FIR滤波器的设计

N 1 2
•在每个采样点上，
逼近误差为零，频响
严格地与理想频响的采样值 H(k)相等; •在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而 形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响 应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之， 误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产 生肩峰和波纹 •N增大，则采样点变密，逼近误差减小。
h(n) hd (n) R N (n) sin[

2 (n 6)
(n 6)]
R13 (n)
0 n 12
三、利用频率采样法设计FIR滤波器
频域采样法就是一种频域设计方法。
它的基本思想是使所设计的FIR数字
滤波器的频率特性在某些离散的频率 点上的值，准确地等于所需的滤波器 在这些频率点处的值，在其他频率处 的特征按照一定的优化设计则有较好 的迫近。
汉明窗
－41
8π/N
－53
凯塞窗
其他窗是增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣；凯塞窗则可 自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。
2 I o 1 1 2n / N 1 w(n) I o
0 n N 1
I0(x)是零阶修正贝塞尔函数； β可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。
| | c
c | |
sinN / 2 WR sin / 2
4个特殊频率点看卷积结果： 1. =0时, H(0)近似等于Hd(0) 2. = c时， H(c)=0.5H(0);
3. = c–2π/N时，出现正肩峰；
4. = c +2π/N 时，出现负肩峰。
由于具有线性相位的FIR滤波器，其单位采样响应是 实序列，且满足条件 h(n) h( N 1 n) ，由此推导 出第一类线性相位滤波器传输函数应满足的条件是：
H d (e j ) H g ( )e j ( )
1 ( ) ( N 1) 2
将 H (k ) 写成幅度 H g (k )和相位 (k )的形式
H d (k ) H g (k )e j ( k )
式中
k 0,1,2, , N 1
H g (k ) H g ( ) | 2k / N
(k ) ( ) | 2k / N NN 1 k
幅度特性必须满足的线性相位的条件
H g (k ) H g ( N k )
4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n)
N为奇数
N为偶数
四种线性相位FIR DF特性：
第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。 第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器， 不能设计高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器， 不能设计低通和带阻。

理想低通滤波器特性的hd(n)和Hd()
是无限时宽的，且是非因果的，无法实现的
hd (n) o n N 1 h(n) hd (n) wR (n) n为其它值 0
其中
H (e j ) H d (e j ) *WR (e j )
卷积
1 H d ( ) 0
0. 0895 1 0. 0468 0. 0468
c
0
c
-0. 0895

改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有 许多种，但要满足以下两点要求： ①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。
（3）任何一个非因果的有限长序列，总可以通 过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总 是满足； （4）无反馈运算，运算误差小。
缺点： （1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需 以较高的阶数为代价； （2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无 解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主 瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。
几种常用的窗函数：
1. 矩形窗：主瓣宽度为4π/N
2. 三角形窗：主瓣宽度为8π/N
3. 汉宁窗（升余弦窗）：主瓣宽度为8π/N 4.汉明窗（改进的升余弦窗）：主瓣宽度为8π/N 5.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）：主瓣宽度为 12π/N
通带波纹（dB） ±0.27 ±0.08647 ±0.0274 ±0.00868 ±0.00275 ±0.000868 ±0.000275 ±0.000087
阻带最小衰减 (dB) -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100
窗函数设计FIR数字滤波器的步骤：

根据技术要求确定滤波器的频响特性确定其 对应的单位脉冲响应。 根据对过渡带及阻带衰减指标的要求，选择 窗函数形式，并估计窗口长度N。 计算滤波器的单位取样响应
小结：
四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n) 的对称性，而与h(n)的值无关； 幅度特性取决于h(n)的值；
设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条 件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
二、窗函数设计法
设计思想：窗函数设计法是从单位脉冲响应序列 着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。
H d (e ) hd (n) hd (n) w(n)
j
j
H (e ) h( n)
以一个截止频率为 c的线性相位理想低通 滤波器为例
：低通滤波器的延时
则：
1 hd (n) H d e j e jn d 2 sin( c (n )) 1 c j jn ce e d (n ) 2
2 2 W ( ) 0.5WR ( ) 0.25 WR ( ) WR ( ) N 1 N 1
窗函数 矩形窗
旁瓣大致幅 度/ dB －13
过渡带宽 4π/N
阻带最小衰减/ dB －21
三角窗
－25
8π/N
－25
汉宁窗
－31
8π/N
－44
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β越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。 一般取 4<β<9。
β=5.44 接近汉明；β=8.5 接近布莱克曼
β=0 为矩形
β 2.120 3.384 4.538 5.658 6.764 7.865 8.960 10.056
过渡带 3.00π /N 4.46π /N 5.86π /N 7.24π /N 8.64π /N 10.0π /N 11.4π /N 12.8π /N
去逼近
，逼近方法有三种： 窗函数设计法（时域逼近）
频率采样设计法（频域逼近）
最优化设计法（等波纹逼近）
一、FIR数字滤波器的线性相位特性
H (e j )线性相位是指 ( )是 的线性函数
第一类线性相位
( )
第二类线性相位
d ( ) d
可以证明，线性相位FIR滤波器的单位脉冲 响应应满足下面条件：
FIR滤波器的设计
FIR型滤波器的系统函数为：
H ( z ) h(0) h(1) z 1 h( M ) z M
n 0

M
h( n) z n
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：
优点 ： （1）很容易获得严格的线性相位，避免被 处理的信号 产生相位失真； （2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；
N为奇数 N为偶数
H g (k ) H g ( N k )
频率采样法的设计误差及其改进
由上述设计过程得到的 以及 与
j
与
的逼近程度，
的关系？
N 1
2 H (e ) H (k )( k) N k 0
式中
1 sin( N / 2) j ( ) e N sin( / 2)
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4π/N ， 等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长） ②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏）， 取决于WR()的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值 大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状） ③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯 （Gibbs）效应）
1 hd (n ) 2


H d (e j )e jn d

h(n) hd (n) (n)
计算滤波器频率响应 H (e j )
H (e j ) h(n)e jn
n 0 N 1
例：试用窗口法设计一个FIR低通滤波器。已知
e j , j H d (e ) 0, 0
1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。
例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带 采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间 隔4π/33，其阻带衰减增加到约 -40dB。
2)增大N
如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带 宽，可增加采样点数N。 例如，同样截止频率ωc=0.5π , 以N=65采样，并在 k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值 H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化 计算获得的采样值H17=H48=0.1065 , 这时得到的 H(ejω)， 过渡带为6π/65， 小于33点采样时插入一个过渡带采样点的过渡带宽 4π/33 ，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60dB以上， 当然，代价是滤波器 阶数增加，运算量增加。
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H ( )。 解： Ｎ为奇数并且 h(n)满足偶对称关系
a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H ( ) = 2 - cos - cos2 = 2- (cos +cos2)
为了减小逼近误差，可以在理想频率响应的 边缘加上一些过渡的采样点。但这样处理却 会使得过滤带加宽。 增加采样点数N来提高所需滤波器的性能， 使得滤波器的过渡带是窄带。但是太大会 使滤波器成本和运算复杂度增加。
从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2π/33 ，而最小阻带衰减略小于20dB。 对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不 能令人满意的。 增大阻带衰减两种方法：
h(n)为实序列，且满足 h(n) h( N 1 n)，N为 长度，即，h(n)关于 N 1 偶对称或奇对称。
2
分四种情况：
1． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) 2． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) N 为奇数 N 为偶数
3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n)

2

2

6
求： （1）求 h(n) 的长度N ； （2）在矩形窗口条件下，求出的表达式 h(n)； （3）写出过渡带宽 。
解：（1）

N 1 2
N 2 1 13
(2) N为奇数。且是低通滤波器， 故属于第一类广 义线性相位FIR滤波器，截至频率 c / 2 sin[ (n 6)] sin[ c (n )] 2 hd (n) (n ) (n 6)
确定频率特性指标
H d (e
j
)
频率采样
H d (e j 2k / N ) H d (k )
IDFT
H ( z ) / H (e )
j
ZT
h(n)
频率采样设计的基本方法存在两个问题
用频率采样法设计线性相位滤波器的
条件
频率采样法的设计误差及其改进
用频率采样法设计线性相位滤波器的条件
sin(N / 2) sin(N / 2) sin x WR ( ) N N sin( / 2) N / 2 x
N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改 变WR( 的绝对值大小和起伏的密度。
肩峰值的大小决定了滤 波器通带内的平稳程度 和阻带内的衰减，所以 对滤波器的性能有很大 的影响。