第十一章反常积分习题课教学总结
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第十一章 反常积分习题课
一 概念叙述 1．叙述()dx x f a
⎰
+∞
收敛的定义．
答：
()dx x f a
⎰
+∞
收敛⇔
()()lim
+∞
→+∞=⎰
⎰
u
a
a
u f x dx f x dx 存在．
⇔()lim
0+∞
→+∞=⎰u
u f x dx ． ⇔()()0,0,,εε+∞
∀>∃>∀>-<⎰⎰
u a
a
M u M f x dx f x dx 有
⇔()0,0,,εε+∞
∀>∃>∀><⎰
u
M u M f x dx 有
2．叙述()b
a
f x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．
答：
()b
a
f x dx ⎰
收敛⇔
()()lim +→=⎰⎰b
b
u
a
u a
f x dx f x dx 存在．
⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，
有()()ε-<⎰
⎰b
b
u
a
f x dx f x dx ．
3． 叙述
()dx x f a
⎰
+∞
收敛的柯西准则．
答：无穷积分()dx x f a
⎰
+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，
便有
()()()2
1
2
1
u u u a
a
u f x dx f x dx f x dx ε-=
<⎰
⎰⎰
．
4． 叙述
()b a
f x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．
答：瑕积分
()dx x f b
a ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只
要()12,,u u a a ∈+δ，总有
()()()2
1
2
1
b b
u u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰
．
二 疑难问题
1．试问
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛与0)(lim =+∞
→x f x 有无联系？
答：首先，0)(lim =+∞
→x f x 肯定不是
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛的充分条件，例如01
lim
=+∞→x
x ，但
⎰
+∞
11
dx x
发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如
⎰
+∞
1
2
sin dx x ，⎰+∞
1
2
cos dx x ，⎰
+∞
1
4sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得
到
⎰
+∞
1
2sin dx x 1
+∞
=⎰
，21cos x dx +∞=⎰=dt t
t ⎰+∞1
2cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12
cos dx
x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2
t x =而得
⎰
+∞
1
4sin dx x x =
⎰+∞12
sin 2
1dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋
于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．
注：若lim ()0x f x A →+∞
=≠，则
⎰
+∞
a
x x f d )(发散．
注：1）若⎰
+∞
a
x x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞
=存在, 则定有0)(lim =+∞
→x f x ；
2）若⎰+∞
a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞
→x f x ；
3）若⎰+∞
a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞
→x f x ；
4）若
⎰
+∞
a
x x f d )(收敛，且()d a
f x x +∞
'⎰
收敛，则0)(lim =+∞
→x f x ．
证：1）设A x f x =+∞
→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，
当x M ≥时满足
()0.2
A
f x ≥
> 于是有
()()()u
M
u
a
a
M
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰
⎰
()()2
M
a
A
f x dx u M ≥
+
-⎰
， 于是
⎰+∞=+∞→u
a
u dx x f .)(lim
而这与
⎰
+∞
a
x x f d )(收敛相矛盾，故0A =．
2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞
+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调
增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞
→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(lim =+∞
→x f x ．
3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞
x x δ'''-<只要时，就有()()2
f x f x ε
'''-<
．又因⎰+∞
a
dx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，
当12,x x M >时，有