均值不等式题型汇总
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
（完整版）均值不等式专题20道-带答案
（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题目总结
均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。
均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。
一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。
2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。
二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
均值不等式的题型和方法
均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。
通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。
- 题型二：配凑定积。
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
- 题型三：配凑常数降幂。
- 题型四：配凑常数升幂。
- 题型五：约分配凑。
通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
- 题型六：引入参数配凑。
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。
- 题型七：引入对偶式配凑。
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
- 题型八：确立主元配凑。
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式题型汇总
均值不等式题型汇总一．均值不等式：（一正，二定，三相等， 积定和最小，和定积最大） 1.原始形式：（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2) 若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. 二维形式：(1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 三维形式：(1)若*,,R c b a ∈，则33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）(2)若*,,R c b a ∈，则33⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤c b a abc (当且仅当c b a ==时取“=”） 方法一：凑项 1. 求函数1x 16x 4)x (f 22++=的最小值。
解：原函数化为41x 16)1x (4)x (f 22-+++= 因为1x 16)1x (422+++161x 16)1x (4222=+⋅+≥ 所以12416)x (f =-≥。
当且仅当1x 16)1x (422+=+即x=1，x=－1时，12)x (f min =。
2. 设x<－1，求函数51x 4)1x (y ++++=的最值。
解：因为1x -<，即01x <+，所以0)1x (>+-，则])1(4)1([14)1(+-++--=+++x x x x 4)1(4)]1([2-=+-⋅+--≤x x 。
当且仅当)1x (4)1x (+-=+-，即3x -=时，y 有最大值，且154y max =+-=，y 无最小值。
3. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式的常见题型
均值不等式的常见题型一、基本练习 1、已知：b n m a yx =+=+2222,且ba ≠，则nymx+的最大值为( )(A)ab(B)2b a + (C)222ba + (D)222b a +2、若+∈R y x a ,,，且yx a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22(B)2(C)2 (D)13、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++ba b a (B)ababba 222≥+(C)21≥+abab (D)abba ab ≤+25、设+∈R b a ,且2242,12ba ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+6、若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)4327、已知0,0,0a b c >>>且1a b c ++=则14a bc++的最小值是（ ）A 13.5B 12C 10D 98、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是（ ） A (2,)+∞ B [2,)+∞ C (,2)-∞- D (,2]-∞-9、较难：设0a b c >>>，则221121025()a ac caba ab ++-+-的最小值是（ ）10、若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx11+的最小值为 .11、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则abb a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .A ．2B ．4C ．25D ．512、若正数b a ,满足3++=b a ab，则ab的取值范围是 .13、已知:x > 0, y > 0,且,191=+yx求 x + y的最小值14、已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba11+的最小值15、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值16、已知：x > 0,y > 0,134=+y x 求x + 3y 的最小值二、典型例题分析1、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a2、是否存在常数c ，使得不等式yx y yx x c yx y yx x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论. 注：考虑y x =的特殊情况.【课外作业】：1、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyx2、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求425)1)(1(≥++bb aa .3、证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy yx +≥+4、若a > b > 0,求)(162b a b a -+的最小值5、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值6、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） (注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）(解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式基础方法15类总结-(原卷版)
专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (3)【题型四】“积定求和”型 (4)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (4)【题型六】“常数”因子法： (5)【题型七】“单分母”构造因子法 (6)【题型八】“双分母”构造法 (6)【题型九】有和有积无常数型 (7)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (8)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (8)【题型十二】多元分离型 (9)【题型十三】反解消元型 (9)【题型十四】换元型 (10)【题型十五】较简单的三元均值 (11)培优第一阶——基础过关练 (11)培优第二阶——能力提升练 (13)培优第三阶——培优拔尖练 (14)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（ ） A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【提分秘籍】 基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（ ） A ．32B ．42C ．4D ．22.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．3【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（ ） A ．22B ．222 C ．2 D 2【提分秘籍】 基本规律 对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。
均值不等式常见题型整理
均值没有等式之阳早格格创做一、基原知识梳理1.算术仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的算术仄衡值.2.几许仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的几许仄衡值3.要害没有等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时，与“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b≥(当且仅当a=b 时，与“=”)均值定理可道述为： 4．变式变形：5.利用均值没有等式供最值，“战定，积最大；积定，战最小”，即二个正数的战为定值，则可供其积的最大值；积为定值，则可供其战的最小值.注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或者各果式非背；（2）战或者积为定值； （3）各项或者各果式皆能博得相等的值.6.若多次用均值没有等式供最值，必须脆持屡屡与“=”号的普遍性.偶尔为了达到利用均值没有等式的条件，需要通过配凑﹑裂项﹑转移﹑分散常数等变形脚法，创建一个应用均值没有等式的情景.二、罕睹题型：1、分式函数供最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 正在定义域内恒正或者恒背，,0,0>>m A 则可使用均值没有等式去供最值.例：供函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号创造，1min =∴y2、题正在给出战为定值，供战的最值时，普遍情况皆要对于所供式子举止变形，用已知条件举止代换，变形之后再利用均值没有等式举止供最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且，供b a +的最小值.解法一：169210991=+≥+++=+b aa b b a思路二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 而后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a不妨考证：二种解法的等号创造的条件均为12,4==b a .此类题型可扩展为：设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，供321111a a a S ++=的最小值.m m 9)2223(1=+++≥，等号创造的条件是321a a a ==.3、题中所供的式子中戴有根式，而且没有克没有及曲交用均值没有等式去供解，则可采与顺背思维去供解，对于没有等式顺背变换，原类题型普遍情况皆给出去x 的与值范畴，根据与值范畴去举止顺背变换. 例：供函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思路：由于所给函数的形式为无理式，曲交供解较艰易，从所给区间]3,21[∈x 进脚，可得一个没有等式)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或者3=x 时与等号），展启此式计划即可.解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2min =y4、没有等式的变形正在说明历程中或者供最值时，有广大应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+共时除以ab得2≥+b aa b 或者b a ab -≥-11.例：已知a,b,c 均为，供证：cb a ac c b b a ++≥++222.说明：c b a ,, 均为正数，ac a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222，总之，均值没有等式是下中数教的要害真质之一，它是供多项式的最值以及函数的值域的时常使用要领.正在应用均值没有等式时，没有管何如变形，均需谦脚“一正二定三相等”的条件. 【坚韧训练】1、若,0,0>>b a 供函数bax xy +=2最值. 问案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2、供函数)0(132<++=x x x xy 的值域. 问案：[-3，0]3、已知正数y x ,谦脚,12=+y x 供yx 11+的最小值.问案：223+4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，供2111++=y x S 的最小值.问案：295、若)0](,1[>∈a b a x ，供xbx ab y -+=)1(的最小值.问案：a6、设c b a ,,为整数，供证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++.三、利用没有等式解题的典型例题剖析：题型一：利用均值没有等式供最值（值域） 例1、（1）已知0>x ，供x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ，供x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1、若R x ∈，供x x x f +-=34)(的值域2、函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1、已知0,0>>y x 且191=+y x ，供y x +的最小值2、R x ∈，供1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3、当b a x ,,10<<为仄常数时，供x b x a y -+=122的最小值变式3：1、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定面，若面A 正在曲线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为2、供2)3(222++=x x y 的最小值为3、已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1、已知y x ,皆是正真数，且053=+-+xy y x（1）供xy 的最小值 （2）供y x +的最小值题型二：利用均值没有等式说明没有等式 例2、已知R c b a ∈,,，供证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222（3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1、已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 没有齐相等，供证：c b a c abb ac a bc ++>++2、已知R c b a ∈,,，且1=++c b a ，供证：31222≥++c b a3、已知1,0,0=+>>b a b a ，供证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
均值不等式常见题型及解析
均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。
比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
这时候就可以直接用均值不等式啦。
由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。
这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。
就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。
这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。
二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。
比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。
这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。
那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。
因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。
根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。
均值不等式典型题汇编
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
xy
例 30、（全国 1 理，2008）若直线 1通过点 M cos，sin ，则[ ]
ab
A． a2 b2 1
B． a2 b2 1
11
11
C． 1 D． 1
a2 b2
a2 b2
1 1 25
例 31、已知 a 0,b 0 且 a b 1，求证： (a )(b ) .
A．
a
b
1
1
4
a b
B． a3 b3 2ab2
C． a 2 b2 2 2a 2b
D． | a b | a b
1a
例 29、（陕西理，2006）已知不等式 (x y)( ) 9 对任意正实数 x, y 恒成
xy
立,则正实数 a 的最小值为[ ]
有极值，则 ab 的最大值等于[ ]
A. 2
B． 3
C． 6
D． 9
例 4、（重庆文，2011）若函数 f (x) x 1 (x 2) 在 x a 处取最小值，则
x2
a[ ]
A.1 2
B．1 3
C． 3
例 5、已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值.
值是
.
3
例
21 、 ( 重 庆 文 ， 2004) 已 知
23
2 x 0, y 0
,则
xy
的最小值
xy
是
.
例 22、（重庆理，2007）若 a 是1 2b 与1 2b 的等比中项，则 2ab 的最
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均值不等式题型汇总
均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
1.设*,,1,a b R a b 求证：1125()()4
a b a b 2.设,,(0,),a b c 求证：2222222()
a b b c a c a b c 3.设,,(0,),a b c 求证：222
b c a a b c
a b c 4.设,,(0,),a b c 求证：222a b c ab bc ac
5.已知实数,,x y z 满足：2221x y z ，求xy yz 得最大值。
6.已知正实数,,a b c ，且1abc 求证：1818189
a b c
7.（2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()63a b c a b c ，
并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值：
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1.设11
,(0,)1x y x y 且，求x y 的最小值。
2.设,(0,)1x y x y 且，求11
2x y 的最小值。
3.已知,a b 为正实数，且1a b 求1
ab ab 的最小值。
4.求函数11
(01)1y x x x 的最小值。
变式：求函数291
(0)122y x x x 的最小值。
5.设,(0,)x y ，35x y xy ，求34x y 的最小值。
6.设,(0,)x y ，6x y xy 求x y 的最小值。
7.设,(0,)x y ，6x y xy 求xy 的最大值。
8.（2010浙江高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ，求
2x y 的最大值。
9.求函数216y x x 的最大值。
变式：152y x x 的最大值和最小值。
10.设0x 求函数21
x x y x 的最小值。
11.设设1x 求函数21
1
x x y x 的最小值。
12.（2010山东高考）若任意0x ，231x
a x x 恒成立，求a 的取值范围.
13.求函数22233(1)22x
x y x x x 的最大值。
类型三、应用题
1.（2009湖北）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为
2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为
45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为
x （单位：m ）。
（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。
（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。
并求出最小总费用。
2.（2008广东）某单位用
2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为
x 层（10x ），则每平方米的平均建筑费用为56048x （单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，
该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，
平均购地费用=购地总费用建筑总面积）
附加题：
若正数,,a b c 满足1a b c ，那么222111()()()a b c a b c 的最小值为。