福建省泉州一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷
福建省泉州市高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省泉州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·赤峰模拟) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积为（）A . 2B . 2C .D .2. （2分）命题p：“∃x≥0，e ＜x0+1”，则￢p是（）A . ∀x≥0，ex＜x+1B . ∃x≥0，ex＞x+1C . ∃x≥0，ex≥x+1D . ∀x≥0，ex≥x+13. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 设F1 ， F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A . 4B .C .D . 64. （2分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，从点M（x0 ， 4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分） (2015高二上·安徽期末) 双曲线方程为，则它的右焦点坐标是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·大连模拟) 已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若 =3 ，则直线l的方程为（）A . x﹣2y﹣1=0B . 2x﹣y﹣2=0C . x﹣ y﹣1=0D . x﹣y﹣ =08. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 设F1 ， F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）已知椭圆的离心率为. 双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·承德期末) 双曲线的焦点坐标为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·邯郸模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x0 ， 2）（x0＞）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x= 截得的弦长为 | |，若 =2，则| |=________．14. （1分）已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是________15. （1分） (2016高二上·泰州期中) 双曲线的渐近线方程为________．16. （1分） (2017高二下·榆社期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·抚顺期末) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．18. （10分） (2018高一上·辽宁月考) 已知函数．（1）判定并证明函数的单调性；（2）是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．19. （10分） (2017高三上·唐山期末) 已知抛物线，圆 .（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.20. （10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．21. （10分） (2017高二上·集宁月考) 已知抛物线的焦点为 ,其准线与轴交于点 ,过作斜率为的直线与抛物线交于两点,弦的中点为的垂直平分线与轴交于．（1）求的取值范围;（2）求证: .22. （10分） (2019高二上·兴庆期中) 已知椭圆，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.（1）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（2）若直线过点，点满足（分别是直线的斜率），求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题
19． （本小题满分 12 分） 已知复数 z x yi ( x, y R) 在复平面上对应的点为 M . (1)设集合 P {4, 3, 2, 0} ， Q {0,1, 2} ，从集合 P 中随机取一个数作为 x ，从集合 Q 中随机取一个数作 为 y ，写出复数 z 的所有情况，并求复数 z 为纯虚数的概率；
) C. 60o D. 75o
11. F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,Q 为椭圆上任一点,从任一焦点向 F1QF2 的顶点 Q 的外角平分线引垂线,垂 足为 P, 则 P 点轨迹是( A.圆 B.椭圆 12.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : ) C.双曲线 D.抛物线
x2 y 2 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点. 4 若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )
福建省泉州第一中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学（文） 试题第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分共 60 分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．已知命题 p : x R ， 2 x 0 ，则( ) A． p : x R , 2 x 0 B． p : x R , 2 x 0 C． p : x R , 2 x ≤ 0 D． p : x R , 2 x ≤ 0 2. 复数
A． 2 B． 3 C．
3 2
D．
6 2
A F1
y
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案写在答题 上） 13．命题 “若 x y ，则 x y ”的逆否命题是
2 2
福建省泉州一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省泉州一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列关于频率与概率的关系表示正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在实验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则有（）A．¬p：∃x∈R，x2≥0 B．¬p：∀x∈R，x2≥0 C．¬p：∃x∈R，x2＜0 D．¬p：∀x∈R，x2＜03．（5分）椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是（）A．5，4 B．10，8 C．10，6 D．8，64．（5分）在区间之间随机抽取一个数x，则x满足2x﹣1≥0的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（）A．2B．2C．D．46．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．a b＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．c b2＜ab2D．ac（a﹣c）＞07．（5分）“x＜2”和“x2﹣x﹣2＜0”的关系是（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤69．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2C．4D．﹣2二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）11．（4分）命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为若则．12．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．13．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．14．（4分）直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为．15．（4分）方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①x在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．其中所有正确的命题序号是．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知命题P：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．17．（13分）已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．18．（13分）已知点，直线，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．19．（13分）椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0）F2（1，0），P（1，）是椭圆上的一个点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设原点为O，斜率为的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．20．（14分）分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记（m．n）．（Ⅰ）若集合A={0，1，2，3}，B={0，1，2，3}，写出所有（m，n）的取值情况，并求事件“m＞n”的概率；（Ⅱ）若集A=，B=，求事件“方所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．21．（14分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点M（1，0）满足，求直线l的方程；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．福建省泉州一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列关于频率与概率的关系表示正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在实验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率考点：概率的意义．专题：概率与统计．分析：利用频率和概率的定义求解．解答：解：由频率和概率的性质，得：随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故选：D．点评：本题考查频率和概率的定义，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则有（）A．¬p：∃x∈R，x2≥0 B．¬p：∀x∈R，x2≥0 C．¬p：∃x∈R，x2＜0 D．¬p：∀x∈R，x2＜0考点：全称命题．专题：阅读型．分析：根据命题p：∀x∈R，x2≥0是全称命题，其否定¬p定为其对应的特称命题，结论变否定即可得到答案．解答：解：∵命题p：∀x∈R，x2≥0，∴命题p的否定是：∃x∈R，x2＜0．故选C．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．3．（5分）椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是（）A．5，4 B．10，8 C．10，6 D．8，6考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的简单性质求解．解答：解：∵16x2+25y2=400，∴=1，∴，解得a=5，b=4，∴16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是10，8．故选：B．点评：本题考查椭圆的长轴和短轴长的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的性质的合理运用．4．（5分）在区间之间随机抽取一个数x，则x满足2x﹣1≥0的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由条件知0≤x≤2，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：在区间之间随机抽取一个数x，则0≤x≤2，由2x﹣1≥0得x≥，即，∴根据几何概型的概率公式可知满足2x﹣1≥0的概率为，故选：A．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（）A．2B．2C．D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程求得渐近线方程为y=，所以，a=1，所以便可得到双曲线的焦距为2．解答：解：由已知条件知，；∴a=1；∴；∴该双曲线的焦距为．故选B．点评：考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线的概念及求法，双曲线的焦距的概念及求法．6．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．a b＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．c b2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0考点：不等关系与不等式．专题：阅读型．分析：先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可解答：解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选A点评：本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．7．（5分）“x＜2”和“x2﹣x﹣2＜0”的关系是（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：解不等式得到“x2﹣x﹣2＜0”⇒“﹣1＜x＜2”，举例得到“x＜2”不能推出“x2﹣x﹣2＜0”，由此能求出结果．解答：解：∵x=﹣2时，x2﹣x﹣2=4＞0，∴“x＜2”不能推出“x2﹣x﹣2＜0”，∵解不等式x2﹣x﹣2＜0，得﹣1＜x＜2，∴“x2﹣x﹣2＜0”⇒“﹣1＜x＜2”，∴“x＜2”是“x2﹣x﹣2＜0”的必要非充分条件，故选：B．点评：本题考查必条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答8．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．解答：解：∵算法的功能是计算值，共循环5次，∴跳出循环体的n值为12，k值为6，∴判断框内应填的条件是k＞5或k≥6．故选C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．9．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：连接OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明OQ∥PF1，OQ=PF1，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF1=2b，再利用椭圆的定义，得PF2=2a﹣2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF1⊥PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可解答：解：如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=PF1，∴PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a﹣2b∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，∴（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，∴e==故选B点评：本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题10．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2C．4D．﹣2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a，b的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值．解答：解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x，即，∴，则=x2+a+b=，∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为，设a=，则=，若cosx≥0，则≤2，若cosx＜0，则≤2，综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键，利用换元法求函数的最值，综合性较强．二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）11．（4分）命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为若x+y≥5则x≥2且y≥3．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：逆命题是交换原命题的题设和结论，根据此写出逆命题即可．解答：解：逆命题是交换原命题的题设和结论，则命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为“若x+y≥5，则x≥2且y≥3“．故答案为：x+y≥5，x≥2且y≥3．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．12．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，代入目标函数的解析式，分别求出对应的函数值，比较后可得答案．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示，∵目标函数z=x+y∴z O=0+0=0，z A=0+1.5=1.5，z B=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值为3故答案为：3点评：本题考查的知识点是简单线性规划，角点法是解答此类问题最常用的方法，常用来求解选择和填空题．13．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（4分）直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的定义和性质可得到答案．解答：解：抛物线y2=4x∴P=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，|AB|=x1++x2+=x1+x2+p，AB中点横坐标为x0==（|AB|﹣p）=（10﹣2）=4．故答案为：4．点评：本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．15．（4分）方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①x在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．其中所有正确的命题序号是①②③．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，化简方程方，作出函数y=f（x）的图象，由函数的图象判断函数在R上的单调性以及值域，得出①③是否正确；判断F（x）=4f（x）+3x=0是否存在零点，得出②是否正确；根据函数的对称性得出g（x）的解析式是什么，判断④是否正确．解答：解：对于①，根据题意画出方程的曲线，即为函数y=f（x）的图象，如图所示；轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：①f（x）在R上单调递减，∴①正确；②由于4f（x）+3x=0即f（x）=﹣x，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y=﹣x没有交点，∴函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点，②正确；③函数y=f（x）的值域是R，∴③正确；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象是方程+=1确定的曲线，∴④错误．综上，以上正确的命题是①②③．故答案为：①②③．点评：本题考查了含有绝对值的二次方程的曲线问题，也考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识的应用问题，解题的关键是画出函数的图象，是难题．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知命题P：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假．分析：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在上存在零点”即方程有根；只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0即相应方程只有一解解答：解：∵函数f（x）=a2x2+ax﹣2在上存在零点∴方程f（x）=a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0有解．在上存在零点，当a=0时，f（x）=a2x2+ax﹣2，则不符合条件；当a≠0时，∵函数f（x）=a2x2+ax﹣2在上有零点，且a2＞0，△=9a2＞0，由f（1）＜0且f（﹣1）＜0，即a2+a﹣2＜0且a2﹣a﹣2＜0，解得满足题意的a值为，a≤﹣1或a≥1，只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，即抛物线y=x2+2ax+2与x轴只有一个交点∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2∴命题P或Q是假命题∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}点评：本题通过逻辑用语来考查函数、方程与不等式之间的关系．17．（13分）已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据不等式ax2﹣3x+2＞0的解集，得出方程ax2﹣3x+2=0的实数根，由根与系数的关系，求出a、b的值；（Ⅱ）由a、b的值，化简不等式ax2﹣（ac+b）x+bx＜0，讨论c的值，求出不等式的解集即可．解答：解：（Ⅰ）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞b}，∴方程ax2﹣3x+2=0的实数根是1和b，由根与系数的关系，得；解得a=1，b=2；…6分（Ⅱ）∵a=1，b=2；∴不等式ax2﹣（ac+b）x+bx＜0化为x2﹣（c+2）x+2x＜0，即x（x﹣c）＜0；∴当c＞0时，解得0＜x＜c，当c=0时，不等式无解，当c＜0时，解得c＜x＜0；综上，当c＞0时，不等式的解集是（0，c），当c=0时，不等式的解集是∅，当c＜0时，不等式的解集是（c，0）．…13分点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题．18．（13分）已知点，直线，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用抛物线的定义即可得出；（II）对直线n的斜率分类讨论，当直线l的斜率存在且不为0时，把直线l的方程与抛物线的联立，利用△=0解出即可．解答：解：（I）由已知得动点P的轨迹为以点F为焦点，以直线l：为准线的抛物线，∴点P的轨迹方程是y2=﹣2x．（II）①当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=0，直线l与抛物线y2=﹣2x切于点（0，0）．②当直线n斜率存在时，设直线n的斜率为k，直线n方程为y=kx+2，代入y2=﹣2x得：k2x2+2（2k+1）x+4=0．当k=0时，直线n的方程为y=2，n的方程与抛物线y2=﹣2x有且只有一个公共点（﹣2，2）．当k≠0时，由△=0得，则直线n的方程：x+4y﹣8=0．综上所述：所求直线n的方程为x=0和y=2及x+4y﹣8=0．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程、直线与抛物线方程联立转化为方程联立与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（13分）椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0）F2（1，0），P（1，）是椭圆上的一个点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设原点为O，斜率为的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），可得c=1，，a2=b2+c2，解出即可．（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意得直线l的方程为：y=，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=．点到直线的距离公式可得原点O到直线l的距离d．再利用S△AOB=即可得出．解答：解：（I）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），c为半焦距．可知：c=1，，a2=b2+c2，联立解得b2=1，c=1，a2=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意得直线l的方程为：y=，联立，化为2x2+2x﹣1=0，∴x1+x2=﹣1，．∴|AB|===．原点O到直线l的距离为：．∴S△AOB===．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记（m．n）．（Ⅰ）若集合A={0，1，2，3}，B={0，1，2，3}，写出所有（m，n）的取值情况，并求事件“m＞n”的概率；（Ⅱ）若集A=，B=，求事件“方所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）列举可得总的情况共16种，满足事件“m＞n”的共6种，由概率公式可得；（Ⅱ）总的基本事件为{（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤3}，所求的事件的基本事件为{（m，n）|m＞2n+1}，作图求面积之比可得．解答：解：（Ⅰ）由题知所有的（m，n）的取值情况为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共16种，事件“m＞n”对应的（m，n）的取值情况为：（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，∴事件“m＞n”的概率为P==（Ⅱ）由题知0≤m≤3，0≤n≤3，椭圆长轴为2，短轴为2，由2＞•2可得m＞2n+1，如图所示，∴所求事件概率为P===点评：本题考查古典概型和几何概型，列举和准确作图是解决问题的关键，属中档题．21．（14分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点M（1，0）满足，求直线l的方程；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知b=1．e===，解出即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程可得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得，利用根与系数的关系、向量坐标运算、数量积运算可得3k2﹣1=0，解出即可得出．（Ⅲ）依题意知，直线BC的方程为，令y=0，可得x=．l 的方程为y=k（x﹣2），A、B在直线l上，可用k，x1，x2表示y1，y2即可得出x=为定值．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程可得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得|MA|=|MB|，利用两点之间的距离公式即可解出．（Ⅲ）设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则∥，利用向量共线定理可得．即可得出．解答：解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知b=1．∴，故椭圆方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入，得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4），y1﹣y2=k（x1﹣x2），∴，，∵，∴，∴（x1+x2﹣2）（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（y1+y2）=0，∴，∴，经检验满足△＞0，∴直线l的方程为：或y=．（Ⅲ）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．依题意知，直线BC的方程为，令y=0，则，∵l的方程为y=k（x﹣2），A、B在直线l上，∴y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2）∴===∴在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入，得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，y1﹣y2=k（x1﹣x2），∵，∴|MA|=|MB|，∴，∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，，∴3k2﹣1=0，解得，经检验满足△＞0，∴直线l的方程为：或y=．（Ⅲ）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则∥，∵，，∴（x2﹣x1）y1﹣（t﹣x1）（y1+y2）=0，即（x2﹣x1）k（x1﹣2）﹣（t﹣x1）k（x1+x2﹣4）=0．∴2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t=0，∴，∴．∴存在，使得C、B、N三点共线．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
福建省泉州市安溪一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省泉州市安溪一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．（5分）命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式￢p为（）A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3＞x2C．∃x∈N，x3＜x2D．∃x∈N，x3≤x22．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知命题p：5x﹣6≥x2，命题q：|x+1|＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形5．（5分）已知双曲线mx2﹣ny2=1（mn＞0）的渐近线方程为y=±x，此双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．6．（5分）已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′7．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．8．（5分）若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．1个C．至多1个D．2个9．（5分）将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）直线x+2y﹣2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于．12．（4分）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则它们的大小关系是．13．（4分）已知动圆C与圆C1：x2+（y﹣3）2=1和圆C2：x2+（y+3）2=9都外切，则动圆圆心C 的轨迹方程是．14．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．15．（4分）给出以下四个命题：①若A＞B，则cosA＜cosB；②“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；③“若x2+y2=0，则x，y都为0”的否命题；④若x+y≠3，则x≠1或y≠2．其中真命题是．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．17．（13分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．组号分组频数频率第1组165，170）①0.350第3组175，180）20 0.200第5组160，165） 5 0.050第2组170，175）30 ②第4组180，185）10 0.100合计100 1.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？考点：频率分布直方图．专题：计算题；作图题．分析：（1）由频率的意义可知，每小组的频率=，由此计算填表中空格；（2）先算出第3、4、5组每组学生数，分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数，求得第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．（3）根据概率公式计算，事件“六位同学中抽两位同学”有15种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选”可能种数是9，那么即可求得事件A的概率．解答：解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，（1分）第3组的频率为，（2分）频率分布直方图如图所示：（5分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，（6分）第4组：人，（7分）第5组：人，（8分）所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），（10分）其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（B1，B2），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），9中可能，（12分）所以其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的概率为．（15分）点评：此题考查了对频数分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．18．（13分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；hslx3y3h故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．19．（13分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用中点弦的坐标，求出直线的斜率，即得直线方程；（2）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程；由此求出△AOB的面积表达式，求出它的最大值即可．解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1，+=1；两式作差得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x1+x2=2，y1+y2=，代入得k==﹣1，∴此弦所在的直线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣=0；…（5分）（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…（6分）将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；…（7分）令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=；…（8分）∴S△AOB=|S△POB﹣S△POA|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，∵=﹣4x1x2=﹣=，…（10分）设k2﹣1=t（t＞0），∴==≤=，…（12分）当且仅当9t=，即t=，k2﹣1=，k2=时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（13分）点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了圆锥曲线中的最值问题，解题时应用根与系数的关系，结合基本不等式，进行解答，是难题目．20．（14分）已知双曲线x2﹣=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据双曲线和椭圆的性质进行求椭圆的方程；（2）假设存在符合题意的直线，根据直线PA、PB的倾斜角互为补角得出斜率之间的关系，进而求解．解答：解：（Ⅰ）在双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=，…（2分）∴a，c′=a=1，b′2=2 …（3分）所以，椭圆C的方程是…（4分）（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0…（5分）由消去y得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0 …（6分）设A（x1，y1）则，…（8分）∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴k PA+k PB=0对一切k恒成立，…（9分）即=0对一切k恒成立…（10分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入上式可得2x1x2+2m﹣（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立…（11分）∴2×+2m﹣（m+1）×=0对一切k恒成立，…（12分）即=0，4m﹣12=0，∴m=3，…（13分）∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分）点评：本题主要考查双曲线、椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；（Ⅱ）（i）确定，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．解答：解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴，所以椭圆C1的方程为．…（4分）（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为令x=0，，令，所以…（5分）又点B在椭圆的第一象限上，所以，∴…（7分）∴，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为…（9分）（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为…（12分）所以原点O到直线MN的距离=，…（13分）所以直线MN始终与圆相切．…（14分）点评：本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2014-2015年福建省泉州一中高一(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年福建省泉州一中高一（上）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或0或12．（5分）下列四个图象中，是函数图象的是（）A．（1）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（3）（4）3．（5分）函数y=a x+2+1（a＞0，a≠1）的图象经过的定点坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，2）C．（0，1） D．（0，2）4．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=1，y=B．y=x0，y=1 C．y=x，y= D．y=|x|，y=（）25．（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．log0.76＜0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．0.76＜log0.76＜60.7D．log0.76＜60.7＜0.766．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（）A．16 B．2 C．D．7．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．（0，9]D．（0，9）8．（5分）下列函数中，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|﹣1 C．y=﹣x2+1 D．y=3x9．（5分）同一坐标系下，函数y=x+a与函数y=a x的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=2的值域为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（0，2） D．（0，2]11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x1、x2∈[0，+∞），x1≠x2，恒有成立，则以下结论正确的是（）A．f（2）＞f（﹣1）＞f（﹣3）B．f（2）＞f（﹣3）＞f（﹣1）C．f（﹣3）＞f（2）＞f（﹣1） D．f（﹣3）＞f（﹣1）＞f（2）12．（5分）已知函数f（x）=，设b＞a≥0，若f（a）=f（b），则a•f（b）的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卷上）13．（4分）若{x|x2+mx﹣8=0}={﹣2，n}，则m+n=．14．（4分）集合A={1，2，3，4}的真子集个数是．15．（4分）已知f（2x+1）=，那么f（5）=．16．（4分）设函数f（x）=2x，对任意的x1、x2（x1≠x2），考虑如下结论：①f （x1•x2）=f （x1）+f （x2）；②f （x1+x2）=f （x1）•f （x2）；③f （﹣x1）=；④＜0 （x1≠0）；⑤．则上述结论中正确的是（只填入正确结论对应的序号）三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）全集U=R，集合A={x|3≤x＜10}，（1）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围（结果用区间表示）．18．（12分）求值：（1）；（2）．19．（12分）已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f（x）=log2x，（1）求函数f（x）解析式并画出函数图象；（2）请结合图象直接写出不等式xf（x）＜0的解集．20．（12分）已知矩形ABCD，|AB|=4，|AD|=1，点O为线段AB的中点．动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A．当点P运动过的路程为x时，记点P 的运动轨迹与线段OP、OB围成的图形面积为f（x）．（1）求f（x）表达式；（2）若f（x）=2，求x的值．21．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且有（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（x﹣2）+f（x﹣1）＜0．22．（14分）已知f（x）=x2+bx+2．（1）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数b的取值范围；（2）若f（x）在区间[1，3]上最大值为8，求实数b的值；（3）若函数g（x）的定义域为D，[p，q]⊆D，用分法T：p=x0＜x1＜x2＜…＜x n=q 将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|g （x1）﹣g（x0）|+|g（x2）﹣g（x1）|+|g（x3）﹣g（x2）|+…+|g（x n）﹣g（x n﹣）|≤M恒成立，则称函数g（x）在区间[p，q]上具有性质σ（M）．试判断当1b=﹣2时，函数f（x）在[0，3]上是否具有性质σ（M）？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或0或1【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={1，m}．∴m≠1，若B⊆A，则m=0或m=﹣1．故选：C．2．（5分）下列四个图象中，是函数图象的是（）A．（1）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（3）（4）【解答】解：根据函数的定义知：在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有（2）不符合此条件．故选：B．3．（5分）函数y=a x+2+1（a＞0，a≠1）的图象经过的定点坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，2）C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：∵函数y=a x，（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是（0，1），∴函数y=a x的图象经过向左平移2个单位，向上平移1个单位，∴函数y=a x+2+1（a＞0且a≠1）的图象经过（﹣2，2），故选：B．4．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=1，y=B．y=x0，y=1 C．y=x，y= D．y=|x|，y=（）2【解答】解：A．y==1，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．B．y=x0，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．C．y==x的定义域为R，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．D．y=（）2=x，函数f（x）的定义域为[0，+∞），两个函数的定义域和对应法则都不相同．故选：C．5．（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．log0.76＜0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．0.76＜log0.76＜60.7D．log0.76＜60.7＜0.76【解答】解：∵60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7．故选：A．6．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（）A．16 B．2 C．D．【解答】解：设幂函数为y=xα，∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），∴=2α，解得α=．y=x．f（4）==．故选：C．7．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．（0，9]D．（0，9）【解答】解：要使函数有意义，则2﹣log3x＞0，即log3x＜2，解得0＜x＜9，故函数的定义域为（0，9），故选：D．8．（5分）下列函数中，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|﹣1 C．y=﹣x2+1 D．y=3x【解答】解：∵只有B，C，是偶函数，其图象关于y轴对称，而对于C，x＞0，函数y=﹣x2+1单调递减；对于B，x＞0时，y=x﹣1单调递增．故满足条件的只有B．故选：B．9．（5分）同一坐标系下，函数y=x+a与函数y=a x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=x+a和y=a x，当a＞1时，y=x+a单调递增，y=a x单调递增，且直线与y轴交点为（0，a），在（0，1）上边，B正确，C不正确；当0＜a＜1时，一次函数单调递增，指数函数单调递减，且直线在y轴交点为在（0，1）下边，AD不正确故选：B．10．（5分）函数y=2的值域为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（0，2） D．（0，2]【解答】解：∵﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1即﹣x2+2x≤1∴0＜≤21=2，故函数的值域是（0，2]故选：D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x1、x2∈[0，+∞），x1≠x2，恒有成立，则以下结论正确的是（）A．f（2）＞f（﹣1）＞f（﹣3）B．f（2）＞f（﹣3）＞f（﹣1）C．f（﹣3）＞f（2）＞f（﹣1） D．f（﹣3）＞f（﹣1）＞f（2）【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x）=f（|x|），∴f（﹣3）=f（3），f（﹣1）=f（1），∵对任意的x1、x2∈[0，+∞），x1≠x2，恒有成立，∴f（x）在x∈[0，+∞）单调递增，∴f（3）＞f（2）＞f（1），故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，设b＞a≥0，若f（a）=f（b），则a•f（b）的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：易知函数f（x）在[0，1），[1，+∞）上分别单调；故b≥1＞a≥0；∵0≤a＜1；∴﹣1≤3a﹣1＜2；故﹣1≤2b﹣1＜2；故0≤2b＜3；又∵b≥1；∴2≤2b＜3；∵f（a）=f（b），∴3a﹣1=2b﹣1；故a=2b；故a•f（b）=2b•（2b﹣1）；∵2≤2b＜3；∴≤2b•（2b﹣1）＜2；故选：C．二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卷上）13．（4分）若{x|x2+mx﹣8=0}={﹣2，n}，则m+n=2．【解答】解：∵{x|x2+mx﹣8=0}={﹣2，n}，∴﹣2，n是一元二次方程x2+mx﹣8=0的两个实数根，∴﹣2+n=﹣m，﹣2n=﹣8，解得n=4，m=﹣2．∴m+n=2．故答案为：2．14．（4分）集合A={1，2，3，4}的真子集个数是15．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}有4个元素，故集合A有24个子集，有（24﹣1）=15个真子集；故答案为：15．15．（4分）已知f（2x+1）=，那么f（5）=．【解答】解：∵f（2x+1）=，∴f（5）=f（2×2+1）=．故答案为：．16．（4分）设函数f（x）=2x，对任意的x1、x2（x1≠x2），考虑如下结论：①f （x1•x2）=f （x1）+f （x2）；②f （x1+x2）=f （x1）•f （x2）；③f （﹣x1）=；④＜0 （x1≠0）；⑤．则上述结论中正确的是②③⑤（只填入正确结论对应的序号）【解答】解：①f （x1•x2）==，f （x1）+f （x2）=，∴f （x1•x2）≠f （x1）+f （x2），因此不正确；②f （x1+x2）==f （x1）•f （x2），正确；③f （﹣x1）===，正确；④g（x1）==，当x1＞0时，g（x1）＞0；当x1＜0时，g（x1）＜0；因此不正确．⑤====，因此正确．综上可得：只有②③⑤正确．故答案为：②③⑤．三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）全集U=R，集合A={x|3≤x＜10}，（1）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围（结果用区间表示）．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜10}=[3，10），=（2，7]，∴A∩B=[3，7]﹣﹣﹣﹣﹣（3分）；A∪B=（2，10）﹣﹣﹣﹣﹣（6分）；（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）=（﹣∞，2]∪[10，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（2）∵集合C={x|x＞a}，A⊆C，∴＜3，∴a范围是（﹣∞，3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）==．（2）=（log316﹣log38）•log29=log32•（2log23）=2．19．（12分）已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f（x）=log2x，（1）求函数f（x）解析式并画出函数图象；（2）请结合图象直接写出不等式xf（x）＜0的解集．【解答】解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=log2（﹣x），又y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x）∴，（2）式xf（x）＜0的解集为：（﹣1，0）∪（0，1），20．（12分）已知矩形ABCD，|AB|=4，|AD|=1，点O为线段AB的中点．动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A．当点P运动过的路程为x时，记点P 的运动轨迹与线段OP、OB围成的图形面积为f（x）．（1）求f（x）表达式；（2）若f（x）=2，求x的值．【解答】解：（1）当0≤x≤1时，f（x）=×2×x=x；当1＜x≤5时，f（x）=×（2+x﹣1）×1=（x+1）；当5＜x≤6时，f（x）=4×1﹣×2×（6﹣x）=x﹣2；故f（x）=；（2）∵f（x）=2，∴1＜x≤5，∴f（x）=（x+1）=2，解得，x=3．21．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且有（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（x﹣2）+f（x﹣1）＜0．【解答】解：（I）由…（4分）（II）设﹣1＜x1＜x2＜1，由f（x1）﹣f（x2）=﹣===，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，∴，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数…（8分）（III）不等式等价为f（x﹣2）＜﹣f（x﹣1）=f（﹣x+1），∴﹣1＜x﹣2＜﹣x+1＜1，解得…（12分）22．（14分）已知f（x）=x2+bx+2．（1）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数b的取值范围；（2）若f（x）在区间[1，3]上最大值为8，求实数b的值；（3）若函数g（x）的定义域为D，[p，q]⊆D，用分法T：p=x0＜x1＜x2＜…＜x n=q 将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|g （x1）﹣g（x0）|+|g（x2）﹣g（x1）|+|g（x3）﹣g（x2）|+…+|g（x n）﹣g（x n﹣1）|≤M恒成立，则称函数g（x）在区间[p，q]上具有性质σ（M）．试判断当b=﹣2时，函数f（x）在[0，3]上是否具有性质σ（M）？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．【解答】解：（I）f（x）=x2+bx+2图象开口向上，对称轴依题意：；（II）当时，f max（x）=f（3）=11+3b=8，∴b=﹣1；当时，f max（x）=f（1）=3+b=8，∴b=5（舍去）；综上所述：b=﹣1；（III）当b=﹣2时，函数f（x）在[0，1]单调递减，而在[1，3]单调递增，对任意划分T：0=x0＜x1＜…＜x i﹣1＜x i＜…＜x n=3，必存在i∈（0，n），使得x i﹣1≤1，x i＞1；g（0）=g（x0）＞g（x1）＞…＞g（x i﹣2）＞g（x i﹣1）≥g（1）；g（1）＜g（x i）＜g（x i+1）＜…＜g（x n﹣1）＜g（x n）=g（3）；|g（x1）﹣g（x0）|+|g（x2）﹣g（x1）|+|g（x3）﹣g（x2）|+…+|g（x n）﹣g（x n ﹣1）|=g（x0）﹣g（x1）+g（x1）﹣g（x2）+…+g（x i﹣2）﹣g（x i﹣1）+|g（x i﹣1）﹣g（x i）|+g（x i+1）﹣g（x i）+g（x i+2）﹣g（x i+1）+…+g（x n）﹣g（x n﹣1）=g（x0）﹣g（x i﹣1）+g（x n）﹣g（x i）+|g（x i﹣1）﹣g（x i）|（*）；（法一）：当g（x i﹣1）≥g（x i）时，（*）=g（x0）+g（x n）﹣2g（x i）＜g（x0）+g（x n）﹣2g（1）=g（0）+g（3）﹣2g（1）=5；当g（x i﹣1）＜g（x i）时，（*）=g（x0）+g（x n）﹣2g（x i﹣1）＜g（x0）+g（x n）﹣2g（1）=g（0）+g（3）﹣2g（1）=5；所以存在常数M≥5，使得恒成立，所以M的最小值为5．（法二）：（*）=g（x0）﹣g（x i﹣1）+g（x n）﹣g（x i）+|g（x i﹣1）﹣g（1）+g（1）﹣g（x i）|≤g（x0）﹣g（x i﹣1）+g（x n）﹣g（x i）+|g（x i﹣1）﹣g（1）|+|g（1）﹣g（x i）|=g（x0）﹣g（x i﹣1）+g（x n）﹣g（x i）+g（x i﹣1）﹣g（1）+g（x i）﹣g（1）=g（x0）+g（x n）﹣2g（1）=g（0）+g（3）﹣2g（1）=5；所以存在常数M≥5，使得恒成立，所以M的最小值为5．。
福建省泉州一中高二数学上学期期中试卷 文
福建省泉州一中2014-2015学年高二数学上学期期中试卷 文一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
本题每小题5分，满分60分。
请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1.不等式260x x --<的解集为（ ）A.（-2,3）B.（-3,2）C.（-6,1）D. （-1,6） 2.复数2(2+iZ i i-=为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人。
为了了解职工的某种情况，决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则业务人员应抽取（ ） A. 1人 B.2人 C.7人 D. 8人4. 数据10,7,7,7,9的方差是（ ）A.8B.58C. 22D. 51025. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 6.当01x <<，函数(1)y x x =-的最大值为（ ） A.1 B.12 C. 14 D.187.将一枚质地均匀的硬币连抛三次，则“至少出现一次正面向上”的概率是（ ） A.13 B.23 C. 18 D.788.一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A.11.5和12 B.11.5和11.5 C.11和11.5 D.12和129. 为调查800名学生对“东亚文化之都”的了解情况，打算考虑采用系统抽样从中抽取一个容量为40的样本，，现将所有学生随机地编号为000，001，…，799，则第三组第一位学生的编号为（ ）1 7 1 6 4 0 20 9 7A ．039B ．040C ．041D ．042 10.下图给出的是计算1001...81614121+++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ． 51i <B ．50i <C ．26i >D ． 25<i11. 若a 是从区间[2,2]-任取的一个数，b 是从区间[2,2]-任取的一个数，则关于x 的一元二次方程222(1)0x ax b +--=有实根的概率是( ) A ．16πB ．16-16π C ． 14 D ．3412. 设(,)M x y 是区域86x y a x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩内的动点，且不等式214x y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]二、填空题: (本题共有4小题，每小题4分，满分16分。
2014-2015年福建省泉州市南安一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）i为虚数单位，若，则a的值为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（5分）以下说法，正确的个数为（）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0B．2C．3D．43．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4B．3.15C．4.5D．35．（5分）若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x2 6．（5分）下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．47．（5分）函数f（x）=﹣2的图象在点（1，﹣2）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣3=0B．2x+y=0C．x+y+1=0D．2x﹣y﹣4=0 8．（5分）由函数f（x）=e x﹣e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于（）A．e2﹣2e﹣1B．e2﹣2e C．D．e2﹣2e+1 9．（5分）函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）10．（5分）某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样11．（5分）已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=2ax3﹣3ax2+1，g（x）=﹣x+，若任意给定的x0∈[0，2]，总存在两个不同的x i（i=1，2）∈[0，2]，使得f（x i）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1]二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：13．（4分）函数f（x）=3x2﹣2lnx的单调减区间为．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为．15．（4分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为．16．（4分）在平面几何里，已知Rt△SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，则AB边上的高；现在把结论类比到空间：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h′=．三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．18．（12分）在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线DE与平面FGH平行；（Ⅱ）若点P在直线GF上，且二面角D﹣BP﹣A的大小为，试确定点P的位置．20．（12分）已知函数f（x）=+aln（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=2时，求证：1﹣＜2ln（x﹣1）＜2x﹣4（x＞2）．21．（12分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=﹣1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）i为虚数单位，若，则a的值为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：===﹣2﹣i，故选：C．2．（5分）以下说法，正确的个数为（）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0B．2C．3D．4【解答】解：根据归纳推理是从个别特征推出一般性结论的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；判定①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是演绎推理，∴①错误；②农谚“瑞雪兆丰年”是归纳推理，∴②正确；③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，是类比推理，∴③正确；④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，是演绎推理，∴④正确．所以，以上命题正确的有3个．故选：C．3．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．4．（5分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4B．3.15C．4.5D．3【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．5．（5分）若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x2【解答】解：∵△y=[2（1+△x）2﹣1]﹣1=2△x2+4△x，∴=4+2△x，故选：C．6．（5分）下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据众数的定义即可得出一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这个组数据的众数，5出现的次数最多，是正确的所以①对；由于一组数据的平均数与中位数一般是将原数据按大小排列后，进行计算得来的，所以平均数与中位数不一定相等，故②错；从小到大排列此数据（x除外）为：1，2，4这组数据的中位数是2，这样可得到方程（2+x）÷2=3，解得x=4．所以③对；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据不一定都是正数，故④错正确的有：①③故选：B．7．（5分）函数f（x）=﹣2的图象在点（1，﹣2）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣3=0B．2x+y=0C．x+y+1=0D．2x﹣y﹣4=0【解答】解：函数的导数为f′（x）=，则f′（1）=1，则对应的切线方程为y+2=x﹣1，故x﹣y﹣3=0，故选：A．8．（5分）由函数f（x）=e x﹣e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于（）A．e2﹣2e﹣1B．e2﹣2e C．D．e2﹣2e+1【解答】解：由题意，令f（x）=0，可得x=1∴函数f（x）=e x﹣e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于=（e x﹣ex）=e2﹣2e故选：B．9．（5分）函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）【解答】解：根据题意，y'=3x2﹣2a=0有极小值则方程有解a＞0x=±所以x=是极小值点所以0＜＜10＜＜10＜a＜故选：B．10．（5分）某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样【解答】解：在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30．①中数据为7，37，67，97，127，157，187，217，247，277，数据相差30，所以①为系统抽样或分层抽样．②中数据5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；数据排列没有规律，可能为分层抽样．③中数据11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；数据相差30，所以③为系统抽样或分层抽样．④中数据31，61，91，121，151，181，211，241，271，300，数据相差30，但第一个数据大于30，所以④不可能是系统抽样．故D正确．故选：D．11．（5分）已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=2ax3﹣3ax2+1，g（x）=﹣x +，若任意给定的x0∈[0，2]，总存在两个不同的x i（i=1，2）∈[0，2]，使得f（x i）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1]【解答】解：f′（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1）．①当a=0时，显然不可能；②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示又因为当a＞0时，g（x）=﹣x+在[0，2]上是减函数，对任意x∈[0，2]，g（x）∈[﹣，]，不合题意；③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示f（x）在[0，2]的最大值为1﹣a；又因为当a＜0时，g（x）=﹣x+在[0，2]上是增函数，所以对任意x∈[0，2]，g（x）∈[，﹣]，由题意必有g（x）max＜f（x）max，可得﹣＜1﹣a，解得a＜﹣1．综上a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故选：A．二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：13．（4分）函数f（x）=3x2﹣2lnx的单调减区间为．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求出函数f（x）=3x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，结合函数的定义域得故答案为14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为．【解答】解：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）可知=（2，﹣2，1），=（2，2，﹣1），∴•=2×2﹣2×2﹣1×1=﹣1，||=3，||=3∴cos＜，＞==﹣∴＜，＞∴由三角函数的平方关系得sin＜，＞=故答案为．15．（4分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为cm．【解答】解析：设圆锥的高为h cm，=π（400﹣h2）×h，∴V圆锥∴V′（h）=π（400﹣3h2）．令V′（h）=0，得h2=，∴h=（cm）当0＜h＜时，V′＞0；当＜h＜20时，V′＜0，∴当h=时，V取最大值．故答案为：cm．16．（4分）在平面几何里，已知Rt△SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，则AB边上的高；现在把结论类比到空间：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h′=．【解答】解：把结论类比到空间：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h'=．证明：设S到平面ABC的距离为h′，过点S向底面ABC引垂线，垂足为O，连CO并延长交AB于M，连接SM，则SM⊥AB，CM⊥AB，在直角三角形SAB中，由勾股定理得|AB|=，又ab=|AB|•|SM|∴|SM|=，∵SA，SB，SC两两相互垂直，故SC⊥平面SAB，SM⊂平面SAB，∴SC⊥SM，∵在直角三角形CSM中，|CM|=，∴是S△=•|AB|•|CM|=••=•，ABC=V C﹣ABS可得：由V S﹣ABC•abc=S△ABC•h′=•••h′，∴h′=，∴S到平面ABC的距离h′=．故答案为：．三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．【解答】解：f′（x）=2ax+b+=，x∈（0，+∞），（1）∵y=f（x）的极值点为1和2，∴2ax2+bx+4=0的两根为1和2，∴，解得a=1，b=﹣6．（2）由（1）得f（x）=x2﹣6x+4ln x，∴f′（x）=2x﹣6+=，x∈（0，3]．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：∵f（3）=4ln 3﹣9＞f（1）=﹣5＞f（2）=4ln2﹣8，∴f（x）max=f（3）=4ln3﹣9．18．（12分）在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）n=2时，a2﹣a1=+2+1，∴a2=12．同理可得a3=20，a4=30．（2）猜测a n=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：①当n=1，2，3，4时，显然成立；②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有a k=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，=+n+1，得+n+1，由且a n﹣a n﹣1故==（k+2）（k+3），故n=k+1时等式成立；由①②可知：a n=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．19．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线DE与平面FGH平行；（Ⅱ）若点P在直线GF上，且二面角D﹣BP﹣A的大小为，试确定点P的位置．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．∵G，H，F分别是AE，BC，BE的中点，∴MH∥AB，GF∥AB，∴MH∥GF，即GFHM四点共面又由M，G是中点，可得MG∥DE因为DE⊄平面MGFH，MG⊂平面MGFH，∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．（Ⅱ）解：如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立建立空间直角坐标系A﹣xyz．．∴，，．设，则．设平面PBD的法向量为1=（x，y，z），则∴取，得，x=5﹣2λ，∴．又平面ABP的法向量为2=（0，0，1），∴解得λ=1或4．故或∴或20．（12分）已知函数f（x）=+aln（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=2时，求证：1﹣＜2ln（x﹣1）＜2x﹣4（x＞2）．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=+aln（x﹣1），所以f′（x）=…（1分），若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即恒成立，所以．…（2分）又x∈[2，+∞），则，所以a≥1．…（4分）（Ⅱ）证明：当a=2时，由（Ⅰ）知函数在[2，+∞）上是增函数，…（5分）所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即，则．…（8分）令g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1），则有，…（9分）当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，因此g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，即可得到2x﹣4＞2ln（x﹣1）．…（11分）综上有（x＞2）．…（12分）21．（12分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．【解答】解：（1）∵，2c=2，∴a=，b=，∴椭圆的方程为．…（2分）联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==•=．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）∵，，∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴，整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．…（9分）∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得2a2=1+，∴，…（10分）∵，∴，∴，∴，∴，∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…（12分）22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=﹣1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x﹣3+==， (2)分当0＜x时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=﹣2，…5分；（Ⅱ）当a=﹣1时，f′（x）=2x﹣1﹣（x＞0），所以切线的斜率k=2m﹣1﹣===，整理可得m2+lnm﹣1=0，显然m=1是方程的解，又因为函数y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；（Ⅲ）当a=8时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：h（x）=，设F（x）=f（x）﹣h（x），则F（x0）=0，F′（x）=f′（x）﹣h′（x）=（）﹣（）=（x﹣x0）（x﹣）若0＜x0＜2，F（x）在（x0，）上单调递减，所以当x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，若x0＞2，F（x）在（，x0）上单调递减，所以当x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，若x0=2时，F′（x）=，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分。
福建省泉州一中—度高二数学理科第一学期期中测试试题Ⅰ卷新课标人教B版必修三
泉州一中2009—2010学年度高二数学理科第一学期期中测试试题Ⅰ卷时间120分钟 满分150分一、选择题(本题共有12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1.将一根长为a 的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（ ） A ．必然事件 B ．不可能事件C ．随机事件 D ．不能判定 2、下列命题中，为真命题的是（ ）A ．5>3且-3<0B ．若φ=B A ，则φ=AC ．方程0)1()2(22=-++y x 的解为12=-=y x 或D ．∃R x ∈使得12-=x3． 已知一个样本5,,1,y x ．其中y x ,是方程组⎩⎨⎧=+=+3232y x y x 的解，则这个样本的方差是（ ）A ．4B ．2C ．5D ．25 4．下左图程序输出的结果是 （ ）A.3,4B. 4,4C.3,3D.4,35．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如上右图所示： 则中位数与众数分别为（ ）A ．23与3B ．23与24C ．23与22D ．23与236．抽查10件产品，设事件A ：“至少有两件次品”， 则“事件A 的对立事件”为（ ）Ａ．至多有两件次品 Ｂ．至多有一件次品 Ｃ．至多有两件正品 Ｄ．至少有两件正品7．阅读右图的程序框图，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．5>i ? B. 6>i ? C. 7>i ? D. 8>i ? 8． 从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取子集是含有2个元素的集合的概率为（ ） Ａ．310Ｂ．112Ｃ．4564Ｄ．38共9个共13个共11个0 1 3 5 60 1 2 2 3 4 4 8 90 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 81 2 2 2 3 3 4 6 7 8 98 943219．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．10B ．414C ．241D ．2010．x 2－3x －10＜0的一个必要不充分条件是 （ ） A ．－2＜x ＜5 B ．－2＜x ＜0 C ．－5＜x ＜2 D ．－2＜x ＜611．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有颜色的概率是（ ） A ．81 B ．85C ．83D ．7312. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ）A ．金盒里B ．银盒里C ．铅盒里D ．在哪个盒子里不能确定二、填空题(本题共有4小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.)13．命题p ：“R m ∈∀，0122≥+-m m ”的否定形式（即“p ⌝”形式）是 。
福建省泉州第一中学1415学年度高二上学期期末考试——
福建省泉州第一中学2014—2015学年度上学期期末考试高二数学理试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题（每小题5分共50分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真C ．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”D ．“△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 “△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 不都是锐角” 3．若实数k 满足0<k<9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面 5．若,使成立的一个充分不必要条件是( ) A ． B ． C ． D ．6．若如下框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是()A ．k ＝9?B ．k≤8?C ．k ＜8?D ．k ＞8?7．若变量满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．408．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A ．12 B. 0 C.32 D.229．已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x 2＋8x －8， 则曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线的斜率为（ ）A ．-6B ．6C ．2D ．110．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2分别是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上） 11．若,，且为纯虚数，则实数的值为 ．12．已知点P 在直线4x ＋3y-12=0位于第一象限的部分上，过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为A,B ，则矩形OAPB 面积的最大值为________．13．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为1，b ，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p ＞0)经过C ，F 两点，则b ＝________．14．已知,A （1，2），C （0，1），则方程有实数根的概率为 ．15．若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切； 曲线在附近位于直线的两侧.则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_____ _ (写出所有正确命题的序号) . ①直线：在点处“切过”曲线：； ②直线：在点处“切过”曲线：； ③直线：在点处“切过”曲线：； ④直线：在点处“切过”曲线：， ⑤直线：在点处“切过”曲线：三．解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分13分)(1)已知命题p: m ＞2；q:方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“”为真，且“p 或q”为真， 求m 的取值范围． (2)已知命题；2:(2)20(0)q x t x t t +--≤> ，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．17．(本小题满分13分)已知平面直角坐标系中，点P的坐标(x－2，x－y)．(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求事件“P点在第一象限”的概率；(2)若利用计算机随机在区间[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求“P点在第一象限”的概率．18．(本小题满分13分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.(1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内是否存在一点，使面？若存在，求出到和的距离；若不存在，说明理由.19．(本小题满分13分)烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h米，盖子边长为a米，(不计容器厚度)(1)求a关于h的解析式a=f(h)；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值20．(本小题满分14分)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．21.(本小题满分14分)已知二次函数，且函数在处取得极大值为．19()ln (,0)28f x g x m x m x ⎛⎫=+++∈> ⎪⎝⎭R 设．（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数m 的取值范围；（3）设，，证明:对，恒有参考答案二．填空题11． 4 12． 3 1314． 15． ①③④ 三．解答题 16． 解：（1）若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3. ………………2分 ∵“”为真，“p 或q ”为真， ∴p 为假，q 为真 ………………4分 ∴解得：1＜m ≤2. ………………6分 （2）法一：由，得．：{}102|>-<=x x x A 或．……………8分由2(2)20(0)x t x t t +--≤>，得．：B={|2,0x x x t t <->>或}．………10分 ∵是的充分非必要条件，且， AB ．………11分 …………13分 法二：由，得．……………………8分由2(2)20(0)x t x t t +--≤>，得．……………………10分∵是的充分非必要条件 是的充分非必要条件………………11分 ……………………13分其中基本事件是总数为9，随机事件A“P 点在第一象限”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝29.……………………6分(2)设事件B 为“P 点在第一象限”．若⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，0≤y≤3，则其所表示的区域面积为3×3＝9. ……………………8分 由题意可得事件B 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，0≤y≤3，x －2>0，x －y>0，即如图所示的阴影部分，……………………10分其区域面积为1×3－12×1×1＝52. ……………………11分∴ P(B)＝529＝518.……………………13分18．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设的夹角为，则,1473723cos ===θ ∴与所成角的余弦值为.-------------6分 (2)由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.-------------13分19．解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：222'2142214a h a h a h ⎧'+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去.:0)h a h '=>解得-------------6分 (2)由(h ＞0) -------------8分 得：2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而-------------10分 所以V ≤，当且仅当h =即h =1时取等号-------------12分故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为立方米. -------------13分20．解：（1）以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系． ∵ 22)22(222||||||||22=++=+=+CB CA PB PA ， ∴ 动点轨迹为椭圆，且，c ＝1，从而b ＝1．∴ 方程为 ． ----6分（2）设M （，）、N （，），将y ＝x ＋t 代入，得0224322=-++t tx x ．--8分∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>--=∆⋅⋅③②①322340)22(34162212122t x x t x x t t ，， 由①得＜3．-------------10分 ∴1||||||||1212122S AB y y y y x x MANB =-=-=-=-------------12分∴ t ＝0时，．-------------14分21.解：（1），于是='2332()22y x ax b =++-，由已知133222332022a b a b ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 121a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩经检验，符合题意。
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Ⅰ卷 一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.请将答案填写在Ⅱ卷上) 1.中，若，则的面积为 （ ） A． B． C.1 D. 2．在ABC中，角A、B、C的大小成等差数列，则sin(A+C)=( ) A. B. C. D. 3. 在等差数列中,( ) A. 5 B．6 C．4 D．8 4．对于任意实数，给定下列命题；其中真命题的是（ ） A．若 B．若，则 C． D． 5．等比数列中，且，则（ ） A．9 B．6 C．3 D．2 6．两灯塔A，B 与海洋观察站C 的距离都为10 km， 灯塔A 在C 北偏东15°，B 在C 南偏东45°，则A，B 之间的距离为（ ）公里. A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则不等式组所表示的平面区域的面积为( ) A. 7 B．4 C． D． 8．中,下列说法正确的是（ ） A．; B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则 9．正项等比数列中，为其前项和，若，，则为（ ） A．21 B．18 C．15 D．12 10．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,…)，则第n－2个图形中共有（ ）个顶点。
A．n2+n B．n2+n-2 C．n2+2n D．n3+n 11．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中为真命题的是 ( ) A．若总有成立，则数列是等差数列 B．若总有成立，则数列是等比数列 C．若总有成立，则数列是等差数列 D．若总有成立，则数列是等比数列 12．已知二次函数的图像关于轴对称，则此函数的图象与轴交点的纵坐标的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 二、填空题(本题共有4小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.) 13．在△ABC中，若_________。
14．函数 的最小值为_____________。
福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣12．（5分）已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）3．（5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．4．（5分）“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a＞0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件9．（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要11．（5分）“x≠2或y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件12．（5分）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一条斜率不为0的直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于（）A．B．C．2a D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．（4分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．14．（4分）若m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为．15．（4分）“x＞1”是“x2＞x”的条件．16．（4分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC （1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．18．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．20．（12分）已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知点H在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线B1D1上，∠HDA=60°．（Ⅰ）求DH与CC1所成角的大小；（Ⅱ）求DH与平面A1BD所成角的正弦值．22．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出它的否命题．解答：解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是“若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”．故选：C．点评：本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题．2．（5分）已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）考点：空间向量的概念．分析：根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解答：解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．3．（5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先设出椭圆方程，根据椭圆过的定点坐标和椭圆的焦点坐标，即可求出椭圆方程，得到a 的值，再根据焦点坐标求出c的值，利用椭圆的离心率e=求出椭圆的离心率．解答：解：∵椭圆焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴设椭圆方程为（a2﹣4＞0）又∵椭圆经过点P（2，3），∴解得，a2=16或a2=1，∵a2﹣4＞0，∴a2=16∴a=4，∵焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴c=2∴e==故选C点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法和离心率的求法．属于椭圆的常规题．4．（5分）“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：“p或q为假命题”p和q都是假命题，而非P是真命题表示P是一个假命题，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者．解答：解：“p或q为假命题”表示p和q都是假命题，而非P是真命题表示P是一个假命题，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是理解命题真假的判断中真值表的应用，本题是一个基础题．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．分析：求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．解答：解：连接BD，∵MN∥BD，∴异面直线MN与BD1所成的角即为直线BD与BD1所成的角：∠D1BD∵在Rt△D1DB中，设D1D=1，则DB=，D1B=∴cos∠D1BD=∴异面直线MN与BD1所成的角的余弦值为故选D．点评：本小题考查空间中的线面关系，异面直线所成的角、解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．6．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF2|=，|F1F2|=2c，根据△MNF1为正三角形，得到（）×=2c，整理此方程可得双曲线的离心率．解答：解：由题意可知，M，N关于x轴对称，∴|NF2|=，|F1F2|=2c，∵△MNF1为正三角形，结合双曲线的定义，得到MF1=MF2+2a，∴（×2）×=2c，∴（c2+a2）=4ac，两边同除以a2，得到，解得e=或e=＜1（舍去）；故选B．点评：本题考查了双曲线的离心率，关键是根据双曲线的定义以及等边三角形的性质，找出几何量a，c之间的关系，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO1⊥B1D1，由长方体的性质可证有OC1⊥BB1，且由直线与平面垂直的判定定理可得OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，可求解答：解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1∴OC1⊥平面BB1D1D则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，∴故选C．点评：本题以长方体为基本模型，考查了直线与平面所成角的秋季解，解决本题的关键是熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线，进而找出线面角，然后在直角三角形中求解角．8．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a＞0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，由关于x的不等式x2+2ax﹣a ＞0的解集是R，我们易得对应方的判别式△小于0，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围，与命题q中的a的范围比较后，结合“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．解答：解：依题意得△=4a2+4a＜0，解得﹣1＜a＜0，即p：﹣1＜a＜0，又因为q：﹣1＜a＜0，所以p是q的充分必要条件．故选C点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．9．（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围．解答：解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，△=k2﹣2=0，k=±2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±，3），则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故选D．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法10．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．11．（5分）“x≠2或y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合充分必要条件的定义进行判断，从而得到结论．解答：解：∵x≠2或y≠﹣2能推出xy≠﹣4，是充分条件，xy≠﹣4推不出x≠﹣2或y≠﹣2，不是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．12．（5分）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一条斜率不为0的直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于（）A．B．C．2a D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1代入答案可得．解答：解：易知F坐标（0，）准线方程为x=﹣．÷设过F点直线方程为y=kx+代入抛物线方程，得ax2﹣kx﹣=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=，x1+x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+=，y1y2==，根据抛物线性质可知，m=y1+，n=y2+∴m+n=y1+y2+=，mn=+=，∴==故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．（4分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．解答：解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣4点评：解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路．14．（4分）若m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把点P（m，）代入双曲线﹣=1可得m，再利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：∵m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，∴=1，解得m=3．∴P．双曲线的左焦点F（﹣3，0），∴点P到该双曲线左焦点的距离==．故答案为：．点评：本题考查了点与双曲线的关系、两点之间的距离公式，属于基础题．15．（4分）“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由题意把x2＞x，解出来得x＞1或x＜0，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜0，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞x，∴x＞1或x＜0，∴x＞1⇒x2＞x，∴x＞1是x2＞x充分不必要，故答案为充分不必要．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．16．（4分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设出直线AB的方程为y=﹣x+b，然后代入到抛物线方程中消去y得到两根之和、两根之积，再由x1x2=﹣可求出b的值从而确定直线AB的方程，再设AB的中点坐标M，根据A，B，M坐标之间的关系可得M的坐标，然后代入到直线y=x+m求出m的值．解答：解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入y=2x2得2x2+x﹣b=0，∴x1+x2=﹣，x1x2==﹣．∴b=1，即AB的方程为y=﹣x+1．设AB的中点为M（x0，y0），则x0==﹣，代入y0=﹣x0+1，得y0=．又M（﹣，）在y=x+m上，∴=﹣+m．∴m=．点评：本题主要考查直线和抛物线的位置关系问题，解决该题的关键是充分利用对称条件．属中档题三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC （1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，由向量法能证明A1C⊥平面BED．（2）由，，得到平面A1DE的法向量，同理得平面BDE的法向量为，由向量法能求出二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．解答：解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），，，∵，，∴，，∴A1C⊥平面BED（2）∵，，设平面A1DE的法向量为，由及，得﹣2x+2y﹣3z=0，﹣2x﹣4z=0，取同理得平面BDE的法向量为，∴cos＜＞===﹣，所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．18．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率，故椭圆方程为，又点在椭圆上，由此能导出椭圆的方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m2＜4k2+3．又，知MN中点P的坐标为，由此能求出k的范围．解答：解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴∴a=2c∴b2=a2﹣c2=3c2∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c2=1∴椭圆的方程为…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0…（6分）∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3…（8分）又∴MN中点P的坐标为…（9分）设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l'上∴即4k2+8km+3=0∴…（11分）将上式代入得∴即或，∴k的取值范围为点评：本题考查椭圆方程和k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的灵活运用，合理地进行等价转化．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD 内两相交直线垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理；（II）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，CA=CD=2，AD=，故S△ACD==，由AO=1，知S△CDE==，由此能求出点E到平面ACD的距离．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=．而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD（Ⅱ）解：设点E到平面ACD的距离为h．∵V E﹣ACD=V A﹣CDE，∴在△ACD中，CA=CD=2，AD=，∴S△ACD==，∵AO=1，S△CDE==，∴h=，∴点E到平面ACD的距离为．点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．20．（12分）已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；恒过定点的直线；轨迹方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．由此能得到所求的轨迹方程．（2）假设存在A，B在y2=4x上，所以，直线AB的方程：，令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）．解答：解：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且，p=2，所以所求的轨迹方程为y2=4x（5分）（2）假设存在A，B在y2=4x上，所以，直线AB的方程：，即（7分）即AB的方程为：，即（y1+y2）y﹣y12﹣y1y2=4x﹣y12即：（y1+y2）y+（16﹣4x）=0，（10分）令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）（12分）点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．21．（12分）如图，已知点H在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线B1D1上，∠HDA=60°．（Ⅰ）求DH与CC1所成角的大小；（Ⅱ）求DH与平面A1BD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，设H（m，m，1）（m＞0），求出、，利用向量的夹角公式可求DH与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求出平面A1BD的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系，设H（m，m，1）（m＞0），则=（1，0，0），=（0，0，1），连接BD，B1D1．则=（m，m，1）（m＞0），由已知＜，＞=60°，∴可得2m=，解得m=，∴=（，，1），∴cos＜，＞=，∴＜，＞=45°，即DH与CC′所成角的大小为45°；（Ⅱ）设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），则令x=1得=（1，﹣1，﹣1）是平面A1BD的一个法向量．…（9分）设DH与平面A1BD所成的角为θ，∴sinθ=cos＜，＞=﹣． (12)点评：本题考查向量知识的运用，考查空间角，正确运用向量的夹角公式是关键．22．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．。
2014-2015年福建省泉州市晋江市季延中学高二(上)期中数学复习试卷和参考答案(理科)
2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学复习试卷（理科）一、选择题1．（3分）下列命题是真命题的是（）A．“若x=0，则xy=0”的逆命题；B．“若x=0，则xy=0”的否命题；C．若x＞1，则x＞2；D．“若x=2，则（x﹣2）（x﹣1）=0”的逆否命题2．（3分）对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为3．（3分）下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．4．（3分）“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件5．（3分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．6．（3分）已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（3分）以下有四种说法，其中正确说法的个数为（）（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（3分）如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等（）A．B．C．D．9．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．810．（3分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线二、填空题11．（3分）命题“若a＜b，则a+c＜b+c”的逆否命题是．12．（3分）已知向量=（0，﹣1，1），=（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=．13．（3分）已知点M（1，﹣1，2），直线AB过原点O，且平行于向量（0，2，1），则点M到直线AB的距离为．14．（3分）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．15．（3分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1CC1所成的角为a，则sina=．三、解答题（共6小题，满分0分）16．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．17．已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的标准方程．18．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A=90°，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动．求AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为？20．已知抛物线的方程为y2=4x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且M．（4，0），MA⊥MB，求S△MAB21．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学复习试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列命题是真命题的是（）A．“若x=0，则xy=0”的逆命题；B．“若x=0，则xy=0”的否命题；C．若x＞1，则x＞2；D．“若x=2，则（x﹣2）（x﹣1）=0”的逆否命题【解答】解：A选项不正确，其逆命题是“若xy=0，则x=0”，xy=0时，可能是x ≠0，y=0；B选项不正确，其否命题是若x≠0，则xy≠0”，因为x≠0，y=0有xy=0；C选项不正确，如＜2D选项正确，若x=2，则（x﹣2）（x﹣1）=0是一个真命题，故其逆否命题是真命题．故选：D．2．（3分）对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为【解答】解：∵a=4＞0，∴图象开口向上，焦点为．故选：B．3．（3分）下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A中，；选项B中有：，选项C中零向量与任意向量平行，选项D，事实上不存在任何一个实数λ，使得，即：（16，24，40）=λ（16，24，40）．故选：D．4．（3分）“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l与平面内无数条直线都垂直”，如果是平行直线，则直线l与平面不垂直，∴“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的不是充分条件．∵“直线l与平面垂直”，∴根据定义可判断：直线l与平面内任意的直线都垂直，∴直线l与平面内无数条直线都垂直．∴“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的必要条件．故选：C．5．（3分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选：D．6．（3分）已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：据双曲线的定义知，P的轨迹是以F1（5，0），F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为6的双曲线．所以c=5，a=3b2=c2﹣a2=16，所以双曲线的方程为：故选：A．7．（3分）以下有四种说法，其中正确说法的个数为（）（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：，“m是实数”m可能是无理数，故“m是有理数”错，（1）错；a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，故（2）错误；x2﹣2x﹣3=0⇒x=3或﹣1，不一定x=3，故（3）错；由A=φ，有：A∩B=∅，不能得出A∩B=B，故（4）错误．四种说法，其中正确说法的个数为：0故选：A．8．（3分）如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等（）A．B．C．D．【解答】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，∴=，=∴=++=+=故选：C．9．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选：D．10．（3分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：∵AB‖CD，且AB⊥平面α∴CD⊥平面α且AB⊥BP CD⊥CP∵∠APB=∠DPC∴△APB∽△DPC∴PB：PC=AB：CD∵AB=2CD∴PB：PC=2∵2BC=4∴BC=2∴B、C是定点∴P点的轨迹是圆二、填空题11．（3分）命题“若a＜b，则a+c＜b+c”的逆否命题是若a+c≥b+c，则a≥b．【解答】解：命题“若a＜b，则a+c＜b+c”的逆否命题“若a+c≥b+c，则a≥b”，故答案为：若a+c≥b+c，则a≥b12．（3分）已知向量=（0，﹣1，1），=（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=3．【解答】解：∵=（0，﹣1，1），=（4，1，0），∴λ+=（4，1﹣λ，λ），∴16+（λ﹣1）2+λ2=29（λ＞0），∴λ=3，故答案为：3．13．（3分）已知点M（1，﹣1，2），直线AB过原点O，且平行于向量（0，2，1），则点M到直线AB的距离为．【解答】解：∵点M（1，﹣1，2），直线AB过原点O，且平行于向量（0，2，1），∴=（1，﹣1，2），∴=0，∴OM⊥AB，∴点M到直线AB的距离为||，∴点M到直线AB的距离||==．故答案为：．14．（3分）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．【解答】解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=；故答案为．15．（3分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1CC1所成的角为a，则sina=．【解答】解：如图所示，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，在正三棱柱中，有B1E⊥面AA1C1C，BF⊥面AA1C1C，故DG⊥面AA1C1C，∴∠DAG=α，可求得DG=BF=，AD=，故sinα=故答案为．三、解答题（共6小题，满分0分）16．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）17．已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的标准方程．【解答】解：设所求椭圆方程为，其离心率为e，焦距为2c，双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）∴（6分）∴，即①（8分）又b=c1=4 ②（9分）a2=b2+c2③（10分）由①、②、③可得a2=25∴所求椭圆方程为（12分）18．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A=90°，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）【解答】解：由题意AB∥CD，∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角．连接AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC=．又在Rt△ACC1中，可得AC1=3．在梯形ABCD中，过C作CH∥AD交AB于H，得∠CHB=90°，CH=2，HB=3，∴CB=．又在Rt△CBC1中，可得BC1=，在△ABC1中，cos∠C1BA=，∴∠C1BA=arccos，异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动．求AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为？【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．设平面D1EC的法向量=（a，b，c），∴=（1，x﹣2，0），=（0，2，﹣1），=（0，0，1）．由．令b=1，∴c=2，a=2﹣x．∴=（2﹣x，1，2）．依题意，．∴（不合题意，舍去），．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．20．已知抛物线的方程为y2=4x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且M （4，0），MA⊥MB，求S．△MAB【解答】解：∵抛物线的方程为y2=4x，∴F（1，0），设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韦达定理：x1+x2=，x1x2=1，y1y2=﹣4∵MA⊥MB，=（x1﹣4，y1），=（x2﹣4，y2），∴=x1x2﹣4（x1+x2）+16+y1y2=13﹣4×=0，∴k2=，又=4（x1+x2）﹣2y1y2=4×+8=21，∴|y1﹣y2|=，∴S=|MF||y1﹣y2|==．△MAB21．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．。
福建省泉州一中08-09学年高二上学期期中考试(数学理)(实验班)
泉州一中2008—2009学年度第一学期期中能力测试试题高 二 数 学（理科实验班） Ⅰ卷时间120分钟 满分150分 命题：陈志文审核：刘水明一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1、对于任意实数d c b a ,,,，给定下列命题；其中真命题的是（ ）A 、若bc ac c b a >≠>则,0,B 、若b a >，则22bc ac >C 、b a bc ac >>则若,22D 、ba b a 11,<>则若2．等比数列{}n a 中0n a >，且965=⋅a a ，则3239log log a a +=（ ）A 、9B 、6C 、3D 、23．数列1614,813,412,211，……的前n 项和为（ ）A ．2212nn n ++ B ．2212n n n ++-C ．12212+++-n n nD ．22121nn n ++-+ 4. ABC ∆中,下列说法正确的是（ ）A 、B b A a sin sin =; B 、若B A >，则B A sin sin >C 、若B A >，则B A cos cos >D 、若A C B 2sin sin sin =+，则2a c b =+5、等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若72=S ，916=S ，则4S 为（ ）A 、28B 、32C 、35D 、496、在锐角ABC ∆中，边a 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，边b 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则边c 的取值范围是（ ）A 、)5,1(B 、)13,1(C 、)13,5(D 、)5,5(7．我们把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）则第七个三角形数是( )A 、27B 、28C 、29D 、301 3 6 10 15 ……8、在ABC ∆中，2=BC ，角3π=B ，当ABC ∆的面积等于2时，=C sin （ ） A.23 B.21C.3D. 439．已知等差数列1,}{>m S n a n n 若项和为的前，且mS a a a m m m m 则,38,012211==-+-+-等（ ）A ．38B ．20C ．10D ．910、已知数列}{n a 满足：21=a ，⎩⎨⎧-=+121n n n a a a 为偶数为奇数n n ，若随机从数列}{n a 的前5项中选出两项相乘，则这两项之积等于12的概率为（ ）A 、101 B 、51 C 、52 D 、103 11、某同学第一次在商店买x 张小贴纸花去)1(≥y y 元，第二次再买这种贴纸时，发现该贴纸已经降价，且120张恰好降价8元，所以他第二次比第一次多买了10张，共花去2元，那么他第一次至少买（ ）张这种贴纸A 、4B 、5C 、6D 、712、数列{}n a 中，相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b 的值等于（ ）A 、5800B 、5840C 、5860D 、6000二、填空题(本题共有4小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.)13、海上有两个小岛B A ,相距10海里，从A 岛望B 岛和C 岛成60的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75的视角，则C B ,两岛之间的距离是 海里14．在等比数列{n a }中,若4681012243a a a a a =,则21012a a 的值为___________.15．已知}0,0,6|),{(>><+=Ωy x y x y x ，}02,0,4|),{(>-><=y x y x y x A ，则区域Ω的面积是 ；若向区域Ω上随机投一点P ，P 落入区域A 的概率为 ．16．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 … … … … … 则2008在第 行 ，第 列．班 座号 姓名____________ _____◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆泉州一中2008—2009学年度第二学期期中能力测试试题一、选择题（把选项代号填入下表，每题5分，满分60分）二、填空题(本题共有4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.)13、 14、15、 16、三、解答题（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分） 已知集合}122|{≤-=x xx A ，集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B (1)求集合B A ,；(2)若A B ⊆，求m 的取值范围。
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理科）试题2．已知命题p ：2,0x R x ∀∈≥，则以下表述正确的是（ C ） A.2:,0p x R x ⌝∃∈≥ B. 2:,0p x R x ⌝∃∈≤ C.2:,0p x R x ⌝∃∈< D. 2:,0p x R x ⌝∀∈< 3.椭圆的长轴和短轴的长分别是（ B ）A ．5，4B ．10，8C ．10，6D ．8，64.在区间之间随机抽取一个数,则满足的概率为( D )A ．B ．C ．D ．5. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线为0x y ±=，则双曲线的焦距为(B )A ．2B ．C ．D ．46．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( A ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->7.“2<x ”是“022<--x x ”的（ B ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 8．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是( C ) A. ?10>kB.?5<kC. ?5>kD.?10<k9.已知F 2(c ,0)(c>0)是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222x y b +=相切，切点Q 为线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率等于（ A ）AB ．23CD ．1210．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交 点的纵坐标的最大值是（ B ）B. 2C. 4D. 1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上） 11．命题“若且,则”的逆命题为 若则且, ．12．已知变量y x z x y x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-则满足,003202,的最大值是 3 ．13.已知0,0>>b a ，且12=+b a .则ba 11+的最小值为___223+___. 14.直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 且与抛物线交于),(),(2211y x B y x A 、两点； 若10=AB ，则线段AB 中点的横坐标为 4 ．15．方程1169x x y y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像,对于函数()y f x =,有如下结论①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点； ③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称,则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x +=确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 ①②③ ．三．解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知命题2a x ≤″，命题"022:"2有实数根的方程关于=++a ax x x q ．错误！未找到引用源。
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2．已知命题p ：2,0x R x ∀∈≥，则以下表述正确的是（ C ） A.2:,0p x R x ⌝∃∈≥ B. 2:,0p x R x ⌝∃∈≤C.2:,0p x R x ⌝∃∈< D. 2:,0p x R x ⌝∀∈<3. B ）A ．5，4B ．10，8C ．10，6D ．8，64.( D )A 5. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线为0x y ±=，则双曲线的焦距为(B )A ．2B ．C ．D ．46．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( A ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c -> 7.“2<x ”是“022<--x x ”的（ B ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 8．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是( C ) A. ?10>kB.?5<kC. ?5>kD.?10<k9.已知F 2(c ,0)(c>0)是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222x y b +=相切，切点Q 为线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率等于（ A ）AB ．23CD ．1210．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交 点的纵坐标的最大值是（ B ）B. 2C. 4D. 1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上） 11．命题“,的逆命题为且, ．12．已知变量y x z x y x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-则满足,003202,的最大值是 3 ．13.已知0,0>>b a ，且12=+b a .则ba 11+的最小值为___223+___. 14.直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 且与抛物线交于),(),(2211y x B y x A 、两点； 若10=AB ，则线段AB 中点的横坐标为 4 ．15．方程1169x x y y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像,对于函数()y f x =,有如下结论:①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点； ③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称,则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x +=确定的曲线.其中所有正确的命题序号是 ①②③ ．三．解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分13分)已知命题错误！未找到引用源。
2a x ≤″，命题"022:"2有实数根的方程关于=++a ax x x q ．错误！未找到引用源。
若命题错误！未找到引用源。
为假命题，求实数错误！未找到引用源。
的取值范围．解：若命题错误！未找到引用源。
为真命题, 则错误！未找到引用源。
恒成立，错误！未找到引用源。
由命题错误！未找到引用源。
为真命题, 知错误！未找到引用源。
若命题错误！未找到引用源。
为假命题，得错误！未找到引用源。
为假命题，错误！未找到引用源。
也为假命题………… ……9分错误！未找到引用源。
………………………………………………12分 综上所求实数 错误！未找到引用源。
的取值范围是错误！未找到引用源。
………………………………………13分 17．(本小题满分13分)已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为},1{b x x x ><或 （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式：0)(2<++-bc x b ac ax ．解：（Ⅰ）2,1==b a ；………………………………………………………………6分 （Ⅱ）当),2(,2c x c ∈>；当∅∈=x c ,2；当)2,(,2c x c ∈<………………13分 18．(本小题满分13分)已知点1(,0)2F -，直线1:2l x =，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离. （Ⅰ）试判断动点P 的轨迹C 的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过点(0,2)A 的直线n 与轨迹C 有且只有一个公共点，求直线n 的方程． 解：由已知得动点P 的轨迹为以点1(,0)2F -为焦点以直线1:2l x =为准线的抛物线， 所以点P 的轨迹方程是22y x =- …… …… …… …………………………6分（Ⅰ）当直线n 的斜率不存在时，直线n 的方程为0x =，直线l 与抛物线22y x =-切于点（0，0） ……5分 （Ⅱ） 当直线n 斜率存在时，设直线n 的斜率为k ，直线n 方程为2y kx =+， 代入22y x =-得：04)12(222=+++x k x k 。
…………………………7分 ① 当0k =时，直线n 的方程为2y =，n 的方程与抛物线22y x =-有且只有一个公共点（-2，2） …………………9分②当0k ≠时，由△=0得41-=k ，则直线n 的方程：480x y +-= …………12分 综上所述：所求直线n 的方程为0x =和2y =及480x y +-= ………………13分 19．(本小题满分13分)椭圆C 的焦点分别为为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，点)22,1(P 是椭圆上的一个点 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）设原点为O ，斜率为22的直线l 过点1F 且与椭圆C 相交于B A 、两点，求AOB ∆的面积分的标准方程为：所以椭圆依题意得：解：6 (12)122221)1(2222221=+=-==⇒=+==y x C c a b a PF PF a c（Ⅱ）设点),(),(2211y x B y x A 、 依题意得直线l 的方程为： )1(22+=x y 则联立椭圆方程得： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+⇒=-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+2110122)1(22122121222x x x x x x x y y x 223)21(4)1(2114)(1)()(2212212221221=---+=-++=-+-=x x x x k y y x x AB原点O 到直线l 的距离为：332)2(222=+=d ∴46223332121=⨯⨯=⋅⋅=∆AB d S AOB ………………………………………………13分 20．(本小题满分14分)（Ⅰ）若集合}3,2,1,0{}3,2,1,0{==B A ，，写出所有取值情况，并求事件“n m >”的概率；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）16种，6种，该事件概率为6分由，得，如图所示，该事件概率为14分21.(本小题满分14分)已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点坐标为（0, 1），离心率52=e ，过椭圆的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(1,0)M 满足()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意知b =1．5522222=⇒=-∴a a b a ，故椭圆方程为1522=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)F . 设l 的方程为(2)y k x =- (0)k ≠，代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=，设),(),,(2211y x B y x A ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 1212(4)y y k x x ∴+=+-，1212()y y k x x -=-，11221212(1,)(1,)(2,)MA MB x y x y x x y y ∴+=-+-=+-+2121(,)AB x x y y --＝，(),MA MB AB +⊥()0MA MB AB ∴+=，)+()12212112(2)(()0x x x x y y y y ∴+---+=， 222220420,5151k k k k ∴--=++2310k k ∴-=⇒=0>∆，∴直线l 的方程为：y x =y x =+．……………………………10分 （Ⅲ）在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线． 依题意知11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令y=0，则121122112121y x x y x y x x x y y y y -+==++（）＋， ∵l 的方程为(2)y k x =-，A 、B 在直线l 上， ∴1122(2) (2)y k x y k x =-=-，∴122112(1)(1)()4k x x k x x x k x x k -+-=+-12121222()()4kx x k x x k x x k-+=+- 2222222052022515120451k k k k k k k k k k --++=-+52＝ ∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线． ……………………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)F . 设l 的方程为(2)y k x =- (0)k ≠， 代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=，设),(),,(2211y x B y x A ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，121224(4)51ky y k x x k ∴+=+-=-+，1212()y y k x x -=-，∵()MA MB AB +⊥，∴||||MA MB ==，∴12121212(2)()()()0x x x x y y y y +--++-=，2212(1)()240k x x k ++--=， 2310k k ∴-=⇒=±0>∆，∴直线l 的方程为：y x =y x =+．…………………………………10分(Ⅲ) 在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线． 设存在(,0)N t ，使得C 、B 、N 三点共线， 则CB ∥CN ，1221(,)CB x x y y =-+，11(,)CN t x y =-，211112()()()0x x y t x y y ∴---+=，即211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=．12122(2)()40x x t x x t ∴-+++=2222205202(2)405151k k t t k k -∴-++=++，52t ∴=．所以，存在5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线．……………………………………………………………………………………………………………14分。