(完整word版)数列求和的各种方法

数列求和的方法

教学目标

1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．

2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 教学内容

知识梳理

1．求数列的前n 项和的方法

(1)公式法

①等差数列的前n 项和公式

S n ＝()21n a a n +＝na 1＋()d n n 2

1-. ②等比数列的前n 项和公式

(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；

(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝()q

q a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

(4)倒序相加法

这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．

(5)错位相减法

这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列．

(6)并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

123+++……+n=(1)2

n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦

2. 常见的裂项公式

(1)()

11+n n ＝1n －1n ＋1； (2)()

k n n +1＝1k (1n －1n ＋k )； (3)

()()12121+-n n ＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)()()211++n n n ＝12()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-+21111n n n n ； (5)

1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )． (6)设等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1

)． 数列求和题型

考点一 公式法求和

1.(2016·新课标全国Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13

，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；

(2)求{b n }的前n 项和.

2.(2013·新课标全国Ⅰ，17)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.

变式训练

1.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .

2.(2014·福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.

(1)求a n ；

(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

考点二 错位相减法

1.(山东)已知数列 的前n 项和S n =3n 2+8n ，是等差数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅰ）令 求数列的前n 项和T n .

2.(2015·天津，18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ⅠN *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列.

(1)求q 的值和{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1

，n ⅠN *，求数列{b n }的前n 项和.

变式训练

1.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ⅠN *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.

(1)令c n ＝a n b n

，求数列{c n }的通项公式； {}n a {}n b 1.n n n a b b +=+{}n b 1

(1).(2)

n n n n n a c b ++=+{}n c

(2)若b n ＝3n －

1，求数列{a n }的前n 项和S n .

2.(2014·四川，19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ⅠN *).

(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；

(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .

3.(2015·湖北，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)当d >1时，记c n ＝a n b n

，求数列{c n }的前n 项和T n .