年徐汇区初三数学一模试卷及答案

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初三徐汇数学一模试卷

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. √0D. √-42. 若x² - 3x + 2 = 0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 33. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）4. 若a² + b² = 25，且a - b = 4，则ab的值为（）A. 3B. 5C. 7D. 95. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x² - 1B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = 3x² - 2二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x + 1/x = 5，则x² - 5x + 6 = _______。

7. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠ABC的度数为 _______。

8. 已知二次函数y = ax² + bx + c的图象开口向上，且a = 1，b = -4，则c的最小值为 _______。

9. 下列各式中，正确的是（）A. |a| > bB. |a| < bC. |a| ≥ bD. |a| ≤ b10. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，a² + b² + c² = 36，则b的值为 _______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\x - y = 1\end{cases}$$12. 已知函数y = kx + b的图象经过点A（2，3）和点B（-1，-2），求k和b的值。

13. 在△ABC中，AB = AC，AD是高，E是AD的中点，F是BC的中点。

求证：BE² = 2AF²。

真题解析2022年上海市徐汇区中考数学一模试题(含答案详解)

2022年上海市徐汇区中考数学一模试题考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图所示是根据某班级40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，由图像可知该班40同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（）A ．10.5，16B ．9，8C ．8.5，8D ．9.5，162、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A ．B ．C ．D ． ·线○封○密○外3、等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（）A．12 B．12或15 C．15或18 D．154、某厂前5个月生产的总产量y（件）与时间x（月）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月产量逐月减少B．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月产量与3月持平C．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月停产D．1﹣3月的月产量逐月持平，4、5两月停产5、如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°6、在式子1a ，20yπ，334ab c，56x+，78x y+，109xy+中，分式的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．57、将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若BC=BE的长是（）A．1 BC．12D．28、如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于直线m：x＝1对称，M，N分别是这两个三角形中的对应点．如果点M的横坐标是a，那么点N的横坐标是( )A．－a B．－a＋1 C．a＋2 D．2－a9、下列命题中，假命题是（）A．如果|a|＝a，则a≥0B．如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣bC．如果ab＞0，则a＞0，b＞0D．若a3＜0，则a是一个负数10、如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y =kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式210kxx++<的解集是( ).·线○封○密○外A ．1x >B ．1x <-C ．01x <<D ．10x -<<第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为．2、8点15分，时针与分针的夹角是______________。

上海市徐汇区2022-2023学年九年级上学期数学期末(中考一模)试卷(解析版)

B、单位向量与单位向量方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、单位向量与单位向量方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（）
【详解】解：如图：过点C作于点M，交于点N，
中，，，，
，
，
∴ ，
∵正方形内接于，
，，
，
，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17.在中，，，，以为边在外作等边，设点、分别是和的重心，则两重心与之间的距离是______．
15.如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________．
【答案】
【分析】根据一线三等角证明，列出比例式代入数值计算即可．
【详解】 △ABC为等边三角形，
，
∠ADE＝60°，
,
BD：DC＝1：2，AD＝2，
【详解】解：，
该二次函数的顶点坐标为，
又，
该二次函数图像的开口向上，
该二次函数图像上的最低点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标及二次函数的性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的关键．
11.如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为______ ．

中考数学一模试题含解析试题

2021年徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． = D． =2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF= ．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD 翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC 于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2021年徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的选项是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．应选：B．【点评】此题主要考察了比例的性质和应用，要纯熟掌握．2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如下图：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，那么斜边==13x，那么cosα==．应选D．【点评】此题主要考察坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2〔x+1〕2﹣2，应选：C．【点评】此题考察了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的断定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的断定定理进展解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．应选D．【点评】此题考察了相似三角形的断定，属于根底题，关键是掌握相似三角形的几种断定定理．5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如下图：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．应选C．【点评】此题考察理解直角三角形的应用，解答此题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2〔x﹣1〕2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，应选A．【点评】此题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a〔x﹣h〕2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为〔h，k〕．二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，假设b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：假设b是a、c的比例中项，即b2=ac．那么b===6．故答案为：6．【点评】此题主要考察了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进展解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】此题考察了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】此题考察平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】此题考察的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段〔对应中线、对应角平分线、对应边上的高〕的比等于相似比是解答此题的关键．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】此题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC〔AC＞BC〕，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，那么sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的断定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：按照题意画出图形，如下图．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】此题考察了相似三角形的断定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a〔x2﹣4x+4〕﹣4a=a〔x﹣2〕2﹣4a，那么顶点坐标是〔2，﹣4a〕，那么﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】此题考察了配方法确定函数的顶点坐标，正确进展配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行线之间的间隔；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，那么CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】此题考察了矩形的性质、相似三角形的断定与性质、两平行线的间隔以及勾股定理；纯熟掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的断定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，那么△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=〔〕2，因为=，得到=〔〕2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，那么△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=〔〕2，∵=，∴=〔〕2，解得x=1或者16〔舍弃〕，∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想考虑问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD 翻折，点A落在点E处，那么AE的长是2．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】此题考察了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，假如知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC 于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH ⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】此题考察平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进展代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考察了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】〔1〕首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：〔1〕抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=〔x﹣2〕2﹣9，那么D的坐标是〔2，﹣9〕．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，那么y=﹣5，那么C的坐标是〔0，﹣5〕，令y=0，那么x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或者5，那么B的坐标是〔5，0〕；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A．那么S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=〔2+5〕×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】此题考察了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】〔1〕首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==， =+．〔2〕由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．〔2〕∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】此题考察平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的断定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识，属于根底题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】〔1〕首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；〔2〕通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：〔1〕如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60〔海里〕；〔2〕在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4〔海里〕，∴÷≈7.3〔小时〕．答：〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔是60海里；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是约为7.3小时．【点评】此题考察了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的断定与性质．【分析】〔1〕根据条件得到，根据等腰三角形的断定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；〔2〕由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：〔1〕∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；〔2〕∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】此题考察了相似三角形的断定和性质，纯熟掌握相似三角形的断定和性质是解题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；〔2〕根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；〔3〕运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：〔0，3〕，∵OB=OC，∴点B的坐标为：〔3，0〕，∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕；〔2〕如图1，作DH⊥y轴于H，那么CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；〔3〕﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：〔﹣1，0〕，∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，那么，解得，，那么直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，那么〔x﹣3〕2+〔3x+3〕2=18，解得，x1=0〔舍去〕，x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为〔﹣，﹣〕．【点评】此题考察的是二次函数的综合运用、相似三角形的断定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的断定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；〔3〕先根据条件断定四边形BCED是等腰梯形，断定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：〔1〕如下图，过点D作DF∥AC，交BP于F，那么根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3〔3﹣y〕，解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；〔3〕∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】此题属于三角形综合题，主要考察了相似三角形的断定与性质，等腰梯形的断定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进展求解．在断定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公一共角、公一共边等隐含条件，以充分发挥根本图形的作用．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

徐汇一模数学试卷初三答案

一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知a > b，则下列选项中正确的是（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. ab > 0D. a/b > 0答案：B解析：由不等式的性质可知，若a > b，则a - b > 0。

2. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2 或 3B. 1 或 4C. 2 或 1D. 3 或 2答案：A解析：通过因式分解可得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。

3. 下列函数中，y = kx + b（k ≠ 0）为正比例函数的是（）A. k > 0，b > 0B. k < 0，b < 0C. k > 0，b < 0D. k < 0，b > 0答案：A解析：正比例函数的特点是y与x成正比，即k > 0，且y轴截距b可以为任意实数。

4. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°答案：D解析：三角形内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。

5. 下列方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. 2x - 4 = 0C. 3x + 5 = 0D. 4x + 6 = 0答案：D解析：对于一元一次方程，若方程两边的系数和常数项同时乘以一个非零数，方程的解不变。

所以选项D的方程可变形为4x = -6，解得x = -6/4 = -3/2，方程有解。

二、填空题（每题4分，共40分）6. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x的值为______。

答案：1 或 27. 函数y = -2x + 1的图象与x轴交点的横坐标为______。

上海市徐汇中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(一模)

(1)求:DF EF 的值；(2)如果AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，试用a r 、21．在直角坐标平面内，二次函数(1)求这个二次函数的解析式；23．如图，在ABC V 中，ACB ÐBG y=.(1)求CD的长；(2)试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)连接EF，如果△是等腰三角形，试求DP的长.EFP【分析】由于DE FG BC ∥∥，那么ADE AFG ABC ∽∽V V V ，根据::1:2:5AD AF AB =，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出ADE V 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积比．【详解】解：∵DE FGBC ∥∥，∴ADE AFG ABC ∽∽V V V ，∵::1:2:5AD AF AB =，∴1425ADE AFG ABC S S S ：：＝：：V V V ，设ADE V 的面积是a ，则AFG V 和ABC V 的面积分别是4a ，25a ，则DFGE S 四边形和FBCG S 四边形分别是3a ，21a ，∴1:3:21ADE DFGEFBCG S S S =V 四边形四边形：：．故选：D ．【点睛】此题考查三角形相似的判定与性质，解题关键在于掌握相似三角形的性质与判定．6．A【分析】根据运算法则可知4个运算一循环，进而即可求解．【详解】1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，LL 根据运算法则可知4个运算一循环，202345053¸=L ，∴2023i i ==-，故选：A ．【点睛】本题考查了规律性问题，解题的关键是通过所给的数据发现其中的变化规律，利用发现的规律进行解题.【详解】（1）将点()1,5A -和点()1,3B -代入解析式得到：53a b a b +=-ìí-=î，∴14a b =-ìí=-î，∴这个二次函数的解析式为24y x x =--；（2）∵()22424y x x x =-=-++-，∴该图象的顶点为()2,4-，与y 轴的交点为()0,0，将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，则函数图象向上平移了m 个单位，∴平移后顶点M 的坐标为()2,4m -+．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移，解题关键是牢记待定系数法的解法步骤和图象的平移规律．22．447km ．【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出A 地到C 地之间高铁线路的长．【详解】解：如图所示，过点B 作BD AC ^于点D ，则//BD AE ，由题意得：390km AB =，30CBD Ð=°，。

2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷(含答案解析)

2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，．下列四个选项，正确的是（）A ．3tan 4B =B ．4cot 3B =C ．4sin 5B =D ．4cos 5B =2．下列命题中假命题是（）A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似3．如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，下列选项中正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．0b <5．将抛物线212y x =-经过下列平移能得到抛物线()21132y x =-+-的是（）A ．向右1个单位，向下3个单位B ．向左1个单位，向下3个单位C ．向右1个单位，向上3个单位D ．向左1个单位，向上3个单位6．如图，点D 在ABC 边AB 上，ACD B ∠=∠，点F 是ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且2AF EF =，则下列选项中不正确的是（）A ．23AD AC =B ．23CF BE =C ．23DC BC =D ．23AD DB =二、填空题7．已知43x y =，则=x y x y-+________________．8．计算：()()3213a b a b ---=__________________．9．两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，则这两个三角形面积之比为_____________．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．11．如图，已知G 为ABC ∆的重心，过点G 作BC 的平行线交边AB 和AC 于点D 、E 设GB a = 、GC b = ．用xa yb +（x y 、为实数）的形式表示向量=DE ____________．12．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD 为6.6米，小明到凉亭的距离BD 为12米，凉亭与观景台底部的距离DF 为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为________________米．13．已知点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，则m _____________n （填“>”、“=”或“<”）．三、解答题14．小球沿着坡度为1:1.5i =的坡面滚动了13m ，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m ．四、填空题15．计算：cos60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒_________________16．如图，在由正三角形构成的网格图中，、、A B C 三点均在格点上，则sin BAC ∠的值为___________．17．如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处，已知36cm tan 4BF BAF =∠=，，那么折痕AE 的长是_____________cm ．18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt ABC △中，90,C CA CB ∠=︒=，CD 是斜边AB 上的高，其中ACD 是等腰三角形，且BCD △和ABC 相似，所以ABC 是“和谐三角形”，直线CD 为ABC 的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F ∠的度数是_______________（写出所有符合条件的情况）五、解答题19．如图，在ABC 中，已知590,sin 13C A ∠=︒=．点D 为边AC 上一点，45,7BDC AD ∠=︒=，求CD 的长．20．如图，点E 在平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上，且2CE BC =，AE 与CD 交于点F ．设,AB a AD b ==．(1)用向量a 、b 表示向量DE；(2)求作：向量EF 分别在向量EC 、ED方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．已知二次函数2369y x x =-++．(1)用配方法把二次函数2369y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；(2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A B 、（点A在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，求四边形DACB 的面积．22．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB 为5cm ，宽MN 为10cm ，点A 是MN 的中点，连杆BC CD 、的长度分别为18.5cm 和15cm ，150CBA ∠=︒，且连杆BC CD 、与AB 始终在同一平面内．(1)求点C 到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点D 与A 的水平距离超过AN 的长度，则该支架会倾倒．现将DCB ∠调节为80︒，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶tan 200.36,cot20 2.75,sin 200.34,cos 200.94︒≈︒≈︒≈︒≈）23．如图，已知ABC 是等边三角形，D E 、分别是边BC AC 、上的点，且BC CE BD DC ⋅=⋅．在DE 的延长线上取点F ，使得DF AD =，联结CF ．(1)求证：60ADE ∠=︒；(2)求证：CF AB ∥．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A -、()4,0B 与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线PD x ⊥轴，垂足为点D ，直线PD 与直线BC 相交于点E ．①当CP CE =时，求点P 的坐标；②联结AC ，过点P 作直线AC 的平行线，交x 轴于点F ，当BPF CBA ∠=∠时，求点P 的坐标．25．如图1，已知菱形ABCD ，点E 在边BC 上，BFE ABC ∠=∠，AE 交对角线BD 于点F ．(1)求证ABF DBA ∽△△；(2)如图2，联结CF ．①当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小；②如图3，联结DE ，当DE FC ⊥时，求cos ABD ∠的值．参考答案：1．C【分析】先利用勾股定理求出3BC =，再根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，，∴3BC ==，∴4343tan cot sin cos 3455AC BC AC BC B B B B BC AC AB AB ========，，，故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键．2．B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】 ADDF ＝32，35AD AF ∴=,故A 选项正确，不符合题意；l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，32AD BC DF CE ∴==,故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴=故D 选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出ABEF的值，故C 选项不正确，故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．4．D【分析】根据开口方向，即可判断A ；根据与y 轴的交点，即可判断B ；把1x =代入，即可判断C ；根据对称轴的位置，即可判断D ．【详解】解：A 、∵函数图象开口向下，∴a<0，故A 不正确，不符合题意；B 、∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴0c >，故B 不正确，不符合题意；C 、把1x =代入得y a b c =++，∵1OP =，∴当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故C 不正确，不符合题意；D 、∵函数对称轴在y 轴左侧，a<0，∴0b <，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质，会根据函数的开口，对称轴，与坐标轴的交点判断各个系数的符号．5．B【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵212y x =-的顶点坐标为()0,0，()21132y x =-+-的顶点坐标为()1,3--，∴将抛物线212y x =-向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得抛物线()21132y x =-+-．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．D【分析】证明ACD ABC∽，得出AD DC AC AFAC BC AB AE===，利用2AF EF =判断选项A 、C ，证明ACF ABE ∽△△得出23CF AC BE AB ==判断选项B ，分别用AB 表示出AD 和BD ，判断选项D ，即可得出结论．【详解】 ACD B ∠=∠，CAB CAB ∠=∠，∴ACD ABC∽，∴AD DC AC AFAC BC AB AE ===，AF EF AE += 且2AF EF =，∴32AF AE =，23AF AE ∴=，∴23AD DC AC AF AC BC AB AE ====，故选项A 、C 正确；∴23AC AB =，23AD AC =，49AD AB ∴=，AD BD AB += ，∴4599BD AB AD AB AB AB =-=-=，449559ABAD BD AB ∴==，故选项D 错误； AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE ∠=，ACD B ∠=∠，ACF ABE ∴△∽△，23CF AC BE AB ∴==，故选项B 正确；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．17【分析】设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，代入求解即可得到答案；【详解】解：设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，∴431=437x y k k x y k k --=++，故答案为17．【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x ，y ．8．53a b- 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式1=223a b a b--+53a b=- 故答案为53a b -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．9．16:25##1625【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，∴两个相似三角形的相似比为4:5，∴两个相似三角形的面积之比为16:25，故答案为：16:25．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．10．（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.【详解】P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm..11．2233a b -+ 【分析】由于G 是三角形ABC 的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到:2:3AG AM =，再根据平面向量加减运算可求得答案．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点M ：∵DE BC ∥∴AG AD DE AM AB BC ==∵点G 是ABC 的重心，∴23AG AM =∴23DE BC =∴23DE BC =∵BC GC GB b a =-=- ∴()23DE b a =- ∴2233DE a b =-+ 故填：2233a b -+ ．【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键．12．22.3##32210##22310【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，交CD 于点N ，由题意得，12AN =， 6.6 1.65CN =-=，42MN =，E CN M ∥，∴ACN AEM ∽ ，∴CN AN EM AM =，∴5121242EM =+，∴22.5EM =，∵ 1.6AB MF ==，∴22.5 1.6 1.822.3+-=（米）．故答案为：22.3．【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．13．<【分析】根据抛物线的解析式得到对称轴为直线12b x a=-=-，由抛物线开口向下，可得在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，即可得到答案．【详解】解：点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，∴对称轴为直线12b x a=-=-，抛物线开口向下，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，32-<- ，m n ∴<，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =，故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．15．12-##0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式1122=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．16【分析】根据等边三角形的性质可得90ACB ∠=︒，然后设正三角形构成的网格线段长为1，分别求出直角边AC ，BC ，然后根据勾股定理求出AB ，最后根据三角函数定理即可求出sin BAC ∠．【详解】解：由正三角形的性质可知16060902ACB ∠=︒+⨯︒=︒，设正三角形构成的网格线段长为1，在Rt ABC △中，2AC =，BC =，根据勾股定理，可得AB，sin 7BC BAC AB ∠==，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．17．【分析】由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，由矩形的性质得到90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，先解Rt ABF 求出8cm 10cm AB AF ==，，进而得到10cm AD BC ==，则4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，由勾股定理得到()22248x x =+-，解方程求出5cm DE =，则AE ==．【详解】解：由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，∵四边形ABCD 是矩形，∴90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，∵在Rt ABF 中，36cm tan 4BF BAF =∠=，，∴8cm tan BF AB BAF ==∠，∴10cm AF ==，∴10cm AD AF BC ===，∴4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，在Rt CEF △中，由勾股定理得：222EF CF CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5cm DE =，∴AE ==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出AD DE ，的长是解题的关键．18．54 46 32 27︒︒︒︒、、、【分析】分类讨论，①EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =；②DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =；③DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =；④FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解．【详解】解：DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，EG 是DEF 的“和谐分割线”，①根据题意，如图所示，EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =，∴42D DEG GEF ∠=∠=∠=︒，∴在DEG △中，180180424296DGE D DEG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DGE ∠是EGF △的外角，∴964254F DGE GEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②如图所示，DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =，∴DEG F FEG ∠=∠=∠，设F a ∠=，则DEG F FEG a ∠=∠=∠=，1802EGF a ∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF D DEG ∠=∠+∠，即180242a a ︒-=︒+，解得，46a =︒，∴46∠=︒F ；③如图所示，DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =，∴FE FG =，F GED ∠=∠，FEG FGE ∠=∠，设F x ∠=，则F GED x ∠=∠=，1(180)2FEG FGE x ∠=∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF GED D ∠=∠+∠，即1(180)422x x ︒-=+︒，解得32x =︒，∴32F ∠=︒；④如图所示，FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =，∴42D GEF ∠=∠=︒，1(18042)692DEG DGE ∠=∠=︒-︒=︒，∵DGE ∠是EFG 的外角，∴DGE F GEF ∠=∠+∠，即6942F ︒=∠+︒，∴694227F ∠=︒-︒=︒；综上所述，DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F∠的度数是54463227︒︒︒︒、、、，故答案为：54463227︒︒︒︒、、、．【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．19．5【分析】解直角三角形ABC ，表示出AB AC ，的长，再根据Rt BCD △是等腰直角三角形，求得CD 即可．【详解】解：在Rt ABC △中，590,sin 13BC C A AB Ð=°==，设5,13BC k AB k ==，∴12AC k ===，在Rt BCD △中，90,45C BDC ∠=︒∠=︒，∴45CBD BDC ∠=∠=︒，∴5BC CD k ==．∴7AD AC CD k =-=，∵7AD =，∴77k =，∴1k =，∴55CD k ==【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键．20．(1)2a b+ (2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC =，根据三角形法则得出2DE DC CE a b =+=+ ；（2）作FM AD ∥，EN FM =，根据平行四边形法则，得出向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量，即可求解．【详解】（1）解：∵ABCD Y ，∴AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC=∵2CE BC =，∴2CE AD =，∴22CE AD b == ，∴=DC AB a = ，∴2DE DC CE a b =+=+ ；（2）解：如图所示，作FM AD ∥,EN FM =，根据平行四边形法则，向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键．21．(1)()23112y x =--+，开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12(2)54【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A B C D 、、、坐标即可求解．【详解】（1）解：()()()2222369329321123112y x x x x x x x =-++=--+=--++=--+∴该二次函数的顶点式为()223693112y x x x =-++=--+，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12；（2）解：平移后的新抛物线的解析式为()23312y x =--+，得到顶点()3,12D ，当0y =时，由()23312=0x --+得：11x =，25x =，即点()()1,05,0A B 、，即4AB =，当0x =时，由=15y -即点()0,15C -，∴四边形DACB 的面积1141241524305422ABD ABC S S =+=+创=+=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．22．(1)点C 与水平桌面的距离为20cm 4+(2)支架不会倾倒【分析】（1）过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ，由题意得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，解Rt BFC △求出cm 4CF =，则20cm 4CE CF EF +=+=；（2）过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．先解Rt CDH △求出14.1cm CH FK ==，再解在Rt BFC △求出9.25cm BF =，即可得到 4.85cm BK =，由此即可得到答案．【详解】（1）解：过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ．由题意可得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，在Rt BFC △中，906018.5cm BFC CBF BC ∠=︒∠=︒=，，，∴sin sin 602CF CBF BC ∠==︒=，即3722CF =，∴CF =∴CE CF EF =+=，∴此时点C与水平桌面的距离为20cm 4．（2）解：过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．由题意可知，在Rt CDH △中，90CDH ∠=︒，20DCH ∠=︒，15cm CH FK CD ==，，∴cos CH DCH CD ∠=，即0.9415CH =∴14.1cm CH FK ==，在Rt BFC △中90BFC ∠=︒，60CBF ∠=︒，18.5cm BC =，∴cos BF CBF BC ∠=，即1218.5BF =，∴9.25cm BF =，∴ 4.85cmBK KF BF CH BF =-=-=∵ 4.855BK =<，∴支架不会倾倒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ABD DCE ∽△△，得到BAD CDE ∠=∠，根据ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，即可证明60ADE B ︒∠=∠=；（2）联结AF ，先证明ADF △是等边三角形，得到60AFD ︒∠=，进而证明AEF DEC ∽△△，AED FEC △∽△，从而得到60FCA ADF ︒∠=∠=，180B FCB ︒∠+∠=，即可证明CF AB ∥．【详解】（1）证明：∵ABC 是等边三角形，∴60B ACB ︒∠=∠=，AB BC=∵BC CE BD DC = ，∴BC BD DC CE=∴AB BD DC CE =，∴ABD DCE ∽△△，∴BAD CDE ∠=∠，∵ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，∴60ADE B ︒∠=∠=；（2）证明：如图，联结AF ，∵DF AD =，且60ADF ︒∠=，∴ADF △是等边三角形，∴60AFD ︒∠=，∵60AFD ACB ∠=∠=︒，AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC =，∴AE DE EF EC=，又∵AED FEC ∠=∠，∴AED FEC △∽△，∴60FCA ADF ︒∠=∠=，∵60B ︒∠=，120FCB FCA ACB ︒∠=∠+∠=，∴180B FCB ︒∠+∠=，∴CF AB ∥．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，根据题意添加适当辅助线是解题关键，24．(1)239344y x x =-++(2)①922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；②()33P ，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H ，根据三线合一的性质，得出PH HE =，再根据平行线的判定，得出CH OB ∥，再根据平行线的性质，得出HCE CBO ∠=∠，再根据正切的定义，得出34EH OC CH OB ==，然后设4CH k =，则3PH EH k ==，再根据线段之间的数量关系，得出33PD k =+，进而得出点P 坐标为()433k k +，，再把点P 的坐标代入239344y x x =-++，计算即可得出点P 的坐标；②根据相似三角形的判定，得出PFB BAC ∽，再根据两点之间的距离和勾股定理，得出5AB BC ==，再根据相似三角形的性质，得出PF PB =，再根据三线合一的性质，得出12FD BD FB ==，然后设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >，再根据正切的定义，得出tan tan CAB BFP ∠=∠，进而得出23934434x x x-++=-，解出即可得出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++经过点()()1,04,0A B -、∴可得：0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得39,44a b =-=，∴239344y x x =-++；（2）解：①如图，过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H，∵CP CE =，CH PE ⊥，∴PH HE =，∵()0,3C ，()4,0B ，∴3OC =，4OB =，∵CH PD ⊥，PD OB ⊥，∴CH OB ∥，∴HCE CBO ∠=∠，∴tan tan HCE CBO ∠=∠，∴34EH OC CH OB ==，设4CH k =，则3PH EH k ==，∴33PD HD HP OC HP k =+=+=+，∴点P 坐标为()433k k +，，又∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，∴()()2393344344k k k +=-⨯+⨯+，解得：12k =，0k =（舍去），∴14422k =⨯=，19333322k +=+⨯=，∴92,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．②如图，∵PF AC ∥，∴CAB PFB ∠=∠，又∵BPF CBA ∠=∠，∴PFB BAC ∽，∵()415AB =--=，5BC ==，∴5AB BC ==，∴PF PB =，又∵PD OB ⊥，∴12FD BD FB ==，∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >．∵CAB BFP ∠=∠，∴tan tan CAB BFP ∠=∠，∴3PD CO FD AO==．即23934434x x x-++=-，解得：3x =，4x =（舍去），∴223939333334444x x -++=-⨯+⨯+=，∴()3,3P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三线合一的性质、平行线的判定与性质、正切的定义、坐标与图形、解一元二次方程、两点之间的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．25．(1)见解析(2)①60︒或45︒【分析】（1）由菱形的性质和平角的性质得180ABC BAD ∠+∠=︒，180BFE AFB ∠+∠=︒，已知ABC BFE ∠=∠，等量代换得AFB BAD ∠=∠，公共角ABF DBA ∠=∠，即可得证；（2）①设ABD α∠=，由菱形的性质2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，由（1）ABF ABD ∽，根据相似三角形的性质得ADB BAF α∠=∠=，故3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，根据菱形的性质易得ABF CBF ≌，再由全等三角形的性质得BCF BAF α∠=∠=，再分情况讨论当CEF △为直角三角形时，ABC ∠的大小；②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、，由菱形的性质得AC BD ⊥，根据直角三角形的性质得90BCO OBC ∠+∠=︒，由DE CF ⊥，得90DEC FCE ∠+∠=︒，根据相似三角形的性质和菱形的性质得FCE FAB OBC ∠=∠=∠，由等角的余角相等得DEC BCO ∠=∠，由等角对等边及平行线分线段成比例可得四边形AECD 为等腰梯形，易得FEC BAD ∠=∠，EF EC =，由DE FC ⊥，可得DC DF BC ==，设设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，由相似三角形的性质解得BF ，由菱形的性质求得BO ，即可求解．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，又 180BFE AFB ∠+∠=︒且ABC BFE ∠=∠，∴AFB BAD ∠=∠．又ABF DBA ∠=∠，∴ABF DBA ∽△△．（2）解：①设ABD α∠=，四边形ABCD 是菱形，∴AB AD =，BD 平分ABC ∠．∴ADB ABD α∠=∠=，CBD ABD α∠=∠=，∴2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，ABF ABD ∽，∴ADB BAF α∠=∠=，∴3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，BA BC =，CBD ABD ∠=∠，BF BF =，∴ABF CBF ≌，∴BCF BAF α∠=∠=，在CEF △中，BCF αÐ=，3AEC α∠=，故1804EFC α∠=︒-，CEF △是直角三角形，∴有以下三种可能的情形：一、90BCF α∠==︒，此时2180ABC α∠==︒，不符合题意，应舍去；二、390AEC α∠==︒，此时260ABC α∠==︒；三、180490EFC α∠=︒-=︒，此时490α=︒，245ABC α∠==︒；综上所述，当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小为60︒或45︒．②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴90BCO OBC ∠+∠=︒，DE CF ⊥，∴90EGC ∠=︒，∴90DEC FCE ∠+∠=︒，ABF ABD ∽，∴ADB FAB OBC ∠=∠=∠，∴FCE FAB OBC ∠=∠=∠，∴DEC BCO ∠=∠，∴HE HC =．AD BC ∥，∴HEHCDE AC =，∴DE AC =，∴四边形AECD 为等腰梯形．∴FEC ECD ∠=∠．又 BAD ECD ∠=∠，∴FEC BAD ∠=∠．又 CFE ECF ∠=∠，∴EF EC =．又 DE FC ⊥，∴DC DF BC ==，设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，ABF ABD ∽，∴BF AB AB BD=，即111x x =+，解得BF =，∴11122BO OD BD ⎫===⨯=⎪⎪⎝⎭∴1cos 4BO ABD AB +∠==．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。

徐汇区一模初三数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 18，则a1 + a2 + a3 =（）A. 9B. 10C. 11D. 123. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C=（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 3/xD. y = x^35. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根分别为x1和x2，则x1 + x2 =（）A. 5B. -5C. 6D. -66. 已知正方形的对角线长为10cm，则该正方形的周长为（）A. 20cmB. 25cmC. 30cmD. 40cm7. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为（）A. （3，2）B. （2，3）C. （-3，-2）D. （-2，-3）8. 下列命题中，正确的是（）A. 所有的等腰三角形都是等边三角形B. 所有的平行四边形都是矩形C. 所有的直角三角形都是等腰三角形D. 所有的等腰三角形都是直角三角形9. 若二次函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 010. 在平面直角坐标系中，点P（2，-3）到直线y = 2x的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为______。

12. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，则△ABC的面积是△ABC外接圆半径的______倍。

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷详细解析

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该函数图象有最高点（1，﹣2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．2．如图，AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF＝B．EF＝C．CD＝D．BF＝【解答】解：∵AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF＝，∴BF＝BD+DF＝，故选：D．3．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x，∵AP2＝BP•AB，∴x2＝（1﹣x）×1解得x1＝，x2＝（舍去）．∴AP：AB＝．故选：A．4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，那么下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．cot A＝D．tan A＝【解答】解：如图，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB＝＝＝4，∴cos A＝＝，故选：B．5．跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A．200米B．400米C．米D．米【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，故选：D．6．下列命题中，假命题是（）A．凡有内角为30°的直角三角形都相似B．凡有内角为45°的等腰三角形都相似C．凡有内角为60°的直角三角形都相似D．凡有内角为90°的等腰三角形都相似【解答】解：A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题；D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选：B．二、填空题7．计算：2sin60°﹣cot30°•tan45°＝0．【解答】解：原式＝2×﹣×1＝﹣＝0．故答案为：0．8．如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．9．如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是：2．【解答】解：∵两个相似三角形的对应高比是：2，∴它们的相似比是：2，故答案为：：2．10．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 1.6．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案为：1.6．11．已知二次函数y＝2（x+2）2，如果x＞﹣2，那么y随x的增大而增大．【解答】解：∵y＝2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣2，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故答案为：增大．12．同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是28米．【解答】解：设铁塔高度为x，有＝，解得：x＝28，答：铁塔的高是28米，故答案为：28．13．一山坡的坡度i＝1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是50米．【解答】解：设坡面的铅直高度为x米，∵山坡的坡度i＝1：3，∴坡面的水平宽度为3x米，由勾股定理得，（3x）2+x2＝（50）2，解得，x＝50，则他上升的高度是50米，故答案为：50．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB＝6，AC＝4，BC＝5，AD＝2，AE＝3，那么DE的长是．【解答】解：∵＝，，∴，且∠DAE＝∠BAC，∴△AED∽△ABC，∴，∴DE＝BC＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是．【解答】解：作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∴CM＝＝＝，∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴＝，即＝，解得：EF＝；故答案为：．16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，BD＝2，CD＝6，那么tan C＝．【解答】解：∵BD＝2，CD＝6，∴BC＝BD+CD＝8，∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，∴△ABD∽△CBA，∴＝＝，∴AB2＝BD×BC＝2×8＝16，∴AB＝4，∵AD⊥AC，∴tan C＝＝＝＝；故答案为：．17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中△ABC的中线BD、CE 互相垂直于点G，如果BD＝9，CE＝12，那么D、E两点间的距离是5．【解答】解：连接DE，设BD、CE交于点P，如图所示：∵△ABC的中线BD、CE互相垂直，∴DE是△ABC的中位线，∠BPC＝90°，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴＝＝＝，∴PC＝CE＝×12＝8，PB＝BD＝×9＝6，∴BC＝＝＝10，∴DE＝5；故答案为：5．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，∴3×4＝5BF，∴BF＝∴AF＝＝＝，∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，∴A'C＝AC﹣AA'＝，∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EA'C，∴A'E＝EC，且EH⊥AC，∴A'H＝HC＝A'C＝，∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，∴△EHC∽△ABC，∴∴∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，故答案为：．三、解答题19．已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则＝＝1；（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：x…01234…y…30﹣10m…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；（2）由题意可得，点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，，得，所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），故△ABC的面积是：＝3．21．如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）【解答】解：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∵∠D＝90°，∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，∴AD＝BD，∵AC＝200，∴BD﹣BD＝200，∴BD＝＝100（+1），∴BC＝BD＝100（+1）×≈386米，答：此时游轮与灯塔C的距离为386米．22．如图，在△ABC中，AD、BE是△ABC的角平分线，BE＝CE，AB＝2，AC＝3．（1）设＝，＝，求向量（用向量、表示）（2）将△ABC沿直线AD翻折后，点B在边AC上的点F重合，联结DF，求S△CDF：S的值．△CEB【解答】解：（1）∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠C，∵∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴AB2＝AE•AC，∴AE＝，∴AE＝AC，∵＝+，∴＝+，∴＝+，∴＝+＝﹣++＝﹣．（2）∵AD平分∠BAC，∴＝＝，由翻折可知：∠ABC＝∠AFD，∵∠ABC＝2∠C，∴∠AFD＝2∠C，∵∠AFD＝∠FDC+∠C，∴∠FDC＝∠C，∵∠EBC＝∠C，∴∠FDC＝∠EBC，∴DF∥BE，∴△CFD∽△CEB，∴＝（）2＝．23．如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．（1）求证：FH•AC＝HG•AB；（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．【解答】（1）证明：∵AB＝3AD，BF＝FG＝CG，∴＝＝，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BCA，∴∠C＝∠DGB，同理可得：∠B＝∠EFC，∴△FGH∽△BCA，∴＝，∴FH•AC＝HG•AB；（2）如图所示：连接DF、EG、DE，∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴DE＝FG，DE∥BC，∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF∥EG，∴∠DFE＝∠GEF，∴∠FHG＝∠HDF+∠DFH＝∠HDF+∠GEF，∵△FGH∽△BCA，∴∠BAC＝∠FHG，∴∠BAC＝∠FDG+∠GEF．24．如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x 轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4的顶点为C，∴点C（0，4）∴OC＝4，∵tan B＝4＝，∴OB＝1，∴点B（1，0）设点D坐标（a，b）∴新抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）∴解得：∴点D坐标（﹣1，）（2）如图1，过点D作DH⊥OC，∵点D坐标（﹣1，）∴新抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2+，当y＝0时，0＝﹣（x+1）2+，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），∴AO＝3，∴，∵点D坐标（﹣1，）∴DH＝1，HO＝，∴CH＝OH﹣OC＝，∴，∴，且∠AOC＝∠DHC＝90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO＝∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠ACO+∠ACE＝∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝180°∴∠ECO＝∠ECH＝90°＝∠AOB，∴EC∥AO，∴点E纵坐标为4，∴4＝﹣（x+1）2+，∴x1＝﹣2，x2＝0，∴点E（﹣2，4），（3）如图2，∵点E（﹣2，4），点C（0，4），点A（﹣3，0），点B（1，0），点D坐标（﹣1，）∴DE＝DC＝，AC＝＝＝5，AB＝3+1＝4，∴∠DEC＝∠DCE，∵EC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，∴∠DEC＝∠CAB，∵△DEF和△ABC相似∴或，∴或∴EF＝或∴点F（﹣，4）或（，4）设平移后解析式为：y＝﹣（x+1﹣c）2+4，∴4＝﹣（﹣+1﹣c）2+4或4＝﹣（+1﹣c）2+4，∴c1＝，c2＝∴平移后解析式为：y＝﹣（x+）2+4或y＝﹣（x﹣）2+4，25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，∵S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BM，∴BM＝＝，∴AM＝＝＝，∴cos A＝＝．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，∴AK＝CK＝，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，∴△ADK∽△CDA，∴＝＝＝＝，设AD＝m，DK＝n，则有，解得m＝，n＝．∴AD＝．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝．。

徐汇一模数学试卷初三上册

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，2），且与y轴的交点为B（0，-3），则该函数的解析式为（）A. y=2x-3B. y=-3x+2C. y=3x-2D. y=-2x+32. 若x+y=5，则x²+y²的最小值为（）A. 20B. 25C. 30D. 353. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=30°，则∠ABC的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°4. 若a、b、c、d是等差数列，且a+b+c+d=20，则d的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则第n项an=（）A. 2×3^(n-1)B. 2×3^nC. 2×(3/2)^(n-1)D. 2×(3/2)^n6. 若一个正方形的边长为a，则其对角线的长度为（）A. aB. √2aC. 2aD. a/√27. 已知直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，则AB：AC：BC=（）A. 1：√3：2B. 1：2：√3C. √3：1：2D. 2：√3：18. 若一个圆的半径为r，则其面积为（）A. πr²B. 2πr²C. 4πr²D. 8πr²9. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，则其两个根之和为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 若两个事件A、B满足P(A∩B)=0.2，P(A)=0.4，则P(B)的值为（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4二、填空题（每题5分，共20分）11. 若一个数的平方等于4，则这个数是______和______。

12. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则第n项an=______。

徐汇一模初三数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(2)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 102. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点为（）A. (-2,3)B. (2,-3)C. (-2,-3)D. (2,3)3. 若等腰三角形底边长为8，腰长为10，则其面积为（）A. 40B. 48C. 50D. 644. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和点(2,5)，则该函数的解析式为（）A. y = 2x + 1B. y = 2x + 3C. y = 3x + 1D. y = 3x + 35. 下列各组数中，能构成直角三角形的三边长为（）A. 3, 4, 5B. 5, 12, 13C. 6, 8, 10D. 7, 24, 256. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，那么x1 + x2的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)到直线y = 2x + 1的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 下列函数中，有最小值的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = x^3D. y = -x^39. 在等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，那么a10的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 3210. 若x^2 + 2x + 1 = 0，则x的值为（）A. 1B. -1C. 0D. ±1二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知a > b，则a - b的值一定（）A. 大于0B. 小于0C. 大于或等于0D. 小于或等于012. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，底边BC长为6，那么顶角A的度数为（）13. 已知一次函数y = kx + b的图象与x轴的交点为(2,0)，则该函数的解析式为（）14. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)到原点O的距离为（）15. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，那么x1 x2的值为（）16. 在等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，那么a5的值为（）17. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x的值为（）18. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)到直线y = -2x + 5的距离为（）19. 下列函数中，有最大值的是（）20. 在等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，那么a5的值为（）三、解答题（共40分）21. （10分）已知一次函数y = kx + b的图象经过点A(1,2)和B(3,6)，求该函数的解析式。

2021-2022学年上海市徐汇区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市徐汇区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 将抛物线y =(x −1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是( )A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−1)D. (1,5) 2. 两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，AB =25，CD =17.保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转a(0<α<90°)，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上(如图3)时，tanα的值等于( ) A. 725 B. 825 C. 724 D. 1725 3. 已知二次函数y =ax 2+bx +1(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(−1,0)，若a +b 为整数，则ab 的值为( )A. −2B. 1C. −34D. −14 4. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2√3米，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )A. √33，60° B. √3，30° C. √3，60° D. √33，30° 5. 下列说法中不一定正确的是( )A. 所有的等腰直角三角形都相似B. 所有等边三角形相似C. 所有矩形相似D. 直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似6. 已知P 1(−3,y 1)，P 2(−3,y 2)是一次函数y =2x −b 的图象上的两个点，则y 1、y 2的大小关系是( ) A. y 1<y 2 B. y 1=y 2 C. y 1>y 2 D. 不能确定二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知a2=b3(a≠0,b≠0)，则ab=______．8.如图，l1//l2//l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=2，AC=5，DE=4，则EF的长为______．9.设点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP)，AB=2厘米，那么线段BP的长是______ 厘米．10.直线y=3kx+2(k−1)与抛物线y=x2+2kx−2在−1≤x≤3范围内有唯一公共点，则k的取值为______．11.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6且AE=2EB.则圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长为______ ．12.某滑雪运动员沿着坡比为1：3的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为______米．13.如图，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端B点、C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为______米(结果可以保留根号)．14.在△ABC中，AB=5，AC=6，∠A=60°，则S△ABC=______ ．15.如图，已知⊙O中，弦AC、BD相交于点P，AB=5，AP=3，DP=2，则CD=．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E.若AC=2，BC=4，则AE的长为______．17.小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是______．18.如图，直线l1//l2，则S△ABC______S△DBC.(填“>““=”或“<”)三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处(点A、B、C在同一直线上).某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点(点A、B、C、D、E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i=1：2.4．(1)求斜坡DE的高EH的长；(2)求信号塔AB的高度．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）tan260°+cos30°−sin30°．20.计算：cos60°−sin245°+1421.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若AC=2√5，CD=2，求⊙O的直径．x2−x+5．22.已知抛物线y=12(l)求该抛物线的顶点坐标；(2)判断点P(−2,5)是否落在图象上，请说明理由．23.已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB⏜上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．(1)如图，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；(2)当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；(3)联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(−1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，求直线BC的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25. 如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=AB⋅AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．(1)如图2，若四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且∠DCB=∠DAB，则∠DAB=______°.(2)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长？参考答案及解析1.答案：C解析：解：抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)．故选：C．先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2.答案：C解析：解：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠DOB，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠DBO+∠OGB=90°，∵∠OGB=∠AGE，∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC，如图3中，设AC=x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴x2+(x+17)2=252，解得x=7，∴BC=√AB2−AC2=24，∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，∴∠α=∠ABC，∴tanα=tan∠ABC=ACBC =724．故选：C．如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据三角函数的定义即可解决问题．本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．3.答案：D解析：解：依题意知a<0，−b2a>0，a−b+1=0，故b>0，且b=a+1，a+b=a+(a+1)=2a+1，于是−1<a<0，∴−1<2a+1<1又a+b为整数，∴2a+1=0，故a=−12，b=12，ab=−14，故选：D．首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a+b为整数确定a、b的值，从而确定答案．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a−b+1的值和a、b的符号，难度中等．4.答案：C解析：本题是解直角三角形的实际应用，是各地中考的热点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．过B作BE⊥AD于E点，过C作CF⊥AD于F点，根据直角三角形的性质求出AE的长，便可求出拦水坝斜坡的坡度和坡角．解：过B作BE⊥AD于E点，过C作CF⊥AD于F点，已知AD=10m，BC=6m，∴AE=DF=2m又∵BE=2√3，=√3，tan∠BAE=BEAE∴∠BAE=60°．故选C．5.答案：C解析：解：A、所有的等腰直角三角形都相似，一定正确，不符合题意；B、所有等边三角形相似，正确，不符合题意；C、所有矩形不一定相似，错误，符合题意；D、直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似，正确，不符合题意．故选C．根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边的比相等的多边形相似，难度不大．6.答案：B解析：解：∵P1(−3,y1)，P2(−3,y2)是一次函数y=2x−b的图象上的两个点，∴y1=−6−b，y2=−6−b，∵−6−b=−6−b，∴y1=y2．故选：B．把这两个点分别代入函数解析式即可求得相应的y值，然后比较大小即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时把点P1、P2的坐标代入，分别求得y值，然后比较其大小．当然了，利用了一次函数图象的增减性解题．7.答案：23解析：解：∵a 2=b 3(a ≠0,b ≠0)，∴a b =23．故答案为23．交换内项即可．本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质．8.答案：6解析：解：∵l 1//l 2//l 3，∴AB AC =DE DF ，即25=4DF ， ∴DF =10，∴EF =DF −DE =10−4=6．故答案为6．根据平行线分线段成比例定理得到AB AC =DE DF ，则可求出DF 的长，然后计算DF −DE 即可．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 9.答案：(√5−1)解析：解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP <BP ，∴BP =√5−12AB =(√5−1)厘米．故答案为：(√5−1)．根据黄金比是√5−12进行计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(√5−12)叫做黄金比． 10.答案：1<k ≤95或k =0解析：解：联立{y =3kx +2(k −1)y =x 2+2kx −2．得：3kx +2(k −1)=x 2+2kx −2，即，x 2=kx +2k ，可以看成是{y =x 2y =kx +k 联立而成的两个函数，∵y =kx +2=k(x +2)，∴当x +2=0时，此函数必过定点(−2,0)，即过(−2,0)，(−1,1)的直线l 1与过(−2,0)，(3,9)的直线l 2间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，将(−1,1)代入y =kx +2k 得1=−k +2k ，解得，k =1，将(3,9)代入y =kx +2k 得，9=3k +2k ，解得，k =95，当k =1时，直线直线与抛物线在−1≤x ≤3内有两个交点，∴k ≠1，∴1<k ≤95，当k =0时，直线为y =−2，抛物线为y =x 2−2，此时，在−1≤x ≤3范围内有唯一公共点，故答案为：1<k ≤95或k =0．联立方程组{y =3kx +2(k −1)y =x 2+2kx −2得到x 2=kx +2k ，看成是{y =x 2y =kx +2k 联立而成的两个函数，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生的综合压轴题的水平． 11.答案：32或6解析：解：∵AD//BC ，∴△EBF∽△EAD，∴EF10=36=BF8，∴EF=5，BF=4，如图1，若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左侧，过点O1作O1G1⊥DF于G1，则可设O1G1=O1B=r1，∵S△EO1F+S△EBO1=S△EBF，∴12r1×5+12r1×3=12×3×4，解得：r1=32，若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2⊥DF于G2，则可设O2G2=O2B=r2，∵S△FO2D=12FO2×DC=12DF×O2G2，∴12×(4+r2)×(6+3)=12×(10+5)×r2，解得：r2=6，即满足条件的圆的半径为32或6；故答案为：32或6．分两种情况讨论：若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左侧，过点O1作O1G1⊥DF于G1，若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2⊥DF于G2，求出即可．此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．12.答案：10√10解析：解：设运动员下降的垂直高度为x米，∵斜坡的坡比为1：3，∴他水平前进了3x米，由勾股定理可得：x2+(3x)2=1002，∵x>0，∴x=10√10，即运动员下降的垂直高度10√10米，故答案为：10√10．根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．13.答案：4√3解析：解：在Rt△ACD中，∵∠CAD=∠BAD−∠BAC=60°−30°=30°，∴AD=AC⋅cos30°，∴AC=ADcos30∘=6√32=4√3．∵∠BAC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠BAC=30°，∴BC=AC=4√3．答：条幅的高度BC为4√3米．故答案为4√3．在Rt△ACD中，利用三角函数关系求出AC，再根据已知得出∠ABC=∠BAC=30°，从而求出BC的长度．本题考查了解直角三角形的应用，利用已知角度，发现隐含条件，这是本部分重点题型．14.答案：15√32解析：解：作BD⊥AC于点D．∵在直角△ABD中，sinA=BDAB，∴BD=AB⋅sinA=5×sin60°=5×√32=5√32，则S△ABC=12AC⋅BD=12×6×5√32=15√32．故答案是：15√32．作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数即可求得BD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．本题考查了三角函数，正确作出辅助线，求得高线BD的长是关键．15.答案：103解析：试题分析：利用“角角相等”证得△ABP∽△CDP ；然后根据相似三角形的对应边成比例列出比例式AB DC =APDP ；最后将已知线段的长度代入该比例式即可求得线段CD 的长度．∵∠ABD =∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，∠APB =∠CPD(对顶角相等)， ∴△ABP∽△DCP ，∴ABDC =APDP ，又AB =5，AP =3，DP =2，∴5DC =32，解得DC =103，即CD =103．故答案是：103．16.答案：√5解析：解：∵∠ACB =90°，CD 为AB 边上的中线，∴AD =CD =BD ，∴∠ACD =∠CAD ，∠DCB =∠B ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAE +∠ACD =∠B +∠CAD =90°，∴∠CAE =∠B ，∴tan∠CAE =tanB ，∴CE AC =AC BC ，∴CE2=24， ∴CE =1，∴AE =√AC 2+CE 2=√22+12=√5，故答案为：√5．根据直角三角形的性质得到AD =CD =BD ，根据等腰三角形的性质得到∠ACD =∠CAD ，∠DCB =∠B ，根据余角的性质得到∠CAE =∠B ，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17.答案：45°解析：解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB=22.5°×2=45°；故答案为45°；根据折叠的轴对称性，180°的角对折3次，求出每次的角度即可；本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．18.答案：=解析：解：∵直线l1//l2，∴直线l1、l2之间的距离是相等的，∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，∴△ABC和△DBC的面积相等，故答案为：=．根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC和△DBC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等．此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，掌握夹在平行线间的距离处处相等是解题的关键．19.答案：解：(1)过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，DE=65米，CD=60米，∴设EH=x，则DH=2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2=DE2，即x2+(2.4x)2=652，解得，x=25(米)(负值舍去)，∴EH=25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；(2)∵DH=2.4x=60(米)，∴CH=DH+DC=60+60=120(米)．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM=CH=120米，CM=EH=25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM=37°，∴AM=EM⋅tan37°≈120×0.75=90(米)，∴AC=AM+CM=90+25=115(米)．∴AB=AC−BC=115−92=23(米)．答：信号塔AB的高度为23米．解析：(1)过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4可设EH=x，则DH=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；(2)结合(1)得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM是矩形，故可得出EM=HC，CM=EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20.答案：解：原式=12−(√22)2+14×(√3)2+√32−12=12−12+14×3+√32−12=34+√32−12=14+√32．解析：直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．21.答案：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CF，∴∠ADC=∠OCF=90°，∴AD//OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．(2)解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，在Rt△ADC中，AC=2√5，CD=2，∴AD=4，∴2√5AB =2√5，∴AB=5．解析：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，属于中档题，作出相应辅助线是解题的关键．(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD//OC，得到∠DAC=∠OCA，再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD；(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．22.答案：解：(1)∵抛物线y=12x2−x+5=12(x−1)2+92，∴该抛物线的顶点坐标是(1,92)；(2)点P(−2,5)不落在图象上，理由：当x=−2时，y=12×(−2)2−(−2)+5=9，∴点P(−2,5)不落在图象上．解析：(1)将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；(2)先判断点P是否落在图象上，然后将x=−2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23.答案：解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠ADO=90°−∠OAD=30°．(2)如图2中，作OH⊥AD于H．∵OA=OC，OH⊥AC，∴AH=HC=3，∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，∴△AOH∽△ADO，∴OAAD =AHAO，∴5AD =35，∴AD=253，∴CD=AD−AC=73，∵DE⊥OD，∴∠EDO=90°，∴∠AOD+∠EDO=180°，∴DE//OA，∴DEOA =CDAC，∴DE5=736，∴DE=3518．(3)如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．理由：连接AB、BC．∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∵∠BAC=12∠BOC，∠ABC=12∠AOC，∴∠BCD=12∠BOC+12∠AOC=12(∠BCO+∠AOC)=12×90°=45°．解析：本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题(1)利用矩形的性质，只要证明△OAC是等边三角形，即可解决问题．(2)如图2中，作OH⊥AD于H.由△AOH∽△ADO，推出0AAD =AHA0，推出5AD=35，可得AD=253，CD=AD−AC=73，由DE//OA，可得DEOA=CDAC，求出DE即可．(3)如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°.连接AB、BC，由∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC=12∠BOC，∠ABC=12∠AOC，即可推出∠BCD=12∠BOC+12∠AOC=12(∠BCO+∠AOC)=12×90°=45°．24.答案：解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y =ax 2+bx +4，得到{a −b +4=016a +4b +4=0，解得{a =−1b =3， ∴y =−x 2+3x +4．(2)设BC 的解析式为y =kx +b ，∵B(4,0)，C(0,4)，∴{b =44k +b =0， ∴{k =−1b =4， ∴直线BC 的解析式为y =−x +4．(3)如图1中，由题意A ，B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，连接BC 交直线x =32于点P ，连接PA ，此时PA +PC 的值最小，最小值为线段BC 的长=√42+42=4√2，此时P(32,52).(4)如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，对于抛物线y=−x2+3x+4，当y=4时，x2−3x=0，解得x=0或3，∴N1(3,4)．当y=−4时，x2−3x−8=0，解得x=3±√412，∴N2(3+√412,−4)，N3(3−√412,−4)，综上所述，满足条件的点N的坐标为(3,4)或(3+√412,−4)或(3−√412,−4)．解析：(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)设BC的解析式为y=kx+b把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．(3)可以连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，把问题转化为解方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．25.答案：120解析：(1)解：如图所示：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∵AC2=AB⋅AD，∴AD：AC=AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D=∠4，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，∵∠1+∠D+∠4=180°，∴∠1+2∠1=180°，解得：∠1=60°，∴∠DAB=120°；故答案为：120；(2)证明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB=30°，∴∠D+∠ACD=180°−30°=150°，∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，∴∠D=∠ACB，∴△ADC∽△ACB．∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD，∴四边形ABCD为“可分四边形”；(3)解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC2=AB⋅AD，∠DAC=∠CAB，∴AD：AC=AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D=∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5，∴AD=AC2AB =22√5=8√55．(1)由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+ 2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度数；(2)由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形内角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，证明△ADC∽△ACB.得出对应边成比例，得出AC2=AB⋅AD，即可得出结论；(3)由已知得出AC2=AB⋅AD，∠DAC=∠CAB，证出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的长．此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键，。

中考数学一模试题含解析试题(共32页)

2021年徐汇区中考(zhōnɡ kǎo)数学一模试卷一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． =D． =2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b=．8．点C是线段(xiànduàn)AB延长线的点，=， =，那么=．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF=．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别(fēnbié)在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确(zhǔnquè)到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41，=1.73〕23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y 轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段(xiànduàn)DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2021年徐汇区中考数学(shùxué)一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． =D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的选项是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确(zhèngquè)；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．应选：B．【点评】此题主要考察了比例的性质和应用，要纯熟掌握．2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如下图：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，那么斜边==13x，那么cosα==．应选D．【点评】此题主要考察坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记(shú jì)坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2〔x+1〕2﹣2，应选：C．【点评】此题考察了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的断定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的断定定理进展解答即可．【解答(jiědá)】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．应选D．【点评】此题考察了相似三角形的断定，属于根底题，关键是掌握相似三角形的几种断定定理．5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如下图：由题意(tí yì)得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．应选C．【点评】此题考察理解直角三角形的应用，解答此题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x 的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2〔x﹣1〕2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，应选A．【点评】此题主要考察二次函数(hánshù)的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a〔x﹣h〕2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为〔h，k〕．二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b=6．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，假设b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：假设b是a、c的比例中项，即b2=ac．那么b===6．故答案为：6．【点评】此题主要考察了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么=﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进展解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】此题考察了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=．【考点(kǎo diǎn)】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】此题考察平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】此题考察的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段〔对应中线、对应角平分线、对应边上的高〕的比等于相似比是解答此题的关键．11．假如点P是线段(xiànduàn)AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】此题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC〔AC ＞BC〕，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案(dá àn)为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，那么sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF=．【考点】相似三角形的断定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：按照题意画出图形，如下图．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】此题考察了相似三角形的断定与性质(xìngzhì)、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a〔x2﹣4x+4〕﹣4a=a〔x﹣2〕2﹣4a，那么顶点坐标是〔2，﹣4a〕，那么﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】此题考察了配方法确定函数的顶点坐标，正确进展配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行线之间的间隔(jiàn gé) ；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，那么CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】此题考察了矩形的性质(xìngzhì)、相似三角形的断定与性质、两平行线的间隔以及勾股定理；纯熟掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于O ，假如△BOC 、△ACD 的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是 16 ．【考点】相似三角形的断定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD 的面积为x ，那么△ODC 的面积为4﹣x ．由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，可得=〔〕2，因为=，得到=〔〕2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD 的面积为x ，那么△ODC 的面积为4﹣x ． ∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴=〔〕2，∵=， ∴=〔〕2，解得x=1或者16〔舍弃〕，∵S △ABD =S △ADC =1，∴S △AOB =S △DOC =3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案(dá àn)为16．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想考虑问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是2．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】此题考察了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形(túxíng)中确定直角三角形，假如知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD 中，AB ：BC=2：3，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，点E 是边CD 的中点，CF=2BF ，∠A=120°，过点A 分别作AP ⊥BE 、AQ ⊥DF ，垂足分别为P 、Q ，那么的值是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE 、AF ，过点A 分别作AP ⊥BE 、AQ ⊥DF ，垂足分别为P 、Q ，作DH ⊥BC 于H ，EG ⊥BC 于G ，设AB=2a ．BC=3a ．根据•AP•BE=•DF•AQ ，利用勾股定理求出BE 、DF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE 、AF ，过点A 分别作AP ⊥BE 、AQ ⊥DF ，垂足分别为P 、Q ，作DH ⊥BC 于H ，EG ⊥BC 于G ，设AB=2a ．BC=3a ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠BAD=∠BCD=120°，∴S △ABE =S △ADF =S 平行四边形ABCD ，在Rt △CDH 中，∵∠H=90°，CD=AB=2a ，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案(dá àn)为．【点评】此题考察平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进展代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考察了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移(pínɡ yí)9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】〔1〕首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD =S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：〔1〕抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=〔x﹣2〕2﹣9，那么D的坐标是〔2，﹣9〕．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，那么y=﹣5，那么C的坐标是〔0，﹣5〕，令y=0，那么x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或者5，那么B的坐标是〔5，0〕；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A．那么S△BCD =S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=〔2+5〕×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】此题考察(kǎochá)了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y 轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】〔1〕首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==， =+．〔2〕由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．〔2〕∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】此题考察平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的断定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵敏运用(yùnyòng)所学知识，属于根底题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程(guòchéng)中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】〔1〕首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；〔2〕通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：〔1〕如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60〔海里〕；〔2〕在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4〔海里〕，∴÷≈7.3〔小时〕．答：〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔是60海里；〔2〕假如(jiǎrú)该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是约为7.3小时．【点评】此题考察了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的断定与性质．【分析】〔1〕根据条件得到，根据等腰三角形的断定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；〔2〕由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：〔1〕∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；〔2〕∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】此题考察了相似三角形的断定和性质，纯熟(chúnshú)掌握相似三角形的断定和性质是解题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y 轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点(kǎo diǎn)】二次函数综合题．【分析】〔1〕根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；〔2〕根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；〔3〕运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：〔0，3〕，∵OB=OC，∴点B的坐标为：〔3，0〕，∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕；〔2〕如图1，作DH⊥y轴于H，那么CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；〔3〕﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标(zuòbiāo)为：〔﹣1，0〕，∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，那么，解得，，那么直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，那么(nà me)〔x﹣3〕2+〔3x+3〕2=18，解得，x1=0〔舍去〕，x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为〔﹣，﹣〕．【点评】此题考察的是二次函数的综合运用、相似三角形的断定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接(liánjiē)CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的断定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；〔3〕先根据条件断定四边形BCED是等腰梯形，断定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：〔1〕如下图，过点D作DF∥AC，交BP于F，那么根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3〔3﹣y〕，解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合(bùhé)题意；〔3〕∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】此题属于三角形综合题，主要考察了相似三角形的断定与性质，等腰梯形的断定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造(gòuzào)相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进展求解．在断定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公一共角、公一共边等隐含条件，以充分发挥根本图形的作用．内容总结。

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷-解析版

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知二次函数y=−x2+2x−3，那么下列关于该函数的判断正确的是()A. 该函数图象有最高点(0,−3)B. 该函数图象有最低点(0,−3)C. 该函数图象在x轴的下方D. 该函数图象在对称轴左侧是下降的2.如图，AB//CD//FF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么下列结论正确的是()A. DF=154B. EF=154C. CD=154D. BF=1543.已知，P是线段AB上的点，且AP2=BP⋅AB，那么AP：AB的值是()A. √5−12B. 3−√52C. √5+12D. 3+√524.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是()A. sinA=34B. cosA=45C. cotA=54D. tanA=435.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是()A. 200米B. 400米C. 2003√3米 D. 4003√3米6.下列命题中，假命题是()A. 凡有内角为30°的直角三角形都相似B. 凡有内角为45°的等腰三角形都相似C. 凡有内角为60°的直角三角形都相似D. 凡有内角为90°的等腰三角形都相似二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2sin60°−cot30°⋅tan45°=______．8.如果线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段a、c的比例中项b=______厘米．9.如果两个相似三角形的对应高比是√3：2，那么它们的相似比是______．10.四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似图形，点A、B、C、D分别与A′、B′、C′、D′对应，已知BC=3，CD=2.4，B′C′=2，那么C′D′的长是______．11.已知二次函数y=2(x+2)2，如果x>−2，那么y随x的增大而______．12.同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是______米．13.一山坡的坡度i=1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50√10米到达点N处，那么他上升的高度是______米．14.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=6，AC=4，BC=5，AD=2，AE=3，那么DE的长是______．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是______．16.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，那么tanC=______．17.我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中△ABC的中线BD、CE互相垂直于点G，如果BD=9，CE=12，那么D、E两点间的距离是______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A′BC′D′，点A的对应点A′在对角线AC上，点C、D分别与点C′、D′对应，A′D′与边BC交于点E，那么BE的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知：a：b：c=2：3：5．(1)求代数式3a−b+c的值；2a+3b−c(2)如果3a−b+c=24，求a，b，c的值．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.2x…01234…y…30−10m…(2)设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．21. 如图，一艘游艇在离开码头A 处后，沿南偏西60°方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离(精确到1米)．(参考数据：√2=1.414，√3=1.732，√6=2.449)22. 如图，在△ABC 中，AD 、BE 是△ABC 的角平分线，BE =CE ，AB =2，AC =3．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，求向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ (用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示) (2)将△ABC 沿直线AD 翻折后，点B 在边AC 上的点F重合，联结DF ，求S △CDF ：S △CEB 的值．23. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F ，G 分别在AB 、AC 、BC上，AB =3AD ，CE =2AE ，BF =FG =CG ，DG 与EF 交于点H ．(1)求证：FH ⋅AC =HG ⋅AB ；(2)联结DF ，EG ，求证：∠A =∠FDG +∠GEF ．x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线24.如图，将抛物线y=−43与x轴正半轴交于点B，联结BC，tanB=4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．(1)求点D的坐标；(2)设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，(3)在(2)的条件下，将抛物线y=−43当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．25.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是边AB上的动点(点D不与点AB重合)，点G在边AB的延长线上，∠CDE=∠A，∠GBE=∠ABC，DE与边BC交于点F．(1)求cos A的值；(2)当∠A=2∠ACD时，求AD的长；(3)点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y =−x 2+2x −3=−(x −1)2−2，∴该函数图象有最高点(1,−2)，故选项A 错误，选项B 错误；该函数图象在x 轴下方，故选项C 正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D 错误；故选C ．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理计算后判断即可．【解答】解：∵AB//CD//FF ，AC =2，AE =5，BD =1.5， ∴AC CE =BD DF，即25−2=1.5DF ，解得：DF =94，∴BF =BD +DF =94+32=154，故选D ．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了黄金分割、解决本题的关键是利用一元二次方程解决问题．根据黄金分割定义即可求解．【解答】解：设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1−x ， ∵AP 2=BP ⋅AB ，∴x 2=(1−x)×1 解得x 1=√5−12，x 2=−1−√52(舍去)．∴AP：AB=√5−12．故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，∵∠B=90°，BC=3，AC=5，∴AB=√AC2−BC2=√52−32=4，∴cosA=ABAC =45，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是200sin60∘=400√33，故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断．【解答】解：A.凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；B.凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C.凡有内角为60°的直角三角形都相似，所以C选项的命题为真命题；D.凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选B．7.【答案】0【解析】【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】−√3×1解：原式=2×√32=√3−√3=0．故答案为0．8.【答案】6【解析】【分析】根据比例中项的定义得到a：b=b：c，然后利用比例性质计算即可．本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b=b：c，即4：b=b：9，∴b2=36，解得：b=±6(负值舍去)．故答案为：6．9.【答案】√3：2【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形的对应高比是√3：2，∴它们的相似比是√3：2，故答案为√3：2．10.【答案】1.6【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B′C′=2，∴C′D′=1.6，故答案为1.6．11.【答案】增大【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．【解答】解：∵y=2(x+2)2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x=−2，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x>−2时，y随x的增大而增大，故答案为增大．12.【答案】28【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．根据成比例关系可知，旗杆高比上旗杆的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案．【解答】解：设铁塔高度为x，有129=x21，解得：x=28，答：铁塔的高是28米，故答案为28．13.【答案】50【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．设坡面的铅直高度为x米，根据坡度的概念用x表示出坡面的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设坡面的铅直高度为x米，∵山坡的坡度i=1：3，∴坡面的水平宽度为3x米，由勾股定理得，(3x)2+x2=(50√10)2，解得，x=50，则他上升的高度是50米，故答案为50．14.【答案】52【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．通过证明△AED∽△ABC，可得DEBC =ADAC=12，即可求解．【解答】解：∵ADAC =24=12，AEAB=36=12，∴ADAC =AEAB，且∠DAE=∠BAC，∴△AED∽△ABC，∴DEBC =ADAC=12，∴DE=12BC=52，故答案为52．15.【答案】2√57【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理得出AB=√22+12=√5，由面积法求出CM=AC×BC AB =2√55，证明△CGF∽△CAB，得出CNCM=GFAB，即可得出答案．【解答】解：作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=√22+12=√5，∴CM=AC×BCAB =√5=2√55，∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF=EF=MN，GF//AB，∴△CGF∽△CAB，∴CNCM =GFAB，即2√55−EF2√55=√5，解得：EF=2√57；故答案为2√57．16.【答案】12【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明△ABD∽△CBA，得出ADAC =ABBC=BDAB，求出AB=4，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：∵BD=2，CD=6，∴BC=BD+CD=8，∵∠B=∠B，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CBA，∴ADAC =ABBC=BDAB，∴AB2=BD×BC=2×8=16，∴AB=4，∵AD⊥AC，∴tanC=ADAC =ABBC=48=12；故答案为12．17.【答案】5 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．连接DE ，证明DE 是△ABC 的中位线，得出DE =12BC ，DE//BC ，证明△GDE∽△GBC ，得出GD GB =GE GC =DE BC =12，求出GC =8，GB =6，由勾股定理得出BC =√GC 2+GB 2=10，即可得出答案．【解答】解：连接DE ，如图所示：∵△ABC 的中线BD 、CE 互相垂直，∴DE 是△ABC 的中位线，∠BGC =90°， ∴DE =12BC ，DE//BC ，∴△GDE∽△GBC ，∴GDGB =GE GC=DE BC =12， ∴GC =23CE =23×12=8，GB =23BD =23×9=6，∴BC =√GC 2+GB 2=√82+62=10，∴DE =5；故答案为5．18.【答案】258【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键．如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC =5，由面积法可求BF =125，由勾股定理可求AF =95，由旋转的性质可得AB =BA′，∠BAD =∠BA′D′=90°，可求A′C =75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC∽△ABC ，可得BC AC =HC EC ，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，∵AB=3，AD=4，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√9+16=5，∵S△ABC=12AB×BC=12AC×BF，∴3×4=5BF，∴BF=125，∴AF=√AB2−BF2=√9−14425=95，∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A′BC′D′，∴AB=BA′，∠BAD=∠BA′D′=90°，且BF⊥AC，∴∠BAC=∠BA′A，AF=A′F=95，∠BA′A+∠EA′C=90°，∴A′C=AC−AA′=75，∵∠BA′A+∠EA′C=90°，∠BAA′+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EA′C，∴A′E=EC，且EH⊥AC，∴A′H=HC=12A′C=710，∵∠ACB=∠ECH，∠ABC=∠EHC=90°，∴△EHC∽△ABC，∴BCAC=HCEC∴45=710EC∴EC=78，∴BE=BC−EC=4−78=258，故答案为258．19.【答案】解：∵a：b：c=2：3：5，∴可设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，(1)3a−b+c2a+3b−c =6k−3k+5k4k+9k−5k=1；(2)∵3a−b+c=24，∴6k −3k +5k =24，解得k =3．则a =2k =6，b =3k =9，c =5k =15．【解析】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便．(1)根据比例设a =2k ，b =3k ，c =5k(k ≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解；(2)先设a =2k ，b =3k ，c =5k(k ≠0)，然后将其代入3a −b +c =24，即可求得a 、b 、c 的值．20.【答案】解：(1)由表格可知，该函数有最小值，当x =2时，y =−1，当x =4和x =0时的函数值相等，则m =3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x =2，顶点坐标为(2,−1)，m 的值是3；(2)由题意可得，点B 的坐标为(1,0)，点A 的坐标为(2,−1)，点C 的坐标为(4,3)，设直线AC 的函数解析式为y =kx +b ，{2k +b =−14k +b =3，得{k =2b =−5，所以直线AC 的函数解析式为y =2x −5，当y =0时，0=2x −5，得x =2.5，则直线AC 与x 轴的交点为(2.5,0)，故△ABC 的面积是：(2.5−1)×32+(2.5−1)×|−1|2=3．【解析】(1)根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；(2)根据表格中的数据和题意，可以写出点B 、点A 和点C 的坐标，再求出直线AC 和x 轴的交点，即可得到△ABC 的面积．本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21.【答案】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △BCD 中，∵∠D =90°，∠DBC =45°，∴∠DBC =∠DCB =45°，∴BD =CD ，在Rt △ABD 中，∵∠DAB =30°，∴AD =√3BD ，∵AC =200，∴√3BD −BD =200，∴BD =√3−1=100(√3+1)，∴BC =√2BD =100(√3+1)×√2≈386米，答：此时游轮与灯塔C 的距离为386米．【解析】过B 作BD ⊥AC 于D ，解直角三角形即可得到结论．本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵EB =EC ，∴∠EBC =∠C ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠EBC ，∴∠ABE =∠C ，∵∠BAE =∠CAB ，∴△BAE∽△CAB ，∴AB 2=AE ⋅AC ，∴AE =43， ∴AE =49AC ， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =49a ⃗ +49b ⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +49a ⃗ +49b ⃗ =49b ⃗ −59a ⃗ ．(2)∵AD 平分∠BAC ，∴AB AC =BD DC =23，由翻折可知：∠ABC =∠AFD ，∵∠ABC =2∠C ，∴∠AFD =2∠C ，∵∠AFD =∠FDC +∠C ，∴∠FDC =∠C ，∵∠EBC =∠C ，∴∠FDC =∠EBC ，∴DF//BE ，∴△CFD∽△CEB ，∴S △CFD S △CEB =(CD CB )2=925．【解析】(1)利用相似三角形的性质求出AE ，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角形法则即可解决问题．(2)证明DF//BE ，利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵AB =3AD ，BF =FG =CG ，∴BD BA =BG BC =23，∠B =∠B ，∴△BDG∽△BCA ，∴∠C =∠DGB ，同理可得：∠B =∠EFC ，∴△FGH∽△BCA ，∴FH AB =HGAC ，∴FH ⋅AC =HG ⋅AB ；(2)如图所示：连接DF 、EG 、DE ，∵AD AB =AE AC =13，∠A =∠A ，∴△ADE∽△ABC ，∴DEBC =13， ∴DE =FG ，DE//BC ，∴四边形DEGF 是平行四边形，∴DF//EG ，∴∠DFE =∠GEF ，∴∠FHG =∠HDF +∠DFH =∠HDF +∠GEF ，∵△FGH∽△BCA ，∴∠BAC =∠FHG ，∴∠BAC =∠FDG +∠GEF ．【解析】(1)根据已知条件可得△BGD∽△BCA ，△CEF∽△CAB ，进而可得∠HFG =∠B ，∠HGF =∠C ，可推出△HGF∽△ACB ，即可得结论；(2)连接DE ，可证明DE//BC 且DE =FG ，可得四边形DEGF 是平行四边形，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法并熟练运用．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =−43x 2+4的顶点为C ，∴点C(0,4)∴OC =4，∵tanB =4=OC OB ，∴OB =1，∴点B(1,0)设点D 坐标(a,b)∴新抛物线解析式为：y =−43(x −a)2+b ，且过点C(0,4)，点B(1,0)∴{0=−43(1−a)2+b 4=−43a 2+b 解得：{a =−1b =163∴点D坐标(−1,163)(2)如图1，过点D作DH⊥OC，∵点D坐标(−1,163)∴新抛物线解析式为：y=−43(x+1)2+163，当y=0时，0=−43(x+1)2+163，∴x1=−3，x2=1，∴点A(−3,0)，∴AO=3，∴AOCO =34，∵点D坐标(−1,163)∴DH=1，HO=163，∴CH=OH−OC=43，∴DHCH =34，∴AOCO =DHCH，且∠AOC=∠DHC=90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO=∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，∴EC//AO，∴点E纵坐标为4，∴4=−43(x+1)2+163，∴x1=−2，x2=0，∴点E(−2,4)，(3)如图2，∵点E(−2,4)，点C(0,4)，点A(−3,0)，点B(1,0)，点D 坐标(−1,163)∴DE =DC =53，AC =√AO 2+CO 2=√16+9=5，AB =3+1=4，∴∠DEC =∠DCE ，∵EC//AB ，∴∠ECA =∠CAB ，∴∠DEC =∠CAB ，∵△DEF 和△ABC 相似∴DE AC =EF AB 或DE AB =EF AC ， ∴535=EF 4或534=EF 5∴EF =43或2512∴点F(−23,4)或(112,4)设平移后解析式为：y =−43(x +1−c)2+4，∴4=−43(−23+1−c)2+4或4=−43(112+1−c)2+4，∴c 1=13，c 2=1312∴平移后解析式为：y =−43(x +23)2+4或y =−43(x −112)2+4，【解析】(1)设点D 坐标(a,b)，可得新抛物线解析式为：y =−43(x −a)2+b ，先求出点C ，点B 坐标，代入解析式可求解；(2)通过证明△AOC∽△CHD ，可得∠ACO =∠DCH ，可证EC//AO ，可得点E 纵坐标为4，即可求点E 坐标；(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F 坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：(1)作AH ⊥BC 于H ，BM ⊥AC 于M ．∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BH =CH =3， ∴AH =√AB 2−BH 2=√52−32=4， ∵S △ABC =12⋅BC ⋅AH =12⋅AC ⋅BM ， ∴BM =BC⋅AHAC =245，∴AM =√AB 2−BM 2=√52−(245)2=75，∴cosA =AMAB =725．(2)设AH 交CD 于K ．∵∠BAC =2∠ACD ，∠BAH =∠CAH ，∴∠CAK =∠ACK ，∴CK =AK ，设CK =AK =x ，在Rt △CKH 中，则有x 2=(4−x)2+32，解得x =258，∴AK =CK =258，∵∠ADK =∠ADC ，∠DAK =∠ACD ，∴△ADK∽△CDA ，∴AD CD =AKAC=DK AD =2585=58，设AD =m ，DK =n ，则有{mn+258=58m 2=n(n +258)，解得m =12539，n =625312． ∴AD =12539．(3)结论：AD ：BE =5：6值不变．理由：∵∠GBE =∠ABC ，∠BAC +2∠ABC =180°，∠GBE +∠EBC +∠ABC =180°， ∴∠EBC =∠BAC ，∵∠EDC =∠BAC ，∴∠EBC =∠EDC ，∴D ，B ，E ，C 四点共圆，∴∠EDB =∠ECB ，∵∠EDB +∠EDC =∠ACD +∠DAC ，∠EDC =∠DAC ，∴∠EDB =∠ACD ，∴∠ECB =∠ACD ，∴△ACD∽△BCE ，∴AD BE =AC BC =56．【解析】(1)作AH ⊥BC 于H ，BM ⊥AC 于M.解直角三角形求出BM ，AM 即可解决问题． (2)设AH 交CD 于K.首先证明AK =CK ，设AK =CK =x ，在Rt △CHK 中，理由勾股定理求出x ，再证明△ADK∽△CDA ，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．(3)结论：AD：BE=5：6值不变．证明△ACD∽△BCE，可得ADBE =ACBC=56．本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。