2017苏北四市高三第一次模拟考试 数学

2017届高三模拟考试试卷(四)

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

2017．1 参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差

圆锥的侧面积公式：S ＝1

2

cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{－2，0}，B ＝{－2，3}，则A ∪B ＝__________．

2. 已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z 的模为__________．

3. 某次比赛甲得分的茎叶图如图所示．若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为__________．

4. 根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为__________．

5. 从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为__________．

6. 若抛物线y 2

＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23

＝1(a ＞0)的右焦点，则a 的值为

__________．

7. 已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为____________．

8. 若函数f(x)＝sin ⎝

⎛⎭⎫ωπx －π6(ω＞0)的最小正周期为1

5，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为__________． 9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q 的值为____________．

10. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则不等式f(x)≤－5的解集为__________．

11. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3

的最小值是__________． 12. 已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与2a －b 的夹角的余弦值为__________． 13. 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1

上的动点，则|PA →＋PB →

|的取值范围是__________．

14. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧sin x ，x ＜1，

x 3－9x 2

＋25x ＋a ，x ≥1.若函数f(x)的图象与直线y ＝x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为__________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a. (1) 求A 的值；

(2) 若cos B ＝3

5

，求sin(B －C)的值．

16.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥EABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA ⊥EB ，M ，N 分别为AE ，CD 的中点．求证：

(1) 直线MN ∥平面EBC ； (2) 直线EA ⊥平面EBC.

如图，已知A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的

正西方向1 km 处，tan ∠BAN ＝3

4，∠BCN ＝π4

.现计划铺设一条电缆联通A ，B 两镇．有两

种铺设方案：① 沿线段AB 在水下铺设；② 在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 、4万元/km.

(1) 求A ，B 两镇间的距离；

(2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2

，且

右焦点F 到左准线的距离为6 2.

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N.

① 当直线PA 的斜率为1

2

时，求△FMN 的外接圆的方程；

② 设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝x2

2e－ax，g(x)＝ln x－ax，a∈R.

(1) 解关于x(x∈R)的不等式f(x)≤0；

(2) 求证：f(x)≥g(x)；

(3) 是否存在常数a，b，使得f(x)≥ax＋b≥g(x)对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分16分)

已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝a，(a n＋1)(a n＋1＋1)＝6(S n＋n)，n ∈N*.

(1) 求数列{a n}的通项公式；

(2) 若对任意的n∈N*，都有S n≤n(3n＋1)，求实数a的取值范围；

(3) 当a＝2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序组成数列{b n}，且b1＝a2.求证：存

在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}

2017届高三模拟考试试卷(四)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修41：几何证明选讲) 如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点．求证：AB·BC ＝2AD·BD.

B. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.求实数a ，b 的值．

C. (选修44：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2

ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m(m ∈R )，圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l

的距离为2时，求m 的值．