理论力学之动量矩定理
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理论力学基础 动量矩定理3
（习题12－14） 习题 － ）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 例题十七
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
A：m1下降，鼓轮：r、R、m2，ρ。求A的加速度。 下降，鼓轮： 的加速度。 。 的加速度
α=a/(R+r)
S S’ a aC=aR/(R+r) m1g
CHale Waihona Puke 例题十九 如图所示，板的质量为 1，受水平力 如图所示，板的质量为m
α
F ar ′ F2 F1 FN1 ′ FN2 m1g
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
C
m2g
aC FN2 F2
a F
理论力学
第十二章 动量矩定理
例题二十 均质圆柱体 和B的质量均为 ，半 均质圆柱体A和 的质量均为 的质量均为m，
（习题11－3） 习题 － ）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第 五 节 质 点 系 相 对 于 质 心 的 动 量 矩 定 理
第十二章 动量矩定理
二、质点系相对于质心的动量矩定理
dLO d = (rC × mvC + LC ) = ∑ r i × Fi(e) dt dt
drC dLC d (e) ′i × Fi(e) × mvC + rC × mvC + = ∑ r C × Fi + ∑ r dt dt dt
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 例题十八
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
摩擦系数： ， 轮：m，R，A：m1，摩擦系数：f，求加速度及 ， ， BC段绳的拉力。 段绳的拉力。 段绳的拉力
第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
理论力学动量矩定理
四. 平行移轴定理
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
J z ' J zC m d 2
证明：设刚体的质量为m，质心为C。
O ' z '//Cz
J zC mi ri 2 mi ( xi 2 yi 2 )
J z ' mi ri ' 2 mi ( xi ' 2 yi ' 2 )
xi xi ', yi ' yi d
J z ' mi [ xi 2 ( yi d )2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
质点对O点的动量矩与对 z 轴的动量矩之间的关系：
M O (mv )
注意：要求 z 轴通过O点。
z
M z (mv )
二．质点系的动量矩
质点系对O点动量矩： LO 质点系对 z 轴动量矩： 同样有关系式： 例：平动刚体的动量矩。
M
O
Lz M z (mi vi )
(mv i i ) r i mv i i
( e)
PA PB d g ( d t r PA PB P / 2
）
[例4] 已知猴子A重=猴子B重，初始静止，后猴B以相对绳 速度 v 上爬，猴A相对绳不动。问猴B向上爬时，猴A将如何 动？动的速度多大？（轮重不计）
解： 设猴A向上的绝对速度为 vA，则
猴B向上的绝对速度为 vB= vvA 。
平动刚体对固定点（轴）的动量矩就等于刚体质心的动量 对该点（轴）的动量矩。
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
理论力学动量矩定理
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点旳动量矩定理
设质点对固定点O旳动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点旳矩为MO(F) ，如图 所示。
将动量矩对时间取一 次导数，得
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
d r mv r d (mv)
dt
dt
MO(mv) MO(F)
x
z
F mv
Q
r
y
12.2.1 质点旳动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点旳动量矩与对轴 旳动量矩旳关系代入，得
d dt
M
x
(mv)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某固定
轴旳动量矩对时间旳 一阶导数等于质点所 受旳力对同一轴旳矩。
12.2.1 质点旳动量矩定理
例12-2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为 l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O点旳铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时旳运动规律。
例12-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O旳转
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A旳
质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系 统对轴O旳动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
LO旳转向沿逆时针方向。
Or
A mv
LO J m2vR MO (F (e) ) M m2 g sin R
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
理论力学第1节 动量矩定理
i 1
d Lx dt
n
M
x
( Fi ( e )
)
i 1
dM y dt
n
M
y
( Fi ( e )
)
i 1
dLz dt
n
M
z
( Fi ( e )
)
i 1
质点系对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于 质点系上的外力对该轴之矩的矢量和。
• 质点系对固定点的动量矩守恒：当作用在质点系的 外力对某固定点之矩的矢量和为零，质点系对该点 的动量矩保持不变。
记 J z miri2
称刚体对z轴 的转动惯量
• 质量连续分布刚体的转动惯量公式
说明
Jz M r2dm
刚体对轴的转动惯量取决于刚体质量的大小、质量 的分布情况及转轴的位置，而与其运动状态无关。
对形状不规则物体的转动惯量常用实验方法测得。
冰上芭蕾 舞演员旋转 时，通过张 开、收拢两 臂来改变自 身质量对垂 直轴的转动 惯量，以达 到改变转动 速度的目的
r O
M
设 v 为物体A、B的瞬时速度，
为圆盘的角速度，两者的关系为：
v r
系统对O轴的动量矩：
LO mAvr mBvr JO 其中
B AJOΒιβλιοθήκη 1 2Mr 2
LO
mA vr
mBvr
1 2
Mr 2
mA
vr
mB
vr
1 2
Mrv
系统外力对O轴的力矩为：
M O mA gr mBgr
质点对 O 点动量矩的矢量和
C mi
d Lx dt
n
M
x
( Fi ( e )
)
i 1
dM y dt
n
M
y
( Fi ( e )
)
i 1
dLz dt
n
M
z
( Fi ( e )
)
i 1
质点系对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于 质点系上的外力对该轴之矩的矢量和。
• 质点系对固定点的动量矩守恒：当作用在质点系的 外力对某固定点之矩的矢量和为零，质点系对该点 的动量矩保持不变。
记 J z miri2
称刚体对z轴 的转动惯量
• 质量连续分布刚体的转动惯量公式
说明
Jz M r2dm
刚体对轴的转动惯量取决于刚体质量的大小、质量 的分布情况及转轴的位置，而与其运动状态无关。
对形状不规则物体的转动惯量常用实验方法测得。
冰上芭蕾 舞演员旋转 时，通过张 开、收拢两 臂来改变自 身质量对垂 直轴的转动 惯量，以达 到改变转动 速度的目的
r O
M
设 v 为物体A、B的瞬时速度，
为圆盘的角速度，两者的关系为：
v r
系统对O轴的动量矩：
LO mAvr mBvr JO 其中
B AJOΒιβλιοθήκη 1 2Mr 2
LO
mA vr
mBvr
1 2
Mr 2
mA
vr
mB
vr
1 2
Mrv
系统外力对O轴的力矩为：
M O mA gr mBgr
质点对 O 点动量矩的矢量和
C mi
理论力学之动量矩定理
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对同一点的力矩。
B 固定轴
d M O (mv ) M O ( F ) dt
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)： d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv) M y (F ) dt d M z (mv) M z (F ) dt 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用 于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。 质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
理论力学_12.动量矩定理
理论力学
动量定理： 质心运动定理：
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
动量定理： 质心运动定理：
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
理论力学10动量矩定理
3D空间应用
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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z
l/2 l/2
C
x
x
dx
单位长度质量为 , m l dm dx
Jz
l/2
l / 2
x dm
2
l/2
l / 2
x 2 dx
1 3 1 l ml 2 12 12
1 2 3 z l l 12 6
1 J z ml 2 12
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：
质点在有心力作用下的运动
若质点在运动过程中始终只受到指向某固定 点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动 （这属于动量矩定理中的那一种情况？）。 （行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属 于这种情况。 力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点 的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩 大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始 终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。
1 2 LO J O ω mr 2
y
vO
vO rω
r
O
x
O1
rO1O
rO1O mvO mr 2ω
LO1 3 mr 2 ω 2
思考题
行星齿轮机构在水平面内运动。质量为 m1 的均质曲
柄 OA 带动齿轮 II 在固定齿轮 I 上纯滚动。齿轮 II 的质 量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴 O的动量矩。 解: v A ( r 1 r 2 ) O r 22
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
m x
yi2 2dyi d 2
2
mi ( x i2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi
mi yi myC 0
J z J zC md
（1）简单—查表 转动惯量的计算： （2）规则形状组合—叠加 （3）形状复杂—实验 例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘 的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对 经过悬挂点o的水平轴的转动惯量。 解：
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
4.定轴转动刚体对转轴的动量矩 由动量矩定义很容易得：
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri J z
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。 解： vC rC l sin vD 质点C对点O的动量矩为：
M o (mv) mvCl ml sin
2
方向垂直CD
第三章 动力学普遍定理： 动量矩定理
动量定理描述了外力 系主矢量引起质心运动的 变化，反映了质点系随质 心平动的动力学规律。 但是, 它不能完全描述 质点系的运动状态。如一 均质的圆轮绕不动的质心 转动时, 无论圆轮转动的快 慢如何 , 无论转动状态有什 么变化,它的动量恒等于0。
M
C
动量矩定理会描述外力系主矩引起质点系如何运动?
Jz
m
0
R 2 dm mR2
z R
J z mR
2
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
J z r 2 dm r 2 2rdr
m 式中： A 2 π R R
mi 2π ri dri A
0
1 1 4 1 2 J mR 2 2 R MR z 2 4 2
过杆端O并与曲杆面垂直的轴 O z 的转动惯量。
解： J z J OA J AB
1 m 2 J OA ( a )a 3 a b
O a
C A
2 1 m mb b J AB ( b) b 2 ( )( a 2 ) 12 a b ab 4
b
B
5.质点系对固定点O的动量矩的另一种表示 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
C 为原点，建立平动坐标系 Cx y z , 质点系对固定
点O的动量矩为
z z' A vr v vC y'
LO rC mvC LC
LC (rri mi vri )
x
rC
C x'
rr
O
vC
y
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩 上式即平面运动刚体对固定点O的动量矩计算公式
J o ( J o1 J o 2 )
1 l 2 2 [ m1l m1 ( ) ] 12 2
1 d 2 d 2 [ m2 ( ) m2 ( l ) ] 2 2 2 1 3 2 2 2 m1l m2 ( d l ld ) 3 8
匀质曲杆OAB如图所示 。已知质量是m，求曲杆对通
§3-1 动 量 矩 §3-2 动量矩定理 §3-3 刚体的定轴转动微分方程 §3-4 相对于质心的动量矩定理 §3-5 刚体的平面运动微分方程
动 量 矩 定 理
§3-1 动量矩
1.质点动量矩的计算) r ( mv )
◆质点对轴的动量矩
M x (m v) [ M O (m v)]x y (m vz ) z (m vy ) M y (m v) [ M O (m v)]y z (m vx ) x(m vz ) M z (m v) [ M O (m v)]z x(m vy ) y (m vx )
◆质点系对轴的动量矩
Lx Ly Lz
M M M
x ( mi vi ) y ( mi vi ) z ( mi vi )
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
E 转动惯量的平行轴定理
J zC mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
2 J z mi ri2 mi ( x'2 y i i )
xi xi , yi yi d
J z mi x i2 ( yi d ) 2
i 2 i
例 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。
把单摆看成一个在圆弧上运动 解： 的质点 A ， 设其质量为 m ，摆线长 l 。
O
又设在任一瞬时质点A具有速度v ，
摆线OA与铅垂线的夹角是 。 取通过悬点 O而垂直于运动平面的 固定轴 z ，对此轴应用质点的动量 矩定理
l
F
A
mg
A
v
d [ M z (mv )] M z ( Fi ( e ) ) dt d M z (mv ) mvl m(l )l ml 2 d 2 d dt (ml ) mgl sin dt dt M ( F ( e ) ) mgl sin
0
O
C
vC
y'
则上式可以写为
y x
rC mi vC (rri mi vri ) rC mi vC LC
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
LO rC mvC LC
只适用于质心
思考题
如图所示一半径为 r的匀质圆盘在水平面上纯滚动 , 已 知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点 的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。 解: LO1 LO rO1O mvO
LO
(r
C
mi vi )
C
(r
i C
ri mi v C )
z
(r
z' A rr x' vC
ri mi v ri )
(r m v ) r m v (r m v ) (m r ) v
C i i
vr v
ri
i C
i ri
C
0
rC
z i
d 2 g sin 0 2 dt l
2. 质点系动量矩定理
A 对固定点 d M O (mi vi ) M O ( Fi (i ) ) M O ( Fi ( e ) ) i 1,...,n dt n n n d (i ) (e) M ( m v ) M ( F ) M ( F ) O i i O i O i i 1 dt i 1 i 1
即：质点对点的动量矩是矢量，大小为 DOMD 面 积的两倍，矢量从矩心 O 画出，其方位垂直于质点 矢径 r 和动量 mv 所组成的平面，指向按右手规则确 定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相 应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。
l/2 l/2
C
x
x
dx
单位长度质量为 , m l dm dx
Jz
l/2
l / 2
x dm
2
l/2
l / 2
x 2 dx
1 3 1 l ml 2 12 12
1 2 3 z l l 12 6
1 J z ml 2 12
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：
质点在有心力作用下的运动
若质点在运动过程中始终只受到指向某固定 点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动 （这属于动量矩定理中的那一种情况？）。 （行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属 于这种情况。 力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点 的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩 大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始 终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。
1 2 LO J O ω mr 2
y
vO
vO rω
r
O
x
O1
rO1O
rO1O mvO mr 2ω
LO1 3 mr 2 ω 2
思考题
行星齿轮机构在水平面内运动。质量为 m1 的均质曲
柄 OA 带动齿轮 II 在固定齿轮 I 上纯滚动。齿轮 II 的质 量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴 O的动量矩。 解: v A ( r 1 r 2 ) O r 22
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
m x
yi2 2dyi d 2
2
mi ( x i2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi
mi yi myC 0
J z J zC md
（1）简单—查表 转动惯量的计算： （2）规则形状组合—叠加 （3）形状复杂—实验 例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘 的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对 经过悬挂点o的水平轴的转动惯量。 解：
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
4.定轴转动刚体对转轴的动量矩 由动量矩定义很容易得：
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri J z
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。 解： vC rC l sin vD 质点C对点O的动量矩为：
M o (mv) mvCl ml sin
2
方向垂直CD
第三章 动力学普遍定理： 动量矩定理
动量定理描述了外力 系主矢量引起质心运动的 变化，反映了质点系随质 心平动的动力学规律。 但是, 它不能完全描述 质点系的运动状态。如一 均质的圆轮绕不动的质心 转动时, 无论圆轮转动的快 慢如何 , 无论转动状态有什 么变化,它的动量恒等于0。
M
C
动量矩定理会描述外力系主矩引起质点系如何运动?
Jz
m
0
R 2 dm mR2
z R
J z mR
2
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
J z r 2 dm r 2 2rdr
m 式中： A 2 π R R
mi 2π ri dri A
0
1 1 4 1 2 J mR 2 2 R MR z 2 4 2
过杆端O并与曲杆面垂直的轴 O z 的转动惯量。
解： J z J OA J AB
1 m 2 J OA ( a )a 3 a b
O a
C A
2 1 m mb b J AB ( b) b 2 ( )( a 2 ) 12 a b ab 4
b
B
5.质点系对固定点O的动量矩的另一种表示 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
C 为原点，建立平动坐标系 Cx y z , 质点系对固定
点O的动量矩为
z z' A vr v vC y'
LO rC mvC LC
LC (rri mi vri )
x
rC
C x'
rr
O
vC
y
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩 上式即平面运动刚体对固定点O的动量矩计算公式
J o ( J o1 J o 2 )
1 l 2 2 [ m1l m1 ( ) ] 12 2
1 d 2 d 2 [ m2 ( ) m2 ( l ) ] 2 2 2 1 3 2 2 2 m1l m2 ( d l ld ) 3 8
匀质曲杆OAB如图所示 。已知质量是m，求曲杆对通
§3-1 动 量 矩 §3-2 动量矩定理 §3-3 刚体的定轴转动微分方程 §3-4 相对于质心的动量矩定理 §3-5 刚体的平面运动微分方程
动 量 矩 定 理
§3-1 动量矩
1.质点动量矩的计算) r ( mv )
◆质点对轴的动量矩
M x (m v) [ M O (m v)]x y (m vz ) z (m vy ) M y (m v) [ M O (m v)]y z (m vx ) x(m vz ) M z (m v) [ M O (m v)]z x(m vy ) y (m vx )
◆质点系对轴的动量矩
Lx Ly Lz
M M M
x ( mi vi ) y ( mi vi ) z ( mi vi )
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
E 转动惯量的平行轴定理
J zC mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
2 J z mi ri2 mi ( x'2 y i i )
xi xi , yi yi d
J z mi x i2 ( yi d ) 2
i 2 i
例 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。
把单摆看成一个在圆弧上运动 解： 的质点 A ， 设其质量为 m ，摆线长 l 。
O
又设在任一瞬时质点A具有速度v ，
摆线OA与铅垂线的夹角是 。 取通过悬点 O而垂直于运动平面的 固定轴 z ，对此轴应用质点的动量 矩定理
l
F
A
mg
A
v
d [ M z (mv )] M z ( Fi ( e ) ) dt d M z (mv ) mvl m(l )l ml 2 d 2 d dt (ml ) mgl sin dt dt M ( F ( e ) ) mgl sin
0
O
C
vC
y'
则上式可以写为
y x
rC mi vC (rri mi vri ) rC mi vC LC
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
LO rC mvC LC
只适用于质心
思考题
如图所示一半径为 r的匀质圆盘在水平面上纯滚动 , 已 知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点 的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。 解: LO1 LO rO1O mvO
LO
(r
C
mi vi )
C
(r
i C
ri mi v C )
z
(r
z' A rr x' vC
ri mi v ri )
(r m v ) r m v (r m v ) (m r ) v
C i i
vr v
ri
i C
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C
0
rC
z i
d 2 g sin 0 2 dt l
2. 质点系动量矩定理
A 对固定点 d M O (mi vi ) M O ( Fi (i ) ) M O ( Fi ( e ) ) i 1,...,n dt n n n d (i ) (e) M ( m v ) M ( F ) M ( F ) O i i O i O i i 1 dt i 1 i 1
即：质点对点的动量矩是矢量，大小为 DOMD 面 积的两倍，矢量从矩心 O 画出，其方位垂直于质点 矢径 r 和动量 mv 所组成的平面，指向按右手规则确 定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相 应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。