基本不等式应用-解题技巧归纳

基本不等式应用解题技巧归纳

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1

x

技巧一：凑项

例1：已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。技巧二：凑系数

例1.当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三：分离

例3.求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2

y =的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x ++=>（2）12,33y x x x =+>-(3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <<，求函数y 的最大值.；3．203

x <<，求函数y .条件求最值

1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是.

变式：若44log log 2x y +=，求11x y

+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值。变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求y

x 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值

技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22

＝1，求x 1＋y 2的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab

的最小值.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.变式:求函数15

(y x =<<的最大值。应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca

bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

2）例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

应用三：基本不等式与恒成立问题

例：已知0,0x y >>且191x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是.