人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程：三角形总复习

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程
15、三角形总复习
【知识精读】
1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；
2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；
3. 全等三角形的性质与判定；
4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；
5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

【分类解析】
1.
例1. 如图1 求证：∠ 证明：由 又∠ABD 则∠ABD 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >
说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用
例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，
∴≅∴=∆∆CMA BMD
BD AC
在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2
()∴-<∴>
-AB AC AM
AM AB AC 21
2
说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有
()()121
2
AB AC AM AB AC -<<+。

请同学们自己试着证明。

∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）
∴DM平分∠ADC
说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。

同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用
（1）构造全等三角形解决问题
）为
交AC于N，证明：以点D为旋转中心，将∆DBM顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M
落在M'点的位置。

得：∠MBD＝∠NCD＝90°
∴≅
∴==︒
Rt MBD Rt M CD
DCM DBM
∆∆'
'
∠∠90
∴∠NCD与∠DCM'构成平角，且BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60°
在∆MDN和∆M DN
'中，
DM DM MDN M DN DN DN
===︒=
''
，∠∠，
60
∴≅
∴=
=+=+
∴=+
∆∆
MDN M DN SAS
MN M N
M N M C CN BM CN
MN BM CN
'()
'
''
∴∆AMN的周长=++=+++=+=
AM AN MN AM AN BM CN AB AC2
说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用
例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。

求AC 的长。