第19届希望杯全国数学邀请赛初二第1试试题(含答案)
历届希望杯初二试题及答案
历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。
答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。
答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。
答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。
答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。
答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。
答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。
长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。
2. 一个数列的前三项是2，4，8。
如果这个数列是一个等比数列，求第四项。
答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。
这里，每一项都是前一项的2倍。
所以，第四项是8乘以2，等于16。
3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。
答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。
结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。
第19届希望杯数学邀请赛初二第二试试题
第十九届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内. 1.将数字“6”旋转180︒，得到数字9；将数字“9”旋转180︒，得数字6；那么将两位数“69” 旋转180︒，得到的数字是( )(A)69 (B)96 (C)66 (D)99【解析】 选A . 2.关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩，有无数组解，则a ，b 的值为( )(A)0a =，0b = (B)2a =-，1b = (C)2a =，1b =- (D)2a =，1b =【解析】 选B .有无数组解，则要求1121a b ==-，故2a =-，1b =. 3.在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB ，O 是坐标原点，点A 的坐标是(a ，)b ，底边AB 的中线在1、3象限的角平分线上，则点B 的坐标是( )(A)(b ，)a (B)(a -，)b - (C)(a ，)b - (D)(a -，)b【解析】 选A .底边上的中线即对称轴，可见AOB ∆以1、3象限的角平分线为对称轴，则A 、B 关于1、3象限的角平分线对称，从而可知B 的坐标.4.给出两列数：⑴ 1，3，5，7，…，2007；⑵ 1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数是( )(A)201 (B)200 (C)199 (D)198【解析】 选A .第1列数的第m 个数为21m a m =-，其中1004m ≤；第2列数的第n 个数为54n a n =-，其中402n ≤.同时出现在两列数中的数满足2154m n -=-，即235m n +=，当1m =，6，11， (1001)时n 取整数，这样m 共有201个，故选A .5.If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area ，then the ratio of its three sides is( )(A)123∶∶ (B)112∶∶ (C)132∶∶ (D)125∶∶(英汉小词典：possible 可能的；area 面积；ratio 比率，比值)【解析】 选D .译文：如果三角形的一条边是另一条边的两倍，且其具有最大的面积，则三条边的比值为多少？由题意知，当此两边夹角为90︒时面积最大，若记两边分别为1和2，5，故选D .6.面值为10元、20元、50元的人民币(每种至少一张)共24张，合计1000元，那么其中面值为20元的人民币有( )张.(A)2或4 (B)4 (C)4或8 (D)2到46之间的任意偶数【解析】 选B .记10元、20元、50元面值的人民币分别有a 张、b 张、c 张，则24a b c ++=，1020a b ++ 501000c =，由此条件可知2425100a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，消去c 可得4320a b +=，即4(5)3ab -=，当2a =时，4b =，此为唯一解.7.由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次，这样的四位数有( )个.(A)33个 (B)36个 (C)37个 (D)39个【解析】 选B .有四个数位，而仅有三个数字，故必有某一个数字出现了两次，记某个数字a 出现了两次，我们先将b 、c 排好，然后剩余的位置放下两个a 即可，这有43⨯种排法，而出现两次的数字可能是b 或c ，故所有情况共有43336⨯⨯=种.8.如图，矩形ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，将它折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是( )(A)5cm，(B)5cm ，3cm (C)6cm(D)5cm ，4cm【解析】 选A .记DE x =，则9AE x =-，由折叠的对称性可知DE BE =，即BE x =. 在Rt ABE ∆中，222AB AE BE +=，即2223(9)x x +-=，得5x =.连接BD 交EF 于点O ，由折叠的特点知BD EF ⊥，易知22310BD AB AD =+=， 则31022BD BO ==. 而5BE =，故2210EO BE BO =-， 从而210EF EO ==9.如图，函数4y mx m =-的图象分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，线段MN 上两点A 、B 在x 轴上的垂足分别为1A 、1B ，若114OA OB +>，则1OA A ∆的面积1S 与1OB B ∆的面积2S 的大小关系是( )(A )12S S > (B )12S S = (C )12S S < (D )不确定的【解析】 选C .对于直线4y mx m =-上的任意一点P ，记其横坐标为P x ，则其纵坐标4P P y mx m =-， 其面积211(4)(4)222P P P P P P P m S x y x mx m x x ==-=-， 故22121122(4)(4)2m S S x x x x ⎡⎤-=---⎣⎦221212()4()2m x x x x ⎡⎤=---⎣⎦[]1212()(4)2m x x x x =-+-. 注意到120x x -<，124x x +>，故120S S -<.10. 已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过( )(A )第1象限 (B )第2象限 (C )第3象限 (D )第4象限【解析】 选D .实质是判断a 与0、a 与1的大小关系.注意到(0)(1)0f f ⋅<，故01a <<，从而选D .B 1yABMA 1NS 1S 2O二、填空题(本大题共l0小题，每小题4分，共40分.)11. 化简：7()3，得到 .【解析】 填1.原式20082008100410042008200873(15)73()()()137(15)37+==⋅=+.12. 三位数3ab 的2倍等于8ab ，则3ab 等于 . 【解析】 填374.视ab 为一个整体，则2(300)108ab ab +=+，即8592ab =，则74ab =，故3374ab =.13. 当2x >2121x x x x +---，得 . 【解析】 填21x -221(1)211(11)11x x x x x x +--+-+-+-，221(1)211(11)11x x x x x x -----+--=-，2121(11)(11)21x x x x x x x +---=-+-=-14. 已知111()12f x x x x =--++，并且()0f a =，则a 等于 . 【解析】 填2111()12f a a a a =--++111()12a a a =--++(1)1(1)2a a a a a +-=-++2112a a a =-++， 从而必有22a a a +=+，即2a =15. If the sum of a 4-digit natural number and l 7，the difference between it and 72 are all squarenumbers ，then the 4-digit natural number is . (英汉小词典：4-digit natural number 四位自然数；difference 差；square number 完全平方数) 【解析】 填2008.译文：若某个四位自然数与17的和，以及此四位自然数与72的差均为完全平方数，则此四位自然数是 .记此四位自然数为x ，则217x m +=，272x n -=，故2289m n -=，即()()891m n m n +-=⨯. 注意到m n m n +>-，故89m n +=，1m n -=，从而45m =，44n =，故2008x =.16. 将等腰三角形纸片ABC 的底边BC 折起，使点C 落在腰AB 上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则A ∠= . 【解析】 填1807︒. 如图所示，C 点翻折之后的位置为'C ，记A x ∠=. 易知''AC CC =，故'ACC x ∠=，''2BCC BC C x ∠=∠=，3ACB x ∠=， 而3ABC ACB x ∠=∠=，从而7180x =︒，解得1807x ︒=.17. 将100只乒乓球放在唧个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的个数都含有数字“8”，如当3n =时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为8，8，84；若5n =时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 . 【解析】 填8、8、18、28、38.考查球的个数最多的盒子其乒乓球个数的最大值是多少.因为有且仅有两个盒子的球的个数相同，故前四个盒子中球的总数的最小值为88182862+++=，则第五个盒子中最多有38个球.注意到“28”之后含有数字“8”的仅有“38”，即第五个盒子中球的个数不能比“38”小，故只能取“38”，从而五个盒子中球的个数只能是8、8、18、28、38.18. 已知一个有序数组(a ，b ，c ，)d ，现按下列方式重新写成数组1(a ，1b ，1c ，1)d ，使1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，按照这个规律继续写出2(a ，2b ，2c ，2)d ，…，(n a ，n b ，n c ，)n d ，若1000<2000n n n na b c d a b c d+++<+++，则n = .【解析】 填10.11112()a b c d a b c d +++=+++，2x3x2xxxC'CBA2222211112()2()a b c d a b c d a b c d +++=+++=+++， 3333322222()2()a b c d a b c d a b c d +++=+++=+++，…………2()n n n n n a b c d a b c d +++=+++.故100022000n <<，从而10n =.19. 如图，一束光线从点O 射出，照在经过A (1，0)、B (0，1)的镜面上的点D ，经AB 反射后，反射光线又照到竖立在y 轴位置的镜面．要使最后经y 轴再反射的光线恰好通过点A ，则点D的坐标是 .【解析】 填(13，23).作点A 关于y 轴的对称点'A ，则'(1A -，0)；作点O 关于AB 的对称点'O ，则'(1O ，1). 连接''A O ，交AB 于点D ，此即所求的点.易知直线AB 的方程为1y x =-+，直线''A O 的方程为1122y x =+，则其交点为1(3D ，2)3.20. 某条直线公路上有1A ，2A ，…，11A 共11个车站，且212i i A A +≤km (1i =，2，3，…，9)，317i i A A +≥ km (1i =，2，3，…，8)，若11156A A =km ，则101127A A A A += km .【解析】 填34.首先有233217125i i i i i i A A A A A A ++++=-≥-=.注意到111144771010111011()317A A A A A A A A A A A A =+++≥⨯+，即10115A A ≤，而235i i A A ++≥， 故10115A A =.注意到811810101117A A A A A A =+≥，即81012A A ≥，而81012A A ≤，故81012A A =，进而可得1839A A =. y A BO O'A'y A B DEO而1814477878()217A A A A A A A A A A =++≥⨯+，则785A A ≤，而785A A ≥，故785A A =，进而可得5712A A =.同理，455A A =，2412A A =，125A A =. 故10112751251234A A A A +=+++=.三、解答题(本大题共3小题．共40分.) 要求：写出推算过程． 21. (本题满分10分)如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒,10AC BC ==，CD 是射线，60BCF ∠=︒，点D 在AB 上，AF 、BE 分别垂直于CD (或延长线)于F 、E ，求EF 的长．【解析】 由60BCE ∠=︒可知5CE =，由30ACF ∠=︒可知53FC =而EF FC EC =-，故535EF =.22. (本题满分15分)在直角坐标系中，ABC ∆满足：90C ∠=︒，2AC =，1BC =，点A 、 C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始在正x 轴上运动时，点 C 随着在正y 轴上运动．(1) 当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ； (2) 当OA OC =时，求原点O 到点B 的距离OB ；(3) 求原点O 到点B 的距离OB 的最大值，并确定此时图形应满足什么条件?【解析】 (1) 如图所示，5OB AB ==.60︒FABCD E y 21A BCEO y 21ABC DO(2) 过点O 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点D ，如图所示.因为OA OC =，则45OCA ∠=︒， 而90ACB ∠=︒，可知45OCD ∠=︒.易知2OA OC ==1DC DO ==，则2DB DC CB =+=，225OB DB DO =+=(3)取AC 的中点E ，连接BE 、OE ，则22BE BC CE =+1OE =. 而OB OE BE ≤+，故OB 的最大值为12+此时45OEA AEB ∠=∠=︒，而CE OE =，故122.52OCA OEA ∠=∠=︒.23. (本题满分15分)已知m ，n (m n >)是正整数．(1) 若3m 与3n 的末位数字相同，求m n +的最小值； (2) 若3m 与3n 的末两位数字都相同，求m n -的最小值．yx 21A B C EO y 21A BCE O【解析】 (1) 由题意得330(mod10)m n -≡，即3(31)0(mod10)n m n --≡，故31(mod10)m n -≡，从而4m n k -=，故(4)4241216m n k n n k n +=++=+≥⨯+⨯=.(2) 由题意得330(mod100)m n -≡，即3(31)0(mod100)n m n --≡，故31(mod100)m n -≡，从而4m n k -=，故811(mod100)k ≡，当5k =时5811(mod100)≡，此时m n -最小为20.。
第十九届希望杯初中1、2年级第1、2试 试题解析
第19届 “希望杯”初中试题刍议首都师范大学数学科学学院 周春荔2008年第19届全国“希望杯”数学邀请赛已经落下了帷幕。
作为数学爱好者总要回味今年的试题.，交流学习试题的体验。
“希望杯”初中试题的内容那样的基本，粗看平淡无奇，细品则另有醇美的风味.比如，初一1试题4. 正方形内有一点A ，到各边的距离分别为1，2，5，6，则正方形面积为（ ）（A ）33 （B ）36 （C ）48 （D ）49答案：选（D ）.由于A 在正方形内，所以A 到两组对边的距离之和相等，由于只有1+6=2+5，于是，正方形的边长只能为7，故面积是72=49（平方单位）.题目的设置将正方形的边长为7，以条件“正方形内有一点A ，到各边的距离分别为1，2，5，6”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见。
接着又在初一2试中，进一步升华为试题9.平行四边形内一点到四条边的距离分别是1，2，3，4，那么，这样的平行四边形的面积最小是（ ）.（A ）21 （B ） 22 （C ） 24 （D ） 25.答案：选（A ）.如1图所设，a 和b 是平行四边形的两条边长，1h和2h 是平行四边形的两条高，则 面积1212ah bh h h =≥⨯.从1，2，3，4共有3组组合可作为为1h 和2h ，其中1123 h ,=+=2347h =+= 时，1221h h ⨯=最小.本题巧妙地利用斜边大于直角边解决了最小值的问题. 拓广了前一个试题的内涵，足见命题者匠心独运.对综合性的大题仔细品味，试题有如下特点. 图1一、题型基本，知识基本，技能基本，寓以新意有发展例1. 如图2，A 和B 两个小机器人，自甲处同时出发相背而行，绕直径为整数米的圆周上运动，15分钟内相遇7次，如果A 的速度每分钟增加6米，则A 和B 在15分钟内相遇9次，问圆周直径至多是多少米？至少是多少米？（取314.π=）分析：行程中的相遇问题，从小学开始就是重要的应用题型，属基本题型。
第十九届初中希望杯()初二第1试试题及答案
第十九届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题（每小题4分，满分40分）1．下列说法中正确的是（ ）A 、1的平方根和1的立方根相同B 、0的平方根和0的立方根相同C 、4的平方根是2±D 、8的立方根是2±2．若单项式x x b a 52-和x b a -3223的次数相同，则x 的整数值等于（ ）A 、1B 、-1C 、1±D 、1±以外的数3．若b a ,和b a +都是有理数，则（ ）A 、b a ,都是有理数B 、b a ,都是无理数C 、b a ,都是有理数或都是无理数D 、b a ,中有理数和无理数各一个4．使不等式12>+x 成立的x 的值为（ ）A 、比-1大的数B 、比-3小的数C 、大于-1或小于-3的数D 、-2以外的数5．设e d c b a ,,,,只能从-3，-2，-1中取值，又22222,e d c b a y e d c b a x +-+-=+-+-=，则（ ）A 、x 的最大值比y 的最大值小B 、x 的最小值比y 的最小值小C 、x 的最大值比y 的最小值小D 、x 的最小值比y 的最大值大6．In the figure1, ABCD is a diamond, points E and F lie on its sides AB and BC respectively, suchthat CFBF BE AE =, and DEF ∆ is a regular triangle. Then BAD ∠ is equal to ( )A 、400B 、600C 、800D 、1000（（英汉小词典：diamond 菱形；regular triangle 正三角形）7．已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，且ac b c b c a b a -++=+，则ABC ∆一定是（ ）A 、等边三角形B 、腰长为a 的等腰三角形C 、底边长为a 的等腰三角形D 、等腰直角三角形8．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n 名，将他们编成1号、2号、…，n 号。
第19届希望杯初二第2试试题及答案
第19届希望杯全国数学邀请赛试题·解答初中二年级 第2试一、选择题 (以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为是正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号)1．将数字“6”旋转180 ，得到数字9；将数学“9”旋转180 ，得到数字6；那么将两位数“69”旋转180 ，得到的数字是（ ） A ．69B ．96C ．66D ．992．关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩有无数组解，则a ，b 的值为（ ）A ．0a =，0b =B ．2a =-，1b =C ．2a =，1b =-D ．2a =，1b =3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB ，O 是坐标原点，点A 的坐标是()a b ，，底边AB 的中线在1，3象限的角平分线上，则点B 的坐标是（ ）A ．()b a ，B ．()a b --，C ．()a b -，D ．()a b -，4．给出两列数：⑴1，3，5，7，…，2007；⑵1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数是（ ） A ．201B ．200C ．199D ．1985．If one side of a triangle is 2 tines of another side and it has the largest possible area ，then the ratio of its three sides is ( ) A ．1:2:3B ．1:1:2C ．1:3:2D ．1:2:5（英汉小词：possible 可能的；area 面积；ratio 比率，比值）6．有面值为10元、20元、50元的人民币（至少一张）共24张，合计1000元，那么其中面值为20元的人民币有（ ）张． A ．2或4B ．4C ．4或8D ．2到46之间的任意偶数7．由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次，这样的四位数有（ ） A ．33个B ．36个C ．37个D ．39个8．如右图，矩形ABCD 的长9AD =厘米，宽3AB =厘米，将它折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（ ） A ．5厘米，10厘米 B ．5厘米，3厘米 C ．6厘米，10厘米D ．5厘米，4厘米93FEABDCCDBA9．如右图，函数4y mx m =-的图像分别交x 轴、y 轴于点M ，N ，线段MN 上两点A ，B 在x 轴上的垂足分别为1A ，1B ，若114OA OB +>，则1OA A △的面积1S 与1OB B △的面积2S 的大小关系是（ ） A ．12S S > B ．12S S =C ．12S S <D ．不确定的10．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ）A ．第1象限B ．第2象限C ．第3象限D ．第4象限二、填空题11．化简1004200820082008200873153735+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得到 ．12．三位数3ab 的2倍等于8ab ，则3ab 等于 ．13．当2x >时，化简代数式2121x x x x +-+--，得 ．14．已知()11112f x x x x =--++，并且()0f a =，则a 等于 ． 15．If the sum of a 4-digit natural number and 17，the difference between it and 72 are allsquare numbers ，then the 4-digit natural number is ．（英汉小词典：4-digit natural number 四位自然数；difference 差；square number 完全平方数）16．将等腰三角形纸片ABC 的底边BC 沿着过B 点的直线折叠，使点C 落在腰AB 上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则______A ∠=．17．将100只乒乓球放在n 个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的个数都含有数字“8”，如当3n =时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为了8，8，84；若5n =时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 ．18．已知一个有序数组()a b c d ，，，，现按下列方式重新写成数组()1111a b c d ，，，，使1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，按照这个规律继续写出()2222a b c d ，，，，…，()n n n n a b c d ，，，，若10002000n n n na b c d a b c d+++<<+++，则_________n =．19．如右图，一束光线从点O 射出，照在经过()10A ，，()01B ，的镜面上的点D ，经AB 反射后，后经y 轴再反射的光线恰好通过点A ，则点D 的坐标是 ．20．某条直线公路上有1A ，2A ，…，11A 共11个车站，且212i i A A +≤千S 2S 1B 2A 1BANOy =mx -4mxy OABxy米()1239i = ，，，，，317i i A A +≥ 千米()1238i = ，，，，，若11156A A =千米，则101127______A A A A +=千米．三、解答题21．如下左图，在ABC △中，90ACB ∠= ，10AC BC ==，CD 是射线，60BCF ∠= ，点D 在AB上，AF ，BE 分别垂直CD （或延长线）于F ，E ，求EF 的长．60oF D EBCA21yxA O CB22．如上右图，在直角坐标系中，ABC △满足：90C ∠=，2AC =，1BC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始在x 轴正半轴上运动时，点C 随着在y 轴正半轴上运动．⑴ 当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ； ⑵ 当OA OC =时，求原点O 到点B 的距离OB ；⑶ 求原点O 到点B 的距离OB 的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？23．已知m ，()n m n >是正整数．⑴ 若3m 与3n 的末位数字相同，求m n +的最小值； ⑵ 若3m 与3n 的末两位数字都相同，求m n -的最小值．参考答案一、选择题 1．A【解析】 把数字“69”看做一个图形，则这是一个中心对称图形，旋转180 之后，与原来的数字相同，即得到数字还是69．选A ．2．B【解析】 方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩①②2a ⨯+⨯①②，得()()22ab x a +=-+，若20ab +≠，则方程组只有一解，若20ab +=，而20a +≠，则方程组无解， 若方程组有无数组解，则2020.ab a +=⎧⎨+=⎩，解得2a =-，1b =．选B ．3．A【解析】 因为OAB △是等腰三角形，O 为顶点，所以OA OB =，又AB 为底边，所以AB 垂直于中线即垂直于直线y x =，不妨设2a =，1b =，画图可知()21A ，关于y x =的对称点为()12，，选A ．4．A【解析】 由观察可知，同时出现在两列数中的数是1，11，21，…，2001，即每相邻两个数之间相差10，所以总数是20011120110-+=．选A ．5．D译文：若一个三角形的一条边是另一条边的2倍，那么当这个三角形的面积最大时，它的三条边的比值为（ ） A ．1:2:3B ．1:1:2C ．1:3:2D ．1:2:5【解析】 如右图，使AB 边不动，让12AC AB =绕点A 旋转，则BAC ∠可能为直角，也可能是锐角或钝角，很明显，只有当BAC ∠为直角时，ABC △的面积最大，且两条直角边之比为1:2，结合勾股定理，可知此时三条边由小到大的比值为1:2:5．故选D ．6．B【解析】 设10元，20元，50元分别有x ，y ，()24x y -+张，则()102050241000x y x y ++--=，即4030200x y +=，4320x y +=．其中x ，y 都是正整数．由1x ≥知316y ≤，所以1613y ≤≤，所以y 只能从1，2，3，4，5中取．又()345y x =-，其中5x -是正整数，3与4是互质的， 所以y 中一定有一个因数4． 所以y 只能取4．选B7．B【解析】 这样的四位数中的四个数码一定是恰好有两个数码相同，如：1，1，2，3．⑴ 如果相同的数码是1，即四个数码为1，1，2，3，那么当两个1相邻时，有1123，1132，2112，3112，2311，3211共6个数，若两个1不相邻有1213，1312，1231，1321，2131，3121，也是有6个数，即恰好有两个1的四位数有12个，同理，恰好有两个2，与恰好有两个3的四位数都有12个，总共有36个四位数．选B ．8．A【解析】 如右图，设ED x =，则9AE x =-，BE ED x ==．在直角ABE △中，得()22239x x +-=，C'C"CBAE AD解得5x =，即5ED =厘米．过E 点作EG BC ⊥交BC 于点G ，5BF DE ==厘米，4BG AE ==厘米， 所以1FG =厘米．在Rt EFG △中，22223110EF EG GF =+=+=厘米， 所以选A ．9．A【解析】 设()11A x y ，，()22B x y ，，则114y mx m =-，224y mx m =-．又()1111111422S OA A A x mx m =⋅=-，()2112211422S OB B B x mx m =⋅=-，则()()22121212122S S m x x m x x -=---()()1212142m x x x x =-+-． 由题意，知0m <，12x x <，且124x x +>，所以12S S >．选A10．D【解析】 当0x ≤时，3310x x +-<，所以0x ≤时，原方程无解；同样当13x ≥时，3310x x +->，所以原方程的实数根只能在103⎛⎫ ⎪⎝⎭，之间，因为a 是方程3310x x +-=的一个实数根，所以103a <<．对于直线1y ax a =+-，0a >，10a ->， 所以直线不经过第四象限，选D ．二、填空题 11．1【解析】 ()()200820082007200820082008200820082008200831531537357715++==++，所以原式1004100473137⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．12．374【解析】 由题意知()230010100108a b a b ⨯++=++，化简得1074a b +=，所以原来的三位数是374．13.21x -【解析】 2121x x x x +-+--()()12111211x x x x =-+-++---+()()221111x x =-++--因为2x >，所以110x -->． 所以原式()()111121x x x =-++--=-．14．2±【解析】 ()()()211121212x f x x x x x x x -=--=++++， 所有由()0f a =得220a -=， 也就是22a =，得2a =±．15．2008译文：有一个四位自然数，若加上17或减去72，结果都是完全平方数，则这个自然数是 ．【解析】 设这个自然数是a ，由题意得221772a ma n⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（m n >，且m ，n 均为自然数） 两式相减得2289m n -=，89是一个质数，所以()()891m n m n +-=⨯， 只有891m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4544m n =⎧⎨=⎩．所以245172025172008a =-=-=．16．36【解析】 如右图所示，设折叠后点C 落在D 点，BE 是折痕．则BDE BCE DBC ∠=∠=∠．在等腰ADE △中，若A ∠是顶角，则DE BC ∥，ADE DBC ∠=∠， 由前面已证DBC BDE ∠=∠， 所以得到90ADE BDE ∠=∠= 矛盾；若AED ∠是顶角，则180180A ADE BDE ACB ∠=∠=-∠=-∠ ，180A ACB ∠+∠=，矛盾．所以ADE ∠是顶角，则()221801802180A ADE A A ∠+∠=∠+--∠÷= ．解得36A ∠= ．17．8，8，18，28，38【解析】 5个盒子中的乒乓球个数都含有数字8，则5个数的个位都为8，或有一个数的十位数为8，但后一种情况不可能．所以每个盒子中各放入8只，再将剩下的60只合理分配在各个箱子中即可，得8，8，18，28，38．18．10【解析】 由已知()11112a b c d a b c d +++=+++即11112a b c d a b c d+++=+++．同理得22224a b c da b c d+++=+++．33338a b c d a b c d +++=+++，……，2n n n n na b c d a b c d+++=+++，CB EDA所以10022000n <<，10n =．19．1233⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】 如右图，点O 关于AB 的对称点为()'11O ，，点A 关于y 轴的对称点为()10A '-，，AB 所在的直线的方程为1y x =-+A O ''所在直线的方程为()112y x =-． 由()1112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以点D 的坐标为1233⎛⎫⎪⎝⎭，．20.34【解析】 因为1101447710A A A A A A A A =++，317i i A A +≥（千米）所以11017513A A =×≥（千米）．又11156A A =（千米），所以10115A A ≤（千米）． 有81117A A ≥（千米），81012A A ≤（千米）， 所以10115A A ≥（千米）． 于是只有10115A A =（千米）． 同理125A A =（千米）．而1734A A ≥（千米），所以2729A A ≥（千米）， 又210565546A A =--=（千米），71017A A ≥（千米）， 所以2729A A ≤（千米）． 所以2729A A =（千米） 所以10112734A A A A +=（千米）．三、解答题 21．【解析】 在Rt ACF △和Rt CBE △中，AC BC =，906030ACF ∠=-= ，30CBE ∠= ，即ACF CBE ∠=∠，所以ACF CBE △≌△，5CE AF ==，53BE CF ==． 所以()531EF CF CE =-=-．22．【解析】 ⑴ 当A 点在原点时，如下左图，AC 在y 轴上BC y ⊥轴，所以点B 的坐标是()12，， 于是225OB x y =+=；y xB AOO'A'12x y AO BC321DyxA O CB⑵ 当OA OC =时，如上右图，OAC △是等腰三角形，且2AC =， 所以2OA OC ==，1245∠=∠= ，从点B ，C 分别作x 轴，y 辆的垂线，两条直线交于点D ，所以345∠= ， 因为1BC =，所以22CD BD ==， 得B 点的坐标是23222⎛⎫⎪⎪⎝⎭，． 所以22232522OB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶ 如右图，取AC 的中点E ，连结OE ，BE ， 在Rt AOC △中，OE 是斜边AC 上的中线， 所以112OE AC ==．在ACB △中，1BC =，112CE AC ==，90BCE ∠= ，所以2BE =．若点O ，E ，B 不在一条直线上，则12OB OE EB <+=+．若点O ，E ，B 在一条直线上，则12OB OE EB =+=+．所以当O ，E ，B 三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为12+．23．【解析】 ⑴ 由已知得33m n -是10的倍数，即()33331m n n m n --=-是10的倍数．又3n 与10的互质的，所以只能是31m n --是10的倍数． 令m n s -=，所以只要3s 的末位数字是1即可， 显然4381=满足条件，所以m n -的最小值是4； 取1n =，则5m =，此时m n +最小，最小值为6． ⑵ 由⑴的思路得33m n -是100的倍数， 即()33331m n n m n --=-是100的倍数，又3n 与1000是互质的，所以只能是31m n --是100的倍数． 令m n r -=，所以只要3r 的末位数字是01即可， 因为3r 末位数字为1，所以r -一定是4的倍数，令4r t =（t 是正整数），所以43381r t t ==的末两位数是01．EyxA O CB。
第19届“希望杯”全国数学邀请赛 初二第2试试题
（ 每种至少 一张 ） ２ 共 ４张 ， 合计 １０ ０ ０元 ， 那么 其 中面值 为 ２ 元 的人 民币有 （ ） ０ 张．
Ａ ２或 ４ ． Ｂ４ ．
２关 于 、 ．
有 无
ｃ４ ８ ．或
Ｄ ２到 ４ 之 间的任意偶数 ． ６
７由 １２ ３ 三个数 字组成 四位数 ， ． ，， 这 在每 个 四位数 中 ， 三个 数字 至少 出现一 次 ． 样 这 这 的四位数有 （ ） ．
ｔｅ ｅｒｔ ｆｔ ｔｒｅ ｉ ｓｓ（ ｈ ｎｔ ａｏｏ ｓ ｈｅ ｄ ｈ ｉ ｉ ｓｅｉ
Ａ． ： ： １ ２ ３
） ．
Ｂ．１ ：１ ： ２
Ｃ ６ｍ 、而ｃ Ｄ ５ｍ． ｍ ．ｃ ，／ ｍ ／ ．ｅ ４ ｅ ９如 图 ２ 函数 ｙ 僦 一 ｍ的 图象分 别交 ． ， ＝ ４
１． ９如图 ３ 光线从 点 ０射 出 ， ． 一束 照在经 过 Ａ（ ， ）Ｂ（ ） １ ０ 、 ０ １ 的镜 面上 的点 Ｄ， Ａ ， 经 Ｂ反 射后 ，反 射光 笔 又 照到竖 立在 ＿ 位置 的镜 ｙ 轴 面． 要使最后经 轴再反射 的光 线恰 好通过点 ｙ ４， 则点 Ｄ的坐 为 ．
语数外学习 （ 九年级 ）
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黥 黥
关 系是 （ ）
一
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分别 为 ８ ８ ８ ； 当 ｎ ５时 ， ， ，４ 若 ＝ 有且只有 两个箱 子 中的乒乓球个数相 同， 那么各 箱子 中的乒乓
球 的个数分别是 ． １． ８已知一个 有序 数组 （ ， ，， ）现 按下 ａｂｃｄ ，
ｃ ５＜ ． ５
Ｄ 不确定 的 ．
０＋ ｃ＋ｄ ／ ｎ ｎ ｌ ６ ＋ ） ｎ ｍＩ ｎ ＋ ＋ ＋６ ｃ ｄ …
2010年希望杯全国数学邀请赛八年级第1试试题及详细解答
2010年（第21届）“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试详细解答一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）【解析】B ．因B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．故选B2．若230a a ≥≥，则（ ）AB ．1a ≥D ．01a <<【解析1】B ．（特殊值法）令0a =，则230a a ===；令110a =，则2311,1001000a a ==23a a >====,B.【解析2】B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤≤事实上，当0a =或1a ==；当01a <<1132,a a ==如图所示，xy a =（01a <<）在实数集R 上是减函数，∵1123>，∴1132a a <故选B.3有意义，则x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ≤，且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ≤，且2009x ≠-【解析】B ．由已知得2010020090x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得2010x ≤，且2009x ≠±．故选B.4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】C ．()()124a bc b ca a b c +++=++= ∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴12a b c ++≥≥∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，要使ABC ∆是等腰三角形只需6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，同理4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，同理3a b ==． 综上，这样的等腰三角形有3个．故选C.5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（ ） A ．任意的四边形 B．两条对角线等长的四边形 C ．矩形 D ．平行四边形【解析】B．因为顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．故选B6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则 （ ）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析1】（特殊值法）如令14a b c d====，则4p ==>=， 25P =>=，排除C 【解析2】A ．因01a <<，故23a a a >>，于是32371331331(1)a a a aa a a a +=+++>+++=+1a+1b+1c +1d >+,于是，根据同向不等式可以相加原理得 ()()()()11115p a b c d >+++++++=．即5p >,故选A.7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（ ）A ．b c a a >B ．0b a c ->C ．22b ac c> D ．0a c ac -<(英汉词典：be sure to 确定；correct 正确的；inequality 不等式) 【解析】C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <，于是∵b c >，0a >，∴b c a a>； ∵b a <，0c <，∴0b a c ->；∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立． 8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】A ．以A 区为原点，从A 区往C 区方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300S x x x =+-+-，由绝对值函数的性质易知在图10x =处，该函数值最小．事实上，554500,(300)351500,(100300)54500(0100)554500,(0)x x x x S x x x x ->⎧⎪+≤≤⎪=⎨+≤<⎪⎪-+<⎩，显然，当0x =时，min 4500S =9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析1】当AC BC =时，AD BD =,满足题意，此时，ABC △是等腰三角形；当AC BC ≠时，若ABC △是直角三角形，则ACD CBD ∆∆∽有22,AC AD AB BC BD AB =⋅=⋅于是222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,满足题意，故ABC △是等腰三角形或直角三角形. 【解析2】D ．∵222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理D 得sin sin AC B BC A =， ∴cos sin cos sin A BB A=，于是sin 2sin 2A B =，∴22A B =或021802A B =-,故A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（ ） A ．32秒 B ．38秒 C ．42秒 D ．48秒【解析1】C ．设自动扶梯的速度为a /米秒，人行走的速度为b /米秒，则24()56a b a +=，解得43b a =，56564243a a tb a ===（秒）.【解析2】C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）． 【解析3】C ．（可理解为合工作问题111422456⎛⎫÷-=⎪⎝⎭（秒））. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】②．由于①()()2222a b b a b a b a -+=-=+-；③()()2222249(7)77xy z x y z x y z x y z -=-=+-；④()()422222221625(4)(5)4545m n p m np m np m np -=-=+-．故填②12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”） 【解析1】=．（特殊值法）如令12b =，则2,1,2a c d ==-=，于是a d =【解析2】=．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 【解析3】=：1111111(1)111111c c a d d b c c cc--=====-=--=----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】2-．222510111x x x x ++=--+，()()225110x x x +++-=，22640x x ++=，2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析1】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时刻甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=，即12324k k -=，由于12,k k 均为非负整数， 2k 随1k 的增大而增大,故当12k =时，2k 的最小值为1，此时350x =，乙跑了400350750+=（米）． 【解析2】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，设甲已跑了x 个整圈，则400200400(1)30043400200400(1)40043x x m mx x m m +-+⎧>⎪⎪⎨+-+⎪<⎪⎩解得3522x <<由题意知x 为正整数，故2x = 于是乙跑了400220037504m m⨯+⋅=（米）. 15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________． 【解析】12310(或填12.3)．①当421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾； ②1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾；③当42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==.16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________． 【解析1】8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =--，于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+-- ()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-【解析2】8-．294523737a b +=--=-,则333366a ab b a b ab -+=+-=3()3()6a b ab a b ab +-+-3(2)3(2)68ab ab =--⨯--=-.17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析1】5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．【解析2】5．()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，线段5955(19)444x y x --=-=（019x ≤≤） 要求整点，只需19x -是4的倍数，于是190,4,8,12,16x -=，故线段AB 上共有5个整点： (15,5),(11,10),(7,15),(3,20),(19,0)----.18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析1】0． 原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>- ∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．【解析2】0.原不等式两边同乘以12-得，23914(2),a x a x --<--即2(14)31a x a +>-当140a +>即14a >-时，23141a x a ->+ ，故只需231141a a -=-+，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97-- 这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________． 【解析1】4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2121(1)(2)(1)(2)x a x a x x x x -+-+⇔=----()134(1)(2)0a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨--≠⎪⎩∴当()1134a a +⋅=+或()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解， 即2a =-或1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950． 【解析1】4950．原方程两边同乘以(1)(2)x x --得,(2)(1)2(1)x a x a -+-=+,即 (1)34a x a +=+①,当10a +≠即1a ≠-时,方程①有解341a x a +=+,要使原分式方程有解,还需1x ≠,且2x ≠,即当1a ≠-且32a ≠-且2a ≠-原分式方程有解,故原方程有解的概率为4950． 20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）【解析】990．因()()218800811b a c k ++++-++++=，即11()11b a c k +--=，（k 为整数） ∴b a c --能整除11，∴而19,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，9abc bc ≤，此时9b c --能整除11， ∴0b a c --=，即b a c =+，三位数abc 最大是990．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】6，3．设长和宽分别为x 、y ，不妨设x y >则()2x y xy +=，即()()224x y --= 依题意,x y 都是正整数，而x y >，∴2421x y -=⎧⎨-=⎩ 解得63x y =⎧⎨=⎩，于是长和宽分别为6和3．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析1】196x =-；83x =-，原方程可化为 []673x x +=，设673x t +=，（t 为整数）376t x -=，于是376t t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由37016t t -≤-<，解得13733t -<≤-，又t 为整数 4t =-或3t =-，即6743x +=-或6733x +=-，解得196x =-或83x =-．经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解．【解析2】196x =-；83x =-．∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+≤-，∴67x +=12-或9-，解得196x =-或83x =-． 经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解． 23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisectsDAB ∠，and 21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line ABis______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）【解析1】8；17．如图1，过D 作DF AC ⊥，交AB 于E ，交AC 于F ，连接CE ，过C 作CH AB ⊥于H ,则ADF AEF ∆≌,从而=9AD AE =，=10=CD CE BC =,12BE AB AE =-=，6EH BH ==,8CH ==,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CH =． 9615AH AE EH =+=+=,17AC ==．【解析2】8；17．如图2，在AB 上截取10AE AD ==,过C 作CF AB ⊥于F ,则ADC AEC ∆∆≌,从而=10=CD CE BC=，12BE AB AE =-=，6EF BF ==,8CF =,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CF =．9615AF AE EF =+=+=,17AC =．【解析3】8；17．如图3，过C 作CE AB ⊥于E ，过C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则CE CF =，于是BCE DCF ∆∆≌,ACE ACF ∆∆≌有BE DF =,AE AF =,设BE x =，则219x x -=+，解得6x =，即6BE =,15AE =,故8CE =, 17AC =.24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x 轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，∴直线BC 的方程为31944y x =-+,由31944y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2319044x x k -+-=，依题意得其判别式3613016k ∆=-=，解得36148k =． 事实上，反比例函数(0)ky k x =≠图象与Rt ABC △有交点时，k 的取值范围是361148k ≤≤【评注】本题k 的最大值的确定容易出错,误认为k 的最大值是直线BC （直线BC 的方程为31944y x =-+）与反比例函数(0)ky k x=≠图象的对称轴y x =的交点处取得，此时由31944y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得197197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而19193617749k xy ==⨯=，其实此时反比例函数(0)k y k x =≠图象与直线BC 有两个交点（由3194436149y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2249349191940x x ⨯-⨯+⨯=，其判别式为222222491944931944919(4943)49190∆=⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯>可得）并不是k 的最大值,只有当反比例函数的图象与BC 相切时k 才取到最大值.25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】23；1．可由正四边形，正五边形，正六边形等归纳出正n 边形的一般规律：设正n 边形的面积为n S . （1）对于正四边形0123A A A A ：共有4(43)22⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有4个：012123234312,,,A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有1个：0123A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有4(43)415212⨯-+==⨯+个，其中0123012234123312,,,A A A A n A A A A A A n A A A A A A n S S S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=正四边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为4(43)2312n n n n S S S S ⨯-⎡⎤+==+⋅⎢⎥⎣⎦. （2）对于正五边形01234A A A A A ：共有5(53)52⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有5个：012123234340401,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有5个：四边形012312342340,,A A A A A A A A A A A A 3401,A A A A ,4012A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有1个01234A A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有5(53)25111212⨯-⨯+==⨯+个，其中01234,A A A A A n S S =正五边形 0122340A A A A A A A n S S S ∆+=,1233401,A A A A A A A n S S S ∆+=2344012A A A A A A A n S S S ∆+=,3400123,A A A A A A A n S S S ∆∆+= 4011234A A A A A A A n S S S ∆+=,故所有满足条件的凸边形的面积的和为5(53)612n n S S ⨯-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦. （3）对于正六边形012345A A A A A A ：共有6(63)92⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有6个：012123234345450501,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有6个：四边01231234,A A A A A A A A 23453450,,A A A A A A A A ,45015012,A A A A A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有6个01234A A A A A ， 1234523450345014501251234,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;考虑由连续的6个顶点连成的六边形（凸多边形）有1个012345A A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有63119⨯+=6(63)212⨯-=⨯+ ,其中0122345012334501,,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S ∆∆+=+=23445012A A A A A A A A n S S S ∆+=,34550123A A A A A A A A n S S S ∆∆+=,45001234A A A A A A A A n S S S ∆+=,50112350A A A A A A A A n S S S ∆+=;01233450A A A A A A A A n S S S +=,1234450123455012,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S +=+=,012345,A A A A A A n S S =正六边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为6(63)631012n n n n n S S S S S ⨯-⎡⎤++==+⋅⎢⎥⎣⎦.由以上分析可知,对于正n 边形,设正n 边形的面积为n S ，则正n 边形的对角线共有()132n n -条，由连续的若干个顶点连成的凸多边形共有(3)212n n -⎡⎤⨯+⎢⎥⎣⎦个，它们的面积之和为(3)12n n n S -⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦于是(3)12312n n n S -⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦，[](3)2462n n n S -+=,即()1(2)46223711n n n S --==⨯⨯⨯∴811n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值max 23n =，此时正n 边形的面积是1．。
第19届希望杯初2第1试
第19届希望杯全国数学邀请赛试题·解答初中二年级 第1试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为是正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号1．以下说法中正确的是（ ） A ．1的平方根和1的立方根相同B ．0的平方根和0的立方根相同C2± D ．8的立方根是2±2．若单项式52x xa b -和2233x a b -的次数相同，则x 的整数值等于（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．1±以外的数3．若a b ，） A都是有理数B都是无理数C都是有理数或都是无理数D中有理数和无理数各有一个4．使不等式21x +>成立的x 的值是（ ）A ．比1-大的数B ．比3-小的数C ．大于1-或小于3-的数D ．2-以外的数5．设a ，b ，c ，d ，e 只能从3-，2-，1-中取值，又x a b c d e =-+-+，22222y a b c d e =-+-+，则（ ）A ．x 的最大值比y 的最大值小B ．x 的最小值比y 的最小值小C ．x 的最大值比y 的最小值小D ．x 的最小值比y 的最大值大 6．In the figure ，ABCD is a diamond ，pointsE andF lie on its sides AB and BC respectively ，such that AE BFBE CF=，and DEF △ is a regular triangle ．Then BAD ∠ is equal to ( ) A ．40 B ．60C ．80D ．1007．已知ABC △的三边的长分别为a ，b ，c ，且a a b cb c b c a++=+-，则ABC △一定是（ ）A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形8．初二⑴班有48名同学，其中有男同学n 名，将他们编成1号、2号、…、n 号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，……，n 号给全班一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（ ） A ．22 B ．24 C ．25 D ．26 9．使方程32200x y +=成立的正整数对()x y ，有（ ）A ．66个B ．33个C ．30个D ．18个10．一次函数y kx b =+的图像经过点()05A ，和点()40B ，，则在该图像和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个B CD AEF二、A 组填空题11．已知a ，b ，c 都是正整数，并且2008abc =，则a b c ++的最小值是 ．12．若12320072008M =------ ，222222123420072008N =-+-++- ，则M 与N 的大小关系是 ．（填“>”、“<”或“=”）13．初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学 位．14．若实数a使等式131a a +=+-________a =．15．Let a be an integer and satisfy ()2212008a a +<<，then ______a =．BAPCBA16．如下左图，ABC △的面积是24，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 的一个三等分点，CE 交AD于点F ，则AEF △的面积是 ．17．如上右图，在ABC △中，5AB AC ==，P 是BC 边上点B ，C 外的任意一点，则2____AP PB PC +⋅=． 18．有一个运算程序，可以使：当0m n k ⊗=（k 为已知数）时，得()11m n k +⊗=-，()12m n k ⊗+=+．现在，已知112⊗=，那么20072007_________⊗=．19．用摄氏温度计测量，水的冰点是0℃，沸点是100℃．当用华氏温度计测量时，水的冰点是32F ，沸点是212F ，现在测量某温度，用摄氏温度计测得的温度是用华氏温度计测得的温度的5倍，那么，当用摄氏温度计测量时，该温度是 ℃．20．小华同学从运动场的A 点出发，向东走10米到达B 点，再向北走8米到达C 点，再向西走6米到达D 点，再向南走5米到达E 点，则E ，A 两点相距 米．三、B 组填空题21．甲、乙两同学都想买同一本书，可是甲同学带的钱差7元，乙同学带的钱差6元，若两人带的钱合在一起买这本书则带剩1元，那么甲同学带了 元，乙同学带了 元．22．直角ABC △三边的长分别是x ，1x +和5，则ABC △的周 长 ，ABC △的面积= ．23．如右图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 并排放在一起，1O 和2O 分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积= ，线段12O O 的长 ．24．若代数式33223x y x y axy +++含有因式x y -，则_____a =， 在实数范围内将这个代数式分解因式， 得33223x y x y axy +++= ． 25．如右图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠= ，则ABC ∠的大小是 ，AIB ∠ 的大小是 ．F EBIBAC解 答一、选择题 1．B【解析】 1的平方根是1±，1的立方根是1，所以AC 不对；8的立方根是2，所以D 不对；只有0的平方根和立方根都是0，所以选B ．2．B【解析】 由题意，知()523x x x +=+-当0x ≥时，则65x x =-，解得57x =，不合题意，舍去； 当0x <时，则65x x -=-，解得1x =-，符合题意，所以选B ． 3．A【解析】 a ，b 都是有理数，所以a b -是有理数．12⎡⎤+⎣⎦是有理数，12⎡⎤=-⎣⎦是有理数．故选A ．4．C【解析】 当2x =-时，不等式无解；当2x >-时，21x +>，1x >-，此时不等式解集为1x >-； 当2x <-时，()21x -+>，3x <-．此时不等式解集为3x <-．所以1x >-或3x <-时，不等式成立． 故选C5．A【解析】()13323x =-⨯+⨯=最大， ()33127x =-⨯+⨯=-最小； 931225y =⨯-⨯=最小，139215y =⨯-⨯=-最小．应选A ．6．B译文：图中，ABCD 是菱形，E ，F 是AB ，BC 上的点，满足AE BFBE CF=，且DEF △是正三角形，则BAD ∠的大小是（ ） A ．40 B ．60 C ．80D ．100【解析】 如右图，由题意知BE CF =，在边AB 上取点K ，使AK BE =，连结DK ，BD ，易知AKD CFD △≌△，从而KD DF DE ==． 故DKE △为等腰三角形，有D KE D EK ∠=∠，则DKA DEB △≌△， 于是AD DB =，ADB △是等边三角形．、K B CDAE F所以60BAD ∠= ．选B7．B【解析】 由已知，得()a b c b cbc b c a++=+-， 去分母得()()()2b c ab ac a bc b c ++-=+， 移项因式分解得()()20b c ab ac a bc ++--=．()()()0b c b a a c +--=．因为a ，b ，c 为三角形的边，所以0b c +>，得a b =或a c =．所以ABC △是以a 为一腰的等腰三角形．选B ．8．D【解析】 由题意，n 号同学给()2n +名同学打过电话，所以2482n +=÷，22n =．所以女同学有482226-=（名）．选D ．9．B【解析】 因为32200x y +=，x ，y 为正整数，所以200302xy -=>．所以2663x <．又因为x 为正偶数，所以x 可取2，4，6，…，66．共33个数． 所以原方程的正整数解有33个．应选B ．10．A 【解析】 如右图，将点()05，和()40，坐标分别代入y kx b =+得504b k b =⎧⎨=+⎩解得545k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 所以一次函数解析式为554y x =-+．当1x =时，334y =，直线1x =在AOB △内有整点3个；当2x =时，122y =，直线2x =在AOB △内有整点2个；当3x =时，114y =，直线3x =在AOB △内有整点1个．选A ．二、A 组填空题11．257 【解析】 2008分解成24251⨯⨯时，24251257a b c ++=++=．这时a b c ++的值最小12．=【解析】 ()()()222222123420072008N =-++++-()()()()()()121234342007200820072008=+-++-+++- ()123420072008=-++++++M =所以M N =．13．13 【解析】 由题意，按属相分组可以分成4组，若每组12人，那么还有1人没有进组，当他加入某一组后，该组至少有13人．14【解析】 由已知((133a a +=+-+，即(24a +=+所以1a15．45-【解析】 若0a ≥，则()221a a +>，与题意不符．所以0a <．因为()()2244200845-<<-，所以45a =-．16．2 【解析】 如右图，连结BF ，设AEF S x =△，则2EFB S x =△．因为D 为BC 中点，所以3AFC AFB S S x ==△．所以4AEC S x =△．所以312ABC AEC S S x ==△△．所以112421212ABC x S ==⨯=△，即2AEF S =△．17．25【解析】 如右图，过点A 作AD BC ⊥交BC 于点D ，因为AB AC =，所以ABC △是等腰三角形，D 是BC 的中点，BD CD =． 所以222AP AD DP =+．所以()()22PB PC BD DP CD DP BD DP ⋅=+-=- 所以222222225AP PB PC AP BD DP BD AD AB +⋅=+-=+==18．2008 【解析】 因为当m n k ⊗=（k 为已知数）时，()11m n k +⊗=-，()12m n k ⊗+=+，所以()()()11211m n k k +⊗+=+-=+．又112⊗=，所以200720072008⊗=． 19．20- 【解析】 由题意，摄氏温度计从0到100度对应华氏温度计从32度到212度，它们的比值是100:1805:9=，即当摄氏温度计读数为x 度时，华氏温度计的读数为9325x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭度．由题意，得95325x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得20x =-， 所有用摄氏温度计测得的温度是20-℃．20．5 【解析】 如右图，延长DE 交AB 于F ． 在Rt AEF △中，853EF =-=（米），1064AF =-=（米），所以5AE （米）．三、B 组填空题21．7；8 【解析】 设该书的单价为x 元，则甲同学带了()7x -元，乙同学带了()6x -元，依题意，有()()761x x x -+-=-，解得14x =元．所以甲同学带了7元钱，乙同学带了8元钱．CBAD PCBA10米5米8米6米F BEAC D22.12或30；6或30 【解析】 因为1x x <+，所以x 不会是斜边长，当斜边长为5时，有()22125x x ++=，即2120x x +-=，得()()430x x +-= 因为40x +>，所以30x -=，3x =；当斜边长为1x +时，有()22251x x +=+，解得12x =．所以x 的值是3或12．所以直角三角形的三边分别为3，4，5或5，12，13． 所以Rt ABC △的周长是12或30；面积是6或30． 23．14ab【解析】如图，1BO=，2BO =，12454590O BO ∠=+= ，所以1212111224O BO S BO BO ab =⋅⋅==△，12O O 24．5-；()()22x y x y x y -++【解析】 设()()3322223x y x y axy x y x mxy ny +++=-++，则()()3223322331x x y axy y x m x y n m xy ny +++=+-+-- 所以131.m n m a n -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，，所以4m =，1n =-．所以145a n m =-=--=-． 原式()()224x y x xy y =-+-()()()())222224452x y xxy y y x y x y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦()()()22x y x y x y =-++．25．40 ；120【解析】 如右图，在BC 上取点D ，使CD AC =，连接DI ，已知CA AI BC +=，所以BD AI =．在ACI △和DCI △中，AC DC =，ACI DCI ∠=∠，CI 为公共边， 所以ACI DCI △≌△． 所以AI D I =．因为80BAC ∠= ，所以40CAI ∠= ，40CDI ∠= ．又CDI ∠是等腰BDI △的外角，所以1202DBI DIB CDI ∠=∠=∠= ．所以40ABC ∠= ． 在AIB △中，40BAI ∠= ，20ABI ∠= ，所以()1802040120AIB ∠=-+=．B EFD 20o40o40o I BA C。
第20届希望杯全国数学邀请赛初二年级组第2试试题及答案解析
第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。
B 。
C 。
D 。
2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数 图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（ ）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =． 则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________． （英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提 示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-， 所以 0100x x x y <+<-<，，， 则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++， 即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是 （1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数． 所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。
希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)
1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
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一次函数奥数测试题1
《一次函数》能力测试题一、选择题（每小题4分, 共40分）1、（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题）在平面直角坐标系中, 先将直线y=3x-2关于x轴作轴对称变换, 再将所得直线关于y轴作轴对称变换, 则经过两次变换后所得直线的表达式是（）A.y=2x-3B.y=3x-2C.y=2x+3D.y=3x+22.（2003年富阳市初二数学竞赛试题）当－1≤≤2时, 函数满足, 则常数的取值范围是（）A. B. C. 且 D.3.(2006年宁波市阳光杯初二数学竞赛题)线段（1≤≤3, ）, 当a值由-1增加到2时, 该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A. 6B. 8C. 9D. 104、（“《数学周报》杯”2009年韶关市八年级数学竞赛初赛试题）在平面直角坐标系中,为坐标原点, 直线与轴交于点, 点在直线上, 且满足为等腰三角形, 则满足条件的点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题)已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点(0, 1), 它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形, 则a的值为（）A.1B.－1C.±1D.不确定6.（ 2012年北京市初二数学竞赛试题）在直角坐标系xOy中, 直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72, 则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是（）A. (3, 12)B. (1, 20)C. (－0.5, 26)D. (－2.5, 32)7.（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题）一次函数和的图象分别与y轴交于点P和Q, 这两点关于x轴对称, 则m的值是（）A.2B.2或-1C.1或-1D.-18.（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题）如图, 在平面直角坐标系内, A.B.C三点的坐标分别是（0, 0）, （4, 0）, （3, -2）, 以A.B.C三点为顶点画平行四边形, 则第四个顶点不可能在（）A.第一象B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.（2010年北京市初二数学竞赛试题）如图, 正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分, 已知线段OD.AD的长都是正整数, , 则满足上述条件的正方形面积的最小值是（）A.324B.331C.354D.36110.（第19届希望杯全国数学邀请赛初二第1试试题）一次函数的图象经过点（0, 5）和点B（4, 0）, 则在该图象和坐标轴围成的三角形内, 横坐标和纵坐标都是正整数的点有（）A.6个B.7个C.8个D.9个二、填空题（每小题5分, 共35分）11.（2012年肇庆市八年级数学竞赛决赛试题）已知, 则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是 .12.（2008年宁波市慈溪实中杯初二数学竞赛第1试试题）△ABC的三个顶点的坐标为A（m, 4）, B（3, 5）, C（6, n）, 且AC=5, 将△ABC平移后得△, 其中（0, 3）, 在轴上, 则的坐标为 .13.（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题）点A和B在直线上, 点A的横坐标是2, 且AB=5, 当线段AB绕点A顺时针旋转90度后, 点B的坐标是14.(2004年富阳市初二数学竞赛试题)已知四边形的四个顶点为A（8,8）, B（－4,3）, C（－2, －5）, D（10, －2）, 则四边形在第一象限内的部分的面积是。
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第19届希望杯全国数学邀请赛初二第1试试题
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A 、1的平方根和1的立方根相同
B 、0的平方根和0的立方根相同
C 、4的平方根是2±
D 、8的立方根是2±
2．若单项式x
x b a 52-和x b a -3223的次数相同，则x 的整数值等于（ ）
A 、1
B 、-1
C 、1±
D 、1±以外的数
3．若b a ,和b a +都是有理数，则（ ）
A 、b a ,都是有理数
B 、b a ,都是无理数
C 、b a ,都是有理数或都是无理数
D 、b a ,中有理数和无理数各一个
4．使不等式12>+x 成立的x 的值为（ ）
A 、比-1大的数
B 、比-3小的数
C 、大于-1或小于-3的数
D 、-2以外的数
5．设e d c b a ,,,,只能从-3，-2，-1中取值，又22222,e d c b a y e d c b a x +-+-=+-+-=，则（ ）
A 、x 的最大值比y 的最大值小
B 、x 的最小值比y 的最小值小
C 、x 的最大值比y 的最小值小
D 、x 的最小值比y 的最大值大
6．In the figure1, ABCD is a diamond, points E and F lie on its sides AB and BC respectively, such that CF
BF BE AE =, and DEF ∆ is a regular triangle. Then BAD ∠ is equal to ( ) A 、400 B 、600 C 、800 D 、1000
（（英汉小词典：diamond 菱形；regular triangle 正三角形）
7．已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，且a c b c b c a b a -++=+，则ABC ∆ 一定是（ ）
A 、等边三角形
B 、腰长为a 的等腰三角形
C 、底边长为a 的等腰三角形
D 、等腰直角三角形
8．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n 名，将他们编成1号、2号、…，n 号。
在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n 号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（ ）
A 、22
B 、24
C 、25
D 、26
9．使方程20023=+y x 成立的正整数对),(y x 有（ ）
A 、66个
B 、33个
C 、30个
D 、18个
10．一次函数b kx y +=的图象经过点（0，5）和点B （4，0），则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）
A 、6个
B 、7个
C 、8个
D 、9个
二、A 组填空题（每小题4分，满分40分）
11．已知c b a ,,都是正整数，且2008=abc ，则c b a ++的最小值为 。
12．若20082007321------= M ，22222200820074321-++-+-= M ，则N M ,
A B C D E F Fig.1
A
B C D E
F
图2
的大小关系是 （填“>”、“<”、或“=”）。
13．初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学 位。
14．若实数a 使等式2231
1+=-+a a 成立，则=a 。
15．Let a be an integer and satisfy 222008)1(a a <<+,then =a .
16.如图2，ABC ∆的面积是24，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的一个三等分点，CE 交AD 于点F 。
则AEF ∆的面积为 。
17．如图3，在ABC ∆中，AB=AC=5，P 是BC 边上点B 、C 外的任意一点，则=⋅+PC PB AP 2 。
18．有一个运算程序，可以使：当k n m =⊗（k 为常数）时，得
.2)1(,1)1(+=+⊗-=⊗+k n m k n m
现在，已知211=⊗，那么=⊗20072007 。
19．用摄氏温度计测量，水的冰点是0℃，沸点是100℃。
当用华氏温度计测量时，水的冰点是32℉，沸点是212℉。
现在测量某温度，用摄氏温度计测得的温度是用华氏温度计测得的温度的5倍，那么用摄氏温度计测量时，该温度是 ℃。
20．小华同学从运动场的A 点出发，向东走10米到达B 点，再向北走8米到达C 点，再向西走6米到达D 点，再向南走5米到达E 点。
则E 、A 两点相距 米。
三、B 组填空题（每小题8分，满分40分）
21．甲、乙两同学都想买同一本书，可是甲同学带的钱差7元，乙同学带的钱差6元，若两人带的钱合在一起买这本书则还剩1元，那么甲同学带了 元，乙同学带了 元。
22．直角ABC ∆三边长分别是1,+x x 和5，则ABC ∆的周长为 ，ABC ∆的面积为 。
23．如图4，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，1O 和2O 分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段1O 2O 的长为 。
24．若代数式22333axy y x y x +++含有因式y x -，则=a ，在实数范围内将这个代数
式分解因式，得=+++2
2333axy y x y x 。
A B C P 图 3 A B C D E F G 1O 2O 图4
图 5 A B C I
的内心，且CA+AI=BC。
若∠BAC=800，则∠ABC的大小为，∠AIB 25．如图5，I是ABC
的大小为。