .例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 :∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫+ ∞3§2 无穷积分的性质与收敛判别275+ ∞ sin x 2d x ,1+ ∞ cos x 2d x ,1+ ∞x sin x 4d x .1证 前两个无穷积分经换元 t = x 2得到+ ∞+ ∞sin x 2d x = 1 1+ ∞+ ∞cos x 2d x = 11sin td t ,2 tcos t d t .2 t由例 3 已知它们是条件收敛的 .对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2而得∫x sin x 4 d x = 1 + ∞sin t 2d t ,1它也是条件收敛的 .2∫1从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 . 习 题1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上 都可积 .证明 :+ ∞ 若a收敛 .+ ∞f2( x) d x 与a+ ∞ g 2 ( x) d x 收 敛 , 则a+ ∞f ( x) g( x) d x 与 a[ f ( x) + g( x ) ]2 d x 也 都3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x) .证明 :+ ∞ (1) 若a+ ∞ h( x )d x 与 a+ ∞g( x) d x 都收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(2) 又若a+ ∞h( x )d x =a+ ∞g( x) d x = A , 则af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ ∞+ ∞( 1∫)d x; (2)xd x ;x 4+ 1+ ∞∫11 - ex+ ∞( 3∫)( 5∫) d x ; (4)0 1 +x ln ( 1 + x)d x ;(6)x arctan x 11 + x 3 d x;+ ∞ xmd x( n 、m ≥ 0 ) .1x n1 + xn5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :( 1∫)sin xd x ; (2 )1x+ ∞sgn( sin x)d x ;1 + x2+ ∞ + ∞∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a ∫bbu∫276第十一章 反 常 积 分( 3∫)x cos xd x;(4 )100 + xln( ln x) sin x d x .eln x6 . 举 例 说 明∫:+ ∞+ ∞ + ∞f ( x) d x 收 敛 时aaf 2( x ) d x 不 一 定 收敛∫;+ ∞f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af2( x) d x 也不一定收敛 .a+ ∞+ ∞7 . 证明: 若af ( x )d x 绝对收敛 , 且 lim x →+ ∞f ( x) = 0 , 则a+ ∞f 2( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 af ( x)d x 收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o1 x , x →+ ∞ .+ ∞9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛, 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§3 瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函bb数极限 lim∫f ( x) d x =∫f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 . u →+ uab 定 理 11 .5 瑕积分 f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存a在 δ > 0 , 只要 u 1 、u 2 ∈ ( a , a + δ) , 总有∫f ( x ) d x -∫ f ( x) d x2=f ( x )d x < ε .uuu121性质 1 设 函数 f 1 与 f 2 的 瑕 点 同为 x = a , k 1 、k 2 为 常 数 , 则 当瑕 积 分bb b∫ f 1( x ) d x 与∫ f 2( x ) d x 都 收敛 时 , 瑕积 分∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x 必 定 收aaa敛 , 并有+ ∞+ ∞a ∫∫b b b∫[ k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x ) ]d x =k∫1f1 ( x ) d x + k2af2 ( x ) d x . ( 1) a性质2 设函数 f 的瑕点为x = a, c ∈( a ,b ) 为任一常数. 则瑕积分b c∫f ( x ) d x 与∫f ( x ) d x 同敛态, 并有a ab c b∫f ( x ) d x =∫f ( x) d x +∫f ( x ) d x , ( 2)a a cb其中 f ( x ) d x 为定积分.c∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫b∫∫§3 瑕积分的性质与收敛判别277性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a , f 在 ( a , b] 的任一内闭区间 [ u , b] 上可b积 .则当af ( x )d x 收敛时∫,bbf ( x) d x 也必定收敛 , 并有ab∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x)d x . ( 3)aa bb同样地 , 当af ( x )d x 收敛时 , 称 f ( x) d x 为绝对收敛 .又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的 .判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 :定理 11 .6 ( 比较法则 ) 设定义在 ( a , b] 上的两个函数 f 与 g , 瑕点 同为 x = a, 在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上都可积 , 且满足f ( x ) ≤ g( x) , x ∈ ( a , b] .b则当 g( x ) d x 收 敛时 ,ab bf ( x ) d x 必定 收 敛 ( 或者 , 当aaf ( x) d x 发散 时 ,bg ( x ) d x 亦必发散 ) .a推论 1 又若 g( x) > 0 , 且 limx → a +bf ( x ) g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 < c < + ∞ 时 ,abf ( x ) d x 与 g( x ) d x 同敛态 ;ab( i i ) 当 c = 0 时 , 由∫g( x ) d x 收敛可推知∫ f ( x )d x 也收敛 ;aabb( i ii ) 当 c = + ∞ 时 , 由∫g( x ) d x 发散可推知∫f ( x ) d x 也发散 .aa当选用∫d xb作为比 较对象 g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为a如下的推论 :( x - a)pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上可积 , 则有 :( x - a) p ( x - a) p∫∫( i) 当 f ( x) ≤1, 且0 < p < 1 时,abf ( x) d x 收敛;( i i) 当 f ( x) ≥1, 且p ≥1 时,af ( x) d x 发散.推论3 设 f 定义于( a , b] , a 为其瑕点, 且在任何[ u , b] ì( a , b] 上可积. 如果则有: limx →a +( x - a) p f ( x ) = λ,b∫∫∫ 278 第十一章 反 常 积 分b( i ) 当 0 < p < 1 , 0≤λ< + ∞时af ( x) d x 收敛 ;b( ii) 当 p ≥ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x) d x 发散 .1∫)ln xd x ; 2∫) 0x2x 1ln xd x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号———ln x 在 ( 0 , 1] 上恒为负 , x在 ( 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34< 1 时, 有λ= lim x → 0 +3x 4 ·1ln x x= - limx → 0 +ln x1x-4所以瑕积分 1) 收敛 .= lim x → 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由λ = lim +x → 1( x - 1 ) · x ln x= lim + x → 1x - 1 ln x = 1 ,推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2讨论反常积分的收敛性 .+ ∞Φ(α) =xα- 11 + x d x解 把反常积分 Φ( α) 写成1α- 1+ ∞α- 1Φ(α) =∫x d x +∫x d x1 + x11 + x= I(α) + J(α) .1x ( i) 先讨论 I(α) .当 α- 1≥ 0 , 即 α≥1 时它 是定积 分 ; 当 α< 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于limx → 0 +α- 1x1 - α·1 + x= 1 ,根据定理 11 .6 推论 3 , 当 0 < p = 1 - α< 1 , 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I (α) 收α∫∫ §3 瑕积分的性质与收敛判别279敛 ; 当 p = 1 - α≥1 , 即 α≤0 且 λ= 1 时 , I (α) 发散 .( ii) 再讨论 J(α) , 它是无穷积分 .由于α- 1limx → + ∞x2 - α·x1 + x= lim x → + ∞x 1 + x= 1 ,根据定理 11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - α> 1 , 即 α< 1 且 λ= 1 时 , J(α) 收敛 ; 而当 p = 2 -α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 .综上所述 , 把讨论结果列如下表 :习 题1 . 写出性质 3 的证明 .2 . 写出定理 11 .6 及其推论 1 的证明 .3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :( 1∫)( 3∫)d x ; (2 )( x - 1 )2d x;(4 ∫)x ln x sin x d x ;x362/ln x d x ;1 - x ( 5∫) ( 7∫)1arctan x 01 - x 3d x ; (6 )1 sin 1 d x; (8 )π62/ 0+ ∞1 - cos xx md x;e - x ln x d x .0xx0 4 . 计算下列瑕积分的值 (其中 n 为正整数 ) :( 1∫)1( ln x ) nd x ; (2 )π62/1x nd x . 01 - xπ62/5 . 证明瑕积分 J =∫ln( s in x )d x 收敛 , 且 J = - πln 2 .( 提示 : 利用∫ln (sin x) d x =π62/ 02ln( cos x )d x , 并将它们相加 .)6 . 利用上题结果 , 证明 :π2( 1∫)θln( sin θ)d θ = -πln 2;2 1π1 102( 2∫)θsin θdθ= 2πln 2 .0 1 - cos θπ1 ∫2∫ ∫∫ λ∫∫ ∫∫ ∫280 第十一章 反 常 积 分总 练 习 题1 . 证明下列等式 :1p - 1+ ∞- p( 1∫)xd x =∫xd x , p > 0;x + 1 1x + 1+ ∞p - 1+ ∞- p( 2∫)xd x =∫xd x , 0 < p < 1 .x + 1 0x + 12 . 证明下列不等式 :( 1) π<∫d x<π ;2 2 ( 2) 12 01 -1e1 - x 4+ ∞<2e - x d x < 1 + 1 .2e3 . 计算下列反常积分的值 :+ ∞+ ∞( 1)e - axcos bx d x( a > 0 ) ; (2)0 e- a xsin bx d x( a > 0 ) ;( 3∫)+ ∞ln x π62/ d x ; (4)ln( tan θ) d θ .01 + x 2+ ∞4 . 讨论反常积分sin bx d x ( b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . x5 . 证明: 设 f 在 [0 , + ∞ ) 上连续 , 0 < a < b . (1) 若 lim x → +∞f ( x) = k , 则+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0x+ ∞d x = ( f (0) - k) ln b ;a(2) 若af( x) d x 收敛 , 则x6 . 证明下述命题 :+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0xd x = f (0) ln b .a+ ∞(1) 设 f 为[ a , + ∞) 上的非负连续函数 .若a+ ∞x f ( x )d x 收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 .∫ ∫ (2) 设 f 为 [ a , + ∞ ) 上的连续可微函数 , 且当 x → + ∞ 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ ∞+ ∞f ( x ) d x 收敛的充要条件为aax f ′( x ) d x 收敛 .●。
数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC
第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。
七下《点拨》--第十一章全章总结
第十一章全章总结一、知识结构图二、专题总结（一）知识技能专题专题1：利用全等证明线段或角相等例1：（09，洛江区）如图11-4-1，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE.图11-4-1解：因为AC∥DF专题1：即时练习1.如图11-4-3，已知BE、CD交于点F，∠B=∠C，∠1=∠2，∠3=∠4.试说明DF=EF.图11-4-3所以FC∠=∠在中和DFEACB∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBCFCDFAC所以ACB∆≌DFE∆（SAS）所以AB=DEABFECDABDCEF1 23 4点拨：利用全等三角形的性质证明两边相等，关键在于我们在解题前先要找到这两边所在的全等三角形.例2：如图11-4-2，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，O 是DB 的中点，过点O 的直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，试说明∠E=∠F.图11-4-2解：在△ABD 和△CDB 中，所以△ABD ≌△CDB （SSS ） 所以∠ADB=∠CBD因为O 是BD 中点，所以DO=BO. 在△DEO 和△BFO 中，所以△EDO ≌△FBO （ASA ） 所以∠E=∠F.点拨：说明边或角相等，通过这两边或两角分别所在的两个三角形全等来解决，但往往这两个三角形全等的条件还不够，必2.如图11-4-4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD ＝DF .试说明：CF ＝EB .图11-4-43.如图11-4-5，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO. 试说明∠B=∠D.图11-4-5须先说明另一对三角形全等得到边或角相等，以此为两个三角形全等的条件，这种通过一次全等为下一次全等创造条件的方法，应熟练地掌握.专题2：利用全等证明线段的和差关系 专题概说：全等三角形是证明线段相等、角相等的一个重要工具.随着学习的深AD=CB AB=CD BD=DBDO=BO∠EDO=∠FBO ∠DOE=∠BOFA BDCEF O ACBD EFABC EF O入，出现了证明一些线段的和（差）等于某条线段的题目，让学生感到困难.这时，通过恰当添加辅助线，将线段的和差问题 转化为线段的相等问题，同时构造全等三角形，成为解决问题的主要手段. 例3：（09，四川南充）如图11-4-6，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AC 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ． 求证：AF=BF+EF ． 图11-4-6解：因为ABCD 是正方形， 所以AD=AB ，∠BAD=90 º． 因为DE ⊥AG ，所以∠DEG=∠AED=90 º． 所以∠ADE+∠DAE=90 º． 又因为∠BAF+∠DAE=∠BAD=90 º, 所以∠ADE=∠BAF ． 因为BF ∥DE ，所以∠AFB=∠DEG=∠AED ． 在△ABF 与△DAE 中，专题2：即时练习4. 已知，如图11-4-7，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90 º，过A 任作一条直线AN ，作BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，试说明DE=BD-CE.图11-4-7AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABF ≌△DAE(AAS) ． 所以BF=DE ． 因为AF=AE+EF, 所以AF=BF+EF ．点拨：利用全等三角形对应边相等，可以把相等的线段由一个三角形转到另一个 三角形中．DCBAEFG ABDE 1 N23专题3：利用全等解决实际问题专题概说：利用全等三角形解决实际问题的一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形的问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角条件是关键.例4：如图11-4-8，有一块三角形厚铁板，根据实际生产需要，工人师傅要把∠MAN 平分，现在他手边只有一把尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？并说明你的根据.图11-4-8解：用绳子的一定长度在AM和AN边截取AB=AC，再选取适当长度的绳子，将其对折，得绳子中点D，把绳子的两端点固定在B、C两点，拉住绳子的中点D，向外拉直BD和CD，再在铁板上点出D的位置，作射线AD，则AD平分∠MAN，理由如下：专题3：即时练习5.有一批边角余料，形状如图11-4-9所示，其中∠BAD=∠C=90 º，AB=AD，且A 到BC的距离与A到CD的距离是相等的.现在要把每块这样的材料都加工成正方形，并且希望材料利用率尽量高些，怎样做最好呢？图11-4-9在△ABD和△ACD中，因为AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（SSS）.所以∠MAD=∠NAD.点拨：将实际问题转化为数学问题，利用SSS构造两个全等的三角形，从而得到两角相等.（二）规律方法专题专题4：构造全等三角形解题专题概说：我们知道，利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一，但有A BDCMNABDC时不能直接应用，就需要根据条件通过作辅助线构造全等三角形，构造全等三角形的方法主要有：截取、延长、翻折、旋转等.Ⅰ 截取法构造全等三角形例5：如图11-4-10，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，若AB ＞AD ，DC=BC ，试说明∠B+∠D=180 º.图11-4-10解：在AB 上截取AE=AD 在△ADC 和△AEC 中， 因为所以△ADC ≌△AEC （SAS ）. 所以∠D=∠AEC ，DC=CE. 又因为DC=BC ，所以CE=BC ， 所以∠3=∠B. 所以∠B+∠D=180 º.点拨：本题是用“截取法”构造了△AEC专题4：即时练习6.如图11-4-14，已知△ABC 中，边BC 上的高为AD ，又∠B=2∠C.说明CD=AB+BD.图11-4-14和△ADC 全等，采用的主要方法是“线、角转移” .Ⅱ 延长法构造全等三角形例6：如图11-4-11，在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2.试说明AB=AC+CD.图11-4-11解：延长AC 至E ，使AE=AB ，连结DE. 因为AB=AE ，∠1=∠2，AD=AD ， 所以△ABD ≌△AED ，所以∠B=∠E. 因为∠ACD=∠E+∠CDE ，∠ACD=2∠B ，∠1=∠2 AD=AEAC=ACABCD E21 3AB CDE1 2ABCD所以∠ACD=2∠E ，所以∠E=∠CDE ， 所以CD=CE ，所以AB=AE=AC+CE=AC+CD. 点拨：本例中用到的方法叫做“补短法”，是将较短的线段AC 补长，构造三角形全等，达到求解目的.本题也可采用“截长法”，即在AB 上截取AF=AC ，连结DF ，构造三角形全等，证得AB=AC+CD. Ⅲ 翻折法构造全等三角形例7：如图11-4-12，已知∠B=∠C=90 º ，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，试说明AM 平分∠DAB. 图11-4-12证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂足为E ， 因为∠1=∠2，MC ⊥CD ，ME ⊥AD ， 所以ME=MC ，又因为M 是BC 的中点，所以MC=MB ，所以ME=MB ， 在Rt △ABM 和Rt △AEM 中，7.如图11-4-15，AD 是△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F.观察图形，试猜想BE 与CF 的和与EF 的大小关系，并说明理由.BA E FCD图11-4-158.如图11-4-17，已知△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，BD 平分∠ABC ，试说明AB=BC+CD .图11-4-17所以Rt △ABM ≌Rt △AEM （HL ） 所以∠3=∠4，所以AM 平分∠DAB ．点拨：添加辅助线，用“翻折法”构造全等三角形是是一种常用的思想方法．Ⅳ 旋转法构造全等三角形例8：如图11-4-13，已知∠B=∠C=90 º ，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，试说明AM 平分∠DAB.ABCD EM 1234ME=MB AM=AMAB CD MNA B CD图11-4-13证明：延长DM ，交AB 的延长线于点E （可以看成是把△DCM 绕点M 顺时针旋转180 º）则∠N=∠CDM ，DM=MN, 因为∠CDM=∠ADM ， 所以∠ADM=∠N . 所以AD=AN .在△ADM 和△ANM 中，因为所以△MCD ≌△MEB(SSS) . 所以∠DAM=∠NAM . 所以AM 平分∠DAB .点拨：本题也可以用“旋转法”构造全等三角形.（三）学科思想专题专题5：利用“转化”思想解决全等问题 专题概说：转化主要是将所要解决的问题转化为已知的、熟悉的问题，通过条件与结论的转化，化难为易，化繁为简，最终使问题得以解决.9.如图11-4-18，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，并且AF 平分∠EAD .试说明BE+DF=AE .图11-4-18例9：如图11-4-14，已知，在四边形ABCD 中，AB=DC ，∠A=∠D ，试说明∠ABC=∠DCB.图11-4-14解：法一：连AC 、BD. 在△ABD 和△DCA 中，所以△ABD ≌△DCA （SAS ）. 所以BD=CA.在△ABC 和△DCB 中DM=MN AM=AM AD=AN A B CDAB=DCAD=DA∠BAD=∠CDA AB=DC BC=CBAC=DB ABCDEF所以△ABC ≌△DCB(SSS) . 所以∠ABC=∠DCB.图11-4-15法二： 取AD 的中点E ，连结BE 、CE ， 如图11-4-15先说明△ABE ≌△DCE ， 得∠1=∠2，BE=CE ， 进而可得∠3=∠4， 所以∠1+∠3=∠2+∠4， 即∠ABC=∠DCB.点拨：（1）在原图形上，要说明∠ABC=∠DCB ，无从下手，但连结AC 、BD ，把原问题转化为三角形问题来解决，已知是两个三角形边与角相等，要说明的结论也是两个三角形中角相等，所以，可以通过三角形全等来解决问题. 专题5：即时练习10.如图11-4-19所示，在四边形ABCD 中，已知AB=CD ，AD=BC ，DE=BF ，且点E ，F 分别在AD ，CB 的延长线上，试说明BE=DF.图11-4-19（2）注意，当说明的几何题缺少条件时，可取某线段中点为解决问题提供条件. （四）中考能力专题专题6：利用全等解决动态几何问题 专题概说：三角形是初中几何的基础，而全等三角形是三角形的主要内容，它是进一步研究四边形、相似形、正多边形等的重要基础，它在中考中占有很大的比重，以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时单独命题，有时也和其他知识综合在一起，以综合题形式出现，单独出现时难度一般不大，但以综合题形式出现时由于涉及范围较广，一般都有一定的难度.E A BCD1 324 A B C D EF例10：如图11-4-21中图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请说明理由；(2)将图11-4-21图a中的△CEF绕点C 旋转一定的角度，得到图b，题(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可）．（1）中的结论还成立吗？作出判断，不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.图11-4-21专题6：即时练习11.（09，包头）如图11-4-23，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D 为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？图11-4-23解：（1）结论：AF=BE.理由：因为△ABC和△CEF是等边三角形.所以AC=BC，CF=CE，∠ACF= ∠BCE=60º所以△ACF≌△BCE(SAS) .所以AF=BE.（2）结论仍然成立.理由如下：理由：因为△ABC和△CEF是等边三角形.所以AC=BC，CF=CE，∠ACB= ∠FCE=60º所以∠ACF= ∠BCE.所以△ACF≌△BCE(SAS) .所以AF=BE.（3）如图11-4-22，（1）中的结论仍然成立.ABCFABCF图11-4-22(4) 不论△CEF 绕着C 点旋转任意角度，结论AF=BE 始终成立.点拨：动态几何问题是指随着图形中某一个（或几个）元素的运动变化或者整个图形的运动变化，导致问题的结论改变或保持不变的几何题，解决这类题时要善于抓住以下几个特点：（1）变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；（2）图形在变化过程中，弄清哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，原来的等角、等线段是否还存在是解题的关键；AB CEF第十一章检测题（100分 45分钟）一、选择题（每题4分，共24分）1．图11-5-1中，全等的一对是（ ）A. B. C. D.图11-5-12．下列说法正确的个数有（）（1）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（2）两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（3）三个角对应相等的两个三角形全等（4）成轴对称的两个图形全等Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个3. 如图11-5-2，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，则∠E 的度数为（ ）Ａ．300Ｂ．450 Ｃ．600 Ｄ．9004. 如图11-5-3所示，△ABC ≌△AEF ，AB=AE ，∠B=∠E ，有以下结论：①AC=AE ；②∠FAB=•∠EAB ；③EF=BC ；④∠EAB=∠FAC ，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C E 60 图11-5-2图11-5-35.如图11-5-4所示，AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，AE=CF，则下列结论中不正确的是（）A．Rt△AEB≌Rt△CFD B．BE=DF C．∠ABE=∠CDF D．BE=CD图11-5-46.如图11-5-5所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC•与右边滑梯水平方向的长度DF相等，CA⊥BF,ED⊥BF则下列结论中不成立的是（）A．AB=DE B．∠ABC=∠DEF C．∠ACB=∠DEF D．∠ABC+∠DFE=90°图11-5-5二、填空题（每空4分，共28分）7．如图11-5-6所示，△ABC与△DEF是全等形，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=32°，∠A=68°，AB=13cm，则∠F=______，DE=______．图11-5-68．如图11-5-7所示，已知 AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,那么图中的全等三角形共有__________对.(13)E D C B A图11-5-79．如图11-5-8所示，要用“SAS”说明△ABC≌△ADC ，若AB=AD ，则需要添加的条件是 ．图11-5-810．如图11-5-9所示，若△ABC≌△DEF，AB=5,AC=8,则EF 的取值范围是________．图11-5-9 11．如图11-5-10所示，若PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB=PC ，则AB=_______．图11-5-1012．如图11-5-11所示，在矩形ABCD 中，连接点A 与边DC 上的一点E ，AF ⊥EF,垂足F 在BC 上，DE=EF,∠BAF=50°,则∠FAE=_______.图11-5-11三、解答题（每题12分，共48分）13．如图11-5-12，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．图11-5-1214.如图11-5-13，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，CE=DF ，AE=BF ，问△CEB ≌△DFA 吗？说明理由.图11-5-1315.如图11-5-14所示,AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB,DF ⊥AC,（1）你能找出图中的全等三角形吗?如果再加上AB=AC 呢?EDC B AM F图11-5-14 (2) AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB,DF ⊥AC,AB=AC,连接EF 交AD 于M,你能找出图中的全等三角形吗?(3)在 (2)的基础上,当∠BAC=90°时,你能找出图中的全等三角形吗?16.如图11-5-15所示,已知点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△BCN 是等边三角形.(1)求证:AN=BM ；E DC B A NM O图11-5-15(2)若把原题中“△ACM 和△BCN 是两个等边三角形”换成两个正方形(如图11-5-16所示),AN 与BM 的关系如何?请说明理由.E C B A NMF图11-5-16全章总结二、1.解：因为∠ADF=∠B+∠3，∠AEF=∠C+∠4，又因为∠B=∠C ，∠3=∠4，所以∠ADF=∠AEF.在△ADF 和△AEF 中，所以△AEF ≌△ADF （AAS ）.所以EF=DF.∠1=∠2 ∠ADF=∠AEF AF=AF点拨：说明线段相等的步骤：① 观察要说明线段在哪两个可能全等的三角形中，然后说明这两个三角形全等.② 若图中没有全等三角形，可把欲说明线段用和它相等的线段代换，再说明它们所在的三角形全等.③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.2.解：因为AD 平分∠BAC ，又因为DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，所以DC=DE.在Rt △CDF 和Rt △DEB 中，所以Rt △CDF ≌Rt △DEB （HL ）.所以CF=EB.点拨：本题是将角平分线的性质和三角形全等结合起来运用的一道题目.3.解：因为BO=DO ，EO=FO ，所以BO-EO=DO-FO.所以BE=DF.因为AE=CF ，AB=CD ，所以△ABE ≌△CDF （SSS ）.所以∠B=∠D.点拨：本题是利用三角形全等证明角相等的一道题目，只要证明这两个角所在的三角形全等即可.4. 解：因为∠BAC=90º，BD ⊥AN.所以∠1+∠2=90 º，∠1+∠3=90 º，所以∠2=∠3. 又因为BD ⊥AN ，CE ⊥AN ，所以∠BDA=∠AEC=90 º.在△ABD 和△CAE 中，所以△ABD ≌△CAE （AAS ）.所以AE=BD ，AD=CE .因为DE=AE-AD,而AE －AD=BD －CE.DC=DE DF=BD∠BDA=∠AEC ∠2=∠3 AB=CA所以DE=BD －CE.点拨：在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角（或等角）的余角相等”来说明两个角相等.5.解：作AH ⊥BC ，H 为垂足，沿AH 将原材料分割为两部分，再以点A 为中心转动Rt △ABH ，使AB 与AD 重合，并将两部分（Rt △ABH 和四边形AHCD ）连起来，这样就得到正方形AHCE ，而且材料利用率最高.点拨：将实际问题转化为数学问题，充分利用直角三角形全等加以解决即可.6.解：在CD 上取一点E 使得DE=BD ，连接AE .因为AD ⊥BC ，所以∠ADB=∠ADE=90 º.因为DE=BD ，AD=AD ，所以△ABD ≌△AED （SAS ）.所以AB=AE因为∠ABC=2∠C ，∠A=90 º，所以∠BAC+2∠C+∠A=180 º.所以∠B=60 º， ∠C=30 º.所以△ABE 是等边三角形.所以 AB=AE .因为∠BAC=90 º， ∠BAE=60 º，所以∠EAC=30 º.所以∠EAC=∠C .故AB=AE=EC .所以CD=DE+EC=AE+ED=AB+BD .点拨：要说明CD=AB+BD ，可以在CD 上截取一段等于BD ，再证明另一段等于AB.用“截取法”构造全等三角形也是数学上常用的一种方法.7.解：如图5B A43G E21F CD延长ED 到G,使DG=DE,连结CG 、FG ，在△BDE 与△CDG 中25BD CD DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BDE ≌△CDG （SAS ）.所以CG=BE.因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以∠EDF=∠1+∠3=90°.所以FD ⊥EG.因为ED=DG ，所以FE=FG.因为在△FCG 中有CG+CF>FG ，所以BE+CF>EF.点拨：本题是通过延长ED 使DG=DE ，构造△BDE ≌△CDG ，这样就可以把线段BE 、CF 、EF 归结到同一个三角形中去了，然后利用三角形的三边关系即得.8.解：因为BD 平分∠ABC ，将△BCD 沿BD 翻折180°，点C 落在BA 上的E 点，则有BE=BC ， 在△BCD 和△BED 中，所以△BCD ≌△BED （SAS ）.所以∠DEA=∠ACB=90°，所以CD=DE .因为△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，所以∠A=45°，所以∠EDA=∠A=45°，所以DE=EA ，所以AB=BE+AE=BC+CD ，即AB=BC+CD .点拨：本题是利用“翻折法”构造两个三角形全等的.将△BCD 翻折后的将△BED ，所以这两个三角形全等，可得CD=DE ，BC=BE .再证明△DEA 是等腰直角三角形，从而可得DE=EA ，所以AB=BC+CD .9.解：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，则△ADF ≌△ABG .所以∠G=∠AFD ，∠GAB=∠FAD ，DF=BG.所以BE+DF=BE+BG=GE.BC=BE ∠CBD=∠EBD BD=BD又因为AF平分∠EAD.所以∠FAD=∠FAE=∠GAB.所以∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE，即∠GAE=∠BAF.又因为AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD=∠G，所以在△EAG中，AE=GE，即BE+DF=AE.点拨：本题利用旋转巧妙地将两条分离的线段“链接”在一起，从而得到BE+DF=AE，利用旋转构造三角形全等是经常用到的方法.10.解：连结BD，在△ABD和△CDB中，AB=CDBD=DBAD=CB所以△ABD≌△CDB(SSS) .所以∠ADB=∠CBD，所以∠EDB=∠FBD.在△DEB和△BFD中，DE=BF∠EDB=∠FBDBD=DB所以△DEB≌△BFD(SAS) .所以BE=DF.点拨：本题通过作辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，从而使问题得解，这也是解决几何问题的一般思路.11.解：（1）①因为t=1秒，所以BP=CQ=3×1=3厘米，因为AB=10厘米，点D为AB的中点，所以BD=5厘米．又因为PC=BC-BP，BC=8厘米，所以PC=8-3=5厘米，所以PC=BD．又因为AB=AC，所以∠B=∠C，所以△BPD≌△PCQ．②因为v P≠v Q，所以BP≠CQ，又因为△BPD≌△PCQ，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，所以点P，点Q运动的时间秒，所以厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得秒．所以点P共运动了×3=80厘米．因为80=2×28+24，所以点P、点Q在AB边上相遇，所以经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．点拨：在点的运动或复杂图形的运动中找全等三角形是中考中的一个难点，解决这类问题还是要把握动态几何问题的特点，抓住边或角之间变与不变的关系，利用这些关系解决问题.第十一章检测题1．B 点拨：全等图形是指大小形状都一样的图形，显然只有B正确．2．B 点拨：对照全等三角形的判定方法．3．C 点拨：因为Rt△ABC≌Rt△DEF，所以∠E=∠B=60°．4．B 点拨：因为△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，所以点E、B是对应顶点, 点A与点A是对应顶点, 点F、C是对应顶点,所以③EF=BC，∠EAF=∠BAC, 所以∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF,即④∠EAB=∠FAC．所以③、④正确．故选B．5．D 点拨：在Rt△AEB与Rt△CFD中，因为AB=CD，AE=CF，所以Rt△AEB≌Rt△CFD （HL）．所以BE=DF，∠ABE=∠CDF．故D是不正确的．6．C 点拨：在Rt△BAC与Rt△EDF中，BC=EF，AC=DF,所以Rt△BAC≌Rt△EDF(HL),所以AB=DE, ∠ABC=∠DEF,又因为∠DEF+∠DFE=90°，所以∠ABC+∠DFE=90°．所以A、B、D正确．故选C.二、填空题7．80°，13cm 点拨：∠C=180°-32°-68°=80°，因为A 与D ，B 与E 分别是对应顶点，所以C 与F 是对应顶点，所以∠F=∠C=80°，DE=AB=13cm ．8．3 点拨：运用三角形全等的判定方法．9．∠BAC=∠DAC 点拨：挖掘题目中的隐含条件．10．3＜EF ＜13 点拨：因用全等符号写出△ABC 与△DEF 全等，可根据对应的顶点写在了对应的位置上，写出对应边．再根据全等三角形的对应边相等解答．EF 与BC 是对应边，因为8-5＜BC ＜8+5，即3＜BC ＜13，所以3＜EF ＜13．11．AC 点拨：在Rt △APB 与Rt △APC 中，PB=PC ，又有AP=AP ，所以△APB ≌Rt △APC （HL ）．所以AB=AC.12．20° 点拨：在Rt △AFE 与Rt △ADE 中，DE=EF,AE=AE,所以Rt △AFE ≌Rt △ADE(HL), 所以111(90)(9050)20222FAE DAE FAD BAF ∠=∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒. 三、解答题 13.解：（1）因为△ABD 为等腰直角三角形，所以∠DBA=45°．又因为AB=AC ，∠BAC=40°，所以∠ABC=70°．所以∠DBC=115°；（2）证明：因为△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形，所以∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ．又因为AB=AC ，所以AB=AD=AC=AE ．所以△ABD ≌△ACE ．所以BD=CE ．点拨：本题考查了全等三角形的判定、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定；得到AB=AD=AC=AE 是正确解答本题的关键．14. △CEB ≌△DFA解：因为CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，所以∠CEB =∠AFD ，因为AE=BF ，所以AF=BE, 在△CEB 和△DFA 中，因为 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE AF AFD CEB DFCE ，所以△CEB ≌△DFA （SAS ）.点拨：将题目中的间接条件转化为可证全等的直接条件.15. (1)△AED≌△AFD;△AED≌△AFD,△BED ≌△CFD,△ABD≌△ACD.(2)△ABD≌ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM,△DEM ≌△DFM.(3)△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF≌△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM ≌△DEM≌DFM.点拨：条件改变了，题目中存在全等三角形不会变，依条件找全等.16. (1)证明:因为△ACM、△BCN是等边三角形,所以∠1=∠2=60°,BC=CN,AC=CM,所以∠1+∠3=∠2+∠3,即∠ACN=∠BCM,在△ACN和△MCB中,AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB,所以△ACN≌△MCB,所以AN=MB.(2)AN=BM.理由如下,因为四边形ACMF、BCNE为正方形,所以AC=MC,CN= CB,∠2=∠1.在△ACN和△MCB中,AC=MC,∠2=∠1,CN=CB,所以△ACN≌△MCB,所以AN=BM.点拨：本题的（1）（2）两问的变化也是有规律可循的，把等边三角形改为正方形，它们的共同点是每个角都相等，每条边也都相等。
第十一章反常积分习题课
第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．⇔()()0,0,,εε+∞∀>∃>∀>-<⎰⎰uaaM u M f x dx f x dx 有⇔()0,0,,εε+∞∀>∃>∀><⎰uM u M f x dx 有2．叙述()baf x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()baf x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰bbuau af x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰bbuaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→xx ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dxx 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足()0.2Af x ≥> 于是有()()()uMuaaMf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是⎰+∞=+∞→uau dx x f .)(lim而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(li m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dt t f dt t f dt x f x f δ⎰⎰+-≤2121)()()(x x x x dt t f dt t f x f2,22εδδεδ<⋅+≤便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim ()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx nε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为133301222sin sin sin x x x dx dx dx xxx+∞+∞=+⎰⎰⎰312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则33022sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为213333010sin 1cos 21cos 21cos 2222xx x x dx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰，311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx在0没有定义，则10sin x dx x ⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx-在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x -⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点． 1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则sin xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b adx x F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba badx x F dx x f dx x f εεεε0lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]ab -,0上连续，有()()()⎰==+→badx x F G G 0lim 0εε，即()().⎰⎰=babadx x F dx x f 故()⎰badx x f 可看成正常积分。
《数学分析》第11章 反常积分ppt课件
f ( x)dx 收敛, 则可得
c g( x)dx
收敛,从而
a
a2
a g( x)dx 收敛.反之,若 a g( x) dx 收敛, 可得
3c g( x)dx 收敛,从而
f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
的积分
R
m gR 2 x2
dx
lim
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2) , R 6.371 106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1 时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1
1
; q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F (a
)
F (b) lim F (u). ua
a f ( x) dx 与 b f ( x) dx (b a ),
同时收敛或同时发散，且
f ( x)dx
b f ( x)dx
f ( x)dx.
反常积分习题课
第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．⇔()()0,0,,εε+∞∀>∃>∀>-<⎰⎰uaaM u M f x dx f x dx 有⇔()0,0,,εε+∞∀>∃>∀><⎰uM u M f x dx 有2．叙述()baf x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()baf x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰bbuau af x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰bbuaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→xx ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dxx 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足()0.2Af x ≥> 于是有()()()uMuaaMf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是⎰+∞=+∞→uau dx x f .)(lim而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(li m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dt t f dt t f dt x f x f δ⎰⎰+-≤2121)()()(x x x x dt t f dt t f x f2,22εδδεδ<⋅+≤便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim ()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx nε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为133301222sin sin sin x x x dx dx dx xxx+∞+∞=+⎰⎰⎰312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则33022sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为213333010sin 1cos 21cos 21cos 2222xx x x dx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰，311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx-在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x -⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点． 1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则sin xx 在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b adx x F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba badx x F dx x f dx x f εεεε0lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]ab -,0上连续，有()()()⎰==+→badx x F G G 0lim 0εε，即()().⎰⎰=babadx x F dx x f 故()⎰badx x f 可看成正常积分。
《定积分、反常积分及其应用》小结、课件、典型题与单元测试题
《定积分、反常积分及其应用》小结、课件、典型题与单元测试题内容总结、参考课件及相关资料：•《定积分的概念及极限计算应用》内容总结与参考课件•《定积分的性质及应用》内容小结与课件节选•《变限积分函数及其应用》内容小结与题型解析•《定积分计算》内容与计算思路、题型小结与典型例题•《反常积分》的计算与收敛性的判定小结与课件节选•《定积分的几何应用》基本解题思路与参考课件节选•《定积分物理应用》及一般应用问题类型及基本解题思路与步骤•《一元函数积分学》内容小结与典型题举例知识点与题型解析：•知识点解析：有理函数的部分分式分解的基本概念与方法•无穷项和数列极限计算的定积分方法•不连续的函数就一定没有原函数吗？原函数的存在性的讨论与验证！•题型解析：与定积分有关的命题的证明思路与积分上限函数求导典型题•定积分与不定积分的计算思路、步骤与例题•定积分几何应用的基本解题思路、方法与参考课件节选•定积分物理应用的问题类型及基本解题思路与步骤典型习题与知识点、解题思路总结：•一个问得比较多的定积分不等式证明题参考解答•典型例题：不可积函数的定积分计算•一个积分极限等式证明的思路分析与探讨•习题6.1-《定积分基本概念与性质》专题练习及参考解答•习题6.2-《变限积分及其应用》专题练习及参考解答•习题6.3-《不定积分与定积分》专题练习及参考解析•习题6.4 -《定积分的应用》专题练习及其参考解析•习题6.5 -《反常积分》专题练习及其参考解析单元测试与参考解答：•《定积分》单元测试题（一）及参考答案•《不定积分与定积分》单元自测题•《不定积分与定积分》单元自测题参考答案•高等数学《定积分》专题练习(二)及参考解答更多典型例题请参见菜单“高数线代”下的“《高数数分》每日一题”. 详细历史推文分类导航请点击公众号会话框下面的底部各菜单选项！《高等数学》系列专题请点击菜单“高数线代”下的“在线课堂专题讲座”选项，在打开的面板中选择“专题讲座”浏览！。
习题课·反常积分
sin x dx xλ
(4)
（2）
+∞ 0
ln(1 + x) dx xλ
(5)
5
习题5 判断下列反常积分的敛散性 （1）
+∞ 0
xα dx (β ≥ 0) 1 + xβ
(6)
（2）
+∞ 0
xp
dx + xq
(7)
（3）
+∞ 1
xp
dx lnq x
(8)
6
习题6 已知a > 0, b > 0， （1）设f (x)在[0, +∞)上连续，且limx→+∞ f (x) = f (+∞)存在，证明
（3）设f (x)在[0, +∞)上连续，limx→+∞ f (x) = f (+∞)存在，且 敛，证明
+∞ 0
a f (ax) − f (bx) dx = −f (+∞)ln x b
(11)
应用上面结果计算 （1）
+∞ 0
eax − ebx dx; x
(12)
（2）
+∞ 0
cos(ax) −否收敛，如果
+∞ a
f (x)dx 收敛， f (x)dx ，
+∞ a
g (x)dx发散；
g (x)dx都发散；
+∞ [f (x)g (x)]dx a +∞ a +∞ a +∞ a
是否收敛，如果 g (x)dx都收敛； g (x)dx都发散；
+∞ a
f (x)dx ， f (x)dx ，
1 o( x )。 +∞ a +∞ a +∞ a
高等数学第十一章章节小结
的导函数连续且不同时为零,则
1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算
设平面曲线 L 关于 x 轴对称，且位于上半 平面的部分曲线为 L0，则 如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数， 则 f ( x, y)ds 0 ； 如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数， 则 f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds ； 平面曲线 L 关于 y 轴对称时有类似的结论。
3.1 格林公式
有界闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成，函数P( x, y)、 L 是区域 D 的 Q( x, y)在区域 D 内的一阶偏导数连续， 正向边界曲线，则 Q P Pdx Qdy ( )d
L D
x
y
注：
L
xdy ydx 2 A (其中A为区域D的面积)
Γ0
2 .1 对坐标的曲线积分的定义
定义：函数 P( x, y) 在 L 上对坐标x 的曲线积分 n P( x, y)dx lim P(i ,i )xi
L
0
i 1
函数 Q( x, y) 在 L 上对坐标 y 的曲线积分
L
Q( x, y)dy lim Q(i ,i )yi
上
上
5.1 对坐标的曲面积分
定义：函数 R( x, y, z) 在有向曲面 上对坐标 x, y 的曲面积分。记作：
R( x, y, z )dxdy lim R(i ,i , i )(Si ) xy
0
i 1n同理，可定义：P ( x, y, z )dydz lim P(i ,i , i )(Si ) yz
第十一章反常积分(数学47班B204宿舍总结)
e pt dt ] 0
[ 1 te pt 12 e pt ]0 p p
lim [
t
1 pt 1 1 1 te 2 e pt ] 2 2 . p p p p
t e pt
t
提示：
t
lim te pt lim
x
a
lim
f (x) g( x)
c.
a
( i ) 若 0 c ， 则
f ( x )d x 与
g ( x )d x 收 敛 性 相 同 ;
( ii ) 若 c 0 , 则 由
a
g ( x )d x 收 敛 可 得
a
a
f ( x )d x 收 敛 ;
u
u1
2
f ( x )dx ,
u
u2
1
g( x )dx ,
又 因 为 f ( x ) h ( x ) g ( x ), 所 以
即
u
u2
1
g( x )dx
u
u2
1
h( x ) d x
u
u2
1
g( x )dx ,
u
u2
1
h( x ) d x .
a
( iii ) 若 c , 则 由
g ( x )d x 发 散 可 得
f ( x )d x 发 散 .
推论2 设 f 是定义在 [ a , ) 上的非负函数, 在任何
有 限 区 间 [a , u ] 上 可 积 .
(i ) 若 f ( x )
1 x
p
数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
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第十一章反常积分复习自测题、体会各类反常积分(无穷积分、瑕积分和混合反常积分)的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义, 面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下1 , c(1) 下dx (a 0)； (2)a x2、正确地判断下列反常积分的敛散性：4 dxx (a 0);⑶-1dx0 p0 x(a 0)。
1(1) —「dx (aa x(ln x) 1)；⑵1x(lnx)ydx (ap1)；(3)U dx。
3、探索下列反常积分的敛散性, 若收敛，并求其值:/、 1 /、(1) ——^dx; (2)01 x21 ,、---- 2 dx ;(3)1 x20 彳 2..1 xdx ;(4)1 x24、用定义据理说明下面的关系: 函数的积分特征)(反常积分的牛顿―莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶(1)若函数 f (x)在［a,)上连续, F(x)为f(x)在［a, )上的原函数，记则无穷积分 f (x)dx收敛(2)若函数f(x)在(F( 则无穷积分 f (x)dx收敛(3)若函数F(F())x im f (x),lim f (x)存在，且xf (x)dx F(x) a)上连续，5J)为£仁)在( )上的原函数，记)limxF()f (x)和g(x)都在［a,f (x)g (x)dx 收敛其中f( )g( ) Jimf(x), F( ) limxlim f (x)和F( xf(x)dx F(x))上连续可微，且f (x)g(x)dx 收敛，且f (x)g (x)dx f(x)g(x)f(x)g(x)。
f(x),lim f(x)都存在,且xlim f (x) g(x)存在，则无穷积分x f (x)g(x)dx,(4)若函数f(x)在［a,)上连续，x (t)在［,)(其中为有限数或(5)设函数f (x)在(，)上连续,且严格单调递增, 敛，且 (［,))［a,)，则无穷积分 f(x)dx 收敛a积分f( (t)) (t)dt收f(x)dx f( (t)) (t)dt 。
第十一章反常积分
117第十一章 反常积分第一部分一．填空题1．=+⎰+∞-12xx e e dxe 4π。
2．=--⎰101)2(xx dx2π. 3.当=m 21- 时，广义积分⎰+∞2dx xe mx 收敛于1. 三．选择题1.下列广义积分收敛的是（C ）A. dx xx e ⎰+∞ln B. dx x x ⎰+∞0ln 1C. dx x x ⎰+∞02)(ln 1D. dx x x e ⎰+∞21)(ln 12.已知广义积分dx xxx k ⎰∞+-+12ln 1收敛，则（A ） A. 1<k B. 1=k C. 21<<k D. 2≥k3.设广义积分dx x x A ⎰-=101ln ，dx xxB ⎰+=101ln ，则B A ,满足（B ）A. B A =B. B A 2=C. B A =D. 2BA =4.下列广义积分发散的是（B ）A. dx x ⎰10lnB. dx x x ⎰+∞∞-+21C. )0(0>⎰+∞-ααdx xe xD. dx x ⎰+∞∞-+23)1(15.广义积分)0,0(11>>+=⎰∞+n m dx x xA nm,当1>-m n 时（A ） A. 收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D.不确定 四．解答题1.判别下列广义积分收敛性:（1）)0(d ln 1>⎰∞+p x x x p ，； （2）)0(d ln 0>⎰∞+p x xx p；（3）)0(d )1ln(0>+⎰∞+p x x x p ； （4）)0(d )11ln(1p >+-⎰∞+p x x x ；（5）⎰+20)d sin ln 1sin (ln πx xx ； （6）⎰∞++1d 1)cos(ln x x x ； （7）⎰∞+--1d )21sin 1cos 1(x x x. 解：（1）1>p 收敛；（2）发散；（3）21<<p 收敛．（4）⎰∞++-1p d )11ln(x x x ⎰∞++-=1p d )121ln(x x，由比阶判别法推出1>p 收敛，1≤p 发散． （5）⎰20d sin ln πx x ．瑕点0=x ．0sin ln lim 21=+→x x x 收敛．118⎰20d sin ln 1πx x ．瑕点2π=x ．因为-∞=--→x x x sin ln lim 202ππ，所以发散． 2.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）⎰∞+1d sin x x x； （2）⎰+∞+02d 1)sgn(sin x x x .解：取1,21==λp ，则1|sin |lim 21=+∞→x x x x ，从而⎰∞+1d |sin |x x x 发散， ),1[,4|)(|,cos 21cos 2d sin )(1+∞∈≤-==⎰u u F u x xxu F u ，故)(u F 在),1[+∞上有界.xx g 1)(=在),1[+∞上当+∞→x 时单调趋于0，由狄利克雷判别法知⎰∞+1d sin x x x 收敛.故⎰∞+1d sin x x x条件收敛.（2）,111lim ,11|1)sgn(sin |2222=++≤++∞→xx x x x x 取1,2==λp ，⎰⎰+∞+∞+=+020211d |11|dx x x x 收敛. 故⎰+∞+02d 1)sgn(sin x xx 绝对收敛. 3.讨论下列瑕积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）⎰π023d sin x xx； （2）xdx e x ln 0⎰+∞-. 解：（1）此瑕积分的瑕点为,0=x 取21=p 时，由 1sin lim 2321==+→x x x x λ，由比较判别法知⎰π023d sin x x x 收敛. （2）此瑕积分的瑕点为,0=x 该反常积分可改写为=⎰+∞-xdx e x ln 0+⎰-xdx e x ln 10xdx e x ln 1⎰+∞-其中xdx e xln 10⎰-为瑕积分，xdx e x ln 1⎰+∞-为无穷积分.①对于0|ln |lim ,ln 21010=-→-+⎰x e x xdx e xx x，由比较判别法知dx x e x |ln |10⎰-绝对收敛；②对于xdx e xln 1⎰+∞-，0|ln |lim 20=-→+x ex xx ，由比较判别法知dx x e x |ln |1⎰-绝对收敛.综上得xdx e x ln 0⎰+∞-绝对收敛.4.计算⎰1n d (lnx )x .解：记⎰⎰⎰--→→-=-===++111111n0])(ln |)(ln [lim )(ln lim d (lnx)αααααn n n nnI dx x n x x dx x x I ，因为110==⎰dx I ，故!)1()1(21n nI nI I n n n n -==-=-=-- .第二部分1191.求证⎰∞+1d sin x xx收敛，但是⎰∞+12d sin x x x发散. 证明：⎰⎰--=A A A x x x x x x x x 1211d cos cos d sin ．由于⎰∞+12d cos x xx收敛，所以 ⎰+∞→A A x xx 1d sin lim 存在，因此⎰∞+1d sin x x x收敛． 另一方面，⎰∞+12d sin x x x ⎰∞+=1d 21x x ⎰∞+-1d 22cos x xx ．其中前一个积分发散，后一个积分收敛，所以⎰∞+12d sin x xx发散．2.已知2d sin 0π=⎰+∞x x x ，求⎰∞+022d sin x x x . 解：)1(sin lim )1(sin d sin 2002022⎰⎰⎰-=-=+→+∞→∞+∞+a a x xd x xd x xx δδ xdx x x x x a a aa cos sin 21lim |]sin [lim 020⎰++→+∞→→+∞→+-=δδδδ 2)2(sin 21lim 00πδδ=+=⎰+→+∞→x xd x aa . 3.若dx x f a⎰+∞)(收敛且存在极限A x f x =+∞→)(lim ，则0=A .证明：由不妨设)0()(lim >=+∞→A A x f x ，取2A=ε，则存在0>M ，当M x >时有 2)(Ax f >.故dx A dx x f u a u a ⎰⎰>2)(，dx Adx x f u a u u a u ⎰⎰+∞→+∞→>2lim )(lim ，即+∞=>⎰⎰+∞+∞dx Adx x f a a 2)(，与dx x f a ⎰+∞)(收敛矛盾，因此0=A . 4.证明：若dx x f a⎰+∞)(绝对收敛，且0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f a⎰+∞)(2必定收敛.证明：由已知0)(lim =+∞→x f x ，即当+∞→x 时， 0>'∃x ，当x x '≥时，相应的)(x f 总在0～1之间，此时必有|)(|)(2x f x f ≤. 由比较判别法知dx x f a ⎰+∞|)(|收敛，则dx x f a⎰+∞)(2收敛.5.（复旦大学）讨论反常积分⎰∞+-+011dx xx p 的敛散性. 解：当1≥p 时，对任意),1[+∞∈x ，有x x x p +≥+-1111，而⎰+∞+111dx x发散，故⎰∞+-+111dx x x p 也发散，从而⎰∞+-+011dx xxp 发散. 当1<p 时，对任意),1[+∞∈x ，有221110---<+=+<p p p x xx x x x ，而⎰+∞-12dx x p 收敛，故⎰∞+-+111dx x x p 收敛，又⎰+-1011dx x xp 存在，故⎰∞+-+011dx xx p 收敛. 6.（北京大学1992）讨论瑕积分⎰-101ln dx xx的敛散性.120解：因为01ln lim 210=-+→x x xx ，其中21=p ，由柯西判别法的极限形式⎰-101ln dx x x 收敛.7．（北京航天航空大学）判断积分⎰+∞++1)]d x11-)11[ln(x x 的敛散性.解：对),1[+∞∈∀x ，有21)1(111111)11ln(0x x x x x x x ≤+=+-≤+-+≤再由⎰+∞12d 1x x收敛知⎰+∞++1)]d x 11-)11[ln(x x 收敛. 8.（北京大学）证明反常积分)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x xp是收敛的. 证明：因为dx x xdx x x dx x x pp p ⎰⎰⎰∞+∞++++=+12102021sin 1sin 1sin ，故只需证明 dx x xp ⎰∞++121sin 收敛即可.记)1(1)(,sin )(2p x x x g x x x f +==，则对任意1>u1|1cos cos |21|sin ||)(|2121≤-==⎰⎰u dx x x dx x f u u ，)(x g 在),1[+∞上单调递减且 0)1(1lim )(lim =+=+∞→+∞→p x x x x x g ，故由狄利克雷判别法知dx x x p ⎰∞++121sin 收敛，从而)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x x p 是收敛的.9.设)(),(),(x h x g x f 是定义在),[+∞a 上的连续函数，且成立不等式)()()(x h x f x h ≤≤.证明：（1）若dx x h a⎰+∞)(与dx x g a⎰+∞)(都收敛，则dx x f a⎰+∞)(也收敛.（2）又若=⎰+∞dx x h a)(A dx x g a=⎰+∞)(，则A dx x f a=⎰+∞)(.证明：由已知)()()(x h x f x h ≤≤，a u >∀有≤⎰dx x h u a)(dx x f ua⎰)(dx x g ua⎰≤)(（1）若dx x h a⎰+∞)(与dx x g a⎰+∞)(都收敛，即dx x h uau ⎰+∞→)(lim及dx x g uau ⎰+∞→)(lim存在，由夹逼定理有dx x f uau ⎰+∞→)(lim也存在，即dx x f a⎰+∞)(也收敛.（2）又若=⎰+∞dx x h a)(A dx x g a=⎰+∞)(，则=⎰+∞→dx x h uau )(lim A dx x g uau =⎰+∞→)(lim，夹逼定理有=⎰+∞dx x f a)(A dx x f uau =⎰+∞→)(lim.。
第十一章反常积分
第十一章 反常积分课后习题全解§1 反常积分概念1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）2.x xe dx +∞-⎰； （2）2x xe dx +∞--∞⎰;(3)0+∞⎰dx; (4) 20(1)dx x x +∞+⎰; (5)2445dxx x +∞-∞++⎰; (6) sin ;0x e xdx -+∞⎰(7)sin ;xe xdx +∞-∞⎰ (8)0+∞⎰解：（1）由于22211(1),lim 0022x u x u u u xe dx e xe dx ---→+∞=-=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为12（2）由于222001(1),lim 02x u x u xe dx e xe dx u u ---→-∞=--=⎰⎰则222000x x x xe dx xe dx xe dx ---+∞+∞=+=-∞-∞⎰⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为0（3）由于2(1lim 2u u u →+∞==⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为2（4）由于221(ln ||),lim 1ln 211(1)1(1)u u u dx xdx x x x x x x →+∞=-+=-+++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为1-ln2（5）22lim 004454454u u dx dx x x x x π→+∞+∞==++++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为4π（6）由于11sin [1(sin cos )],lim sin 0022x ux u u u e xdx u u e e xdx ---→+∞=-+=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且积分为12（7）1sin lim sin lim [1(sin cos )]02x x u u u e xdx e adx u u e →+∞→+∞+∞===-=∞⎰则0sin sin sin 0x x xe xdx e adx e xdx +∞+∞=+=∞-∞-∞⎰⎰⎰所以该无穷不收敛（8）由于ln |limu uuu →+∞=+=+∞⎰⎰所以该无穷积分分散2．讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值 （1）()p b dx a x a -⎰； （2）2101dxx -⎰；（3）2⎰； （4）1⎰；（5）1ln ;0xdx ⎰ （6）;⎰（7）1⎰ （8）10(ln )p dxx x ⎰解：（1） 被积函数f(x)=1()px a -在（a,b ）上连续，从而在任何[u,b]⊂(a,b)上可积，x=a 为其瑕点，依定义2求得lim ()()p pu a b b dx dxa u x a x a →+=--⎰⎰而1()111lim{()Pb a p p p pu a bdxu x a --<-∞≥→+=-⎰ 当P<1时，该遐积分收敛至1()1pb a p---；当P ≥1时，该瑕积分发散（2） 该积分函数f(x)=211x-在[0，1]上连续，从而在任何[0,u]⊂[0,1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2求得221111lim lim [ln(1)ln(1)]00112u u u dx dx u u x x --→→==+--=+∞--⎰⎰因此该瑕积分发散（3） 被积函数[0，1]∪（1，2）上连续,x=1为其瑕点，依定义2得1111lim lim lim(22u u u u u ---→→→===-=⎰⎰⎰111222lim lim lim(221u u u +++→→→===-=⎰⎰⎰则21241=+=⎰⎰⎰，瑕积分收敛（4） 被积函数[0，1]上连续，从而在任何[0，u]⊂[0，1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2得111lim lim(11u u u--→→===⎰⎰（5） 被积函数f(x)=lnx 在（0，1）上连续，从而在任何[u ，1]⊂（0，1）上可积，x=0为其瑕点，依定义2得0011ln lim ln lim[1(ln 1)]10u u xdx xdx u u u ++→→==---=-⎰⎰ 因此该瑕积分收敛至-1（6） 令2sin ,[0,],2x t t π=∈则22sin(1cos2)2t t dtππ==-=⎰⎰（7）令2sin,[0,],2x t tπ=∈则21220002dtπππ===⎰⎰⎰（8）被积分函数f(x)=1(ln)px x在（0，1）连续,x=0，1为其瑕点，因1111220001lim lim[(ln2)(ln)](ln)(ln)1p pp puu udx dxux x x x p+--→+→==--=∞-⎰⎰因此该瑕积分分散§2 无穷积分的性质与收敛判别（教材上册P275）1．证明定理11.2及其推论1解：（1）定理11.2的证明;由()g x dxa+∞⎰收敛，根据柯西准则，任给ε>0,存在G≥a,当21u u>>G时，总有21|()|uug x dxε<⎰2211|()|()||()|||()|u uu uf xg x f x dx g x dxε≤⇒≤<⎰⎰在由柯西准则，证得|()|f x dxa+∞⎰收敛（2）推论1的证明：（ī）|()|lim,()0()xf xC g xg x→+∞=>⇒取2cε=，存在M>0,当x>M时，有30()|()|()22c Cg x f x g x<<<<+∞3|()|(),2f x Cg x<由定理11。
反常积分习题课
0 f (x) g(x), x (a,b],
b
a f (x)dx
比较判别法渐近性态
若g(x)0, 且
lim f (x) c, xa g(x)
则有:
Cauchy判别法
设 f 定义于(a, b], a为其瑕点,且在任何[u, b](a, b] 上可积, 则
反常积分习题课
第十一章
反常积分习题课
基本问题: 反常积分得敛散性判别及其计算
无穷积分与暇积分得概念及其敛散性, 绝对收敛性
敛散性判别:Cauchy准则,比较判据 (Cauchy),Dirichlet判据,Able判据
无穷积分与暇积分得计算(极限)
统一思想:转化思想,极端原理
由熟悉(有界闭区间有界函数得性质) 认识(极限性质)陌生;极端原理(抓主 要矛盾、控制思想)。
(i)
当|
f
(x) |
(x
M a)p
,
(ii) 当
| f (x) | M , (x a)p
Cauchy判别法渐近性态
设 f 定义于(a, b], a为其瑕点,且在任何[u, b](a, b]
上可积、 如果
则有:
lim (x a) p f (x) ,
xa
1 f (x)
(x a)p
4、 变号函数判别法
(i)
当
f
(x)
M xp
,
(ii) 当
f
(x)
M xp
,
其中M就是某正实数。
Cauchy判别法极限形式 设 f 定义于[a, ), 在任何 有限区间[a, u]上可积, 且
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第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ． ⇔()()0,0,,εε+∞∀>∃>∀>-<⎰⎰u aaM u M f x dx f x dx 有⇔()0,0,,εε+∞∀>∃>∀><⎰uM u M f x dx 有2．叙述()baf x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()baf x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰bbuau af x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰bbuaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→xx ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dxx 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足()0.2Af x ≥> 于是有()()()uMuaaMf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是⎰+∞=+∞→uau dx x f .)(lim而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(lim =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dt t f dt t f dt x f x f δ⎰⎰+-≤2121)()()(x x x x dt t f dt t f x f2,22εδδεδ<⋅+≤便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx nε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为133301222sin sin sin x x x dx dx dx xxx+∞+∞=+⎰⎰⎰312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则33022sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为213333010sin 1cos 21cos 21cos 2222xx x x dx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰，311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx-在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x -⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点． 1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则sin xx 在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b adx x F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba badx x F dx x f dx x f εεεε0lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]ab -,0上连续，有()()()⎰==+→badx x F G G 0lim 0εε，即()().⎰⎰=babadx x F dx x f 故()⎰badx x f 可看成正常积分。
2）错误，因为111ln lim lim 111x x x x x --→→==---，则ln 1x x -在1x =近旁有界，因此不是瑕点． 注 我们经常通过证()lim x af x +→=∞（()lim x bf x -→=∞）来判断()a b 为f 的瑕点． 例 因为0ln lim 1x xx +→=-∞-，则0x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．4．定积分，无穷积分有什么区别？ 答 1))fx 在[,a b 可积()f x 在[],a b 可积 ()2f x 在[],ab 可积()afx dx +∞⎰收敛|af +∞⎰()2f x dx 收敛2）()()()00,2aa af x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰奇，偶，但对于()+f x dx ∞-∞⎰不一定具有这个性质，因为此时()+f x dx ∞-∞⎰可能发散．3）()f x 在[],a b 可积，则()f x 在[],a b 上有界，但()af x dx +∞⎰收敛不能保证()f x 在[),+a ∞上有界，例如()10,1,21,,2n n x n n n f x n x n n n ⎧⎡⎫∈--⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎩，()()001lim 12n n n n n f x dx f x dx n ∞+∞→∞====∑⎰⎰，不仅()lim x f x →+∞不存在，而且()f x 在[)0,+∞上无界．再如⎰+∞14sin dx x x 条件收敛，但4sin x x 在[)1,+∞上无界．5．定积分与瑕积分有什么区别？ 答()baf x dx ⎰收敛（a 为瑕点）()baf x dx ⎰收敛（()2baf x dx ⎰收敛（a 为瑕点）在可积()f x ],b 可积2）()()()()00,2aa af x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰奇，偶，但对于()a af x dx -⎰（a 为瑕点）不一定具有这个性质，因为此时()aaf x dx -⎰可能发散．3）()f x 在[],a b 可积，则()f x 在[],a b 上有界，但()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛不能保证()f x 在(],a b 上有界．注 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上积分时，先要检查是否有瑕点，不能把定积分的性质直接平移到反常积分中．5．定积分哪些性质可以平移到反常积分中？答：定积分的线性运算，牛顿莱布尼茨公式，换元积分，分部积分，在反常积分中，仍然成立．若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。