布朗运动的计算
布朗运动的计算
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
语言优教资源PPT
10
m B
ge
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
语言优教资源PPT
15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由语言强优教大资源数PP定T 理有
6
P
lim
n
Fn
s
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
布朗运动的计算
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且此极限不依懒于对[a,b]的分法及 tk 的取法,则称 { f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上均方可积.
该均方极限值Y(u)称为
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上的均方积分.
记为
b
a f (t,u) X (t)dt,
b
Y (u) a f (t,u)X (t)dt,
若对任意的t∈T, {X(t), t∈T}在t处均方连续,则称 {X(t), t∈T}在T上均方连续. 或称 {X(t), t∈T}是均方连续的.
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3 均方导数
1. 均方导数的定义
设{X (t),t T}是二阶矩过程， t0 T ,若均方极限
l.i.m X (t0 t) X (t0 )
1
1 ( x ) B1 ( x )T
f (x)
n
1 e2
(2 ) 2 B 2
（3）Y=XC(Cnm ),服从m维正态分布N(C,CTBC)
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感谢您的欣赏！
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Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
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P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
t 0
应用随机过程7-布朗运动
a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2010-7-30 理学院 施三支
五、有漂移的布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个标准布朗运动， X (t ) B (t ) t ， 我 们称 { X (t ), t 0} 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t 0 可以算出
2010-7-30
理学院 施三支
7.5
可以计算出
布朗运动的最大值变量及反正弦律
记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx inf{t 0 : B (t ) x} ，我们
x 0 时 P{Tx t} 2 P{B (t ) x}
从而 P{Tx } lim P{Tx t} 1 ，但是
布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
布朗运动、伊藤引理、bs 公式
布朗运动、伊藤引理、bs 公式1 前言在金融工程学习中，我们经常听到布朗运动、伊藤引理和 bs 公式等概念。
这些概念似乎非常抽象，但它们对金融市场的理解至关重要。
本文将详细介绍布朗运动、伊藤引理和 bs 公式的概念和应用。
2 布朗运动布朗运动，又称随机游动，是指无限小时间内方向和大小随机的运动。
布朗运动也被称为随机漫步，常常被用于描述股价或股票市场的随机波动。
在布朗运动中，价格的变化是随机的，并且价格的波动取决于商品的价格历史数据。
布朗运动的数学描述为：dS(t)=μ*S(t)dt+ σ*S(t)dZ(t)其中dS(t)表示在时间t之后股价的增量，μ是股票价格的平均增长率，σ是波动率，dZ(t)是标准布朗运动。
3 伊藤引理伊藤引理是用于求解随机微分方程的一个重要工具。
它是由日本数学家伊藤清刚在20世纪40年代开发的，其主要思想是用泰勒展开式逼近股票价格的随机变化。
伊藤引理的应用非常广泛，特别是在金融工程中更是被广泛采用。
主要是用来计算股票价格的期望值、波动率、偏差和随机漫步的方向。
通过应用伊藤引理，可以快速、准确地预测价格变化的概率分布。
4 BS公式BS公式是由Fisher Black和Myron Scholes在20世纪70年代开发的，用于计算欧式期权的理论价格。
该公式根据股票价格、期权的到期时间、行权价格、无风险利率和波动率，预测期权的价值。
BS公式的数学表达式为：C(t)=S(t)N(d1)−Kexp(−r(T−t)) N(d2)其中C(t)表示欧式期权的理论价格，S(t)表示股票价格在时间t的价格，K表示行权价格，r表示无风险利率，T-t表示期权到期日与当前日之差，N(d1)和N(d2)分别代表标准正态分布函数。
5 总结在金融市场中，布朗运动、伊藤引理和BS公式都是非常重要的工具。
布朗运动模拟市场的随机波动，伊藤引理可以求出股票的期望值、波动率等参数，BS公式可以预测欧式期权的理论价格。
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
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m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
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P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
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mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
布朗运动及其定义布朗运动的一些性质与布朗运动的相关的
n
∏ ft1 ,t2 −t1 ,,tn −tn−1 (y1,, yn ) = k =1
2π
1
−
yk2
e 2(tk −tk−1 )
tk − tk −1
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
mW (t=) 0, DW (t=) t ,t ≥ 0
对s,t ≥0,不妨设 s≤t,则
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
2014秋季学期
Introduction to Stochastic Process
2014秋季学期
Introduction to Stochastic Process
时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T
则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
2014秋季学期
Introduction to Stochastic Process
因W k
=
Y 1
+
+ Yk
⇒
y k =w k -w k −1,
k
=
1, ,n
∂y 1
∂w1
∂y 1 1
布朗运动实验报告
布朗运动实验报告一、实验原理1．由于布朗运动XY 两个维度运动互不关联，所以可看做XY 两方向运动方程形式相同的运动。
已知布朗运动数学方程：ξγ+-=v dtdv m 。
其中：ξ为具有随机性的噪声，是不规则运动的来源，系综平均值为令；v γ-为微粒所受阻力，是微粒所受力的系综平均值，γ满足公式：ηπγd 3=（d 为微粒直径，η为粘滞系数）。
2．求解郎之万方程（1）微粒X 方向位移的平均平方偏差：Dt t x t x 2)]()([20=〉-〈，〉-〈20)]()([t x t x 可由实验测得。
（2）微粒每隔时间τ的位移的平方平均值（τ足够大时）：τD x 2)(2=〉∆〈，〉∆〈2)(x 可由实验测得。
3．通过公式反解出D ，再由B A B k N R Tk D ==,γ，确定阿伏伽德罗常数。
二、实验方法通过计算机数值计算得到位移数据，再进一步根据公式关系解出D 及阿伏伽德罗常数。
三、数据处理1．布朗运动轨迹（1）图像结果（2）由图像结果可知，分子在不停的做无规则运动。
从单次运动结果来看，运动轨迹没有规律，且无法重复单次运动的结果。
2．微粒位移平均平方偏差（1）原始数据及拟合结果N曲线拟合R2拟合图像结果10t([2=〉.4])idtx725〈0.9027100t([2=〉])idtx43.8〈0.98971000t([2=〉])idtx8〈0.994由拟合图像及相关系数结果可知，N 较小时，所得结果较为分散、随机，无法体现线性关系。
当N=5000，相关系数最大，拟合效果最接近直线，以下数据处理考虑N=5000时结果。
（2）N=5000时，Dt t idt x 2499.8])([2==〉〈，反解：)/(10250.4)/(250.42/499.82122s m s m D -⨯===μ。
)/(10425.9101013321046m s J d ⋅⨯=⨯⨯⋅==---πηπγ)/(10367.129310425.910250.4231012K J T D k b ---⨯=⨯⨯⨯==γ)(10081.610367.1314.812323--⨯=⨯==mol k R N B A 计算所得阿伏伽德罗常数基本与理论值相符。
布朗运动的计算
该方法适用于研究布朗运动的宏 观性质和统计规律，如均方位移、
扩散系数等。
扩散系数法需要确定扩散系数和 其他相关参数，这些参数的准确
性对计算结果的影响较大。
04 布朗运动的应用
在物理领域的应用
分子扩散
布朗运动是分子扩散的主要原因 之一，通过布朗运动，分子在液 体中不断进行无规则的随机运动， 从而实现物质传递和混合。
03 布朗运动的计算方法
直接模拟法
01
直接模拟法是一种基于物理原 理的布朗运动计算方法，通过 模拟布朗粒子的运动轨迹来计 算布朗运动的位移和速度。
02
该方法需要跟踪每个布朗粒子 的运动轨迹，因此计算量大， 计算时间长，但结果准确可靠 。
03
直接模拟法适用于研究布朗运 动的微观机制和特性，如布朗 粒子的扩散系数、碰撞频率等 。
热传导
布朗运动可以影响物质的热传导 性能，通过研究布朗运动对热传 导的影响，有助于理解物质的热 性质和设计更高效的热管理材料。
光学性质
布朗运动可以影响物质的光学性 质，如散射和吸收等，通过研究 布朗运动对光学性质的影响，有 助于理解物质的光学性质和应用。
在化学领域的应用
化学反应动力学
布朗运动可以影响化学反应的速 率和机理，通过研究布朗运动对 化学反应的影响，有助于理解化
学反应的动力学和机理。
催化剂设计
布朗运动可以影响催化剂的活性， 通过研究布朗运动对催化剂活性的 影响，有助于设计更高效的催化剂。
药物传递
布朗运动可以用于药物传递系统中， 通过控制药物的布朗运动，可以实 现药物的定向传递和释放。
在生物学领域的应用
细胞生物学
布朗运动是细胞内分子运动的主要方式之一，通过研究细 胞内分子的布朗运动，有助于理解细胞的功能和代谢机制。
ito计算公式
ito计算公式ITO计算公式是一种计算金融衍生品价格的数学工具，是现代金融中的重要计算工具之一。
ITO计算公式被广泛应用于各种金融领域，例如股票期权、货币期权、商品期权等。
要理解ITO计算公式，首先需要了解布朗运动。
布朗运动是一种随机过程，也被称为渐近布朗运动或噪声。
它是由英国数学家罗伯特·布朗发现的。
布朗运动的一般形式如下：dB_t = σ*dW_t其中，B_t是布朗运动在时间t时的值，σ是标准差，W_t是维纳过程，也是随机过程。
实际上，维纳过程是一个随机游走，具有零均值和固定的方差，其中每个时间步的变化量都是随机的。
ITO计算公式是一个用于计算布朗运动的方程。
该方程是由日本数学家伊藤清创立的。
ITO计算公式的一般形式如下：dX_t = a(t, X_t)dt + b(t,X_t)dW_t这个方程描述了一个动态系统，其中dX_t表示在t时刻的小增量，a(t,X_t)表示在t时刻t和X_t的趋势，而b(t,X_t)描述在t时刻t和X_t的变动。
ITO计算公式在金融领域中的应用非常广泛。
它可以用来计算股票期权、货币期权、商品期权等金融工具的价格。
例如，在股票期权的情况下，ITO计算公式可以用来计算期权的价格。
期权是一种金融工具，它给予买方在未来某个时间点以固定价格购买或出售某种资产的权利。
这种资产可以是股票、债券、货币或商品。
如果买家行使这个期权，则卖家必须以期权规定的价格进行交易。
因此，对于期权的价格，卖家的获利将取决于市场价格与期权规定的价格之间的差异。
ITO公式可以用来计算这种价格的变化。
ITO计算公式的优点在于它可以考虑到市场风险，并能够计算股票价格的概率分布。
这意味着，ITo公式可以用来预测股票价格的波动，并对期权价格的风险进行分析和评价。
然而，ITO公式仅适用于黑-斯科尔斯模型，在实际情况中股票价格受到诸多因素的影响，包括自然风险、政治不稳定、市场流动性等，这些因素可能会影响到ITO公式的精度。
布朗运动的均值和方差
布朗运动的均值和方差布朗运动是一种随机过程，它的均值和方差是随机变量的统计特征。
布朗运动的均值和方差可以通过数学公式计算得出。
首先，我们需要了解布朗运动的定义和性质。
布朗运动是一种连续时间的随机过程，其数学模型可以表示为：dB(t) = σdW(t)其中，B(t)是布朗运动在时间t时的取值，W(t)是标准布朗运动（也称为Wiener 过程），σ是常数，表示布朗运动的波动率。
标准布朗运动具有以下性质：1. W(0) = 02. W(t)的取值是连续的3. W(t)的增量W(t+Δt) - W(t)服从均值为0，方差为Δt的正态分布根据布朗运动的定义和性质，我们可以得出布朗运动的均值和方差。
1. 均值布朗运动的均值是随机变量B(t)的期望值，可以表示为：E[B(t)] = E[∫₀ᵗσdW(s)] = ∫₀ᵗ E[σdW(s)] = 0其中，E[σdW(s)] = 0是由于标准布朗运动的均值为0。
因此，布朗运动的均值为0。
2. 方差布朗运动的方差是随机变量B(t)的方差，可以表示为：Var[B(t)] = E[(B(t) - E[B(t)])²] = E[B(t)²]根据布朗运动的定义，我们可以将B(t)表示为：B(t) = ∫₀ᵗσdW(s)因此，B(t)²可以表示为：B(t)²= (∫₀ᵗσdW(s))²= ∫₀ᵗ∫₀ᵗσdW(u)σdW(v)根据标准布朗运动的性质，W(u)和W(v)的协方差为min(u,v)，因此：E[B(t)²] = E[∫₀ᵗ∫₀ᵗσdW(u)σdW(v)] = ∫₀ᵗ∫₀ᵗE[σdW(u)σdW(v)] = ∫₀ᵗ∫₀ᵗmin(u,v)σ²du dv通过计算可以得出：E[B(t)²] = σ²t³/3因此，布朗运动的方差为σ²t³/3。
综上所述，布朗运动的均值为0，方差为σ²t³/3。
布朗运动的n阶矩公式
布朗运动的n阶矩公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：布朗运动是指一种液体或气体微粒在溶液或气体中随机运动的现象，这种运动可以通过布朗粒子的位置随时间的变化来描述。
在布朗运动中，微粒受到随机的碰撞力驱动，从而产生不规则的运动轨迹。
布朗运动的研究对于理解分子运动和扩散等现象具有重要意义。
布朗运动的n阶矩公式是描述布朗粒子位置随时间的n阶矩的公式，它可以用于描述随机运动的统计特性。
在布朗运动中，随机性是一个重要的特征，而n阶矩可以用来描述概率分布的形状和性质。
对于布朗运动的n阶矩公式的推导和理解有助于对布朗运动的统计特性有更深入的了解。
我们来看一下一阶矩，即期望值。
在布朗运动中，粒子的位置随时间的变化是一个连续的随机过程。
设X(t)表示时间t时刻的位置，我们可以定义粒子在时刻t的位置的期望值为E[X(t)]，即X(t)的均值。
布朗运动的期望值为0，这意味着在长时间尺度上，粒子的平均位置不断变化且不断随机。
接下来我们来看二阶矩，即方差。
方差描述了数据分布的离散程度，对于布朗运动，粒子的位置的方差描述了布朗运动的扩散性质。
布朗运动的方差与时间成正比，并且方差的增长速度与时间的平方根成正比。
这反映了布朗粒子在长时间尺度上的扩散特性，即随着时间的增长，粒子的位置波动范围也会增加。
接着我们来看n阶矩的一般表达式。
设布朗运动粒子的位置在时间t时刻的n阶矩为Mn(t)，则n阶矩的一般表达式为：Mn(t) = E[(X(t) - E[X(t)])n]这里X(t)是时间t时刻的位置，E[ ]表示期望值运算符，n为一个非负整数。
n阶矩描述了数据的n次幂的期望值，它反映了数据分布的形状和性质。
对于布朗运动，n阶矩可以用来描述粒子位置的统计特性，如偏度、峰度等。
在实际应用中，布朗运动的n阶矩公式可以帮助我们更好地理解和分析随机运动的统计特性。
通过对布朗运动的n阶矩的研究，我们可以揭示布朗运动的内在规律，为相关领域的研究和应用提供理论基础和指导。
伊藤过程求解几何布朗
伊藤过程求解几何布朗伊藤过程是一种随机微分方程，由日本数学家伊藤清于1944年引入。
它在数学金融学、物理学和其他科学领域中有广泛的应用。
而几何布朗运动是伊藤过程的一种特例，它描述了一个粒子在连续时间和连续空间中的随机运动。
本文将介绍如何求解几何布朗过程的伊藤方程。
伊藤过程的一般形式可以表示为：dX(t) = μ(X(t), t)dt + σ(X(t), t)dW(t)其中，X(t)是随机过程，μ(X(t), t)是随机过程的漂移项，σ(X(t), t)是随机过程的扩散项，W(t)是维纳过程（也称布朗运动）。
几何布朗过程是一种特殊的伊藤过程，它的漂移项μ(X(t), t)恒为零，扩散项σ(X(t), t)为常数。
因此，几何布朗过程的伊藤方程可以简化为：dX(t) = σdW(t)求解几何布朗过程的伊藤方程可以使用伊藤引理，该引理可以将一个随机过程的函数的微分表示为漂移项和扩散项的线性组合。
对于几何布朗过程来说，漂移项为零，只需考虑扩散项。
根据伊藤引理，对于一个函数f(X(t), t)，它的微分可以表示为：df(X(t), t) = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂X)dX(t) + (1/2)(∂²f/∂X²)(dX(t))²对于几何布朗过程来说，漂移项为零，上式中的第二项可以化简为：dX(t) = σdW(t)将其代入上式，可以得到几何布朗过程的伊藤方程的简化形式：df(X(t), t) = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂X)σdW(t) + (1/2)(∂²f/∂X²)(σdW(t))²对于一个给定的函数f(X(t), t)，我们可以使用伊藤方程来求解几何布朗过程。
首先，我们需要计算∂f/∂t、∂f/∂X和∂²f/∂X²的值。
然后，将这些值代入伊藤方程的右侧，再对方程两边进行积分，即可得到解。
下面举个例子来说明如何求解几何布朗过程的伊藤方程。
Brownianmotion或布朗运动
Brownian motion或布朗运动001827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。
人们长期都不知道其中的原理。
50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。
后来得到爱因斯坦的研究的证明。
布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。
悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10-3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无规则运动，藤黄颗粒在水中的无规则运动…。
而且温度越高，微粒的布朗运动越剧烈。
布朗运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运动的无规则性，关于它的理论在其他许多领域也有重要应用，如对测量仪表测量精度限度的研究、对高倍放大的电讯电路中背景噪声的研究等等。
布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么?人们是迷惑不解的。
在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。
一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。
最早隐约指向合理解释的是维纳(1826--1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。
不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。
在维纳之后，S·埃克斯纳也测定了微粒的移动速度。
他提出布朗运动是由于微观范围的流动造成的，他没有说明这种流动的根源，但他看到在加热和光照使液体粘度降低时，微粒的运动加剧了。
就这样，维纳和S·埃克斯纳都把布朗运动归结为物系自身的性质。
这一时期还有康托尼，他试图在热力理论的基础上解释布朗运动，认为微粒可以看成是巨大分子，它们与液体介质处于热平衡，它们与液体的相对运动起源于渗透作用和它们与周围液体之间的相互作用。
撞击微粒的结果到了70--80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。
布朗运动理论简介
布朗运动理论简介
E[V (t)] = exp( −αt / 2) E[X(exp(αt))] = 0 t1 < t2 时
桑峰(SY0802206) ⎧0 t ≠ 0 ∞ ⎪ ; δ(t) = ⎨ δ(t)dt = 1 ⎩ ⎪∞ t = 0 ∫−∞ 可以发现,当 h→0 时,
{ X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 2 的布朗运动,则
b b ⎡ b ⎤ E ⎢ f(t)X ′(t)dt g(t)X ′(t)dt⎥ = σ 2 g(t)f (t)dt ∫a ∫a ⎣∫ a ⎦
任意布朗运动 X(t) 都可以令 B(t) = 为标准布朗运动.
4
布朗运动与平稳随机过程、白噪声的关系
由前讨论 , 布朗运动的 n 维分布函数不满足严格
X(t) 而转化 σ
平稳随机过程的定义,其 2 维分布函数也不满足广义 平稳随机过程的要求,故布朗运动不是广义平稳的,自 然也不是严格平稳的.但我们可以计算一下布朗运动 的自相关函数[2]. 设 { X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 的布朗运动, t1 < t2 , 则
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
由布朗运动的性质(2),布朗运动是独立增量过程
P{ X(t) ≥ a} = P{ X(t) ≥ a | Ta ≤ t} P{ Ta ≤ t} + P{ X(t) ≥ a | Ta > t} P{ Ta > t}
布朗运动
数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = min( s, t ), s, t , ≥ 0
证明
由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0
令ξ = Wt1 , η = Wt 2 − Wt1 ,则ξ 服从N(0, t 1 )分布，η 服从N(0, t 2 − t 1 )分布 所以 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P( ξ ≤ x 1 , ξ + η ≤ x 2 )
= ∫ P(η ≤x 2 -y )P(ξ ∈ dy )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 a1/2Wt Wat
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
∆W t P ( lim > x) = 1 ∆t → 0 ∆ t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
例1 验证布朗运动是正态过程 证明 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n 定义，对任意的n≥1,及任意的
布朗运动的二次变差等于t证明
布朗运动是一种随机运动过程，它描述了微小颗粒在流体中因受到流体分子的不断撞击而发生的运动。
这种运动的性质是非常复杂的，而布朗运动的二次变差等于时间的证明是布朗运动理论中的一个重要内容。
本文将详细探讨布朗运动的二次变差等于时间的证明。
一、布朗运动的定义布朗运动是由英国植物学家罗伯特·布朗首次发现并描述的一种微观颗粒在液体（或气体）中的无规则运动。
这种运动的特点是不断的、随机的，受到周围分子的不断撞击而产生的。
在数学上，布朗运动可以用随机过程来描述，通常表示为B(t)，表示在时间t时的位置。
二、二次变差的定义在数学上，二次变差是用来衡量随机过程变量变化的大小的一个重要指标。
对于布朗运动B(t)，它的二次变差可以表示为：\[ V_2(t) = \lim_{|\pi|\to0} \sum_{k=0}^{n-1}(B(t_{k+1})-B(t_k))^2 \]其中，|π|表示对时间间隔取极限，n为分割的区间数，ππ为分割点。
三、二次变差等于时间的证明对于布朗运动的二次变差等于时间的证明，需要进行如下步骤推导：3.1 第一步：观察时间间隔的大小我们可以观察时间间隔的大小。
假设在时间段[0, π]内，我们划分了n 个相等的子区间，每个子区间的长度为Δπ。
当n趋于无穷大时，时间间隔趋近于0。
3.2 第二步：计算二次变差的平均值我们可以计算布朗运动在每个子区间上的二次变差的平均值。
即计算ππ到ππ+1之间的二次变差的平均值：\[ E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) \]3.3 第三步：计算二次变差的总和接下来，我们将所有子区间上的二次变差的平均值相加，即对π=0,1,…,π−1求和：\[ \sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) \]3.4 第四步：取极限得到布朗运动的二次变差等于时间当n趋于无穷大时，我们可以取极限，得到：\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) = t \]通过以上推导，可以得出布朗运动的二次变差等于时间的结论。
几何布朗运动 微分方程
几何布朗运动是一个随机过程，其中粒子的位置随时间变化遵循随机路径。
在几何布朗运动中，粒子不仅在每个时间步长内随机移动，而且其移动距离与粒子的当前位置成正比。
假设粒子在t 时刻的位置为X(t)，则其运动可以用以下微分方程描述：
dX(t) = μ * dt + σ * dW(t)
其中：
* μ 是粒子的平均移动速度（通常是一个常数）。
* σ 是粒子的扩散系数，决定了粒子移动的随机性。
* dW(t) 是t 时刻的微分维纳过程，表示随机波动。
* dt 是时间增量。
这个微分方程描述了粒子在几何布朗运动中的位置变化。
需要注意的是，这是一个随机过程，因此无法精确预测粒子在任意时刻的确切位置，但可以通过统计方法来描述其运动规律。
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对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=et + -
1
- x2 -2t x
e 2t dx
2 t
=et + -
1 -(x-t )2 (t )2
e e dx 2t
2t
2 t
=exp{(+ 2 )t}, t 0
2
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11
RBge (s,t)=Ees+W (s)et+W (t) =Ee(s+t)+ (W (s)+W (t)) =e Ee (s+t) (W (s)+W (t))
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W 1(t),W 2 (t), ,W n (t) 是 d SBM，则称
W=(W 1(t), ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动.
个相互独立的
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1
过程2：(, 2 ) 布朗运动
Bt, 2 =t+W (t), t 0
均值函数
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3
过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
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4
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
Bab t
=a+(b-a)t
+Btbr
t [0,1]
证明 ： (1)
B0ab =a,
B a b 1
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
mab (t)=a+(b-a)t t [0,1]
Cab (s,t)=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t))
Dn s
n
2
D(
Nn
s
)
s(1
s)
n
x,
lim P
n
n
s
x
1
2 s 1 s
e du x
u2 2 s (1 s )
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7
所以 n s,0 s 1 的极限过程是一正态过程。 可以证明 n s,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1
covn s,n t E n sn t nE Fn s sFn t t
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16
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2, 如果
n(s),0 s 1
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
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9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
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10
m B
ge
= min{s,t}-st
t [0,1]
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5
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s IXi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E (s+t) 2W (s) [W (t)-W (s)]
2
=e(t+s)e2 2se 2
(t -s )
,s,t
0
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12
过程5：反射布朗运动
Btre = W (t) t 0
均值函数
2t
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由语言强资格大考试数PP定T 理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
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补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
m B
,
2
(t
)=t
R, >0
相关函数
R B
,
2
(s,t
)=
2
st
+
2
min
(s,t
)
性质 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可
靠性预测，航空动力学报
2009，Vol.1,No.12.任语言淑资格红考试PPT
2
证明 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
mBre (t)=E[ W (t) ]=
, t 0
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mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
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过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
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8
所以当n→∞时，