人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程：三角形总复习

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八年级数学培优.竞赛资料(共24讲)

B AC D EF 第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A F C E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③DAAE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE F D⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（）第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图ABE D CAB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程：三角形及其有关概念

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程3、三角形及其有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（54. S S ABE ∆⋅ 基础。

5.例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（）A. 1020︒<<︒∠BB. 2030︒<<︒∠BC. 3045︒<<︒∠BD. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：∵三角形的一个外角等于160°∴另两个外角的和等于200°设这两个外角的度数为2x ，3x∴+=23200x x解得：x =402803120x x ==，与80°相邻的内角为100°AF BE F EBC FAB ABE //，∠∠，∠∠∴==又∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝∠ABE∴∠F ＝∠FAB ，∴AB ＝BF又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF又∵AB AC AC AF ≤∴>12， ∴>∠∠F C ，又∵∠∠F ABC =12∴<∠∠C B 12∴++<<++64()()a b c c a b c 故最小边在周长的16与14之间。

人教版八年级数学培优和竞赛二合一-三角形总复习

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程15、三角形总复习【知识精读】1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

【分类解析】1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。

求证：证明：由AD⊥BC于D，可得∠CAD＝∠ABC又则可证即说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在中，，AM是BC边的中线。

求证：证明：延长AM到D，使MD＝AM，连接BD在和中，在中，，而说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有。

请同学们自己试着证明。

3. 角平分线定理的应用例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。

求证：AM平分DAB。

证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等）∵MC＝MB，∴MG＝MB而MG⊥AD，MB⊥AB∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）∴DM平分∠ADC说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。

新人教版八年级上册数学培优讲义(全套15讲)

第一讲三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.(第1题图)FE DBA C(例4题图)BDACE(第3题图)A BCDE FOBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)OBA C(第3题图)P OBA C(例6题图)E DAB C(第2题图)DE PC AG B F (第1题图)F E DAB C C'B'A BC2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第1题图)α22°OBMA(第2题图)B'A'AO B(第3题图)αEDCBAE D AB CF G10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形 B ． C ．2．已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a ≤b ≤c ，如果b ＝7，则这样的三角形共有( )A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个 3．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE 、CF 交于O 点，则∠BOC ＝______________. 4．在等腰△ABC 中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 5．如图，BP 平分∠ABC 交CD 于点F ，DP 平分∠ADC 交AB 于点E ，若∠A ＝40°，∠C ＝38°，则∠P ＝ ______________.6．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.(第9题图)D EBACxy EBG FOCAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC(第13题图)D E ABC4321(第12题图)DBA CG FE PAB CDBACDEF 7．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .第二讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式题组】 1．（武汉2011）下列判断中错误的是（） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 MQPABCDA F C ED B 2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．52.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A BC DO F E A C E F B D3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图B （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AFECB DA B C D F E【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【变式题组】 1．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .2．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am3．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DBF AC E NMPDD A CB FE21ABC P Q EF D1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°D C10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.B第10题图AB CDE 第9题图EABC D ABC DEF O C AEBD 第7题图第8题图D B A CE FA EB F DC BD E C l AAEF C DB 培优升级·奥赛检测1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③3．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC4．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 6．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）7．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC ＝2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图4321NM ABO DP A D EG CHBA EB DC 9．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G. 求证：GD＝GE .第三讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PNP CA B MN M N A B D C P E D A BC D CA B 321FEDCAB 1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBDSS ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDD E C A B DF E B A C第1题图D C B A第2题图D B CA E P 第3题图Q S R PBA C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A 1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC＝∠PCB .其中正确的结论个数有（）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED C AB 第10题图K NMQ CBA F BDE C A OFE D A B Cl 1l 2DC FG E P AB C D E O B A 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .培优升级·奥赛检测1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB边的距离为（） A ．18 B ．16 C ．14 D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________GPF E DCBAPD AB C Q P C B A4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD间的距离等于__________ 6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP第四讲轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【变式题组】1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．2．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。

初中数学八年级竞赛培优训练直角三角形含解析

直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ，在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。

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第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

人教版八年级数学上册三角形知识点专题复习及练习

八年级数学上册三角形知识点专题复习一、三角形相关概念1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

3．三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。

而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点。

这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。

（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。

③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边。

故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边。

故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角：结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角：1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与之相邻的内角互补3．外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形专题15：全等三角形全等是指两个几何图形之间的一种关系，其中最基本的关系是点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系。

全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点。

证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法。

我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的。

了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素。

善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关共边、公共角的以下两类基本图形：1.三角形2.四边形例题与求解例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等。

其中正确命题的个数有（）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例。

例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。

求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ。

解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°。

例3】如图，已知AD为△ABC的中线，求证：AD＜(AB AC)。

解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手。

例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E。

求证：AB＝AC＋BD。

解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。

培优训练——三角形人教版八年级数学上册

；（用含 x，y 的代数式表示）
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（3）如图 2，若△ABC 是钝角三角形，其他条
件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）解：（2）中的结论成立．理由如下. ∵∠B=x，∠ACB=y， ∴∠BAC=180°-x-y. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAC= ∠BAC=90°- x- y.
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12. 【探究】如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 50 度，∠P= 115 度；
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（3）【应用】如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平
分线与∠ACB 的平分线相交于点 P. ∠ABC
的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于
点 Q.直接写出∠A 与∠Q 的
数量关系为
.
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6. 如图， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540° .
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7. 如图，∠B=∠C，DE⊥BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F，若∠ADE=140°，则∠FED= 50° .

人教版数学八年级上册第十一章《三角形复习课》课件

判一判
❖ （1）长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
（√ ）
❖ （2）平行四边形是特殊的梯形。（ x ） ❖ （3）由四条线段围成的图形叫梯形。（x ） ❖ （4）四边形只包括平行四边形和梯形。（x ）
❖ （5）两个完全一样的三角形可以拼成一个平行
四边形。（ √ ） ❖ （6）平行四边形对边分别平行。（√ ） ❖ （7）梯形只有一组对边平行。（√ ）
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
A ●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC
︶1 2
B
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
（1）三角形的三条高线(或高线所在直线)交于一点
6下面那组能组成三角形呢
？（1） 3，4，8
不能
（2） 2，5，6
能
（3） 5，6，10
能
（4） 3，5，8
不能
三角形的高
从三角形的一个顶点
向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
注意 ! 标明垂直的记号垂足的字母.
A
锐角三角形三条高线交于三角形内部一点,
直角三角形三条高线交于直角顶点，
钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点。
（2）三角形的三条中线交于三角形内部一点。（重心）（3）三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。（内心）
CE
算一算
1、如图，AD、AF分别是△ABC 的高和角平线，C 76 ，B36 则 DAF=______度.

八年级数学全等三角形综合培优竞赛讲义(38页)

全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．4321FDOE CB A【解析】BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?GNEB M A D【解析】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【解析】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .M F EDCB A【解析】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例4】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．【例5】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．EABC DM N【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =，所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =，所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【例6】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEABDEFC【解析】延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【解析】如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =，故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【解析】以AC 为边向ABC ∆外作正ACE ∆，连接DE .在ABC ∆和EAD ∆中，AD BC =，AB EA =，2060EAD BAC CAE ∠=∠+∠=+= 80ABC =∠，E D CB AED CB AD CBADCB AED CBA则ABC EAD ∆∆≌.由此可得ED EA EC ==，所以EDC ∆是等腰三角形. 由于20AED BAC ∠=∠=，则602040CED AEC AED ∠=∠-∠=-=，从而70DCE ∠=，706010DCA DCE ACE ∠=∠-∠=-=，则201030BDC DAC DCA ∠=∠+∠=+=.【另解1】以AD 为边在ABC ∆外作等边三角形ADE ∆，连接EC .在ACB ∆和CAE ∆中，6020CAE ACB ︒︒∠=+=∠，AE AD CB ==，AC CA =，因此ACB CAE ∆∆≌，从而CAB ACE ∠=∠，CE AB AC ==.在CAD ∆和CED ∆中，AD ED =，CE CA =，CD CD =，故CAD CED ∆∆≌，从而ACD ECD ∠=∠，2CAB ACE ACD ∠=∠=∠，故10ACD ︒∠=，因此30BDC ︒∠=. 【另解2】如图所示，以BC 为边向ABC ∆内部作等边BCN ∆，连接NA 、ND .在CDA ∆和ANC ∆中，CN BC AD ==，20CAD ∠=， ACN ACB BCN ∠=∠-∠=806020-=，故CAD ACN ∠=∠，而AC CA =，进而有CDA ANC ∆∆≌. 则10ACD CAN ∠=∠=，故30BDC DAC DCA ∠=∠+∠=. 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【解析】过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ∆、M KP ∆均为正三角形.因为50BAN ∠=︒，AC BC =，20C ∠=︒，所以50ANB ∠=︒，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=︒，则40PKN ∠=︒，180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒，故PN KN =.从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=︒.【另解】如图所示，在AC 上取点D ，使得20ABD ∠=︒，由20C ∠=︒、AC BC =可知80BAC ∠=︒. 而20ABD ∠=︒，故80ADB ∠=︒，BA BD =. 在ABN ∆中，50BAN ︒∠=，80ABN ∠=︒，故50ANB ∠=︒，从而BA BN =，进而可得BN BD =.E DCBA N DC B APA BCM NK NMCBA D NMCBA而802060DBN ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以BDN ∆为等边三角形.在ABM ∆中，180180806040AMB ABM BAM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 804040DBM ADB AMB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故DM B DBM ∠=∠，从而D M D B =.我们已经得到DM DN DB ==，故D 是BMN ∆的外心，从而1302NMB NDB ∠=∠=︒.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【解析】如图所示，延长BD 至E ，使DE DC =，由已知可得：180********ADE ADB ︒︒︒︒∠=-∠=-=， 7628104ADC ADB BDC ︒︒︒∠=∠+∠=+=，故ADE ADC ∠=∠.又因为AD AD =，DE DC =，故ADE ADC ∆∆≌，因此AE AC =，E ACD ∠=∠，EAD CAD ∠=∠.又因为AB AC =，故AE AB =，ABC ACB ∠=∠. 而已知60ABD ︒∠=，所以ABE ∆为等边三角形. 于是60ACD E EAB ∠=∠=∠=︒，故18016CAD ADC ACD ∠=︒-∠-∠=︒，则28CAB EAB CAD EAD ∠=∠-∠-∠=︒，从而1(180)762ABC CAB ∠=︒-∠=︒，所以16DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒.【例11】如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是12︒的倍数，这使我们想到构造60︒角，从而利用正三角形.在四边形ABCD 外取一点P ，使12PAD ︒∠=且AP AC =，连接PB 、PD . 在ADP ∆和ADC ∆中，12PAD CAD ︒∠=∠=，AP AC =，AD AD =，故ADP ADC ∆∆≌. 从而APD ACD ∠=∠.CDB A DC BA EC D B A PDC在ABC ∆中，36CAB ∠=︒，72ABC ∠=︒，故72ACB ︒∠=，AC AB =，从而AP AB =.而12123660PAB PAD DAC CAB ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒，故PAB ∆是正三角形，60APB ︒∠=，PA PB =.在DAB ∆中，123648DAB DAC CAB DBA ︒︒︒∠=∠+∠=+==∠，故DA DB =.在PD A ∆和PDB ∆中，PA PB =，PD PD =，DA DB =，故PDA PDB ∆∆≌，从而1302APD BPD APB ︒∠=∠=∠=，则30ACD ︒∠=.【例12】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【解析】如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ∆∆≌，故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，因此BDE BDC ∆∆≌，故30BED BCD ∠=∠=.【例13】如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.D E CB AD E CB A OM B MCAB【解析】在ABC ∆中，由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =，92ABC ︒∠=.如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ，则有30OAC MCA ︒∠=∠=，443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=，所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠，所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒ 而AO AO =，因此ABO AMO ∆∆≌，故OB OM =.由于120BOM ︒∠=，则180302BOMOMB OBM ︒-∠∠=∠==︒，故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=.全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

初中八年级数学培优竞赛第22讲相似三角形的性质

（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
10、如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
（3）在（2）的基础上继续旋转,当60°＜α＜90°,且使AP：PC=1：2时,如图3, 的值是否变化?证明你的结论．
19、如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H是线段AD上一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB为E、F。过点E作EP⊥BC分别交CF、BC于点M、P，过点F作FQ⊥BC分别交BE、BC于点N、Q，求证：
A、 B、 C、 D、
7、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形；在等腰直角三角形中，作内接正方形；在等腰直角三角形中，作内接正方形；…；依次作下去，则第n个正方形的边长是（）
A、 B、 C、 D、
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A、 B、 C、 D、
18、如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F．
（1）当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为______ ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角,如图2,求的值；
(芜湖市中考题)
2、如图，要将等腰RT△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC= ，S△PB1C=2，则BB1=____________.

人教版八年级上册《三角形》复习课件(共34张PPT)

B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
： ①两边和一角对应相等；②两角和一边对应
相等； ③两个直角三角形中斜边和一条直角边
对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两
个三角形全等的条件是（）
A、①和②
B、 ①和④
C、②和③
D、③和④
1、如图AB=CD，AC=BD，则 △ABC≌△DCB吗？说明理由。
解：△ABC≌△DCB
A 在△ABC与△DCB中
如图，已知AB＝AC，AD＝AE。 A 求证：∠B＝∠C
证明：在△ABD和△ACE中 E
AB＝AC（已知）
A＝A（公共角）
B A
AD＝AE（已知）
∴△ABD≌△ACE（SAS） D
∴∠B＝∠C（全等三角形
D C
A
E
对应角相等）
B
C
如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与 △FED全等吗？为什么？
2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°

人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题(含答案)

人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题分数：100 考试时间：80分钟一、选择题(10=30分)1. 下列运算正确的是（）A 、x 2 + x 3 = x 5B 、－2x ·x 2 =－2x 3C 、x 6÷x 2 = x 3D 、(－ x 2 )3 = x 62. 的值是（）A 、0B 、－2C 、2D 、 3. 下列各组图形中，是全等形的是（）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形4. 若二次三项式26x ax +-可分解成，则a ，b 的值分别为（）A ． 1，3B ． 1-，3C ． 1，3-D ． 1-，3-5.要使二次三项式25x x p -+在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．无数个6.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( ) A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、77.如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论，其中说法错误的是（）A.△EBD 是等腰三角形，EB =ED ；B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；C .折叠后得到的图形是轴对称图形； D.△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。

8.如图,等边三角形△ABC 的边长是6，面积是，AD 是BC 边上的高，点E 是AB 的中点，在AD 上求一点P ，则P B ＋PE 的和的最小值为( )A 、3B 、6C 、D 、9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，已知△ABC 的面积为28．AC ＝6，DE ＝4，则AB 的长为（） A ．6 B ．8 C ．4 D ．1010. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B ′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB 的度数为（）A ．40°B ．45° C ．60° D ．80° 二、填空题(5=15分)11. 分解因式得正确结果为． 12. 满足的整数的值是．13. 如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058，则∠FHI= 度。

初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 6讲直角三角形

第6讲直角三角形知识方法有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.它的两个锐角互为余角，两直角边的平方和等于斜边的平方(即勾股定理，我们会在另外一讲专题讨论).关于直角三角形有如下两个重要的定理：(1) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.上述两个命题的逆命题也是成立的：(1) 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(2) 在直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则它所对的角等于30°.判定两个直角三角形全等，除了一般的三角形全等的方法外，还有“斜边、直角边”的方法.经典例题解析【例6-1】如图6-1所示,已知Rt△ABC 中,∠C=90°,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C落在AB 边上的点D 处，要使点D 恰为AB 的中点，问：在图中还需添加什么条件?(1) 写出两个满足边的条件.(2) 写出两个满足角的条件.(3) 写出一个满足除边、角以外的其他条件.解要使D 为AB 的中点，可添加下列条件之一.角的关系：①∠A=∠DBE; ②∠A=∠CBE;③∠DEA=∠DEB; ④∠DEA=∠BEC;⑤∠A=30°; ⑥∠CBD=60°;⑦∠CED=120°; ⑧∠AED=60°.边的关系：①AB=2BC; ②AC=√3BC;③2AC=√3AB;④BE=AE.三角形的关系:△BEC≌△AED.【例6-2】如图6-2所示,D、E 是等边△ABC 两边上的两个点,且AE=CD,连接BE、AD 交于点P,过B 点作BQ⊥AD 于Q,求证:BP : PQ=2.证明在△CAD 与△ABE 中,CA=AB,∠C=∠EAB,CD=AE,故△CAD≌△ABE,于是∠CAD=∠ABE.所以∠QPB=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAE=60°.又BQ⊥AD,所以∠QBP=30°,于是PQ=1BP,即BP : PQ=2.2【例6-3】如图6-3 所示,已知△ABC 中,AB =AC,∠A=120°,D 是BC 的中点,DE⊥AB于E,求证:BE=3AE.证明因为AB=AC,∠A=120°,故∠B=∠C=30°.又D 是BC的中点,故AD⊥BD.在Rt△ADB 中, AD=1AB.2因为DE⊥AB,∠ADE=90°−∠BAD=∠B=30°，所以AE=1AD.于是BE= AB-AE =2AD-AE2=4AE-AE=3AE.【例6-4】如图6-4 所示,已知△ABC中, ∠B=30°,∠C=15°,,D 是BC 上一点,∠CAD=90°,求证:CD=2AB.证明如图6-5所示,取DC中点M,连接AM,则AM=NC=MD,于是∠CAM=∠C,所以∠AMD=∠CAM+∠C=2∠C=30°=∠B,即AM=AB.故CD=2AM=2AB.【例6-5】如图6-6 所示,在△ABC 中,BD、CE 是两条高,F、G 分别是BC、DE 的中点,求证:FG⊥DE.证明如图6-7 所示,连接FD、FE.因为BD⊥AC,F 为BC 的中点,所以DF=1BC.2同理，EF=1BC,所以DF=EF.2而G 为DE 的中点,所以FG⊥DE.【例6-6】在△ABC 中,∠B=90°,M 为AB 上一点,使AM=BC,N 为BC 上一点,使得CN=BM,连接AN、CM 交于P 点,试求∠APM的度数,并写出推理证明的过程.解如图6-8所示,过C作CD∥AB,且CD=AM,连接AD、DN,DN 交CM 于Q,则四边形AMCD为平行四边形, 有AD∥CM,AD=CM.因AM=BC,故DC=BC.又∠DCN=∠B=90°,CN=BM,故Rt△DCN≌Rt△CBM.所以DN=CM,从而有DN=AD.而且∠ADN=∠MQN=∠MCB+∠QNC=∠MCB+∠CMB=90°,故△AND 是等腰直角三角形,∠DAN=45°,于是∠APM=∠DAN=45°.【例6-7】如图6-9所示,∠BAC=90°,AB=AC,M 是AC 边的中点,AD⊥BM 交BC 于D,交BM 于E.求证:∠AMB=∠DMC.分析从图形观察∠AME 与∠DMC 所在的两个三角形△AME 与△DMC 显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC.若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事.由于∠C=45°,∠BAC=90°,若作∠BAC 的平分线AG,则在△AGM 中, ∠GAM=45°=∠C..结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM 全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可.图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA.证明如图6-10所示,作∠BAC 的平分线AG,交BM 于G.在△AGB 与△CDA 中,因为AB=CA,∠BAG=∠ACD=45°,∠ABG=90°−∠AMB,①∠MAD=90°−∠EAB.②由于在Rt△MAB 中,AE⊥BM,所以∠AMB=∠EAB.由式①、式②得, ∠ABG=∠MAD,所以△AGB≌△ADC,于是AG=CD.在△AMG 与△CMD 中,还有AM = MC,∠GAM =∠DCM = 45°,所以. △AMG≅△CMD,从而∠AMB=∠DMC.【例6-8】如图6-11 所示,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,O、O₁、O₂分别是△ABC、△ACD、△BCD 的角平分线的交点,求证:(1) O₁O⊥CO₂.(2)OC=O₁O₂.证明(1) 由题设O、O₁都在∠A 的平分线上，设该平分线交( CO₂于E.因∠A=∠DCB,故∠EAC=∠O₂CB.于是. ∠EAC+∠ACE=∠O₂CB+∠ACE=90°,故∠AEC=90°,O₁O⊥CO₂.(2) 由于点O₁、O₂分别在∠ACD 和∠DCB 的平分线上,故∠O₁CO₂=45°,由(1)∠O₁EC=90°,有CE=EO₁.同理设O₂O交CO₁于F,则O₂F⊥CF,∠OO₂E=45°,有O₂E=EO.又∠CEO=∠O₂EO₁,故△CEO≌△O₂EO₁,于是OC=O₁O₂.强化训练一、选择题1.如图6-12所示,在△ABC中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,且BD: DC=2: 1,则∠B 的大小满足( ).(A)0°<∠B<15° (B)∠B=15°(C)15°<∠B<30°(D)∠B=30°2.如果三角形两条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( ).(A) 锐角三角形(B) 钝角三角形(C) 直角三角形(D) 等腰直角三角形3.如图6-13所示,在锐角△ABC中,BC<AB,AH 是BC 边上的高,BM 是AC 边上的中线,AH=BM,那么( ).(A)∠MBC=30° (B)∠MBC=45°(C) ∠MBC>30° (D)∠MBC<30°4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=67°,那么△ABC斜边上的中线和高所夹的角等于( ).(A) 43° (B) 44° (C) 45° (D) 46°5.已知等腰三角形一边上的高等于这边的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是( ).(A) 30° (B) 30°或150°(C) 120°或150° (D) 30°或90°或150°二、填空题6.如图6-14所示,AD 是Rt△ABC(∠ACB=90°)的角平分线,EF⊥AD 于D,与AB 及AC 的延长线分别交于E、F,图中的一对全等三角形是.7.已知△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,CE 为AB 边上的中线，且DE=DC，则△ABC 中较小部分的那个锐角的度数是.8.如图6-15所示,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,D 是BC边上的一点,BD=1,DC=2,则AD= .9.已知△ABC 中，高AD 所在的直线与高BE 所在的直线相交于H,且BH=AC,则∠ABC= .10.△ABC 中,∠C<∠B,∠A 的三等分线恰为BC 边上的中线和高,则∠B= .三、解答题11. 如图6-16所示,以△ABC 的顶点A 为直角顶点,AC 和AB 为直角边向. △ABC外作等腰直角三角ABD 和ACE,连接DE,自A向BC作垂线AH,垂足为H,延长HA 交DE 于M.求证:M 是DE 的中点.12.如图6-17 所示,CD 是Rt△ABC 斜边上的高,∠A 的平分线AE 交CD 于H,交∠BCD的平分线CF于G,求证:HF∥BC.13.如图6-18所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠C=90°,点M、N 分别是边AC 和BC的中点,点D 在射线BM 上,且BD =2BM,点E 在射线NA 上,且NE = 2NA,求证:BD⊥DE.,DE+14. 如图6-19 所示,在△ABC 中,∠C=90°,D 为AB 上一点,作DE⊥BC 于E,若B E=AC,BD=12BC=1求证:∠ABC=30°.15.如图6-20 所示,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AD⊥AB,AD=AB,BE⊥DC,AF⊥AC,求证:CF平分∠ACB.一、选择题1.【答案】D.【解析】过点D 作DE⊥AB 于E,则△AED≌△ACD,所以DE=DC=1BD,所以∠B=30°.22.【答案】C.【解析】如答图6-1 所示,在△ABC 中,AC、BC的垂直平分线的交点M 在AB 上,则AM=CM=BM,于是∠A =∠ACM,∠B =∠BCM,而∠A+∠ACM+∠B+∠BCM=180°,故∠A+∠B=90°，这个三角形是直角三角形.3.【答案】A.【解析】如答图6-2所示,作MD⊥BC,D 为垂足,则AH ∥MD.又M 是AC 的中点,所以MD = 12AH=12BM,在Rt△MBD 中, MD=12BM,所以∠MBC=30°.4.【答案】B.【解析】如答图6-3 所示,CH是高,CM 是中线.因CM=BM,故∠MCB=∠B=67°,又∠BCH=90°-∠B = 23°, 所以∠MCH =∠MCB -∠BCH=44°.5.【答案】D.【解析】有三种情况:如答图6-4(a)所示,AB=AC,高AD=12BC;如答图6-4(b)所示,AB =AC,高BD=12AC;如答图6-4(c)所示,AB=AC,高BD=12AC.不难算出顶角分别是90°、150°和30°.二、填空题6.【答案】△AED≌△AFD.7.【答案】22.5°.8.【答案】1.9.【答案】45°或135°.【解析】有两种情况：(1)若∠B 是锐角,如答图6-5(a)所示,可先证明Rt△ADC≌Rt△BDH,从而AD=BD,△ADB是等腰直角三角形,∠ABC=45°.(2) 若∠B 是钝角,如答图6-5(b)所示,可先证明Rt△ADC≌Rt△BDH,从而AD=BD,△ADB 是等腰直角三角形,∠ABD=45°,∠ABC=135°.10.【答案】60°.【解析】如答图6-6所示,∠1=∠2=∠3,AH⊥BC,BM=CM.故BH=MH=1MC.2作MD⊥AC 于D,易证△AHM≌△ADM, MD=MH=1MC,于是∠C = 30°.故∠2+∠3=60°.于是∠1=∠2=∠23=30°,∠B=60°.三、解答题11.【答案】证明:自 E 与 D 作 EE ₁⊥AM,DD ₁⊥AM,E ₁、D ₁为垂足,先证明 Rt △AHC ≌Rt △EE ₁A,Rt △AHB ≌Rt △DD ₁A,从而得到. AH =EE₁=DD ₁,再证明 Rt △EE ₁M ≌Rt △DD ₁M,就可得到 EM=DM.12.【答案】证明:易证∠BCD=∠CAD,于是∠ECG=∠HCG=∠CAH =∠DAH.∠ACG +∠CAG =∠ACH + ∠HCG + ∠CAG = ∠ACH +∠HAD+∠CAG=90°,于是 CG ⊥AG.又易证CE=CH,故 HG =GE.又可证CG=GF,而∠CGE = ∠FGH, 故 △CGE ≌ △FGH,∠ECG=∠HFG,于是 HF ∥BC.13.【答案】证明:如答图 6-7 所示,作 EF ⊥AD 于F,可证△ACN ≌△EFA ≌BCM ≌△EFD ≌△DAM,可得∠EDF+∠ADM=90°.14.【答案】证明:如答图6-8所示,延长 BC 到 F,使CF=DE,连接 AF,因为 BC+DE=1,所以BF=1.易证△ACF ≌△BED,故 AF =BD =12,∠FAC=∠B,∠FAB=∠FAC+∠BAC=∠B+∠BAC=90°,又 AF =12=12BF,所以∠B=30°.15.【答案】证明:由 BE ⊥CD,AD ⊥AB 及∠BPE=∠DPA, 可得 ∠ABF=∠D;由 AD ⊥ AB,AC ⊥AF 可得∠BAF=90°-∠CAB=∠DAC;又AB=AD,故有△ADC ≌△ABF,从而AC=AF.△CAF 是等腰直角三角形,故有∠ACF=45°,于是 ∠BCF =90°−45°=45°,,所以 CF 是∠ACB 的平分线..。

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人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程
15、三角形总复习
【知识精读】
1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；
2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；
3. 全等三角形的性质与判定；
4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；
5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

【分类解析】
1.
例1. 如图1 求证：∠ 证明：由又∠ABD 则∠ABD 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >
说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用
例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，
∴≅∴=∆∆CMA BMD
BD AC
在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2
()∴-<∴>
-AB AC AM
AM AB AC 21
2
说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有
()()121
2
AB AC AM AB AC -<<+。

请同学们自己试着证明。

∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）
∴DM平分∠ADC
说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。

同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用
（1）构造全等三角形解决问题
）为
交AC于N，证明：以点D为旋转中心，将∆DBM顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M
落在M'点的位置。

得：∠MBD＝∠NCD＝90°
∴≅
∴==︒
Rt MBD Rt M CD
DCM DBM
∆∆'
'
∠∠90
∴∠NCD与∠DCM'构成平角，且BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60°
在∆MDN和∆M DN
'中，
DM DM MDN M DN DN DN
===︒=
''
，∠∠，
60
∴≅
∴=
=+=+
∴=+
∆∆
MDN M DN SAS
MN M N
M N M C CN BM CN
MN BM CN
'()
'
''
∴∆AMN的周长=++=+++=+=
AM AN MN AM AN BM CN AB AC2
说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用
例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。

求AC 的长。