6.4.2 第二课时 余弦定理、正弦定理(原卷版)-高一数学同步备课系列
【教案】余弦定理、正弦定理(第2课时)教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时）一、内容和内容解析内容：正弦定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形.《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系.在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够.它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具.因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通.二、目标和目标解析目标：（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养．（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．目标解析：（1）用向量的方法证明正弦定理，或者其他方法证明，在证明中培养学生的逻辑思维能力，特别是外接圆法和分类讨论的方法，推导出比值为外接圆直径和三角形的面积公式．（2）结合正弦定理的结构特点可以发现正弦定理的变形形式比较多，拆分式、连比式、分体式，每种形式都有着广泛的应用，这也为学生选择合适的形式解决问题增加了难度．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在正弦定理的教学中，从特殊的三角形的边角特点即勾股定理归纳概括一般三角形的特点是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：怎样证明正弦定理是本节课的第一个教学问题．是本节课的重点．解决方案：利用向量法证明，体现向量的工具作用，关键在于阐明“过点A作与AC垂直的单位向量j”的思维过程．2．教学问题二：利用正弦定理解决解三角形的问题是本节的第二个教学问题．．解决方案：类比全等三角形的证明条件，说明方程解得个数，根据大边对大角或内角和为π进行解得个数的取舍，从而解决问题．基于上述情况，本节课的教学难点定为：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到正弦定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过学生分组探究，合作交流的教学方式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视正弦定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？通过实际问题，激发学生的研究兴趣探索交流获得结论[问题1]如图，在Rt△ABC中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？[问题2]对于一般的三角形，CcBbAasinsinsin==仍然成立吗？教师1：提出问题1．学生1：asin A＝bsin B＝csin C＝c．教师2：提出问题2．学生2：分锐角三角形、钝角三角形证明.（1）在锐角三角形ABC∆中.过点A 作单位向量j垂直于AC.由ABCBAC=+，两边同乘以单位向量j得，通过探究，由直角三角形得一结论，提高学生的解决问题、分析问题的能力.通过思考，分析在锐角三[问题3]这个比值是多少？如何求解？ABjCBACj⋅=+⋅)(，则ABjCBjACj⋅=⋅+⋅，所以||||cos90||||cos(90)j AC j CB C︒︒+-||||cos(90)j AB A︒=-整理得CcAaAcaisnCsinsinsin=∴=同理，过点C作与CB垂直的单位向量j，可得CcBbsinsin=所以CcBbAasinsinsin==.（2）在钝角三角形ABC∆中，不妨设A为钝角，如图.过点A作与AC垂直的单位向量j.同理可得CcBbAasinsinsin==.教师3：总结正弦定理．(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，（2）符号语言：asin A＝bsin B＝csin C.教师4：提出问题3.学生3：该比值为该三角形外接圆的直径.作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,2CD R=（R为⊿ABC的角形、钝角三角形该式子成立，得正弦定理.提高学生分析问题、概括能力.[问题4]利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？[问题5]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？外接圆半径）．所以sin sin2CB aA DCD R===，所以2sinaRA=．同理2,sinbRB=2sincRC=．因此2sin sin sina b cRA B C===．师生共同总结：正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.教师5：提出问题4．学生4：正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.教师6：提出问题5．学生5：不对.根据正弦定理，a＝2R sin A，b＝2R sinB，c＝2R sin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.通过思考，进一步理解正弦定理的运用，提高学生分析问题的能力.1.已知两角及一边解三角形例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 教师7：完成例1.学生6：根据正弦定理，得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝c sin Bsin C＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).通过例题的讲解，让典例分析巩固落实2.已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c.3.判断三角形形状例3.已知在△ABC中，b sin B＝c sin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．[课堂练习]1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解此三角形.2. (1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是________三角形；(2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是________三角形.教师8：完成例2．学生7：由正弦定理asin A＝bsin B，知sin A＝a sin Bb＝32，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 15°sin 45°＝6－22.故当A＝60°时，C＝75°，c＝6＋22；当A＝120°时，C＝15°，c＝6－22.教师9：完成例3．学生8：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.∵b sin B＝c sin C，∴b·b2R＝c·c2R，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．教师10：布置课堂练习1、2．学生9：完成课堂练习，并核对答案．学生进一步理解正弦定理，提高学生解决与分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59 C.53 D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A.43B.2 3C. 3D.323.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.在△ABC中，a＝5，b＝53，A＝30°，则B＝________.教师11：提出问题6．学生10：学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．1.B；2.B；3. A ；4.60°或120°.师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高一下学期数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理2课件
sinC
sin60
当C 120时，B 15，b c sin B 6 sin15 3 1; sinC sin120
所以b 3 1，B 75，C 60或b 3 1，B 15，C 120.
练习：课本P48页练习题2、3
3、在△ABC中，A 2 ，a 3c，则b ____1____
3
c
解析：由 a c 得，sinC c sin A 1 3 1
sin A sinC
a
32 2
又0 c ，所以C ，B ( A C )
3
6
6
所以b c
sin B sinC
sin 6
sin
1
6
跟踪训练
1、在△ABC中，若 A 60 , B 45，BC 3 2 ，则AC=( B )
sin B sin45
2
综上，可知A 60，C 75，c 6 2 或A 120，C 15，c 6 2
2
2
小结
正弦定理： a b c 2R(R为外接圆半径) sin A sinB sinC
利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角。 2、已知三角形的两边与其中一边的对角，求出三角形的其他的 边和角。 ✓如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来决定取舍！
练习
1、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°， b= 6，c=3，则A=__7_5_°____
解析 ：由题 意得 ：b
c ，所以sin B b sinC
6 3 2
2
sinB sinC
c
3
2
因为b c，所以B 45.所以A 180 B C 75
高一数学正弦定理余弦定理知识点备课
正弦定理、余弦定理1、三角形中的边角关系 在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则有（1）角与角之间的关系：A ＋B ＋C ＝180°；（2）边与角之间的关系：2.正弦定理：正弦定理的另三种表示形式：3.余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA b 2＝c 2＋a 2－2accosB c 2＝a 2＋b 2－2abcosC余弦定理的另一种表示形式：222cos 2b c abc +-A =，222cos 2a c bac +-B =，222cos 2a b cC ab +-=射影定理：a ＝bcosC ＋ccosB b ＝ccosA ＋acosC c ＝acosB ＋bcosA4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形； （2）已知两边和一边的对角解三角形．5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形； （2）已知两边和夹角解三角形．6、三角形面积公式：三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图）（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2、利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D．则在Rt△ADB中，∴ AD＝AB·sinB＝csinB3、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．。
余弦定理、正弦定理(3个课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
析 : cos B
2
2ab
2ac
2ab
2ab
2
2
2
2
a
c
ac
45° .
[变式2]ABC 中, a 2b, c b 2bc, 则角A ____
2ac
2
2
2
2
2
2
b c a
b b 2bc 2b
2
析 : cos A
a 2 c2 1
a
b
c
B
a
c
A
S
B
b
C
1
1
bc sin( A) bc sin A
2
2
c
A
a
b
C
面积法
外接圆法
a
b
c
设ABC的外接圆半径为R, 证明:
2 R.
A
sin A sin B sin C
a
b
c
c
①RtABC中, 若C 90, 则
c 2 R.
b
sin A sin B sin C
a b c 2bc cos A,
A
2
c
b
C
a
2
2
b a c 2ac cos B,
2
B
2
2
作用1：知两边
及夹角求第三边
将SAS数量化
作用2：知三边
求任一角
将SSS数量化
c 2 a 2 b2 2ab cosC ,
b c a
推论：cos A
正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
∴
=
∴
=
=
sin sin
sin sin sin
A
知识探究
思考：(2)当∆是钝角三角形时,结论是否还成立呢?
如图Hale Waihona Puke 作上的高是，则 sin =
sin = sin − = sin ∠ =
=
∴ sin = sin ∴
决定取舍！
人教2019A版必修 第二册
第六章
平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
温故知新
余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
2 = 2 + 2 − 2 cos
cos =
2 + 2 −2
2
cos =
（3） sin = sin ; sin = sin ; sin = sin ；
（4）
sin
=
sin
=
sin
=
++
sin +sin +sin
例题讲解
例1：在∆中，已知 = 15°， = 45°， = 3 + 3，
2 + 2 −2
2
cos =
2 +2 − 2
2
2 = 2 + 2 − 2 cos
2
2
2
= + − 2 cos
知识探究
余弦定理、正弦定理(第二课时) 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修第二册
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知Байду номын сангаас
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.
1
c
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
思想方法
数形结合 分类讨论
作业
近测高塔远看山， 量天度海只等闲； 古有九章勾股法， 今看三角正余弦。
感谢观看！
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2bc
c 2 a 2 b2
cos B
2ca
a 2 b2 c2
cos C
2 ab
复习导入
思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三
角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形
的公式呢？
定性结论：和
定性结论：和
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
1.正弦定理的变形(R 是△ ABC 外接圆的半径)
(1)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ;
(2)sin A=
, sin B=
C
新知探究
综上，我们得到下面的定理：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
=
=
问题3：以上我们利用向量方法获得了正弦定理.事实上，探索和证明这
个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁.
你还能想到其他方法吗？
新知探究
平面几何法
钝角三角形
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 正弦定理
复习导入
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这
两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
2 = 2 + 2 − 2 ；
2
=
2
+
2
− 2 ；
2 = 2 + 2 − 2 .
b2 c2 a 2
锐角三角形
高一数学正弦定理、余弦定理教案第二课时 人教版 教案
高一数学正弦定理、余弦定理教案第二课时（第二课时）一、教学目标1．掌握正弦定理在求解三角形中的应用；2．能够判定利用正弦定理求三角形解情况，灵活运用正弦定理解决实际问题．二、教学重点利用正弦定理求解三角形已知两角和一边以及已知两边和其中一边的对角的两种情况．教学难点利用正弦定理求解三角形时解的个数的判定．三、教学具准备投影仪四、教学过程1．设置情境师：请同学们回想正弦定理的形式，并用文字叙述.师：三角形的基本性质是什么？生：三角形的三内角和为180°；三角形中大角对大边.2．探索研究及例题分析师：利用正弦定理求角时为什么会出现一解、两解、无解的情况呢？下面我们看例题.例1 在中，已知，求B（精确到1°）和c边（保留两个有效数字）师：本题给出的条件是两边和其一边的对角，你能确定解题顺序吗？生：先由正弦定理求出，再由正弦定理求出c边.解：师：一定是锐角吗？生：不一定，因为，所以在中，可能是锐角也可能是钝角.师：本题中因为或都合题意∴有两解或我们在解题之前可以先根据大角对大边的性质对已知条件进行分析，判断解的个数，从而优化解题过程.练习：（投影）你能根据各已知条件，判定的解的个数吗？（1），求B；（2），求B；（3），求B；（4），求B.（参考答案：（1），B只能是锐角，仅有一解：（2），B只能是锐角，仅有一解；（3），只有一解；（4）有两解.）例2 在中，已知，求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）.解：已知，所以也是锐角.3．演练反馈（投影）在中，已知，解这个三角形.（角度精确到1°，边长保留两位有效数字.）略解：（计算器程序见附1）∴当时，∴（附2）当时，∴ .注：在复杂计算中可以使用计算器，本题附1、附2程序如下.附1附24．总结提炼（1）中，因，故由的值，一般可有两个角、一个角之分，即解不一定惟一.（2）已知a、b及A作三角形，其解的情况如下：①A为锐角时若，则可用一个三角形如图（1）若，则可作一解，如图（2）.若，则可作两解，如图（3）.②若A为直角或钝角时若，则可作一解，如图（4）③解三角时可使用计算器.五、板书设计课题1．复习2．例题分析例1例2例3 演练反馈总结提炼。
正弦定理(第二课时)-高一数学同步精讲课件(湘教版2019必修第二册)
灵活运用正弦定理 将角的形式化成边 的形式，是解题的 关键！
典例解析
这两个结论也为求外 接圆的半径、三角形 的面积提供了新思路！
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
课堂小结
正弦定理
边化角 角化边
课后作业
课后作业
书面作业： 习题1.6 7、10 补充作ห้องสมุดไป่ตู้：
重点
完善正弦定理的内容，灵活运用正弦定理及其推论，解决较复杂的三角形问题。
难点
正弦定理的扩充及其证明。
新知探究
正弦定理的扩充
正弦定理的推论
边化角 角化边
典例解析
典例解析
利用正弦定理将边的形式 转化成了角的形式，从而 实现了等式中统一为角的 形式。这是正弦定理非常 重要的一个应用！
典例解析
教学课件
新课导入
新课导入
正弦定理
正弦定理说明了三角形中各边和对角的正弦的比值相等，那么这个 比值的几何意义是什么？学习了余弦定理，我们可以利用余弦定理实现 等式中的边角互化，那么正弦定理有没有这样的应用呢？
学习目标
1.理解正弦定理的扩充及其证明，进一步完善正弦定理的内容； 2.理解正弦定理的推论； 3.灵活运用正弦定理及其推论，解决较复杂的三角形问题。
正弦定理第2课时+正弦定理和余弦定理的综合问题课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版
课中探究
方法二（利用角的互补关系）：根据正弦定理，得 a = b = c，
sin A sin B sin C
∵ sin2A = sin2B + sin2C，∴ a2 = b2 + c2，∴ A是直角． ∵ A = 180∘ − (B + C)，sin A = 2sin Bcos C，
∴ sin(B + C) = sin Bcos C + cos Bsin C = 2sin Bcos C， ∴ sin(B − C) = 0，∴ B = C，∴△ ABC是等腰直角三角形．
sin Acos C = 2sin Ccos A，且a2 − c2 = 3b，则b =(
)
√A.9
B.6
C.3
D.18
[解析] 在△ ABC中，由sin Acos C = 2sin Ccos A及正弦定理得
acos C = 2ccos A，
又由余弦定理得a ⋅ a2+b2−c2 = 2c ⋅ b2+c2−a2，即a2 + b2 − c2 =
课中探究
变式（1） 在△ ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
c = 2acos B,则△ ABC一定是(
)
√ A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
[解析] 方法一:∵ c = 2acos B,∴ 根据正弦定理可知sin C = 2sin Acos B.
∵ A + B + C = π ,∴ sin C = sin(A + B),
∴△ ABC一定是等腰三角形, 故选B.
课中探究
（2）[2024·江苏盐城五校高一期中]已知△ ABC中，内角A,B,C的对
高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
余弦定理与正弦定理(第2课时)(课件)高一数学下学期教材教学精品课件(人教a版)
正弦定理探究
正弦定理：
思考：通过对正弦定理进行变形，可以得到哪些推论？
a b c 2R (R为三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C
推论1
sinA a , sinB b , sinC c
2R
2R
2R
推论2 a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,各边上的高分别是 ha , hb , hc ,
则 S△ABC 能如何表示?
A
S
1 2
aha
1 2
ac sin
B
abc 4R
思考：若r为三角形内切圆半径，则 C
三角形的面积与周长间有什么关系？
b
c
ha
a
B
S 1 (a b c)r （r为内切圆的半径） 2
T 思维收获
O 其它收获
04
课后作业
数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明
课后作业
教材48页
练习—2，3
教材53页
习题6.4— 16,17,18
正弦定理的应用
三角形面积公式：
S
1 2
aha
1 2
bhb
1 2
chc
S 1 acsin B 1 bcsin A 1 absin C
2
2
2
S abc 1 (a b c)r 4R 2
R为外接圆半径 r为内切圆半径
03
课堂小结
课堂小结
与同学交流，分享你在本堂课上的收获
K 知识收获
S 方法收获
b sin B
c sin C
2 s in30
高一数学同步备课系列课件：余弦定理、正弦定理应用举例
答：这艘船可以继续沿正北方向航行
2.如图, 在山脚A测得山顶P的仰角为 ,沿倾斜角为的斜坡向上走a米 到B, 在B处测得山顶P的仰角为 ,求证 :山高h a sin sin( )
sin( ) 在△ABP中,ABP 180 BPA 180 ( ) ABP 180 ( ) (180 )
30
C
环节六:归纳总结，反思提升
(1)学会将实际问题转化为数学问题，进而利用数学方法解决， 注意体会正、余弦定理的综合使用；
(2)明确应用题中常见的概念，如方位角、俯角、仰角等； (3)在解决存在多个三角形的问题时，需注意观察，在不同的 三角形中运用正、余弦定理，构建边角关系.
12
环节七：目标检测，作业布置
设此人游泳的方向和与水流垂直的方向的夹角为 ,
则sin 4 3 , 35.5.
43 3
所以此人游泳的方向与水流方向的夹角约为125时, 才能沿与水流垂直的方向前进.
7. 在△ABC中, 分别根据下列条件解三角形(角度精确到1, 边长精确到1 cm) (1) A 70, C 30, c 20 cm; (2) b 26 cm, c 15 cm, C 23.
解：如图, 选择一条水平基线HG, 使H ,G, B三点在同一条直线上. 在G, H
两点用测角仪器测得A的仰角分别是 , , CD a, 测角仪器的高是h.
那么, 在△ACD中,由正弦定理, 得AC a sin . sin( )
所以, 这座建筑物的高度为AB AE h AC sin h a sin sin h sin( )
在实际操作时，使H，G，B三
点共线不是一件容易的事情，你 有什么替代方案吗？
环节五：课堂练习，巩固运用
例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔 船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏 西30°，且与甲船相距7n mile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的 目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)? 需要 航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)?
余弦定理、正弦定理(3个课时)-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、
角关系，得到了，，，等判定三角形全等的方法.这些判定方
法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角
形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
新知探究
探究二：余弦定理及其推论的应用
例题讲解
例5.在∆中，已知 = ， = ， = °，解这个三
角形(角度精确到°，边长精确到 ).
①
我们的研究目标是用||，||和表示||，联想到数量积的性质
∙ = || ，可以考虑用向量(即 − )与其自身作数量积运算.
由①得,|| = ∙ = ( − ) ∙ ( − )
= ∙ + ∙ − ∙ = + − |||| .
所以 = + − |||| .
新知讲解
= + − |||| .
同理可得 = + − |||| ，
= + − |||| .
Hale Waihona Puke 概念生成于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：
.
− ) =
||||(
− )，
新知讲解
同理，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为 −
与的夹角为
6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
高中数学备课教案三角函数的正弦定理与余弦定理
高中数学备课教案三角函数的正弦定理与余弦定理高中数学备课教案三角函数的正弦定理与余弦定理导言：三角函数是高中数学中非常重要的内容之一，其中正弦定理与余弦定理是解决三角形问题时经常使用的工具，本教案旨在帮助学生掌握正弦定理与余弦定理的概念、应用方法以及解题技巧，提高解决实际问题的能力。
一、正弦定理正弦定理是三角形解题常用的定理，它能够帮助我们在已知两边和非夹角的情况下求解第三边或角的值。
1.1 概念在△ABC中，a、b和c分别表示三角形的三边长度，A、B和C表示对应边的夹角，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 应用方法根据正弦定理，我们可以利用已知条件求解未知量。
下面通过一个具体的例子来说明应用方法：例题：已知△ABC，AB = 8cm，AC = 10cm，∠B = 60°，求BC的长度。
解：根据正弦定理，可以得到：8/sin60° = BC/sinB通过简单的计算，可以得出BC ≈ 6.93cm。
因此，BC的长度约为6.93cm。
二、余弦定理余弦定理在三角形解题中也扮演着重要的角色，它可以帮助我们在已知三边长度的情况下求解非夹角的值。
2.1 概念在△ABC中，a、b和c分别表示三角形的三边长度，A、B和C表示对应边的夹角，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab*cosC2.2 应用方法通过余弦定理，我们可以解决各种使用三边长度求解夹角或边长的问题。
以下是一个例子：例题：已知△ABC，AB = 5cm，AC = 7cm，BC = 6cm，求∠A的大小。
解：根据余弦定理，可以得到：5² = 6² + 7² - 2*6*7*cosA通过简单的计算，可以得出cosA ≈ 0.866。
然后利用cosA的值查表或使用计算器，可以得到∠A ≈ 30°。
因此，∠A的大小约为30°。
高中数学同步教学 余弦定理 第2课时
∵0°<B+C<180°,∴B+C=90°,∴A=90°.
故△ABC是直角三角形.
反思判断三角形的形状时,一般有两种思路:一是转化为三角形
的边与边的关系;二是转化为三角形的角与角的关系.当然有时可
将边与角巧妙结合同时考虑,正弦定理、余弦定理都可以实现这种
边角关系的转化.注意两种解法的比较.
∴c= 6.
∴B=45°,C=60°,c= 6.
目标导航
题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型四
题型二 应用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.
=2b
·
2
2 2
2 + -
2
2
,
2
2
2
2
[( + - 2 )+( 2 + 2 - 2 )]2
2
4 4
2
∴b +c =
=
=
.
4 2
4 2
∴A=90°,故△ABC 是直角三角形.
2
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题型二
题型三
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
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S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型四
解法二:(利用正弦定理“边化角”)
6.4.3余弦定理正弦定理(第2课时)课件高一下学期数学人教A版(1)
1·sinπ 1×4×× 1
6=2
2=1.
故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为2 1
1×2×
·
2
2
又△ABC
1
的面积为 ×4×2sin∠BAC=2
2
所以△ABD 的面积为 3.
3,
规律方法
三角形面积的求解思路
求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合
人教A版 数学 必修第二册
1.掌握正弦定理及其变形.
2.借助向量的运算,探究正弦定理的证明过程.
课程标准 3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.
4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦
定理解决问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 正弦定理
1.
=
=
sin sin sin
提示 在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,所以A>B是sin A>sin B的充要条
件.
2.[北师大版教材习题]在△ABC中,c=4,a=2,C=45°,则sin A=
解析
由正弦定理sin
=
,得
sin
sin
sin
A=
=
2×
4
2
2 = 2.
4
3.已知△ABC的外接圆半径是2,A=60°,则BC的长为
1
×16csin
2
16
60°,解得 c=16.
;
(2)在△ABC中,已知C=120°,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC的面积等
3
于
.
解析
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6.4.2第二课时余弦定理、正弦定理【课时分层练】
2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】
一、单选题
1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14
b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的
，则a =（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5 2．在ABC 中，2sin
22C a b a -=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
3．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，
12
BC AC =．根据这些信息，可得sin54︒=（ ）．
A B C D
4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（ ） A ．4003m B ．300m
C ．400m
D ．600m
5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差，1b =，则a c +的取值范围是（ ）
A ．(]1,2
B ．(]0,2
C ．(
D ．( 7．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积，
若三角形的三边长分别为,,a b c ，则其面积S =，其中()12
p a b c =++，现有一个三角形边长,,a b c 满足7,5a b c +==，则此三角形面积最大值为（ ）
A ．
B
C ．
D 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知21sin
222A b c +=，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．若3A π
∠=，4AC = ， ABC S =，则
sin sin a b A B
+=+（ ）
A ．
B ．3
C D
二、多选题
10．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立
C ．在ABC 中，若4C π
，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =
三、填空题
11．已知ABC 的面积为4，2tan 3
B =
，AB AC >，设M 是边BC 的中点，若AM =，则BC =___________.
12．锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
a b c -=a =则ABC 面积的取值范围是___________. 13．ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知π3B =，不等式212x >-的解集为{}x a x c <<，则b =______. 14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．
四、解答题 15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 20b A c a -+=. （1）求角B ；
（2）若b =ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的范围. 16．已知a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且满足sin sin sin sin a c A B b C A ++=-． （1）求角C 的大小：
（2）若6c =，求ABC 面积的最大值．
17．设函数23()cos 3cos 2
f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3()2
f A =，4a =且5b c +=，求△ABC 的面积. 18．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C B C =+-． （1）求角A ；
（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围．。