第四篇 气体动理论 热力学基础
热学 第一章 热力学系统的平衡态与温度
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例如:粒子数
箱子假想分成两相同体积 的部分,达到平衡时,两侧粒 子有的穿越界线,但两侧粒子 数相同。
三、状态参量
状态参量:描述系统平衡态宏观性质的物理量。 常用的状态参量包括以下四类:
几何参量,如体积和应变等; 力学参量,如压强和应力等; 电磁参量,如电场和磁场强度、电极化与磁化等; 化学参量,如组成系统各化学组份的质量、物质的量。 只需要体积和压强两个状态参量就能够确定热力学 系统的平衡态,这样的系统称之为简单系统。
不管是哪种气体,当
压强趋于零时,所建立的 温标都趋于相同的极限值
p
V
T lim 273.16 lim 273.16
ptr 0
ptr
ptr 0
Vtr
——理想气体温标
3、热力学温标 (不依赖于任何测温物质及其物理属性)
开尔文根据热力学第二定律建立了热力学温标。
在理想气体温标所能确定的温度范围内,理想气体
线度约为10-4---10-5 , 1cm3气体中包含1011个微粒;
二、宏观物体内的分子在不停地运动并与温度有关
1827年,布朗(英 国植物学家)
在显微镜下观察悬
浮在液体中的小颗粒
永不停息地运动着,
其中任何一个运动都 是 无 规 则 的 或 无 序 的 。 布朗粒子
--------布朗运动
布朗运动
由观察和实验总结出来的热力学规
宏观描述 律,不考虑宏观物体内大量微观粒
研
子的微观结构,从能量观点直接研
究
究宏观物体的性质与规律。——热
方
力学方法
法
从物质的微观结构出发,依据每个
微观描述 分子所遵循的力学规律,用统计的
方法研究宏观物体的性质。——统
第四章气体动理论总结
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第四章⽓体动理论总结第四章⽓体动理论单个分⼦的运动具有⽆序性布朗运动⼤量分⼦的运动具有规律性伽尔顿板热平衡定律(热⼒学第零定律)实验表明:若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡则 A 与B 热平衡意义:互为热平衡的物体必然存在⼀个相同的特征--- 它们的温度相同定义温度:处于同⼀热平衡态下的热⼒学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。
⼀切处于同⼀热平衡态的系统有相同的温度。
理想⽓体状态⽅程: 形式1:mol M PV =RT =νRTM形式2:222111T V p T V p =形式3: nkT P =n ----分⼦数密度(单位体积中的分⼦数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻⽿兹曼常数在通常的压强与温度下,各种实际⽓体都服从理想⽓体状态⽅程。
§4-2 ⽓体动理论的压强公式VNV N n ==d d 1)分⼦按位置的分布是均匀的2)分⼦各⽅向运动概率均等、速度各种平均值相等kj i iz iy ix iv v v v ++=分⼦运动速度单个分⼦碰撞器壁的作⽤⼒是不连续的、偶然的、不均匀的。
从总的效果上来看,⼀个持续的平均作⽤⼒。
2213212()323p nmvp n mv n ω===v----摩尔数R--普适⽓体恒量描述⽓体状态三个物理量: P,V T 压强公式122ω=mv理想⽓体的压强公式揭⽰了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具有统计意义;压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分⼦数密度n 即增加碰壁的个数2)增加分⼦运动的平均平动能即增加每次碰壁的强度思考题:对于⼀定量的⽓体来说,当温度不变时,⽓体的压强随体积的减⼩⽽增⼤(玻意⽿定律);当体积不变时,压强随温度的升⾼⽽增⼤(查理定律)。
从宏观来看,这两种变化同样使压强增⼤,从微观(分⼦运动)来看,它们有什么区别?对⼀定量的⽓体,在温度不变时,体积减⼩使单位体积内的分⼦数增多,则单位时间内与器壁碰撞的分⼦数增多,器壁所受的平均冲⼒增⼤,因⽽压强增⼤。
第4章气体动理论基础学习知识
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第4章⽓体动理论基础学习知识第4章⽓体动理论基础4-1为什么说系统分⼦数太少时,不能谈论压强与温度?答:对少数⼏个分⼦⽽⾔不能构成热⼒学系统,分⼦间确实频繁碰撞,分⼦速率不满⾜统计规律,⽆论是从压强和温度的定义上来讲,还是从压强与温度公式的推导来看,都不满⾜谈论压强和温度的条件。
4-2已知温度为27℃的⽓体作⽤于器壁上的压强为pa 105,求此⽓体内单位体积⾥的分⼦数。
解:由 nkT P =,有 2523510415.23001038.1101?===-kT P n ]m [3-4-3⼀个温度为17℃、容积33m 102.11-?的真空系统已抽到其真空度为pa 1033.13-?。
为了提⾼其真空度,将它放在300℃的烘箱内烘烤,使吸附于器壁的⽓体分⼦也释放出来。
烘烤后容器内压强为pa 33.1,问器壁原来吸附了多少个分⼦?解:(1)当17=t ℃K 290=: 172331032.32901038.11033.1?===--kT P n ]m [3- 143171072.31052.111032.3?===-nV N(1)当300=t ℃K 573=: 2010682.1'''?==kT P n ]m [3- 1810884.1''?==V n N181088.1'?=-=?N N N4-4 ⽐较平衡态下分⼦的平均平动动能、平均动能、平均能量哪个最⼤?哪个最⼩?答:平均动能=平均平动动能+平均转动动能>平均平动动能平均能量=平均动能+平均势能>平均动能4-5 指出下列各式的物理意义:(1)kT 23; (2) kT i 2;(3) RT 23;(4) RT i2。
答:(1)kT 23:分⼦平均平动动能;(2)kT i2:分⼦平均动能; (3) RT 23:mol 1单原⼦理想⽓体内能;(4) RT i2:mol 1多原⼦理想⽓体内能。
4-6当氮⽓(2N )温度为0℃时,求:215.6510J -?213.7710J -?31.41710J ?(1)氮⽓分⼦的平均平动动能和平均转动动能;(2)7g 氮⽓⽓体的内能。
热力学中的理想气体分子动理论
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分子平均转动动能计算
分子转动动能公式:Erot=1/2Iω2 分子转动动能与温度的关系:随着温度的升高,分子转动动能增大 理想气体分子转动动能计算公式:Erot=1/2Iω2=1/2kT 理想气体分子平均转动动能计算公式:Erot=1/2kT
理想气体分子的 分布律
麦克斯韦分布律
定义:描述理想气体分子在平衡态 下速度分布的规律
分子碰撞与平均自由程
分子碰撞:气体分子间的相互碰撞, 是气体分子动理论的基本概念。
分子动理论:基于分子碰撞和平均 自由程的理论,解释了气体的一些 基本性质和行为。
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平均自由程:分子在连续两次碰撞 之间所走的平均距离,是气体分子 动理论中的重要参数。
理想气体:在分子动理论中,理想气 体被视为无相互作用的单个分子的集 合,其行为可以通过分子动理论来描 述。
理想气体分子动 能的计算
分子平均动能计算
分子平均动能的概念:分子在运动过程中所具有的动能的总和除以分子的数目。
分子平均动能的影响因素:温度和物质的种类。
分子平均动能与温度的关系:温度越高,分子平均动能越大。
分子平均动能的计算公式:E=3/2*k*T,其中E为分子平均动能,k为玻尔兹曼常数,T为热力学温 度。
热力学中的理想气体分 子动理论
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目录
理想气体模型
理想气体分子动能的计算
01
04
分子动理论
02
热力学定律与分子动理论
03
理想气体分子的分布律
05
理想气体分子的速率分布 和能量分布的实验验证
06
理想气体模型
理想气体定义
大学物理 气体动理论
![大学物理 气体动理论](https://img.taocdn.com/s3/m/91d2c20a482fb4daa58d4bb4.png)
n k
(
n m)
分子平均平动动能
k
1 mv2 2
气体压强公式
p
2 3
n k
宏观可测量量
微观量的统计平均
12-4 理想气体分子的平均平动
动能与温度的关系
P nkT
由
P
2 3
n k
k
1 2
mv2
3 2
kT
T k ( 运动激烈程度 )
方均根速率 vrms
v2
3kT m
*可以用温度计来比较各个系统的温度
48ºC
A
48ºC
绝热板
B
AB
(a)
(b)
12-2 物质的微观模型 统计规律性
一.分子的线度和分子力 分子间的平均距离 l 3 1/ n
1.分子线度
占有体积
自身体积
有效体积 (相互作用)
2.分子力 — 短程力、电磁相互作用力
r0 引力>斥力 r r0 分子力为零
理想气体满足:分子体积不计,相互作用不计,完全弹性碰撞
(1) 定量,平衡态
m M
pV N k T 或 pV RT
N NA
k R / NA 1.381023J K1 Boltzmann常数
摩尔气体常量 R 8.31 J mol1 K1
m系统总质量,M摩尔质量,m 单个分子质量
8.
[讨论] a. 抛硬币,抛骰子— 等概率事件 b. 伽尔顿板实验—不等概率事件
注
............
...........
当小球数 N 足够大时小
............ ...........
第四章 气体动理论
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§4-1
分子动理论的基本观点
一、物质微观结构的物理图象 1、物质是由大量的微观粒子——原子或分子组 成的; 2、分子在作永不停息的无规则运动; 3、分子之间有相互作用力。 综上所述,一切宏观物体(不论它是气体、 液体、还是固体)都是由大量的原子或分子组 成的;所有分子都在不停的、无规则运动中; 分子之间有相互作用力。这就是关于物质微观 结构的三个基本观点。
(s t )
C2 引力: f1 t , C2、t均 0 r 斥力: f C 1 , C 、s均 0 2 1 s r t:4 ~ 7 s : 9 ~ 13
2、图线
(f—r图线)
三、分子间的势能曲线(Ep—r图线)
1、分子间的势能: dE p fdr
C1 C2 E p fdr ( s t )dr r r C1 C2 s 1 t 1 ( s 1)r (t 1)r
N pV RT NA
p nkT
温度 T 的物理意义
1 2 3 平 m v kT 2 2
1) 温度是分子平均平动动能的量度 平 T (反映热运动的剧烈程度).
2)温度是大量分子的集体表现,个别分子无意义.
3)在同一温度下,各种气体分子平均平动动能均 相等。 注意 热运动与宏观运动的区别:温度所反 映的是分子的无规则运动,它和物体的整 体运动无关,物体的整体运动是其中所有 分子的一种有规则运动的表现.
由于热力学方法的局限性,我们对平衡态下系统内 部的情况不了解,从而对温度和理想 气体的理解 也很肤浅,对气体的压强更是一无所知,因此,为 了全面了解平衡态下的基本热学信息,我们必须用 分子物理学的方法从微观本质上加以认识。
• 气体动理论是统计物理学的基础; • 气体动理论是从微观的观点来研究气体的热学 性质; • 解释气体的温度、压强、热容、内能等的微观 本质; • 建立统计的概念。
大学物理热学部分复习资料
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W净= 曲线所围的面积 = Q1 + Q2 + ⋯ + Qn
20122012-1-3
20
热学习题课
1. 热机循环
p a O Q 1 A Q 2 V
W = Q1 − Q2
高温热源 T1 Q1 热机 W Q2 低温热源 T2 逆循环: 逆循环: 逆时针 热机效率
W = 1 − Q2 η= Q1 Q1
正循环: 正循环: 顺时针
dN :v − v + dv区间内的分子 N 数占 总分 子数 的百 分比 dN = f ( v ) dv N
四、麦克斯韦速率分布律
f (v)
dS
1.速率分布函数: 速率分布函数: 速率分布函数
dN f (v) = Ndv
o
d S = f ( v ) dv
内的分子数占总分子数
的百分比
v v + dv
∞
3.麦氏分布函数 麦氏分布函数
8kT 8RT v= = πM πm
平方平均速率
v = ∫ v2 f ( v) dv
2 0 ∞
m f ( v ) = 4π 2kT f (v) f max
3/ 2
e
mv 2 − 2 kT
v2
方均根速率
vrms 3kT 3RT = v = = m M
平均自由程
λ =
1 = 2 2πd n
kT 2 πd2p
20122012-1-3
15
热学习题课
热力学基础 一、热力学第一定律 系统对外做功 ∆V > 0,W > 0 外界对系统做功 ∆V < 0,W < 0 系统从外界吸收的热量 从外界吸收的热量, 系统从外界吸收的热量, 内能增量 i ∆E = ν ⋅ R∆T = ν CV ∆T 一部分使系统的内能增加, 一部分使系统的内能增加,另 2 i 一部分使系统对外界做功. 一部分使系统对外界做功. 定体摩尔热容 CV = R 2 其中 定压摩尔热容 C p = CV + R dW = pdV
第4章气体动理论
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00:30
kT B. v v v m0
2 x 2 y 2 z
3kT C. v v v m0
2 x 2 y 2 z
2 2 D. v x v2 v y z 0
投票人数:0
5. 关于温度的意义,有下列几种说法: 00:30 (1)气体的温度是分子平均平动动能的量度; (2)气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现,具 有统计意义; (3)温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同; (4)从微观上看,气体的温度表示每个气体分子的冷热 程度。 上述说法中正确的是( )。 A. B. C. D. (1)(2)(4) (1)(2)(3) (2)(3)(4) (1)(3)(4)
投票人数:0
23. 麦克斯韦速率分布曲线如图4-4所示,图中A,B
两部分面积相等,则由图可知( )。 00:30
A O B
f (v )
A. v0 为最概然速率
B. v0 为平均速率
C. v0 为方均根速率
D. 速率大于和小于 v0 的 分子数各占一半
v0 图4-4
v
投票人数:0
24. 一定量的理想气体,在容积不变的条件下,当温
H2 O2
)。
00:30
D. 无法判断
图4-1
投票人数:0
2. 一密闭容器中储有4 kg氢气和4 kg氦气,它们处于 平衡状态。那么,氢气和氦气的体积比和压强比分别 为( A. B. C. D. )。 2:1,1:1 2:1,2:1 1:1,1:1 1:1,2:1 00:30
投票人数:0
3. 在没有外力场作用下,分子质量为m0的大量气体分 子处于热动平衡态时,下列各式中成立的是( )。
气体动理论
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率最大.
2020/9Leabharlann 2218气体动理论
五、平均自由程
1
kT
2 π d 2n
2 πd2p
平均碰撞频率
Z 2d 2n
六、气体内的迁移现象
粘滞现象 扩散现象 热传导现象
动量迁移 质量迁移 能量迁移
Z
2020/9/22
19
气体动理论
例1 (理想气体物态方程)容器中有密封的某种理
想气体,分别经历两次加热过程,获得两条过程 曲线,如图(a)(b)所示。试分析(1)图a中气体 的压强如何变化;(2)图b中气体的V体积如何变 化。
v
0
v
f
v
dv
v 8kT 8RT m M
平方平均速率
v2 v2 f v dv 0
方均根速率
vrms
v2
3kT m
3RT M
3.麦氏分布函数
f
v
4
m 2kT
3/2
mv2
e 2kT
v2
f (v)
fmax
o vp
v
4.三种统计速率
最概然速率 v p
2kT m
2RT M
2020/9/22
2
分子的平均平动动能
—— 3 kT
2
理想气体的内能——
i
RT
2
分子 单原子 双原子 多原子
自由度i
3
56
分子的平均 3
3
3
平动动能
kT kT
2
2
kT 2
分子的平均 转动动能
0
2 kT 3 kT
2
2
分子的 平均动能
3 kT 2
第4章+气体动理论
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1 kT ,这就是能量按自由度 均能量都相等,均为 2
均分定理 。 分子的平均能量 3. 理想气体内能
i k kT 2
理想气体的内能 :所有气体分子的平均动能的总和。 理想气体内能公式
i E N k N kT 2
23
5-2 压强、温度与内能公式
4. 气体宏观物理量的微观本质 气体的所有宏观物理量都和微观的气体分子热 运动紧密相关,是大量气体分子热运动的统计平 均结果。
2)分子各方向运动概率均等
分子运动速度
vi vix i viy j viz k
13
5-2 压强、温度与内能公式
分子运动速度
vi vix i viy j viz k
各方向运动概率均等
vx v y vz 0
2 vx
x方向速度平方的平均值
36
5-3 气体分子的速率分布统计规律
设太阳日冕层(太阳的最外层 )温度为2.0×106℃, 氢的摩尔质量为 MH=1.008×10-3kg/mol,氦的摩尔质 量为MHe=4.003×10-3kg/mol当氢气和氦气的分子进入 日冕层后,氢和氦的方均根速率分别为:
3RT 氢:vrms v 2.2 105 m/s M
p mn
根据统计规律 分子平均平动动能
N
2 m nvx
v2 x
1 2 v 3
1 k mv2 2
2 p n k 3
17
5-2 压强、温度与内能公式
压强的统计意义 统计关系式 宏观可测量量
2 p n k 3
微观量的统计平均值
(1)气体分子数密度越大,压强越大;
(2)分子热运动的平均平动动能越大,压强越大。
气体分子动理论
![气体分子动理论](https://img.taocdn.com/s3/m/678b0f045627a5e9856a561252d380eb63942353.png)
气体分子动理论气体分子动理论是指根据分子动力学原理来描述气体分子的运动和行为的理论。
它的提出和发展对于解释气体的物理性质和行为具有重要的意义。
本文将就气体分子动理论的起源、基本假设和应用等方面进行探讨。
一、气体分子动理论的起源气体分子动理论的起源可以追溯到19世纪。
在那个时候,科学家们对气体的行为和性质提出了许多疑问。
为了解释这些现象,克劳修斯和麦克斯韦等科学家开始研究气体分子的运动规律,并提出了气体分子动理论。
二、气体分子动理论的基本假设气体分子动理论的基本假设有以下几点:1. 气体分子是微小的无质量的粒子,它们之间没有相互作用。
2. 气体分子的运动是完全混乱的,没有任何规律性。
3. 气体分子之间的碰撞是弹性碰撞,即在碰撞过程中能量守恒、动量守恒。
4. 气体分子之间的平均距离远大于分子本身的大小。
这些假设为描述气体的性质和行为提供了基础。
三、气体分子动理论的应用气体分子动理论在许多方面都有广泛的应用,下面将就几个重要的应用领域进行介绍。
1. 描述气体的物态变化:根据气体分子动理论,当气体受到加热时,分子的平均动能增加,分子之间的碰撞频率和力量都会增加,从而导致气体的压强增加。
当气体受到冷却时,则相反。
2. 热力学理论的基础:气体分子动理论为热力学的发展提供了理论基础。
根据理论的推导,可以得到诸如理想气体状态方程和分子平均动能与温度的关系等重要的热力学性质。
3. 涨落理论:根据气体分子动理论,气体分子的运动是混乱的,因此气体在微观尺度上会存在一定的涨落。
这种涨落现象不仅在气体中存在,在固体和液体中也同样适用。
4. 扩散和输运现象:气体分子动理论对于扩散和输运现象的研究有很大的帮助。
通过分析气体分子的速度和运动方式,可以更好地理解扩散和输运的原理和机制。
总结:气体分子动理论是对气体分子运动和行为进行描述的理论。
它的起源可以追溯到19世纪,科学家们根据气体的性质和行为提出了基本假设,并在许多领域中得到了应用。
气体动理论 章节总结
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气体动理论 章节总结第四章 气体动理论1.平衡态 在没有外界影响的条件下,系统的宏观物理性质不随时间变化的状态。
2.热力学第零定律系统A和系统B分别与系统C处于热平衡,那么当系统A和系统B接触时,它们也必定处于热平衡。
3.理想气体的状态方程RT M m pV =式中,普适气体常量8.31J /(mol K)R ∙=玻耳兹曼常量231.3810J /Kk -=⨯NkT pV =或4.理想气体的压强公式k n p ε32=压强是单位时间单位面积所受大量分子的平均冲量。
5.理想气体的温度公式kT k 23=ε 温度是分子的平均平动动能的统计平均值,反映了系统内大量分子无规则运动的剧烈程度。
6.自由度确定物体位置的独立坐标数目。
单原子分子 3 0 3双原子分子 3 2 5多原子分子 3 3 6t r i 分子自由度平动转动总刚性气体分子的自由度7.能量均分定理温度为T的平衡态下,气体分子每个自由度的平均能量都相等,而且等于kT 21根据能量均分定理,如果一个气体分子的自由度是 ,则它的平均能量就是i kT i 2=ε理想气体的内能为8.理想气体的内能mol μRT i E 2μ=9.麦克斯韦速率分布律速率分布函数NdvdN v f =)(物理意义:速率在v 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的百分比麦克斯韦速率分布函数222/32)2(4)(v e kT m v f kT mv -=ππ三种统计速率最概然速率M RT M RT m kT v p 41.122≈==平均速率M RT M RT m kT v 60.188≈==ππ方均根速率M RTM RTm kT v v 73.1332rms ≈===。
大学物理-4-1分子动理论的基本概念
![大学物理-4-1分子动理论的基本概念](https://img.taocdn.com/s3/m/1da64cfaab00b52acfc789eb172ded630b1c98f6.png)
系统的外界(简称外界)
能够与所研究的热力学系统发生相互作用的其它物体,
称为外界。
孤立系统
围绕热力学系统的外界称为环境。 封闭系统
开放系统
第四章气体动理论
2、气体的物态参量 把用来描述系统宏观状态的物理量称为状态参量。
气体的宏观状态可以用V、P、T 描述
体积V—— 几何参量 压强p——力学参量 温度T——热力学参量
一切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均 值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围 内,观测值都与统计平均值有偏差。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
测量), 如 p等,V.,T
第四章气体动理论
微观量 统计平均
宏观量
研究方法 1. 热力学 —— 宏观描述
实验经验总结,给出宏观物体热现象的规律,
从能量观点出发,分析研究物态变化过程中热功转
换的关系和条件。
特点
1)具有可靠性; 2)知其然而不知其所以然;
3)应用宏观参量 .
第四章气体动理论
2.气体动理论 —— 微观描述 研究大量数目的热运动的粒子系统,对微观结 构提出模型、假设,应用统计方法,得出热现象规律。
第四章 气体动理论
第四章气体动理论
第一节 分子动理论的基本概念
气体动理论的基本观点
•分子的观点:宏观物体是由大量微粒—— 分子(或原子)组成的,分子间存在间隙。 •分子运动的观点:物体中的分子处于永不 停息的无规则运动中,其激烈程度与温度有 关。 •分子力的观点:分子之间存在着相互作用 力。
第四章气体动理论
第四章气体动理论
统计涨落现象(Fluctuation)
大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规 律。但统计规律永远伴随涨落现象。一次投入大量 小球(或单个小球多次投入)落入某个槽中的小球 数具有一个稳定的平均值,而每次实验结果都有差 异。槽内小球数量少,涨落现象明显。反之,槽内 的小球数量多时涨落现象不明显。在一定的宏观条 件下,大量小球运动的各种分布在一定的平均值上、 下起伏变化,称为涨落现象。
气体动理论热力学基础求解气体动理论和热力学问题的基本
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第四篇 气体动理论 热力学基础求解气体动理论和热力学问题的基本思路和方法热运动包含气体动理论和热力学基础两部分.气体动理论从物质的微观结构出发,运用统计方法研究气体的热现象,通过寻求宏观量与微观量之间的关系,阐明气体的一些宏观性质和规律.而热力学基础是从宏观角度通过实验现象研究热运动规律.在求解这两章习题时要注意它们处理问题方法的差异.气体动理论主要研究对象是理想气体,求解这部分习题主要围绕以下三个方面:(1) 理想气体物态方程和能量均分定理的应用;(2) 麦克斯韦速率分布率的应用;(3)有关分子碰撞平均自由程和平均碰撞频率.热力学基础方面的习题则是围绕第一定律对理想气体的四个特殊过程(三个等值过程和一个绝热过程)和循环过程的应用,以及计算热力学过程的熵变,并用熵增定理判别过程的方向.1.近似计算的应用一般气体在温度不太低、压强不太大时,可近似当作理想气体,故理想气体也是一个理想模型.气体动理论是以理想气体为模型建立起来的,因此,气体动理论所述的定律、定理和公式只能在一定条件下使用.我们在求解气体动理论中有关问题时必须明确这一点.然而,这种从理想模型得出的结果在理论和实践上是有意义的.例如理想气体的内能公式以及由此得出的理想气体的摩尔定容热容2/m V,iR C =和摩尔定压热容()2/2m P,R i C +=都是近似公式,它们与在通常温度下的实验值相差不大,因此,除了在低温情况下以外,它们还都是可以使用的.在实际工作时如果要求精度较高,摩尔定容热容和摩尔定压热容应采用实验值.本书习题中有少数题给出了在某种条件下m V,C 和m P,C 的实验值就是这个道理.如习题中不给出实验值,可以采用近似的理论公式计算.2.热力学第一定律解题过程及注意事项热力学第一定律E W Q Δ+=,其中功⎰=21d V V V ρW ,内能增量T R i M m E Δ2Δ⋅=.本章习题主要是第一定律对理想气体的四个特殊过程(等体、等压、等温、绝热)以及由它们组成的循环过程的应用.解题的主要过程:(1) 明确研究对象是什么气体(单原子还是双原子),气体的质量或物质的量是多少? (2) 弄清系统经历的是些什么过程,并掌握这些过程的特征.(3) 画出各过程相应的p -V 图.应当知道准确作出热力学过程的p -V 图,可以给出一个比较清晰的物理图像.(4) 根据各过程的方程和状态方程确定各状态的参量,由各过程的特点和热力学第一定律就可计算出理想气体在各过程中的功、内能增量和吸放热了.在计算中要注意Q 和W 的正、负取法.3.关于内能的计算理想气体的内能是温度的单值函数,是状态量,与过程无关,而功和热量是过程量,在两个确定的初、末状态之间经历不同的过程,功和热量一般是不一样的,但内能的变化是相同的,且均等于()12m V,ΔT T C Mm E -=.因此,对理想气体来说,不论其经历什么过程都可用上述公式计算内能的增量.同样,我们在计算某一系统熵变的时候,由于熵是状态量,以无论在始、末状态之间系统经历了什么过程,始、末两个状态间的熵变是相同的.所以,要计算始末两状态之间经历的不可逆过程的熵变,就可通过计算两状态之间可逆过程熵变来求得,就是这个道理.4.麦克斯韦速率分布律的应用和分子碰撞的有关讨论深刻理解麦克斯韦速率分布律的物理意义,掌握速率分布函数f (v )和三种统计速率公式及物理意义是求解这部分习题的关键.三种速率为M RT /2P =v ,M RT π/8=v ,M RT /32=v .注意它们的共同点都正比于M T /,而在物理意义上和用途上又有区别.P v 用于讨论分子速率分布图.v 用于讨论分子的碰撞;2v 用于讨论分子的平均平动动能.解题中只要抓住这些特点就比较方便.根据教学基本要求,有关分子碰撞内容的习题求解比较简单,往往只要记住平均碰撞频率公式v n d Z 22=和平均自由程n d Z λ2π2/1/==v ,甚至只要知道n Z ⋅∝v ,n /1∝λ及M T /∝v 这种比值关系就可求解许多有关习题.第十二章 气体动理论12 -1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同,分子的平均平动动能也相同,则它们( )(A) 温度,压强均不相同 (B) 温度相同,但氦气压强大于氮气的压强(C) 温度,压强都相同 (D) 温度相同,但氦气压强小于氮气的压强分析与解 理想气体分子的平均平动动能23k /kT =ε,仅与温度有关.因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时,温度也相同.又由物态方程nkT p =,当两者分子数密度n 相同时,它们压强也相同.故选(C).12 -2 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体,其分子数密度n 相同,方均根速率之比()()()4:2:1::2/12C 2/12B 2/12A =v v v ,则其压强之比C B A ::p p p 为( )(A) 1∶2∶4 (B) 1∶4∶8(C) 1∶4∶16 (D) 4∶2∶1分析与解 分子的方均根速率为M RT /3=2v ,因此对同种理想气体有3212C 2B 2A ::::T T T =v v v ,又由物态方程nkT ρ,当三个容器中分子数密度n 相同时,得16:4:1::::321321==T T T p p p .故选(C).12 -3 在一个体积不变的容器中,储有一定量的某种理想气体,温度为0T 时,气体分子的平均速率为0v ,分子平均碰撞次数为0Z ,平均自由程为0λ ,当气体温度升高为04T 时,气体分子的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为( ) (A) 004,4,4λλZ Z ===0v v (B) 0022λλ===,,Z Z 0v v (C) 00422λλ===,,Z Z 0v v (D) 0042λλ===,,Z Z 0v v分析与解 理想气体分子的平均速率M RT π/8=v ,温度由0T 升至04T ,则平均速率变为0v 2;又平均碰撞频率v n d Z 2π2=,由于容器体积不变,即分子数密度n 不变,则平均碰撞频率变为0Z 2;而平均自由程n d λ2π2/1=,n 不变,则珔λ也不变.因此正确答案为(B).12 -4 已知n 为单位体积的分子数,()v f 为麦克斯韦速率分布函数,则()v v d nf 表示( )(A) 速率v 附近,dv 区间内的分子数(B) 单位体积内速率在v v v d +~区间内的分子数(C) 速率v 附近,dv 区间内分子数占总分子数的比率(D) 单位时间内碰到单位器壁上,速率在v v v d ~+ 区间内的分子数分析与解 麦克斯韦速率分布函数()()v v d /d N N f =,而v /N n =,则有()V N nf /d d =v v .即表示单位体积内速率在v v v d ~+ 区间内的分子数.正确答案为(B). 12 -5 一打足气的自行车内胎,在C 07o 1.=t 时,轮胎中空气的压强为Pa 100451⨯=.p ,则当温度变为C 037o 2.=t 时,轮胎内空气的压强2p 2p 为多少?(设内胎容积不变)分析 胎内空气可视为一定量的理想气体,其始末状态均为平衡态,由于气体的体积不变,由理想气体物态方程RT Mm pV =可知,压强p 与温度T 成正比.由此即可求出末态的压强.解 由分析可知,当K 15310037152732...=+=T ,轮胎内空气压强为Pa 1043451122⨯==./T p T p可见当温度升高时,轮胎内气体压强变大,因此,夏季外出时自行车的车胎不宜充气太足,以免爆胎.12 -6 有一个体积为35m 1001⨯.的空气泡由水面下m 050.深的湖底处(温度为C 4o)升到湖面上来.若湖面的温度为C 017o .,求气泡到达湖面的体积.(取大气压强为Pa 10013150⨯=.p )分析 将气泡看成是一定量的理想气体,它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态.利用理想气体物态方程即可求解本题.位于湖底时,气泡内的压强可用公式gh p p ρ+=0求出, 其中ρ为水的密度( 常取33m kg 1001⋅⨯=.ρ).解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p 1 ,V 1 ,T 1 )和(p 2 ,V 2 ,T 2 ).由分析知湖底处压强为gh ρp gh ρp p +=+=021,利用理想气体的物态方程222111T V p T V p = 可得空气泡到达湖面的体积为()3510120121212m 1011.6//-⨯=+==T p V T gh ρp T p V T p V12 -7 氧气瓶的容积为32m 1023-⨯.,其中氧气的压强为Pa 10317⨯.,氧气厂规定压强降到Pa 10016⨯.时,就应重新充气,以免经常洗瓶.某小型吹玻璃车间,平均每天用去3m 400.压强为Pa 100115⨯.的氧气,问一瓶氧气能用多少天? (设使用过程中温度不变) 分析 由于使用条件的限制,瓶中氧气不可能完全被使用.为此,可通过两条不同的思路进行分析和求解:(1) 从氧气质量的角度来分析.利用理想气体物态方程RT M m pV =可以分别计算出每天使用氧气的质量3m 和可供使用的氧气总质量(即原瓶中氧气的总质量1m 和需充气时瓶中剩余氧气的质量2m 之差),从而可求得使用天数()321m m m n /-=.(2) 从容积角度来分析.利用等温膨胀条件将原瓶中氧气由初态(Pa 1030171⨯=.p , 321m 1023-⨯=.V )膨胀到需充气条件下的终态(Pa 1000162⨯=.p ,2V 待求),比较可得2p 状态下实际使用掉的氧气的体积为12V V -.同样将每天使用的氧气由初态(Pa 1001153⨯=.p ,33m 400.=V )等温压缩到压强为p 2 的终态,并算出此时的体积V′2 ,由此可得使用天数应为()212V V V n '-=/.解1 根据分析有RT V Mp m RT V Mp m RT V Mp m /;/;/333222111===则一瓶氧气可用天数()()5.9//33121321===-=V p V p p m m m n解2 根据分析中所述,由理想气体物态方程得等温膨胀后瓶内氧气在压强为Pa 1000162⨯=.p 时的体积为2112p V p V /=每天用去相同状态的氧气容积2332p V p V /='则瓶内氧气可用天数为()()5.9//33121212=-='-=V p V p p V V V n12 -8 设想太阳是由氢原子组成的理想气体,其密度可当作是均匀的.若此理想气体的压强为Pa 1035114⨯..试估计太阳的温度.(已知氢原子的质量Pa 1067127H -⨯=.m ,太阳半径kg 1067127H -⨯=.m ,太阳质量kg 1099130S ⨯=.m )分析 本题可直接运用物态方程nkT p =进行计算.解 氢原子的数密度可表示为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==3S H S H S π34//R m m V m m n S 根据题给条件,由nkT p = 可得太阳的温度为()K 1016.13/π4/7S 3S H ⨯===k m R pm nk p T说明 实际上太阳结构并非本题中所设想的理想化模型,因此,计算所得的太阳温度与实际的温度相差较大.估算太阳(或星体)表面温度的几种较实用的方法在教材第十五章有所介绍.12 -9 一容器内储有氧气,其压强为Pa 100115⨯.,温度为27 ℃,求:(1)气体分子的数密度;(2) 氧气的密度;(3) 分子的平均平动动能;(4) 分子间的平均距离.(设分子间均匀等距排列)分析 在题中压强和温度的条件下,氧气可视为理想气体.因此,可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解.又因可将分子看成是均匀等距排列的,故每个分子占有的体积为30d V =,由数密度的含意可知n V /10=,d 即可求出. 解 (1) 单位体积分子数 325m 10442⨯==./kT p n(2) 氧气的密度-3m kg 301⋅===.//RT pM V m ρ(3) 氧气分子的平均平动动能J 102162321k -⨯==./kT ε(4) 氧气分子的平均距离m 10453193-⨯==./n d通过对本题的求解,我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解.12 -10 2.0×10-2 kg 氢气装在4.0×10-3 m 3 的容器内,当容器内的压强为3.90×105Pa 时,氢气分子的平均平动动能为多大?分析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的,即23k /kT =ε.因此,根据题中给出的条件,通过物态方程pV =m/MRT ,求出容器内氢气的温度即可得k ε. 解 由分析知氢气的温度mRMPV T =,则氢气分子的平均平动动能为 ()8932323k ./===mR pVMk kT ε12 -11 温度为0 ℃和100 ℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1eV ,气体的温度需多高?解 分子在0℃和100 ℃时平均平动动能分别为J 10655232111-⨯==./kT εJ 10727232122-⨯==./kT ε由于1eV =1.6×10-19 J ,因此,分子具有1eV 平均平动动能时,气体温度为K 10737323k ⨯==./k T ε这个温度约为7.5 ×103 ℃.12 -12 某些恒星的温度可达到约1.0 ×108K ,这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求:(1) 质子的平均动能是多少? (2) 质子的方均根速率为多大?分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体,质子可作为质点,其自由度 i =3,因此,质子的平均动能就等于平均平动动能.此外,由平均平动动能与温度的关系2/32/2kT m =v ,可得方均根速率2v .解 (1) 由分析可得质子的平均动能为J 1007.22/32/3152k -⨯===kT m εv(2) 质子的方均根速率为1-62s m 1058.132⋅⨯==mkT v 12 -13 试求温度为300.0 K 和2.7 K(星际空间温度)的氢分子的平均速率、方均根速率及最概然速率.分析 分清平均速率v 、方均根速率2v 及最概然速率p v 的物理意义,并利用三种速率相应的公式即可求解.解 氢气的摩尔质量M =2 ×10-3kg·mol -1 ,气体温度T 1 =300.0K ,则有 1-31s m 1078.18⋅⨯==MπRT v 1-312s m 1093.13⋅⨯==MRT v 1-31p s m 1058.12⋅⨯==M RT v 气体温度T 2=2.7K 时,有1-31s m 1069.18⋅⨯==MπRT v 1-322s m 1083.13⋅⨯==MRT v 1-31p s m 1050.12⋅⨯==M RT v 12 -14 如图所示,Ⅰ、Ⅱ两条曲线分别是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.试由图中数据求:(1)氢气分子和氧气分子的最概然速率;(2) 两种气体所处的温度;(3) 若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.则哪条曲线的气体温度较高?分析 由MRT 1p 2=v 可知,在相同温度下,由于不同气体的摩尔质量不同,它们的最概然速率v p 也就不同.因22O H M M <,故氢气比氧气的v p 要大,由此可判定图中曲线Ⅱ所标v p=2.0 ×103 m·s -1 应是对应于氢气分子的最概然速率.从而可求出该曲线所对应的温度.又因曲线Ⅰ、Ⅱ所处的温度相同,故曲线Ⅰ中氧气的最概然速率也可按上式求得.同样,由M RT2p =v 可知,如果是同种气体,当温度不同时,最概然速率v p 也不同.温度越高,v p 越大.而曲线Ⅱ对应的v p 较大,因而代表气体温度较高状态.解 (1) 由分析知氢气分子的最概然速率为()13H p s m 100.222H 2-⋅⨯==M RT v 利用M O2 /M H2 =16 可得氧气分子最概然速率为 ()()12H p O p s m 100.54/22-⋅⨯==v v (2) 由M RT2p =v 得气体温度K 1081.42/22p⨯==R M T v (3) Ⅱ代表气体温度较高状态.12 -15 日冕的温度为2.0 ×106K ,所喷出的电子气可视为理想气体.试求其中电子的方均根速率和热运动平均动能.解 方均根速率16e2s m 105.93-⋅⨯==m kT v 平均动能J 10142317k -⨯==./kT ε12 -16 在容积为2.0 ×10-3m 3 的容器中,有内能为6.75 ×102J 的刚性双原子分子某理想气体.(1) 求气体的压强;(2) 设分子总数为5.4×1022 个,求分子的平均平动动能及气体的温度. 分析 (1) 一定量理想气体的内能RT i M m E 2=,对刚性双原子分子而言,i =5.由上述内能公式和理想气体物态方程pV =mM RT 可解出气体的压强.(2)求得压强后,再依据题给数据可求得分子数密度,则由公式p =nkT 可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由23k /kT ε=求出.解 (1) 由RT i M m E 2=和pV =mM RT 可得气体压强 ()Pa 1035125⨯==./iV E p(2) 分子数密度n =N/V ,则该气体的温度()()Pa 106235⨯===.//nk pV nk p T气体分子的平均平动动能为J 104972321k -⨯==./kT ε12 -17温度相同的氢气和氧气,若氢气分子的平均平动动能为6.21×10-21J ,试求(1) 氧气分子的平均平动动能及温度;(2) 氧气分子的最概然速率.分析 (1) 理想气体分子的平均平动动能23k /kT ε=,是温度的单值函数,与气体种类无关.因此,氧气和氢气在相同温度下具有相同的平均平动动能,从而可以求出氧气的温度.(2) 知道温度后再由最概然速率公式M RT2p =v 即可求解v p .解 (1) 由分析知氧气分子的平均平动动能为J 102162321k -⨯==./kT ε,则氧气的温度为: K 30032k ==k εT /(2) 氧气的摩尔质量M =3.2 ×10-2 kg·mol -1 ,则有12p s m 1095.32-⋅⨯==MRT v12 -18 声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率.问声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为多少? 设这两种气体都是理想气体并具有相同的温度. 分析 由题意声波速率u 与气体分子的方均根速率成正比,即2v ∝u ;而在一定温度下,气体分子的方均根速率M /12∝v ,式中M 为气体的摩尔质量.因此,在一定温度下声波速率M u /1∝.解 依据分析可设声速M A u /1=,式中A 为比例常量.则声波通过氧气与氢气的速率之比为2502222O H O H .==M M u u12 -19 已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gr v 2=,其中r 为地球半径.(1)若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等,它们各自应有多高的温度;(2) 说明大气层中为什么氢气比氧气要少.(取r =6.40 ×106 m) 分析 气体分子热运动的平均速率MπRT8=v ,对于摩尔质量M 不同的气体分子,为使v 等于逃逸速率v ,所需的温度是不同的;如果环境温度相同,则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率.解 (1) 由题意逃逸速率gr 2=v ,而分子热运动的平均速率MπRT8=v .当v v = 时,有RMrgπT 4=由于氢气的摩尔质量13H molkg 10022--⋅⨯=.M ,氧气的摩尔质量12O mol kg 10232--⋅⨯=.M ,则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为K 10891K,101815O 4H 22⨯=⨯=..T T(2) 根据上述分析,当温度相同时,氢气的平均速率比氧气的要大(约为4倍),因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论,宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程.在地球形成的初期,虽然温度已大大降低,但温度值还是很高.因而,在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球,其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外,虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度,但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知,在任一温度下,总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子.故大气层中氢气比氧气要少.12 -20 容积为1m 3 的容器储有1mol 氧气,以v =10m·s -1 的速度运动,设容器突然停止,其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高了多少.分析 容器作匀速直线运动时,容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外,还和容器一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能)为m v 2/2.按照题意,当容器突然停止后,80%定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数,则有关系式:()T R M m mv E Δ25%80Δ2⋅=⋅=成立,从而可求ΔT .再利用理想气体物态方程,可求压强的增量.解 由分析知T R M m m E Δ252/8.0Δ2⋅==v ,其中m 为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质量为12mol kg 1023--⋅⨯=.M ,解得ΔT =6.16 ×10-2 K当容器体积不变时,由pV =mRT/M 得Pa 51.0ΔΔ==T VRM m p 12 -21 有N 个质量均为m 的同种气体分子,它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义;(2) 由N 和0v 求a 值;(3) 求在速率0v /2到30v /2 间隔内的分子数;(4) 求分子的平均平动动能.分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时,关键要理解分布函数()v f 的物理意义.()v v d /d N N f =,题中纵坐标()v v d /d N Nf =,即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握()v f 的归一化条件,即()1d 0=⎰∞v v f .在此基础上,根据分布函数并运用数学方法(如函数求平均值或极值等),即可求解本题.解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到20v 的范围内,由归一化条件可知图中曲线下的面积()1d 0=⎰∞v v f即曲线下面积表示系统分子总数N .(2 ) 从图中可知, 在0 到0v 区间内,()0/v v v a Nf ;而在0 到20v 区间,()αNf =v .则利用归一化条件有v v v vv ⎰⎰+=0020d d v v a a N(3) 速率在0v /2到30v /2间隔内的分子数为0003/2/20Δd d 7/12v a N a N =+=⎰⎰v v v vv v v (4) 分子速率平方的平均值按定义为()v v f v v v d /d 02022⎰⎰∞∞==N N故分子的平均平动动能为20220302K 3631d d 2121000v v v v v v v v v v m N a N a m m ε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰ 12 -22 试用麦克斯韦分子速率分布定律导出方均根速率和最概然速率. 分析 麦克斯韦分子速率分布函数为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=kT m kT m f 2exp π2π4222/3v v v采用数学中对连续函数求自变量平均值的方法,求解分子速率平方的平均值,即⎰⎰=NNd d 22v v , 从而得出方均根速率.由于分布函数较复杂,在积分过程中需作适当的数学代换.另外,最概然速率是指麦克斯韦分子速率分布函数极大值所对应的速率,因而可采用求函数极值的方法求得.解 (1) 根据分析可得分子的方均根速率为2/1242/302/1022d 2exp π2π4/d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰∞v v v v v kT m kT m N N N令222/x kT m =v ,则有2/12/12/104273.13d 2π42⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞-m RT m kT x e x m kT x v(2) 令()0d d =v v f ,即02exp 222exp 2π2π42222/3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛kT m kT m kT m T k m v vv v v得 2/12/141.12⎪⎭⎫⎝⎛≈⎪⎭⎫⎝⎛==m RT m kT P v v12 -23 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动(故称电子气).设导体中共有N 个自由电子,其中电子的最大速率为v F (称为费米速率).电子在速率v v v d ~+之间的概率为()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>=v v v v v v0,0 d π4d F 2A NA N N (1)画出分布函数图;(2) 用N 、v F 定出常数A ;(3) 证明电子气中电子的平均动能53F /εε=,其中22F F /mv =ε.分析 理解速率分布函数的物理意义,就不难求解本题.速率分布函数()vv d d 1NN f =,表示在v 附近单位速率区间的粒子数占总粒子数的百分比.它应满足归一化条件()()⎰⎰=∞Fd d v v v v v f f , 因此根据题给条件可得()v v ~f 的函数关系,由此可作出解析图和求出A .在()v v ~f 函数关系确定的情况下,由()v v v v d 22f ⎰=可以求出v2 ,从而求出2/2v m ε=.解 (1) 由题设可知,电子的速率分布函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>=F F 200 π4v v v v v v NA f ,其分布函数图如图所示.(2) 利用分析中所述归一化条件,有1d π4F2=⎰v v v NA 得 3Fπ4/3v N A = (3) ()53d N 4ππd 2F2022Fv v v v v v v v ===⎰⎰∞f 5/32/F 2εm ε==v12 -24 一飞机在地面时,机舱中的压力计指示为Pa 100115⨯.,到高空后压强降为Pa 101184⨯..设大气的温度均为27.0 ℃.问此时飞机距地面的高度为多少?(设空气的摩尔质量为2.89 ×10-2 kg·mol -1 )分析 当温度不变时,大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布.利用地球表面附近气压公式()kT mgh p p /exp 0-=,即可求得飞机的高度h .式中p 0 是地面的大气压强.解 飞机高度为()()m 1093.1/ln /ln 300⨯===p p MgRT p p mg kT h 12 -25 在压强为Pa 1001.15⨯下,氮气分子的平均自由程为6.0×10-6cm,当温度不变时,在多大压强下,其平均自由程为1.0mm 。
4气体动理论
![4气体动理论](https://img.taocdn.com/s3/m/7d3423c34028915f804dc215.png)
式中
2 vix 2 vx = ∑ i =1 N N
表示容器中N个分子在 表示容器中 个分子在 x 轴方向的速度分 量平方的平均值(简称方均值) 量平方的平均值(简称方均值) ——统计平均量 统计平均量
v =
2
vi2 ∑
i =1
N
N
2 x
=
2 y
2 vix ∑ i =1
N
N
2 z
+
2 viy ∑ i =1
2 1 2 2N 2N 1 2 p = n( mv ) = ( mv ) 3 2 3V 2
气体的压强为
2 × 1023 × 5 × 10− 26 × 4002 p= = 2.67 × 105 Pa ) ( −3 3 × 10 × 2
气体分子的总平动动能为 N E k = Nε = mv 2 2
1023 × 5 × 10− 26 × 4002 = = 400( J) 2 由 p = nkT 得
定义 确定一个物体在空间的位置需要引入的 独立坐标的数目叫该物体的自由度. 独立坐标的数目叫该物体的自由度. 单原子分子 双原子分子 三个平动 三个平动 三个平动 二个转动 x x y z y z
α β γ
(因为 cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1)
三原子以上分子
三个平动 三个平动 x
y z
三个转动 α β γ ϕ 经典理论中,不考虑振动自由度. 说明 经典理论中,不考虑振动自由度.
4.2.2 能量按自由度均分定理
理想气体分子的平均平动动能是 1 3 2 ε = m v = kT 2 2 式中 在平衡态下
2 2 v 2 = v x + v 2 + vz y
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第四篇 气体动理论 热力学基础求解气体动理论和热力学问题的基本思路和方法热运动包含气体动理论和热力学基础两部分.气体动理论从物质的微观结构出发,运用统计方法研究气体的热现象,通过寻求宏观量与微观量之间的关系,阐明气体的一些宏观性质和规律.而热力学基础是从宏观角度通过实验现象研究热运动规律.在求解这两章习题时要注意它们处理问题方法的差异.气体动理论主要研究对象是理想气体,求解这部分习题主要围绕以下三个方面:(1) 理想气体物态方程和能量均分定理的应用;(2) 麦克斯韦速率分布率的应用;(3)有关分子碰撞平均自由程和平均碰撞频率.热力学基础方面的习题则是围绕第一定律对理想气体的四个特殊过程(三个等值过程和一个绝热过程)和循环过程的应用,以及计算热力学过程的熵变,并用熵增定理判别过程的方向.1.近似计算的应用一般气体在温度不太低、压强不太大时,可近似当作理想气体,故理想气体也是一个理想模型.气体动理论是以理想气体为模型建立起来的,因此,气体动理论所述的定律、定理和公式只能在一定条件下使用.我们在求解气体动理论中有关问题时必须明确这一点.然而,这种从理想模型得出的结果在理论和实践上是有意义的.例如理想气体的内能公式以及由此得出的理想气体的摩尔定容热容2/m V,iR C =和摩尔定压热容()2/2m P,R i C +=都是近似公式,它们与在通常温度下的实验值相差不大,因此,除了在低温情况下以外,它们还都是可以使用的.在实际工作时如果要求精度较高,摩尔定容热容和摩尔定压热容应采用实验值.本书习题中有少数题给出了在某种条件下m V,C 和m P,C 的实验值就是这个道理.如习题中不给出实验值,可以采用近似的理论公式计算.2.热力学第一定律解题过程及注意事项热力学第一定律E W Q Δ+=,其中功⎰=21d V V V ρW ,内能增量T R i M m E Δ2Δ⋅=.本章习题主要是第一定律对理想气体的四个特殊过程(等体、等压、等温、绝热)以及由它们组成的循环过程的应用.解题的主要过程:(1) 明确研究对象是什么气体(单原子还是双原子),气体的质量或物质的量是多少? (2) 弄清系统经历的是些什么过程,并掌握这些过程的特征.(3) 画出各过程相应的p -V 图.应当知道准确作出热力学过程的p -V 图,可以给出一个比较清晰的物理图像.(4) 根据各过程的方程和状态方程确定各状态的参量,由各过程的特点和热力学第一定律就可计算出理想气体在各过程中的功、内能增量和吸放热了.在计算中要注意Q 和W 的正、负取法.3.关于内能的计算理想气体的内能是温度的单值函数,是状态量,与过程无关,而功和热量是过程量,在两个确定的初、末状态之间经历不同的过程,功和热量一般是不一样的,但内能的变化是相同的,且均等于()12m V,ΔT T C Mm E -=.因此,对理想气体来说,不论其经历什么过程都可用上述公式计算内能的增量.同样,我们在计算某一系统熵变的时候,由于熵是状态量,以无论在始、末状态之间系统经历了什么过程,始、末两个状态间的熵变是相同的.所以,要计算始末两状态之间经历的不可逆过程的熵变,就可通过计算两状态之间可逆过程熵变来求得,就是这个道理.4.麦克斯韦速率分布律的应用和分子碰撞的有关讨论深刻理解麦克斯韦速率分布律的物理意义,掌握速率分布函数f (v )和三种统计速率公式及物理意义是求解这部分习题的关键.三种速率为M RT /2P =v ,M RT π/8=v ,M RT /32=v .注意它们的共同点都正比于M T /,而在物理意义上和用途上又有区别.P v 用于讨论分子速率分布图.v 用于讨论分子的碰撞;2v 用于讨论分子的平均平动动能.解题中只要抓住这些特点就比较方便.根据教学基本要求,有关分子碰撞内容的习题求解比较简单,往往只要记住平均碰撞频率公式v n d Z 22=和平均自由程n d Z λ2π2/1/==v ,甚至只要知道n Z ⋅∝v ,n /1∝λ及M T /∝v 这种比值关系就可求解许多有关习题.第十二章 气体动理论12 -1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同,分子的平均平动动能也相同,则它们( )(A) 温度,压强均不相同 (B) 温度相同,但氦气压强大于氮气的压强(C) 温度,压强都相同 (D) 温度相同,但氦气压强小于氮气的压强分析与解 理想气体分子的平均平动动能23k /kT =ε,仅与温度有关.因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时,温度也相同.又由物态方程nkT p =,当两者分子数密度n 相同时,它们压强也相同.故选(C). 12 -2 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体,其分子数密度n 相同,方均根速率之比()()()4:2:1::2/12C 2/12B 2/12A =v v v ,则其压强之比C B A ::p p p 为( )(A) 1∶2∶4 (B) 1∶4∶8(C) 1∶4∶16 (D) 4∶2∶1分析与解 分子的方均根速率为M RT /3=2v ,因此对同种理想气体有3212C 2B 2A ::::T T T =v v v ,又由物态方程nkT ρ,当三个容器中分子数密度n 相同时,得16:4:1::::321321==T T T p p p .故选(C).12 -3 在一个体积不变的容器中,储有一定量的某种理想气体,温度为0T 时,气体分子的平均速率为0v ,分子平均碰撞次数为0Z ,平均自由程为0λ ,当气体温度升高为04T 时,气体分子的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为( ) (A) 004,4,4λλZ Z ===0v v (B) 0022λλ===,,Z Z 0v v (C) 00422λλ===,,Z Z 0v v (D) 0042λλ===,,Z Z 0v v分析与解 理想气体分子的平均速率M RT π/8=v ,温度由0T 升至04T ,则平均速率变为0v 2;又平均碰撞频率v n d Z 2π2=,由于容器体积不变,即分子数密度n 不变,则平均碰撞频率变为0Z 2;而平均自由程n d λ2π2/1=,n 不变,则珔λ也不变.因此正确答案为(B).12 -4 已知n 为单位体积的分子数,()v f 为麦克斯韦速率分布函数,则()v v d nf 表示( )(A) 速率v 附近,dv 区间内的分子数(B) 单位体积内速率在v v v d +~区间内的分子数(C) 速率v 附近,dv 区间内分子数占总分子数的比率(D) 单位时间内碰到单位器壁上,速率在v v v d ~+ 区间内的分子数分析与解 麦克斯韦速率分布函数()()v v d /d N N f =,而v /N n =,则有()V N nf /d d =v v .即表示单位体积内速率在v v v d ~+ 区间内的分子数.正确答案为(B).12 -5 一打足气的自行车内胎,在C 07o 1.=t 时,轮胎中空气的压强为Pa 100451⨯=.p ,则当温度变为C 037o 2.=t 时,轮胎内空气的压强2p 2p 为多少?(设内胎容积不变)分析 胎内空气可视为一定量的理想气体,其始末状态均为平衡态,由于气体的体积不变,由理想气体物态方程RT Mm pV =可知,压强p 与温度T 成正比.由此即可求出末态的压强. 解 由分析可知,当K 15310037152732...=+=T ,轮胎内空气压强为Pa 1043451122⨯==./T p T p可见当温度升高时,轮胎内气体压强变大,因此,夏季外出时自行车的车胎不宜充气太足,以免爆胎. 12 -6 有一个体积为35m 1001⨯.的空气泡由水面下m 050.深的湖底处(温度为C 4o )升到湖面上来.若湖面的温度为C 017o .,求气泡到达湖面的体积.(取大气压强为Pa 10013150⨯=.p )分析 将气泡看成是一定量的理想气体,它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态.利用理想气体物态方程即可求解本题.位于湖底时,气泡内的压强可用公式gh p p ρ+=0求出, 其中ρ为水的密度( 常取33m kg 1001⋅⨯=.ρ).解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p 1 ,V 1 ,T 1 )和(p 2 ,V 2 ,T 2 ).由分析知湖底处压强为gh ρp gh ρp p +=+=021,利用理想气体的物态方程222111T V p T V p = 可得空气泡到达湖面的体积为()3510120121212m 1011.6//-⨯=+==T p V T gh ρp T p V T p V12 -7 氧气瓶的容积为32m 1023-⨯.,其中氧气的压强为Pa 10317⨯.,氧气厂规定压强降到Pa 10016⨯.时,就应重新充气,以免经常洗瓶.某小型吹玻璃车间,平均每天用去3m 400.压强为Pa 100115⨯.的氧气,问一瓶氧气能用多少天? (设使用过程中温度不变)分析 由于使用条件的限制,瓶中氧气不可能完全被使用.为此,可通过两条不同的思路进行分析和求解:(1) 从氧气质量的角度来分析.利用理想气体物态方程RT Mm pV =可以分别计算出每天使用氧气的质量3m 和可供使用的氧气总质量(即原瓶中氧气的总质量1m 和需充气时瓶中剩余氧气的质量2m 之差),从而可求得使用天数()321m m m n /-=.(2) 从容积角度来分析.利用等温膨胀条件将原瓶中氧气由初态(Pa 1030171⨯=.p , 321m 1023-⨯=.V )膨胀到需充气条件下的终态(Pa 1000162⨯=.p ,2V 待求),比较可得2p 状态下实际使用掉的氧气的体积为12V V -.同样将每天使用的氧气由初态(Pa 1001153⨯=.p ,33m 400.=V )等温压缩到压强为p 2 的终态,并算出此时的体积V′2 ,由此可得使用天数应为()212V V V n '-=/.解1 根据分析有RT V Mp m RT V Mp m RT V Mp m /;/;/333222111===则一瓶氧气可用天数()()5.9//33121321===-=V p V p p m m m n解2 根据分析中所述,由理想气体物态方程得等温膨胀后瓶内氧气在压强为Pa 1000162⨯=.p 时的体积为 2112p V p V /=每天用去相同状态的氧气容积2332p V p V /='则瓶内氧气可用天数为()()5.9//33121212=-='-=V p V p p V V V n12 -8 设想太阳是由氢原子组成的理想气体,其密度可当作是均匀的.若此理想气体的压强为Pa 1035114⨯..试估计太阳的温度.(已知氢原子的质量Pa 1067127H -⨯=.m ,太阳半径kg 1067127H -⨯=.m ,太阳质量kg 1099130S ⨯=.m )分析 本题可直接运用物态方程nkT p =进行计算.解 氢原子的数密度可表示为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==3S H S H S π34//R m m V m m n S 根据题给条件,由nkT p = 可得太阳的温度为()K 1016.13/π4/7S 3S H ⨯===k m R pm nk p T说明 实际上太阳结构并非本题中所设想的理想化模型,因此,计算所得的太阳温度与实际的温度相差较大.估算太阳(或星体)表面温度的几种较实用的方法在教材第十五章有所介绍.12 -9 一容器内储有氧气,其压强为Pa 100115⨯.,温度为27 ℃,求:(1)气体分子的数密度;(2) 氧气的密度;(3) 分子的平均平动动能;(4) 分子间的平均距离.(设分子间均匀等距排列)分析 在题中压强和温度的条件下,氧气可视为理想气体.因此,可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解.又因可将分子看成是均匀等距排列的,故每个分子占有的体积为30d V =,由数密度的含意可知n V /10=,d 即可求出.解 (1) 单位体积分子数325m 10442⨯==./kT p n(2) 氧气的密度-3m kg 301⋅===.//RT pM V m ρ(3) 氧气分子的平均平动动能J 102162321k -⨯==./kT ε(4) 氧气分子的平均距离m 10453193-⨯==./n d通过对本题的求解,我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解.12 -10 2.0×10-2 kg 氢气装在4.0×10-3 m 3 的容器内,当容器内的压强为3.90×105Pa 时,氢气分子的平均平动动能为多大?分析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的,即23k /kT =ε.因此,根据题中给出的条件,通过物态方程pV =m/MRT ,求出容器内氢气的温度即可得k ε.解 由分析知氢气的温度mRMPV T =,则氢气分子的平均平动动能为 ()8932323k ./===mR pVMk kT ε12 -11 温度为0 ℃和100 ℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1eV ,气体的温度需多高?解 分子在0℃和100 ℃时平均平动动能分别为J 10655232111-⨯==./kT εJ 10727232122-⨯==./kT ε由于1eV =1.6×10-19 J ,因此,分子具有1eV 平均平动动能时,气体温度为K 10737323k ⨯==./k T ε这个温度约为7.5 ×103 ℃.12 -12 某些恒星的温度可达到约1.0 ×108K ,这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求:(1) 质子的平均动能是多少? (2) 质子的方均根速率为多大?分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体,质子可作为质点,其自由度 i =3,因此,质子的平均动能就等于平均平动动能.此外,由平均平动动能与温度的关系2/32/2kT m =v ,可得方均根速率2v . 解 (1) 由分析可得质子的平均动能为 J 1007.22/32/3152k -⨯===kT m εv(2) 质子的方均根速率为1-62s m 1058.132⋅⨯==mkT v 12 -13 试求温度为300.0 K 和2.7 K(星际空间温度)的氢分子的平均速率、方均根速率及最概然速率. 分析 分清平均速率v 、方均根速率2v 及最概然速率p v 的物理意义,并利用三种速率相应的公式即可求解.解 氢气的摩尔质量M =2 ×10-3kg·mol -1 ,气体温度T 1 =300.0K ,则有 1-31s m 1078.18⋅⨯==MπRT v 1-312s m 1093.13⋅⨯==MRT v 1-31p s m 1058.12⋅⨯==M RT v 气体温度T 2=2.7K 时,有1-31s m 1069.18⋅⨯==MπRT v 1-322s m 1083.13⋅⨯==MRT v 1-31p s m 1050.12⋅⨯==M RT v 12 -14 如图所示,Ⅰ、Ⅱ两条曲线分别是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.试由图中数据求:(1)氢气分子和氧气分子的最概然速率;(2) 两种气体所处的温度;(3) 若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.则哪条曲线的气体温度较高?分析 由MRT 1p 2=v 可知,在相同温度下,由于不同气体的摩尔质量不同,它们的最概然速率v p 也就不同.因22O H M M <,故氢气比氧气的v p 要大,由此可判定图中曲线Ⅱ所标v p =2.0 ×103 m·s -1 应是对应于氢气分子的最概然速率.从而可求出该曲线所对应的温度.又因曲线Ⅰ、Ⅱ所处的温度相同,故曲线Ⅰ中氧气的最概然速率也可按上式求得.同样,由M RT2p =v 可知,如果是同种气体,当温度不同时,最概然速率v p 也不同.温度越高,v p 越大.而曲线Ⅱ对应的v p 较大,因而代表气体温度较高状态.解 (1) 由分析知氢气分子的最概然速率为()13H p s m 100.222H 2-⋅⨯==M RT v 利用M O2 /M H2 =16 可得氧气分子最概然速率为 ()()12H p O p s m 100.54/22-⋅⨯==v v (2) 由M RT2p =v 得气体温度K 1081.42/22p⨯==R M T v (3) Ⅱ代表气体温度较高状态.12 -15 日冕的温度为2.0 ×106K ,所喷出的电子气可视为理想气体.试求其中电子的方均根速率和热运动平均动能.解 方均根速率16e2s m 105.93-⋅⨯==m kT v平均动能J 10142317k -⨯==./kT ε12 -16 在容积为2.0 ×10-3m 3 的容器中,有内能为6.75 ×102J 的刚性双原子分子某理想气体.(1) 求气体的压强;(2) 设分子总数为5.4×1022 个,求分子的平均平动动能及气体的温度.分析 (1) 一定量理想气体的内能RT i M m E 2=,对刚性双原子分子而言,i =5.由上述内能公式和理想气体物态方程pV =mM RT 可解出气体的压强.(2)求得压强后,再依据题给数据可求得分子数密度,则由公式p =nkT 可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由23k /kT ε=求出.解 (1) 由RT i M m E 2=和pV =mM RT 可得气体压强 ()Pa 1035125⨯==./iV E p(2) 分子数密度n =N/V ,则该气体的温度()()Pa 106235⨯===.//nk pV nk p T气体分子的平均平动动能为J 104972321k -⨯==./kT ε12 -17温度相同的氢气和氧气,若氢气分子的平均平动动能为6.21×10-21J ,试求(1) 氧气分子的平均平动动能及温度;(2) 氧气分子的最概然速率.分析 (1) 理想气体分子的平均平动动能23k /kT ε=,是温度的单值函数,与气体种类无关.因此,氧气和氢气在相同温度下具有相同的平均平动动能,从而可以求出氧气的温度.(2) 知道温度后再由最概然速率公式M RT2p =v 即可求解v p .解 (1) 由分析知氧气分子的平均平动动能为J 102162321k -⨯==./kT ε,则氧气的温度为:K 30032k ==k εT /(2) 氧气的摩尔质量M =3.2 ×10-2 kg·mol -1 ,则有 12p s m 1095.32-⋅⨯==M RTv12 -18 声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率.问声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为多少? 设这两种气体都是理想气体并具有相同的温度.分析 由题意声波速率u 与气体分子的方均根速率成正比,即2v ∝u ;而在一定温度下,气体分子的方均根速率M /12∝v ,式中M 为气体的摩尔质量.因此,在一定温度下声波速率M u /1∝.解 依据分析可设声速M A u /1=,式中A 为比例常量.则声波通过氧气与氢气的速率之比为2502222O H O H .==M M u u12 -19 已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gr v 2=,其中r 为地球半径.(1) 若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等,它们各自应有多高的温度;(2) 说明大气层中为什么氢气比氧气要少.(取r =6.40 ×106 m)分析 气体分子热运动的平均速率MπRT 8=v ,对于摩尔质量M 不同的气体分子,为使v 等于逃逸速率v ,所需的温度是不同的;如果环境温度相同,则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率.解 (1) 由题意逃逸速率gr 2=v ,而分子热运动的平均速率MπRT 8=v .当v v = 时,有R Mrg πT 4= 由于氢气的摩尔质量13H mol kg 10022--⋅⨯=.M ,氧气的摩尔质量12O mol kg 10232--⋅⨯=.M ,则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为K 10891K,101815O 4H 22⨯=⨯=..T T(2) 根据上述分析,当温度相同时,氢气的平均速率比氧气的要大(约为4倍),因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论,宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程.在地球形成的初期,虽然温度已大大降低,但温度值还是很高.因而,在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球,其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外,虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度,但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知,在任一温度下,总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子.故大气层中氢气比氧气要少. 12 -20 容积为1m 3 的容器储有1mol 氧气,以v =10m·s -1 的速度运动,设容器突然停止,其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高了多少.分析 容器作匀速直线运动时,容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外,还和容器一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能)为m v 2/2.按照题意,当容器突然停止后,80%定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数,则有关系式: ()T R M m mv E Δ25%80Δ2⋅=⋅=成立,从而可求ΔT .再利用理想气体物态方程,可求压强的增量. 解 由分析知T R M m m E Δ252/8.0Δ2⋅==v ,其中m 为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质量为12mol kg 1023--⋅⨯=.M ,解得ΔT =6.16 ×10-2 K当容器体积不变时,由pV =mRT/M 得Pa 51.0ΔΔ==T VRM m p 12 -21 有N 个质量均为m 的同种气体分子,它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义;(2) 由N 和0v 求a 值;(3) 求在速率0v /2到30v /2 间隔内的分子数;(4) 求分子的平均平动动能.分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时,关键要理解分布函数()v f 的物理意义. ()v v d /d N N f =,题中纵坐标()v v d /d N Nf =,即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握()v f 的归一化条件,即()1d 0=⎰∞v v f .在此基础上,根据分布函数并运用数学方法(如函数求平均值或极值等),即可求解本题.解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到20v 的范围内,由归一化条件可知图中曲线下的面积()1d 0=⎰∞v v f即曲线下面积表示系统分子总数N .(2 ) 从图中可知, 在0 到0v 区间内,()0/v v v a Nf ;而在0 到20v 区间,()αNf =v .则利用归一化条件有v v v vv ⎰⎰+=0020d d v v a a N(3) 速率在0v /2到30v /2间隔内的分子数为0003/2/20Δd d 7/12v a N a N =+=⎰⎰v v v vv v v(4) 分子速率平方的平均值按定义为()v v f v v v d /d 02022⎰⎰∞∞==N N故分子的平均平动动能为20220302K 3631d d 2121000v v v v v v v v v v m N a N a m m ε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰ 12 -22 试用麦克斯韦分子速率分布定律导出方均根速率和最概然速率. 分析 麦克斯韦分子速率分布函数为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=kT m kT m f 2exp π2π4222/3v v v采用数学中对连续函数求自变量平均值的方法,求解分子速率平方的平均值,即⎰⎰=NNd d 22v v , 从而得出方均根速率.由于分布函数较复杂,在积分过程中需作适当的数学代换.另外,最概然速率是指麦克斯韦分子速率分布函数极大值所对应的速率,因而可采用求函数极值的方法求得. 解 (1) 根据分析可得分子的方均根速率为2/1242/302/1022d 2exp π2π4/d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰∞v v v v v kT m kT m N N N令222/x kT m =v ,则有2/12/12/104273.13d 2π42⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞-m RT m kT x e x m kT x v(2) 令()0d d =v v f ,即02exp 222exp 2π2π42222/3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛kT m kT m kT m T k m v v v v v得 2/12/141.12⎪⎭⎫⎝⎛≈⎪⎭⎫⎝⎛==m RT m kT P v v12 -23 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动(故称电子气).设导体中共有N 个自由电子,其中电子的最大速率为v F (称为费米速率).电子在速率v v v d ~+之间的概率为()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>=v v v v v v 0,0 d π4d F 2A N A N N (1)画出分布函数图;(2) 用N 、v F 定出常数A ;(3) 证明电子气中电子的平均动能53F /εε=,其中22F F /mv =ε.分析 理解速率分布函数的物理意义,就不难求解本题.速率分布函数()vv d d 1NN f =,表示在v 附近单位速率区间的粒子数占总粒子数的百分比.它应满足归一化条件()()⎰⎰=∞Fd d v v v v v f f , 因此根据题给条件可得()v v ~f 的函数关系,由此可作出解析图和求出A .在()v v ~f 函数关系确定的情况下,由()v v v v d 22f ⎰=可以求出v2 ,从而求出2/2v m ε=.解 (1) 由题设可知,电子的速率分布函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>=F F 200 π4v v v v v v NA f ,其分布函数图如图所示.(2) 利用分析中所述归一化条件,有1d π4F2=⎰v v v NA 得 3Fπ4/3v N A = (3) ()53d N 4ππd 2F2022Fv v v v v v v v ===⎰⎰∞f 5/32/F 2εm ε==v12 -24 一飞机在地面时,机舱中的压力计指示为Pa 100115⨯.,到高空后压强降为Pa 101184⨯..设大气的温度均为27.0 ℃.问此时飞机距地面的高度为多少?(设空气的摩尔质量为2.89 ×10-2 kg·mol -1 ) 分析 当温度不变时,大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布.利用地球表面附近气压公式()kT mgh p p /exp 0-=,即可求得飞机的高度h .式中p 0 是地面的大气压强. 解 飞机高度为()()m 1093.1/ln /ln 300⨯===p p MgRTp p mg kT h 12 -25 在压强为Pa 1001.15⨯下,氮气分子的平均自由程为6.0×10-6cm,当温度不变时,在多大压强下,其平均自由程为1.0mm 。