一元二次方程及二次函数易错题集锦

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中考数学易错题系列解决二次函数与一元二次方程中的常见错误

中考数学易错题系列解决二次函数与一元二次方程中的常见错误在中考数学考试中，二次函数与一元二次方程是一个重要的知识点，也是学生易犯错误的地方。

为了帮助同学们更好地掌握这部分内容并避免错误，本文将针对二次函数与一元二次方程的常见错误进行解析和解决方案，希望能为同学们在中考数学中的备考提供帮助。

一、二次函数中的常见错误及解决方法1.错误：对二次函数的顶点和轴线的理解不准确。

二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中二次项的系数a不为零。

顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），轴线方程为x=-b/2a。

很多同学在计算顶点时，容易弄错符号或漏掉除以2a的步骤，导致计算结果出现错误。

解决方法：在计算顶点坐标时，要注意对符号和运算的准确性。

如此题f(x)=2x²+4x+3，则计算顶点坐标的步骤为：x=-4/(2×2)=-1，代入函数得f(-1)=2×(-1)²+4×(-1)+3=1-4+3=0，所以顶点坐标为（-1，0）。

2.错误：对二次函数的图像特征理解不准确，如开口朝上还是朝下、图像与x轴的交点等。

二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定，开口朝上（a>0）或朝下（a<0）；图像与x轴的交点对应于方程f(x)=0的解，即求解一元二次方程的根。

解决方法：首先要理解二次函数图像的开口方向是由二次项的系数决定的。

例如f(x)=3x²-2x+1，由于a=3>0，所以图像开口朝上。

其次，在求解交点时，要将二次函数转化为一元二次方程，并应用求根公式或配方法求解。

典型案例：已知二次函数f(x)=x²-4x+3，求解方程f(x)=0的解。

解：将f(x)=0代入二次函数得x²-4x+3=0，该方程为一元二次方程，可以使用因式分解或求根公式求解。

方法一：因式分解法根据观察，可以将方程对应的二次函数写成(x-3)(x-1)=0的形式，再分别令两个因式为零，即得到方程的解为x=3和x=1。

一元二次方程知识点总结与易错题精编版

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。

一元二次方程难题、易错题

一元二次方程难题、易错题1.一元二次方程已知关于x的方程mx^2-3(m-1)x+2m-3=0，求证：m取任何实数时，方程总有实数根。

解析：根据一元二次方程的判别式，当判别式大于等于0时，方程有实数根。

将方程化简得到 mx^2-(3m-3)x+2m-3=0，判别式为 (3m-3)^2-8m(m-1) = m^2-2m+1 = (m-1)^2 ≥ 0，因此对于任何实数m，方程都有实数根。

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+1=0有两个相等的实数根，求ab^2-22(a-2)+b-4的值。

解析：由于方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的求根公式，可得到 b^2-4ac=0，即 b^2-4a=0.将b^2-4a代入ab^2-22(a-2)+b-4中，得到 ab^2-22(a-2)+b-4 = ab^2-22b+44+b-4 = ab^2-21b+40 = (ab-16)(b-5)。

因此，要求的值为(ab-16)(b-5)。

2.方程的实数根1）已知关于x的方程2x^2+kx-1=0，求证：方程有两个不相等的实数根。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

将2x^2+kx-1=0的判别式代入得到k^2+8 ≥ 0，即对于任何实数k，方程都有两个不相等的实数根。

2）若方程2x^2+3x+1=0的一个根是-1，求另一个根及k 值。

解析：由于方程的一个根是-1，则另一个根为 -1/2.将-1和-1/2代入方程得到两个方程：2-3+k=0和4+3/2+k=0，解得k=-11/2.3.三角形形状已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x^2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△XXX的形状。

解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知bc，b+c>a，a+c>b，因此△ABC是一个等腰三角形。

中考数学复习一元二次方程专项易错题含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．2．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，4．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）；（6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)

22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。

一元二次方程及二次函数易错题集锦

1．问题：构造ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a－1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2，求21ab a的值．2. （2011年四川省绵阳市，12，3分）若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x －a ）（x －b ）=1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（）A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b ＜x 23. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y 2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y 1、y 2，则（y 1﹣1）（y 2﹣1）的值为4.（2011杭州，15，4分）已知分式2-3-5+x x x a，当x =2时，分式无意义，则a = ；当a＜6时，使分式无意义的x 的值共有个． 5．（12分）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．第25题图6.已知关于X的方程（k-3）x²+kx+1=0（1）求证：不论k取何值时，方程总有实数根；（2）当k=4时，设该方程的两个根为d、m，求d²+m²的值7.已对方程 2x2+3x－l＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．8.某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8．6亿元人民币，1995年为10．4亿元人民币，2000年为12．9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测2005年该市国内生产总值将达到多少？9.二次函数2y ax bx c=++的图象的一部分如图2－3－1所示。

一元二次方程易错题(Word版含答案)

一元二次方程易错题（Word 版含答案）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒， ∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当57325-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上【解析】【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ，又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =，即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ，即886-=t DE， ∴364=-DE t ，∴336644=-+=CE t t ， ∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ，在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t解得1256-=t ，2256+=-t （舍）所以当256-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.3．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．【详解】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，解得y≤20．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．4．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ的长度等82cm？（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？【答案】（1）t为5或7；（2）t为45或4；（3）t为4或16【解析】【分析】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【详解】解：（1），.根据三角形的面积公式，得，即，整理，得，解得，.故当为5或7时，的面积等于35.（2）根据勾股定理，得，整理，得，解得，.故当为或4时，的长度等于.（3）①当时，，，由题意，得，解得：，（舍去）.②当时，，，由题意，得，次方程无解.③当时，，，由题意，得，解得：（舍去），.综上所述，当为4或16时，的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间界点，才能正确的表示PB ，CQ 的长．5．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-．【解析】【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．6．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.7．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.8．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t3＝﹣323．当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1）•32t ＝32t 2﹣34t ．（3）直线PQ 的解析式为y ＝﹣3x +53．【解析】【分析】（1）求出点B 的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t ＜12时，②当t ＞12时，根据S ＝12OQ •P y ，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t ，推出点P ，Q 的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y ＝kx +k ，令y ＝0，可得x ＝﹣1， ∴A （﹣1，0）， ∴OA ＝1，∵AB ＝2， ∴OB ＝223AB OA -=∴k ＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OBOA= ∴∠BAO ＝60°， ∵PQ ⊥AB ， ∴∠APQ ＝90°， ∴∠AQP ＝30°， ∴AQ ＝2AP ＝2t ，当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t 3323．当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1）•32t ＝32t 2﹣34t ．（3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7， ∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （12Q （5，0），设直线PQ 的解析式为y ＝kx +b ，则有1250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．9．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--．【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--，即AM 的解析式为112y x =--．10．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．。

一元二次方程易错题

一元二次方程易错题一、概念理解类1. 方程(m - 1)x^2+3x - 1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）- 题目解析：- 对于一元二次方程的一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

在方程(m - 1)x^2+3x - 1 = 0中，要使其为一元二次方程，二次项系数不能为0，即m - 1≠0，解得m≠1。

2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）- ①x^2+(1)/(x^2)=0；②ax^2+bx + c = 0；③(x - 1)(x + 2)=x^2-1；④3x^2-2xy - 5y^2=0；⑤x^2=0- 题目解析：- ①x^2+(1)/(x^2) = 0是分式方程，因为方程中含有分式(1)/(x^2)，不符合一元二次方程整式方程的要求。

- ②ax^2+bx + c = 0，当a = 0时，它就不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程。

- ③将(x - 1)(x + 2)=x^2-1展开得x^2+x - 2=x^2-1，化简后为x - 1 = 0，是一元一次方程，不是一元二次方程。

- ④3x^2-2xy - 5y^2=0含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不是一元二次方程。

- ⑤x^2=0符合一元二次方程的定义ax^2+bx + c = 0(a≠0)，这里a = 1，b = 0，c = 0，所以它是一元二次方程。

二、解方程类1. 解方程x^2-2x - 3 = 0- 题目解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0，这里a = 1，b=-2，c = - 3。

- 可以使用求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-2)^2-4×1×<=ft(-3)=4 + 12 = 16。

- 然后将其代入求根公式，x=(2±√(16))/(2)=(2±4)/(2)，得到x_1=(2 +4)/(2)=3，x_2=(2-4)/(2)=-1。

九年级数学二次函数与一元二次方程易错题总结(含答案)

九年级数学二次函数与一元二次方程易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2,−1)，若MN的长不小于2，则a的取值范围是()A. a≥13B. 0<a≤13C. −13≤a<0 D. a≤−13【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，首先由点M(x1,−1)，N(x2,−1)，根据二次函数的性质可知M、N两点为对称点，将y=−1代入函数的解析式中得到关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程的关于系数的关系建立关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2,−1)，∴−1=ax2+2ax+3a−2，则ax2+2ax+3a−1=0，设该方程的根为x1、x2，∵MN的长不小于2，∴|x1−x2|≥2，∵x1+x2=−2，x1x2=3a−2a，∴√(x1+x2)2−4x1x2≥2，∴当a<0时，无解，当x>0时，0<a≤13，故选B．2.已知二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，则()A. 2m+n>43B. 2m+n<43C. 2m−n<43D. 2m−n>43【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0的结论的熟练应用．根据二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可．【解答】解：∵二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，∴△<0，即(3m)2−4×(−1)×(−3n)<0，9m2−12n<0，3m2<4n，∵抛物线开口向下，与x轴没有交点，∴−3n<0，∴n>0，当x=2时，y<0，即−4+6m−3n<0解得2m−n<43故选：C．3.已知二次函数y=−x²+3mx−3n，图像与x轴没有交点，则()A. 2m+n>43B. 2m+n<43C. 2m−n<43D. 2m−n>43【答案】C【解析】【分析】本题考查了以及二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点，关键是利用△=b2−4ac 和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当△>0时，函数与x轴有2个交点，当△=0时，函数与x轴有1个交点，当△<0时，函数与x轴无交点．函数y=−x2+3mx−3n的图象与x轴没有交点，用根的判别式：△<0，即可求出n>34m2，然后分别求解即可．【解答】解：∵二次函数y=−x2+3mx−3n，图像与x轴没有交点，令y=0，则0=−x2+3mx−3n，∴△=b2−4ac=9m2−12n<0，即：n>34m2，∴2m+n>2m+34m2=34(m+43)2−43≥−43，∴2m+n>−43，同理：2m−n<2m−34m2=−34(m−43)2+43≤43，即2m−n<43，故选：C．4.二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，当−2≤x≤0时，y>0，则m的取值范围为()A. m<0B. m<1C. 0<m<1D. m>1【答案】D【解析】解：∵二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，∴该函数的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(m−1,0)，∵当−2≤x≤0时，y>0，∴当m−1≥1时，即m≥2，满足题意；或当0<m−1<1时，即1<m<2，也满足题意；综上可得，m的取值范围为m>1．故选：D．根据二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，可以求得该函数与x轴的交点，然后根据当−2≤x≤0时，y>0和二次函数的性质即可得到m的取值范围，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．5.二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，当−2≤x≤0时，y>0，则m的取值范围为()A. m<0B. m<1C. 0<m<1D. m>1【答案】D【解析】解：∵二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，∴该函数的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(m−1,0)，∵当−2≤x≤0时，y>0，∴当m−1≥1时，即m≥2或当0<m−1<1，得1<m<2，由上可得，m的取值范围为m>1，故选：D．根据二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，可以求得该函数与x轴的交点，然后根据当−2≤x≤0时，y>0和二次函数的性质即可得到m的取值范围，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有四个不相等的实数根，则k的取值范围是___________【答案】0<k<3【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是作出y=|ax2+bx+c|的图象，首先作出y=|ax2+bx+c|的图象，结合图象y=k与y=|ax2+bx+c|函数有四个交点进行解答．【解答】解：作y=|ax2+bx+c|的图象如下：若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有四个实数根，即y=k与y=|ax2+bx+c|函数有四个交点，可得0<k<3．故答案为0<k<3．7.二次函数，y=(x−1m)(mx−6m)(其中m>0)下列命题：①该函数图象过(6,0)，②该函数图像顶点在第三象限③若当x<n时，都有y随x的增大而减小，则，n≤3+12m，正确的序号是【答案】①③【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的性质的有关知识，先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与根的判别式，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y=(x−1m)(mx−6m)=mx2−(6m+1)x+6，∴对称轴为x=−−(6m+1)2m =3+12m，△=[−(6m+1)]2−24m=(6m−1)2≥0，当x=6时，y=0，∴该函数图象过(6,0);故 ①正确;∵y=(x−1m)(mx−6m)=mx2−(6m+1)x+6，∴对称轴为x=−−(6m+1)2m =3+12m>0，该函数图象顶点不在第三象限，故 ②错误;当x<n时，y随x的增大而减小，即n≤3+12m，故③正确．故答案为①③．8.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2−1)x−a的图象与x轴的一个交点坐标为(m,0)，若3<m<4，则a的取值范围是________．【答案】14<a<13或−4<a<−3【解析】【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点.解题的关键是注意分类讨论，不要漏解．先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a>0与a<0两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵y=ax2+(a2−1)x−a，=(ax−1)(x+a)，∴当y=0时，x1=1a，x2=−a，∴抛物线与x轴的交点为(1a,0)和(−a,0)．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(m,0)且3<m<4，∴当a>0时，3<1a <4，解得14<a<13;当a<0时，3<−a<4，解得−4<a<−3，故答案为：14<a<13或−4<a<−3．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）9.已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)．(1)若此函数图象与x轴只有一个交点，试写出a与b满足的关系式．(2)若b=2a，点P1(−3,y1)，P2(−1,y2)，P3(3,y3)是该函数图象上的3个点，试比较y1，y2，y3的大小．(3)若b=a+3，当x>−1时，函数y随x的增大而增大，求a的取值范围．【答案】解：(1)由条件得，△=b2−12a=0，即b2=12a；(2)当b=2a时，二次函数图象的对称轴为x=−b2a=−1，即P2为顶点①当a>0时，图象开口向上，y2为最小值∵|−3−(−1)|<|3−(−1)|∴y1<y3∴y2<y1<y3②当a<0时，图象开口向下，y2为最大值∵|−3−(−1)|<|3−(−1)|，∴y1>y3∴y3<y1<y2(3)当b=a+3时，即函数表达式为y=ax2+(a+3)x+3=(ax+3)(x+1)∴函数图象经过定点(−1,0)，(0,3)∴要当x>−1时，函数y随x的增大而增大必须满足：图象开口向上，对称轴在直线x=−1的左侧≤−1即a>0，−a+32a∴a的取值范围是0<a≤3．【解析】(1)根据函数图象与x轴只有一个交点得出△=b2−12a=0，再求出即可；(2)先求出二次函数的对称轴，分为两种情况：①当a>0时，图象开口向上，y2为最小值，②当a<0时，图象开口向下，y2为最大值，再比较即可；(3)根据b=a+3得出函数表达式为y=ax2+(a+3)x+3=(ax+3)(x+1)，求出函数图象经过定点(−1,0)，(0,3)，再分析求解即可．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．10.已知函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．【答案】k≤4【解析】略11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1=x2−4x+4的顶点为D，直线y2=kx−2k(k≠0)．(1)点D是否在直线y2=kx−2k上？请说明理由；(2)过x轴上一点M(t,0)(0≤t≤2)作x轴上的垂线，分别交y1，y2于点P，点Q.小明同学借助图象性质探究：当k满足什么条件时，存在实数t使得PQ=3.他发现以下结论：①当k>0时，存在满足条件的t；②当−2<k<−0.5时，不存在满足条件的t.你认为小明的判断是否正确？请说明理由．【答案】解：(1)∵y1=x2−4x+4=(x−2)2，∴点D的坐标为(2,0)．当x=2时，y2=2k−2k=0，∴点D在直线y2=kx−2k上．(2)∵点M(t,0)，∴点P(t,t2−4t+4)，点Q(t,kt−2k)，∴PQ=|t2−4t+4−(kt−2k)|=|t2−(4+k)t+(4+2k)|．①当P在Q点上方时，k>0∵PQ=3∴t2−(4+k)t+(4+2k)=3整理得t2−(4+k)t+(1+2k)=0，∵Δ=b2−4ac=(4+k)2−4(1+2k)=k2+12>0，∴当k>0时，存在满足条件的t值．①正确．②当P在Q点下方时，k<0∵PQ=3∴t2−(4+k)t+(4+2k)=−3即t2−(4+k)t+(7+2k)=0∵Δ=b2−4ac=(4+k)2−4(7+2k)=k2−12∴当存在PQ=3时，k2−12≥0∴k≤−2√3或k≥2√3(舍去)∴当−2<k<−0.5时，不存在满足条件的t②正确．【解析】本题是代数综合题，综合考查了一次函数和二次函数图象性质．解答时注意随着k值的变化讨论PQ的相对位置关系．(1)将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后将顶点D的坐标代入y2=kx−2k即可(2)根据M点坐标可以得出P，Q的坐标，进而得到PQ=|t2−4t+4−(kt−2k)|= |t2−(4+k)t+(4+2k)|，①当P在Q点上方时，k>0，可得t2−(4+k)t+(1+ 2k)=0，根据根的判别式判断即可；②当P在Q点下方时，k<0，可得t2−(4+k)t+(7+2k)=0，根据判别式即可求解．12.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示：①当y<0时，x的取值范围是__________；②方程ax2+bx+c=3的解是_________．【答案】①x<−5或x>1；②x1=−4，x2=0．【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象，二次函数的图象与一元二次方程，二次函数的性质等有关知识．①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−5,0)，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；②抛物线与y轴的交点为(0,3)，利用抛物线对称性得到抛物线过点(−4,0)，从而得到方程ax2+bx+c=3的解．【解答】解：①∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，而抛物线的对称轴为直线x=−2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−5,0)，∴当y<0时，x的取值范围是x<−5或x>1；故答案为x<−5或x>1；②方程ax2+bx+c=3的解为x1=−4，x2=0．故答案为x1=−4，x2=0．13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax−3(a≠0)交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D．(1)求抛物线的对称轴和点C的坐标．(2)若AB=4，求抛物线图象位于直线BD上方部分的自变量x的取值范围．【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+2ax−3=a(x+1)2−a−3，∴该抛物线的对称轴是直线x=−1，当x=0时，y=−3，即抛物线的对称轴是直线x=−1，点C的坐标是(0,−3)；(2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x=−1，∵AB=4，∴A(−3,0)，B(1,0)，∴抛物线图象位于直线BD上方部分的自变量x的取值范围是x<−1或x>1．【解析】(1)根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点C的坐标；(2)根据(1)中的对称轴和AB=4，可以得到点A和点B的坐标，点D的横坐标，然后根据函数图象即可得到抛物线图象位于直线BD上方部分的自变量x的取值范围．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．14.已知二次函数y=ax2+bx−4(a,b是常数，且a≠0)的图象过点(3,−1)．(1)试判断点(2,2−2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由．(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．(3)已知二次函数的图象过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且当x1≤x2≤2时，始终都有y1>3y2，求a的取值范围．【答案】解：(1)将点(3,−1)代入解析式，得3a+b=1，∴y=ax2+(1−3a)x−4，将点(2,2−2a)代入y=ax2+bx−4，得4a+2(1−3a)−4=−2−2a≠2−2a，∴点(2,2−2a)不在抛物线图象上；(2)∵二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴△=(1−3a)2+16a =0，∴a =−1或a =−19，∴y =−x 2+4x −4或y =−19x 2+43x −4；(3)抛物线对称轴x =3a−12a ，当a >0，3a−12a ≥23时，a ≥35；当a <0，3a−12a ≤23时，a ≥35(舍去)； ∴当a ≥35满足所求；【解析】(1)将点(3,−1)代入解析式，求出a 、b 的关系，再将将点(2,2−2a)代入y =ax 2+bx −4判断即可；(2)二次函数的图象与x 轴只有一个交点，所以△=(1−3a)2+16a =0，求出a 的值；(3)抛物线对称轴x =3a−1a ，当a >0，3a−1a ≥23时，a ≥37；当a <0，3a−1a ≤23时，a ≥37(舍去)．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，以及图象上点的特征是解题的关键．15. 已知，二次函数y =x 2+2mx +n(m,n 为常数，且m ≠0)，(1) 若n =0，请判断该函数的图像与x 轴的交点个数，并说明理由，(2) 若点A(n +5,n)在该函数图像上，试探索m ，n 满足的条件，(3) 若点(2,p)，(3,q)，(4,r)均在该函数图像上，且p <q <r ，求m 的取值范围．【答案】解：(1)当n =0时，该函数的图象与x 轴的交点个数为2个，理由如下：当n =0时，△=b 2−4ac =4m 2，∵m ≠0，∴△=4m 2>0，故该函数的图象与x 轴的交点个数为2个；(2)将点A(n+5,n)代入二次函数y=x2+2mx+n，得n=(n+5)2+2m(n+5)+n，∴(n+5)(n+5+2m)=0，∴n=−5或n=−5−2m；(3)∵点(2,p)，(3,q)，(4,r)均在该函数图像上，∴p=4+4m+n，q=9+6m+n，r=16+8m+n，∵p<q<r，∴4+4m+n<9+6m+n<16+8m+n，解得：m>−5，2∴m的取值范围是m>−5且m≠0．2【解析】主要考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程．(1)当n=0时，求出△=b2−4ac=4m2>0，即可求解；(2)将点A的坐标代入抛物线解析式，化成(n+5)(n+5+2m)=0的形式，即可求解；(3)根据抛物线的解析式，求出p=4+4m+n，q=9+6m+n，r=16+8m+n，由p<q<r，列出不等式组，解不等式组即可求解．16.已知二次函数y=ax2+amx+c(a>0)的图象上有两点(x1,y1)，(x2,y2)，其中x1<x2．(1)若m=2，则①当x1和x2为何值时，y1=y2=c；②设t=−x1+x2，若y1<y2，求t的取值范围；(2)若当x1+x2<3时，都有y1>y2，求m的取值范围．【答案】解：(1)①∵m=2∴y=ax2+2ax+c∵y1=y2=c∴x1，x2是方程ax2+2ax+c=c的两个解∴ax(x+2)=0∵x1<x2∴x1=−2，x2=0.②∵y1<y2∴ax12+2ax1+c<ax22+2ax2+c即a(x1−x2)(x1+x2+2)<0∵a>0，x1<x2∴x1+x2+2>0∵x1+x2=t∴t>−2(2)∵当x1+x2<3时，都有y1>y2即当x1+x2<3时，都有ax12+amx1+c>ax22+amx2+c∴a(x1−x2)(x1+x2+m)>0对于当x1+x2<3时都成立∵a>0，x1<x2∴x1+x2+m<0对于当x1+x2<3时都成立，m小于−(x1+x2)的最小值∵x1+x2<3∴−(x1+x2)>−3∴m≤−3．【解析】本题考查二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．(1)①根据二次函数与一元二次方程的关系解决问题即可；②利用二次函数与不等式的关系即可得出结论；(2)由题意可得当x1+x2<3时，都有ax12+amx1+c>ax22+amx2+c，利用不等式的性质判断即可．17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(0,−4)和B(2,0)两点．(1)求c的值及a，b满足的关系式；(2)若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；(3)抛物线同时经过两个不同的点M(p,m)，N(−2−p,n)．①若m=n，求a的值；②若m=−2p−3，n=2p+1，求a的值．【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(0,−4)和B(2,0)．∴{c=−44a+2b+c=0，∴c=−4，2a+b=2．(2)由(1)可得：y=ax2+(2−2a)x−4，对称轴为x=−2−2a2a，∵抛物线在A、B两点间，y随x的增大而增大；①当a>0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，即：−2−2a2a≤0，解得：a≤1，∴0<a≤1；②当a<0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，即−2−2a2a≥2，解得：a≥−1；∴−1≤a<0，综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为−1≤a≤1且a≠0；(3)①若m=n，则点M(p,m)，N(−2−p,n)关于直线x=−2−2a2a对称，∴p−2−p2=−2−2a2a，∴a=12；②∵m=−2p−3，∴M(p,m)在直线y=−2x−3上，∵n=2p+1=−2(−2−p+2)+1=−2(−p−2)−3，∴N(−2−p,n)在直线y=−2x−3上，即M、N是直线y=−2x−3与抛物线y=ax2+(2−2a)x−4的交点，∴p和−2−p是方程ax2+(2−2a)x−4=−2x−3的两个根，整理得ax2+(4−2a)x−1=0，∴p+(−2−p)=−4−2aa，∴a=1．【解析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键．(1)直接将AB两点代入解析式可求c，以及a、b之间的关系式．(2)根据抛物线的性质可知，当a>0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x=−2−2a2a和A、B两点位置列出不等式即可求解；当a<0时，同理；(3)①根据抛物线的对称性得出p−2−p2=−2−2a2a，解得a=12；②根据M、N的坐标，易证得两点均在直线y=−2x−3上，即M、N是直线y=−2x−3与抛物线y=ax2+(2−2a)x−4的交点，然后根据根与系数的关系得出p+(−2−p)=−4−2aa，解得a=1．。

数学一元二次方程的专项培优易错难题练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32.4．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.5．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出a 的值，再将其代入80（1+a %）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x ）2＝39.2，解得：x 1＝0.3＝30%，x 2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a %）﹣30]×1000（1+2a %）＝30000，整理得：a 2+75a ﹣2500＝0，解得：a 1＝25，a 2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a %）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.8．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.9．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12；（2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0．当a ＝2时，原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1；当a ＝0时，原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1．综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.10．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．。

人教版九年级数学上册期末复习(易错题精选、一元二次方程)二套含答案

人教版九年级数学上册期末复习01—易错题精选一、选择题（每小题3分，共24分）1.关于x 的方程22210m x x --+=（）有实数解，那么m 的取值范围是（）A .2m ≠B .3m ≤C .3m ≥D .32m m ≤且≠2.某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（）A .至少有两名学生生日相同B .不可能有两名学生生日相同C .可能有两名学生生日相同，但可能性不大D .可能有两名学生生日相同，且可能性很大3.如图①是33⨯正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A .4种B .5种C .6种D .7种4.如图，在正方体的表面展开图中，要将a -、b -、c -填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（） A .12 B .13C .14D .16 5.有两个一元二次方程：2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中0a c +=，下列四个结论中，错误的是（）A .如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B .如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C .如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =6.如图，在ABC △中，AB AC =，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是（）A .线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B .线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C .线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D .线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点7.已知二次函数2y x bx c =++的图象过点1A m （，），3B m （，），若点12M y -（，），21N y -（，），38K y （，）也在二次函数2y x bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（）A .123y y y ＜＜B .213y y y ＜＜C .312y y y ＜＜D .132y y y ＜＜8.已知抛物线20y ax bx c a =++（＞）过20-（，），23（，）两点，那么抛物线的对称轴（） A .只能是1x =- B .可能是y 轴 C .在y 轴右侧 D .在y 轴左侧二、填空题（每小题4分，共32分）1.请写出一个符合下列全部条件的函数解析式________；（1）图象不经过第三象限；（2）当1x -＜时，y 随x 的增大而减小；（3）图象经过点11-（，）. 2.若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点0A m （，），0B n （，），与y 轴交于点0C c （，），则ABC △称为“抛物三角形”.特别地，当0mnc ＜时，称ABC △为“倒抛物三角形”，此时a ，c 应分别满足条件________.3.已知圆的两条平行弦分别长6dm 和8dm ，若这圆的半径是5dm ，则两条平行弦之间的距离为________.4.如图，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且°45ACB ∠=.若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是________.5.有四张正面分别标有数字3-，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为________.6.如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转°60得到FC ，连接DF .则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________.7.如图，已知二次函数20y ax bx c a =++（≠）的图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -＜＜，212x ＜＜，下列结论：①0abc ＜；②2a b a -＜＜；③284b a ac +＜；④10a -＜＜，其中正确结论的序号是________.8.如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是________.三、解答题（共64分）1.（6分）用四块如图①所示的瓷砖拼铺一个成正方形的地板，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形，请你在图②和③中各画出一种拼法.（要求两种拼法各不相同）2.（8分）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，商量后计划通过转盘游戏来决定，并各自设计了一种方案：张彬：将一个可以自由转动并标有阴影区域面积的转盘（如图①），随意转动，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；王华：将分成4等分且分别标有数字1，2，3，4的转盘，随意转动两次，当指针所指两个数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.（1）使用张彬设计的方案，随机转动转盘一次，指针指向阴影区域的概率是多少？（2）请你运用所学的概率知识，帮助张彬和王华选出公平的游戏方案.3.（11分）如图①所示，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切于点C ，AD EF ⊥，垂足为D .（1）求证：DAC BAC ∠=∠；（2）若把直线EF 向上平行移动，如图②所示，EF 交O e 于G ，C 两点，若题中的其他条件不变，试探究与DAC ∠相等的角是哪一个？说明理由.4.（12分）等腰ABC △的直角边10cm AB BC ==，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，均以1cm /秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D .设P 点运动时间为t ，PCQ △的面积为S .（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S =△△？（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论.5.（13分）已知Rt ABO △中，边1AB OB ==，°90ABO ∠=.【问题探究】（1）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作正方形ABCD ，如图①，则点O 与点D 的距离为________.（2）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作等边三角形ABC ，如图②，求点O 与点C 的距离.【问题解决】（3）若线段1DE =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在射线OA ，OB 上滑动，以DE 为边向外作等边三角形DEF ，如图③，则点O 与点F 的距离有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由.6.（14分）如图，抛物线2:L y x bx c =++经过A （0，3），B （1，0）4两点，点M 为顶点.（1）求b ，c 的值；（2）将OAB △绕点B 顺时针旋转：①当旋转°90时，点A 落在点C 的位置，将抛物线L 通过向上或向下平移后经过点C .求平移后所得抛物线1L 的表达式；②记OAB △绕点B 顺时针旋转过程中点A 的对应点为A '，点O 的对应点为O '，在抛物线1L 上是否存在A '，使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点A '的坐标；若不存在，请说明理由.期末复习—易错题精选参考答案一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D .二、1.【答案】211y x =--（）（答案不唯一） 2.【答案】0a ＜，0c ＞3.【答案】1dm 7dm 或4.【答案】5.【答案】146.【答案】1.57.【答案】①②8.【答案】4144-+-或或三、1.【答案】答案不唯一.2.【答案】解：（1）根据转盘中阴影部分扇形的圆心角度数和°°°10070170+=则P （指针指向阴影区域）°°1701736036==.（2）由（1）得张彬设计的方案中，张彬得到入场券的概率为1736P =，王华得到入场券的概率为171913636P =-=，则张彬的方案不公平. 利用王华的方案画树状图如下：由树状图得，共有16种等可能的结果，两次数字之和为偶数的有8种，则王华得到入场券的概率为81162P ==，张彬得到入场券的概率为12P =，∴王华的设计方案公平. 3.【答案】（1）证明：如图①，连接OC .EF Q 与O e 相切于点C ，OC EF ∴⊥...AD EF AD OC OCA DAC ∴∴∠=∠Q ⊥，∥.OA OC OCA BAC DAC BAC =∴∠=∠∴∠=∠Q ，，（2）解：BAG ∠与DAC ∠相等.理由如下：如图②，连接BC ，则B AGD ∠=∠.AB Q 是直径，AD EF ⊥，°90BCA GDA ∴∠=∠=，°90B BAC ∴∠+∠=，°90AGD DAG ∠+∠=.BAC DAG ∴∠=∠，BAC CAG DAG CAG ∴∠-∠=∠-∠.即BAG DAC ∠=∠.4.【答案】解：（1）当10t ＜秒时，P 在线段AB 上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. 当10t ＞秒时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. （2）1502ABC S AB BC ==Q g △， 211010502PCQ t S t t ∴=-=△当＜秒时，（）. 整理，得2101000t t -+=，无解.当10t ＞秒时，2110502PCQ S t t =-=△（）.整理，得2101000t t --=，解得5t =±.∴当点P 运动5±（秒时，PCQ ABC S S =△△.（3）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.证明：过Q 作QM AC ⊥，交直线AC 于点M .易证APE QCM △≌△，2AE PE CM QM ∴====. ∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半.又EM AC ==Q ，DE ∴=.∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.同理，当点P 在点B 右侧时，DE =综上所述，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.5.【答案】（1（2）过点C 作CD OB ⊥，垂足为点D .连接OC ，则°30CBD ∠=.1AB BC ==Q ，∴在Rt CBD △中，12CD =，BD =，1OD ∴=+.∴在Rt CDO △中，OC ==.（3）点O 与点F 的距离有最大值. 作ODE △的外接圆M e ，连接MD ，ME ，MF ，MO ，OF ，则OF MO MF +≤. 设MF 与DE 交于点N .°°4590AOB DME ∠=∴∠=Q ，.1DE =Q ，∴可得M e 的半径为2MD ME MO ===. MD ME =Q ，DF EF =，MF ∴垂直平分DE .1122MN DE ∴==，22NF EF ==.12OF OM MF ∴+=+≤OF ∴最大值. 6.【答案】解：（1）已知抛物线L 经过点A （0，3），B （1，0），将其代入2y x bx c =++，得310c b c =⎧⎨++=⎩，，解得43.b c =-⎧⎨=⎩，即b ，c 的值分别为4-和3.（2）①根据点A ，B 坐标，可知3OA =，1OB =，如图，将OAB △绕点B 顺时针旋转°90后，可得点C 坐标为（4，1）.当4x =时，由243y x x =-+得3y =，可知抛物线L 经过点（4，3），∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C .∴平移后的抛物线1L 的表达式为241y x x =-+.②存在.如图，OAB △绕点B 旋转过程中，当点A '，B ，A 三点在同一直线上时满足以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.AB A B '=Q ，OB O B '=，∴四边形OAO A ''为平行四边形.根据图形的旋转性质，可知3O A OA ''==，1OB O B '==，且°90AOB A O B ''∠=∠=， ∴点A '的坐标为23-（，）. 又Q 抛物线1L 的表达式为241y x x =-+，∴抛物线1L 的顶点坐标为23-（，）. ∴点A '坐标与抛物线1L 的顶点坐标重合.∴抛物线1L 上存在一点23A '-（，），使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.人教版九年级数学上册期末专项复习02—一元二次方程考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知231m x -=（）是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A .3m ≠B .3m ≥C .2m -≥D .23m m -≥且≠2.已知关于x 的方程211210m xm m x +++--=（）（）.（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1.若一元二次方程2243680a x a x a -+++-=（）（）没有常数项，则a 的值为________.2.已知关于x 的一元二次方程221510m x x m -++-=（）的常数项为0，求m 的值.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1.已知关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），则a b -的值为（） A .1- B .0 C .1 D .22.已知关于x 的一元二次方程2243160k x x k +++-=（）的一个根为0，求k 的值.3.已知实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，求代数式22120152016a a a +--的值.题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1.已知m ，n 是方程2210x x --=的两个根，是否存在实数a 使22714367m m a n n -+--（）（）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.考点2 一元二次方程的解法归类类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如20x m n n +=（）（≥）的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程24250x -=的解为（）A .25x = B .52x = C .52x =± D .25x =±2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A .255x -=B .230x -=C .240x +=D .210x +=（）方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1.用配方法解方程234x x +=，配方后的方程变为（）A .227x -=（）B .221x +=（）C .221x -=（）D .222x +=（）2.解方程：2420x x +-=.3.已知221016890x x y y -+-+=，求x y的值.方法3 能化成形如0x a x b ++=（）（）的一元二次方程用因式分解法求解1.一元二次方程22x x x -=-（）的根是（）A .1-B .0C .1和2D .1-和22．解下列一元二次方程：（1）220x x -=；（2）21690x -=；（3）2441x x =-.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1.用公式法解一元二次方程2124x x =-，方程的解应是（）A .x =B .xC .xD .x2.用公式法解下列方程.（1）23170x x +-=（）；（2）24352x x x --=-.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1.方程24490x -=的解为（） A .27x = B .72x =C .172x =，272x =-D .127x =，227x =- 2.一元二次方程293x x -=-的根是（）A .3B .4-C .3和4-D .3和43.方程135x x +-=（）（）的解是（）A .11x =，23x =-B .14x =，22x =-C .11x =-，23x =D .14x =-，22x = 4.解下列方程.（1）23360y y --=；（2）22310x x -+=.类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1.解方程：2619100x x ++=.2.若m ，n ，p 满足8m n -=，2160mn p ++=，求m n p ++的值.方法2 换元法a .整体换元1.若280a b a b +++-=（）（），则a b +的值为（）A .4-或2B .3或32- C .2-或4 D .3或2- 2.已知22260x xy y x y -++--=，则x y -的值是（）A .2-或3B .2或3-C .1-或6D .1或6-3.解方程：223220x x ---+=（）（）.4.解方程：123448x x x x ----=（）（）（）（）.b .降次换元1.解方程：432635623560x x x x -+-+=.c .倒数换元1.解方程：2322x x x x --=-.方法3 特殊值法1.解方程：2013201420152016x x --=⨯（）（）.考点3 根的判别式的四种常见应用题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于x 的方程2110kx k x +--=（），下列说法正确的是（）A .当0k =时，方程无解B .当1k =时，方程有一个实数解C .当1k =-时，方程有两个相等的实数解D .当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解2.已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数，试判断方程2210x mx m m +++=（）有无实数根.题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.2．已知关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），（1）证明：不论m 为何值，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.题型3 利用根的判别式求代数式的值1.已知关于x 的方程22140x m x +-+=（）有两个相等的实数根，求21212m m m--+（）的值.2.已知关于x 的一元二次方程2200mx nx m +-=（≠）有两个相等的实数根，求222416mn m n ++-（）的值.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.2.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程204a c a c x bx -+++=（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.考点4 一元二次方程与三角形的综合题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1.三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程27120x x -+=的解，则第三边的长为（）A .3B .4C .3或4D .无法确定 2.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.一个三角形两边长分别为3cm 和7cm ，第三边长为cm a ，且整数a 满足210210a a -+=，求三角形的周长.题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程217600x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________.2.已知a ，b ，c 分别是ABC △的三边，当0m ＞时，关于x 的一元二次方程220c x m b x m ++--=（）（）有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由.3.已知ABC △的三边a ，b ，c 中，1a b =-，1c b =+，又已知关于x 的方程2420120x x b -++=的根恰为b 的值，求ABC △的面积.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1.等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根，则k 的值是（）A .27B .36C .27或36D .182.已知关于x 的一元二次方程220a c x bx a c +++-=（）（），其中a ，b ，c 分别为ABC △的三边的长.（1）如果1x =-是方程的根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（3）如果ABC △是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.考点5 根与系数的关系的四种应用类型题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1.设方程24730x x --=的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值. （1）1233x x --（）（）；（2）211211x xx x +++；（3）12x x -.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1.构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是294，求m 的值.2.已知关于x 的方程2220x x a ++-=.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4.已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，是否存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用题型1 营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）题型2 行程问题3.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？应用3 工程问题4.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；（2）若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？考点7 几种常见的热门考点题型1 一元二次方程的根1.若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=________.2.若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一根为1-，且2a =，求20162015a b c+（）的值.题型2 一元二次方程的解法1.用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A .210x +=（）B .210x -=（）C .212x +=（）D .212x -=（）2.一元二次方程2230x x --=的解是（） A .11x =-，23x =B .11x =，23x =-C .11x =-，23x =-D .11x =，23x =3.选择适当的方法解下列方程：（1）21210x x x -+-=（）（）；（2）221327x x x -=+-（）（）.题型3 一元二次方程根的判别式1.若关于x 的方程220x x a ++=不存在实数根，则a 的取值范围是（） A .1a ＜B .1a ＞C .1a ≤D .1a ≥2.已知关于x 的一元二次方程210x m +-=（）有两个实数根，则m 的取值范围是（）A .34m -≥ B .0m ≥ C .1m ≥ D .2m ≥3.在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中5a =，若关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，求ABC △的周长.题型4 一元二次方程根与系数的关系1.已知α，β是关于x 的一元二次方程22230x m x m +++=（）的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（） A .3B .1C .3或1-D .3-或12.关于x 的方程231210ax a x a -+++=（）（）有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有12121x x x x a +-=-，求a 的值.3.设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222420x ax a a +++-=的两个实数根，当a 为何值时，2212x x +有最小值？最小值是多少？题型5 一元二次方程的应用1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？2.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程1cm （）与时间t s （）满足关系：2131022t t t =+（≥），乙以4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm .（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？题型6 新定义问题1.若1x ，2x 是关于x 的方程20x bx c ++=的两个实数根，且122x x k +=（k 是整数），则称方程20x bx c ++=为“偶系二次方程”．如方程26270x x --=，2280x x --=，227304x x +-=，26270x x +-=，2440x x ++=都是“偶系二次方程”.判断方程2120x x +-=是否是“偶系二次方程”，并说明理由.期末专项复习—一元二次方程答案解析考点1 题型1 1.【答案】D【解析】由题意，得3020m m -⎧⎨+⎩≠，≥，解得2m -≥且3m ≠.2.【答案】解：（1）当21210m m ⎧+=⎨+⎩，≠时，它是一元二次方程，解得1m =.当1m =时，原方程可化为2210x x --=.（2）当22010m m ⎧-⎨+=⎩≠，或者当120m m ++-（）≠且211m +=时，它是一无一次方程.解得1m =-或0m =.故当1m =-或0m =时，它是一元一次方程. 题型2 1.【答案】8【解析】由题意得80240.a a -=⎧⎨-⎩，≠解得8a =.2.【答案】由题意，得21010m m ⎧-=⎨-⎩，≠，解得1m =-.题型3 1.【答案】A【解析】∵关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），20a ab a ∴-+=.10a a b ∴-+=（）.0a Q ≠，1.a b ∴-=-2.【答案】解：把0x =代入2243160k x x k +++-=（），得2160k -=，解得14k =，24k =-.40k +Q ≠，4k ∴-≠，4k ∴=.3.【答案】解：∵实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，2201610a a ∴-+=.221201620161a a a a ∴+=-=-，.22222120162015201520152016120162016a aa a a a a a a a a +∴--=--=--=-=-题型41.【答案】解：由题意可知22210210m m n n --=--=，，22227143677232773747m m a n n m m a n n a a ⎡⎤⎡⎤∴-+--=-+--=+-=-+⎣⎦⎣⎦（）（）（）（）（）（）（），由 478a -+=（）得9a =-，故存在满足要求的实数a ，且a 的值等于9-.考点2 类型1 方法1 1.【答案】C 2.【答案】C 方法2 1.【答案】C2.【答案】解：22242042262x x x x x x +-=+=+=+=，，（），1222x x =-=-3.【答案】解：2222221016890102516640580x x y y x x y y x y -+-+=-++-+=-+-=，（）（），（）（），558.8x x y y ∴==∴=，，方法3 1.【答案】D2.【答案】解：（1）21220200 2.x x x x x x -=-===，（），，（2）21233169043430.44x x x x x -=+-==-=，（）（），，（3）2221214414410210.2x x x x x x x =--+=-===，，（），方法4 1.【答案】B2.【答案】解：（1）2231703730x x x x +-=-+=（），，224743313b ac ∴-=--⨯⨯=（），12x x x ∴=∴= （2）2243524430x x x x x --=---=，，224444364b ac x ∴-=--⨯⨯-=∴=（）（），1231.22x x ∴==-，类型2 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B4.【答案】解：（1）22221919133360200442422y y y y y y y y --=--=-+-=-=-=±，，，（），，122 1.y y ∴==-，（2）2223231043421122x x b ac x ±-+=-=--⨯⨯=∴=⨯，（），，即1211.2x x ∴==，类型3 方法11.【答案】解：将原方程两边同乘6，得26196600x x +⨯+=（）（）.解得615x =-或64x =-.1252.23x x ∴=-=-，2.【答案】解：因为8m n -=，所以8m n =+.将8m n =+代入2160mn p ++=中，得28160n n p +++=（），所以228160n n p +++=，即 2240n p ++=（）.又因为240n +（）≥，20p ≥，所以400n p +=⎧⎨=⎩，，解得40.n p =-⎧⎨=⎩，所以84m n =+=，所以4400m n p ++=+-+=（）方法2 a1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】223220.x x ---+=（）（）设2x y -=，原方程化为2320y y -+=，解得121 2.y y ==，当1y =时，213x x -==，，当2y =时，22 4.x x -==，原方程的解为1234x x ==，.4.【答案】解：原方程即[][]142348x x x x ----=（）（）（）（），即22545648x x x x -+-+=（）（）.设255y x x =-+，则原方程变为1148y y -+=（）（）. 解得1277y y ==-，.当2557x x -+=时，解得12x x ==当2557x x -+=-时，254112230∆=--⨯⨯=-（）＜，方程无实数根．∴原方程的根为12x x = b1.【答案】解：经验证0x =不是方程的根，原方程两边同除以2x ，得22356635620x x x x -+-+=，即2211635620x x x x +-++=（）（）. 设1y x x =+，则22212x y x+=-，原方程可变为26235620y y --+=（）. 解得152y =，2103y =. 当152x x +=时，解得12x =，212x =；当1103x x +=时，解得33x =，413x =.经检验，均符合题意.∴原方程的解为12x =，212x =，33x =，413x =. c1.【答案】解：设2x y x-=，则原方程化为32y y -=，整理得2230y y --=，∴13y =，21y =-.当3y =时，23x x -=，∴1x =-. 当1y =-时，21x x-=-，∴1x =.经检验，1x =±都是原方程的根， ∴原方程的根为11x =，21x =-. 方法31.【答案】解：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩，的解一定是原方程的解，解得4029x =.方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，的解也一定是原方程的解，解得2x =-.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为14029x =，22x =-.【解析】解本题也可采用换元法．设2014x t -=，则20131x t -=+，原方程可化为120152016t t +=⨯（），先求出t ，进而求出x . 考点3 题型1 1.【答案】C【解析】当0k =时，方程为一元一次方程，解为1x =；当0k ≠时，因为222141211k k k k k ∆=--⋅-=++=+（）（）（）≥0，所以当1k =时，4∆=，方程有两个不相等的实数解；当1k =-时，0∆=，方程有两个相等的实数解；当0k ≠时，0∆≥，方程总有两个实数解.故选C . 2.【答案】解：220x x m --=Q 没有实数根，2124440m m ∴∆=--⋅-=+（）（）＜，即1m -＜.对于方程2210x mx m m +++=（），2224144m m m m ∆=-⋅+=-（）（）＞，∴方程2210x mx m m +++=（）有两个不相等的实数根. 题型21.【答案】解：（1）根据题意得2444242080b ac k k -=--=-（）＞，解得25k ＜.（2）由k 为正整数，可得1k =或2k =.利用求根公式可求出方程的根为1x =- ∵方程的根为整数，∴52k -为完全平方数， ∴k 的值为2.2.【答案】（1）证明：[]22228442m m m m m ∆=-+-=-+=-（）（）. ∵不论m 为何值，220m -（）≥，即0△≥.∴不论m 为何值，方程总有实数根.（2）解：解关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），得222m m x m +±-=（）.∴12x m=，21x =. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数，∴1m =或2m =.又∵方程的两个根不相等，∴2m ≠，∴1m =. 题型31.【答案】解：∵关于x 的方程22140x m x +-+=（）两个相等的实数根，∴2214140m ∆=--⨯⨯=（），即214m -=±.∴52m =或32m =-. 当52m =时，25111221216514m m m --==-++（）；当32m =-时，231152********m m m ---==--+-（）. 2.【答案】解：由题意可知，22480b ac n m -=+=， ∴28m n =-，∴222222222222222416816168mn mn mn mn mn m n m m n m m n m n n m ====++-+++-++-+（）. ∵0m ≠，2228mn n m m∴==-.题型41.【答案】解：∵一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根， ∴[]2240a b b c b a ---⋅-=（）（）（）， ∴40a b a c --=（）（）， ∴a b =或a c =， ∴此三角形是等腰三角形.2.【答案】解：∵方程204a ca c x bx -+++=（）有两个相等的实数根， ∴2222404a cb ac b a c -∆=-+⋅=--=（）（），即222b c a +=，∴此三角形是直角三角形. 考点4 题型1 1.【答案】C2.【答案】解：由已知可得410a ＜＜，则a 可取5，6，7，8，9.（第一步）当5a =时，代入2210215105210a a -+=-⨯+≠，故5a =不是方程的根. 同理可知6a =，8a =，9a =都不是方程的根，7a =是方程的根．（第二步） ∴ABC △的周长是37717cm ++=（）. 题型2 1.【答案】132.【答案】解：ABC △是直角三角形．理由如下：原方程可化为20b c x cm bm +-+-=（）， 2222444ma m c b c b m a b c ∆--++-=（）（）=（）. ∵0m ＞，且原方程有两个相等的实数根，∴2220a b c +-=，即222a b c +=∴ABC △是直角三角形.3.【答案】解：将x b =代入原方程，整理得2419120b b -+=，解得14b =，234b =.当14b =时，3a =，5c =，∵222345+=，即222a b c +=，∴ABC △为直角三角形，且°90C ∠=.∴1134622ABC S ab ==⨯⨯=△；当234b =时，3104a =-＜，不合题意，舍去.因此，ABC △的面积为6. 题型3 1.【答案】B2.【答案】解：（1）ABC △是等腰三角形.理由如下：把1x =-入原方程，得20a c b a c +-+-=，所以a b =，故ABC △是等腰三角形.（2）ABC △是直角三角形.理由如下：方程有两个相等的实数根，则2240b a c a c ∆=-+-=（）（）（），所以2220b a c -+=，所以222a b c =+，故ABC △是直角三角形.（3）如果ABC △是等边三角形，则a b c ==，所以方程可化为2220ax ax +=，所以210ax x +=（），所以方程的解为10x =，21x =-. 考点5 题型11.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，有1274x x +=，1234x x =-. （1）12121237333939344x x x x x x --=-++=--⨯+=（）（）（）. （2）2222122111212121212122112121212112====111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++-+++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）27372101444=3732144-⨯-+-++（）（）.（3）222121212127397=4=4=4416x x x x x x x x -+--⨯-∴-==Q（）（）（）（），. 题型21.【答案】解：设方程25230x x +-=的两根为1x ，2x ，则1225x x +=-，1235x x =-. 设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y ，2y ，令111y x =-，221y x =-.∴121212*********==3x x p y y x x x x x x +=-+=--=+（）（），12121211153q y y x x x x ==--==-（）（）. ∴所求的方程为225+033y y -=，即23250y y +-=. 题型31.【答案】解：设方程两根为1x ，2x ，由已知得1212=221=.2m x x m x x ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，∵222121212292=4x x x x x x +=+-（），即221292224m m -+-⨯=（）， ∴28330m m +-=. 解得111m =-，23m =.当111m =-时，方程为2211230x x ++=，21142230∆=-⨯⨯＜，方程无实数根，∴11m =-不合题意，舍去；当3m =时，方程为22235034250x x --=∆=--⨯⨯-，（）（）＞，方程有两个不相等的实数根，符合题意. ∴m 的值为3.2.【答案】解：（1）∵224121240a a -⨯⨯-=-（）＞，解得3a ＜. ∴a 的取值范围是3a ＜.（2）设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，，解得113.a x =-⎧⎨=-⎩，题型44.【答案】解：不存在.理由如下：∵一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根，∴0k ≠，且24441160k k k k ∆=--⨯+=-（）（）≥，∴0k ＜.∵1x ，2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根， ∴121x x +=，1214k x x k+=.∴212121212922294k x x x x x x x x k+--=+-=-（）（）（）. 又∵12123222x x x x --=-（）（）， ∴939425k k k +-=-∴=，. 又∵0k ＜，∴不存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立. 考点61.【答案】解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具10x -（）件，由题意得1001500.510x x+=-. 整理得211030000x x -+=，解得150x =，260x =，经检验150x =，260x =都是原方程的解.当50x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为150503÷=（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当60x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为15060 2.5÷=（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件.方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具10x +（）件，由题意得1001500.510x x +=+，整理得29020000x x -+=，解得140x =，250x =，经检验，140x =，250x =都是原方程的解.第一次采购40件时，第二次采购401050+=（件），批发价为150503÷=（元），不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购401060+=（件），批发价为15060 2.5÷=（元），符合题意.因此第二次采购玩具60件. 题型23.【答案】解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶12x +（）千米，依题意得150150251260x x -=+.解得172x =-（不合题意，舍去），260x =.所以1272x +=.∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米. 应用34.【答案】解：（1）设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工30x +（）天完成此项工程，由题意得1120130x x +=+（），整理，得2106000x x --=，解得130x =，220x =-.经检验130x =，220x =-都是分式方程的解，但220x =-不符合题意，应舍去，故30x =，3060x +=. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天. （2）203a -（）（3）由题意得11 2.520643a a +++-（）（）≤，解得36a ≥.故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元. 考点7 题型11.【答案】2015【解析】把1x =-代入方程中得到20150a b +-=，即2015a b +=.2.【答案】解：∵2a =，∴40c -≥且40c -≥，即4c =，则2a =-.又∵1-是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴0a b c -+=，∴242b a c =+=-+=.∴原式201622020154-+==⨯（）.题型2 1.【答案】D 2.【答案】A3.【答案】解：（1）21210x x x -+-=（）（），1120x x x --+=（）（）， 1310x x --=（）（），12113x x ==，.（2）221327x x x -=+-（）（），22441327x x x x -+=+-， 2680x x -+=，1224x x ==，.题型3 1.【答案】B 2.【答案】B3.【答案】解：∵关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，∴22460b b ∆=+--=（）（），∴12b =，210b =-（舍去）.当a 为腰时，ABC △周长为55212=++. 当b 为腰时，225+＜，不能构成三角形． ∴ABC △的周长为12. 题型4 1.【答案】A2.【答案】解：由题意，得1231a x x a ++=，1221a x x a +=（），∴31211a a a a a++-=-（），∴210a -=，即1a =±.又∵方程有两个不相等的实数根，∴[]2314210a a a ∆=-+-⋅+（）（）＞，即210a -（）＞，∴1a ≠，∴1a =-.3.【答案】解：∵方程有两个实数根，∴2224420a a a ∆=-+-（）（）≥，∴12a ≤.又∵122x x a +=-，21242x x a a =+-，∴22221212122224x x x x x x a +=+-=--（）（）. ∵12a ≤，且2220a -（）≥，∴当12a =时，2212x x +的值最小．此时222121122422x x +=--=（），即最小值为12.【解析】本题中考虑0△≥从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略. 题型51.【答案】解：设每件商品降价x 元，则售价为每件60x -（）元，每星期的销量为30020x +（）件. 根据题意，得6040300206080x x --+=（）（）. 解得11x =，24x =.又要顾客得实惠，故取4x =，即销售单价为56元. 答：应将销售单价定为56元.2.【答案】解：（1）当4t =时，221313144142222t t =+=⨯+⨯=. 答：甲运动4s 后的路程是14cm . （2）设它们运动了s m ，根据题意，得21342122m m m ++=.解得：13m =，214m =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s .（3）设它们运动了s n 后第二次相遇，根据题意，得213421322n n n ++=⨯（）. 解得17n =，218n =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s . 题型61.【答案】解：不是.理由如下：解方程2120x x +-=，得14x =-，23x =.12432 3.5x x +=+=⨯.∵3.5不是整数，∴方程2120x x +-=不是“偶系二次方程”.。

一元二次方程易错题(有答案)教师用

一元二次方程易错题一、填空题：1、关于x 的方程02)1()1(22=--+-x m x m ，当m 1≠± 时，它是一元二次方程，当m= 1- 时，它是一元一次方程，2、方程x x =2的解是方程x x -=2的根是 3 、若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 为 1±4、关于x 的一元二次方程05.12=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围 k ＜16且k≠05、配方：=++c bx ax 26、已知：方程0122=+x ，那么判别式的值为 -87、关于x 的一元二次方程mx 2+m 2=x 2_2x+1的一个根为0，那么m 的值为 ﹣1 ．8、已知a 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，则a 4﹣3a ﹣2的值为 0 ．9、当m = -6 时，方程250x x m ++=的两根之差是710、若二次三项式432++x ax 在实数范围内不能因数分解，那么a 的取值范围是二、选择题11、若方程（m ﹣2）x |m|+x ﹣1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ C ）A 、±2B 、2C 、﹣2D 、不能确定12、把一元二次方程2x （x ﹣1）=（x ﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ C ）A 、2，﹣3B 、﹣2，﹣3C 、2，﹣3xD 、﹣2，﹣3x13、已知（x 2+y 2）2﹣（x 2+y 2）﹣12=0，则（x 2+y 2）的值是（ B ）A 、﹣3B 、4C 、﹣3或4D 、3或﹣414、关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x+1=0有实数解，那么m 的取值范围是（ B ）A 、m≠2B 、m≤3C 、m≥3D 、m≤3且m≠215、下列命题正确的是（ B ）A 方程2x =c -一定无实数解B 方程),0(02≠=+a c ax 若a,c 同号，此方程没有实数根C 方程1162-=xx 是一元二次方程 D 方程02222=+-x x 没有数学根16、若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ B ）A、k＞﹣1B、k＞﹣1且k≠0C、k＜1D、k＜1且k≠017、下列一元二次方程中，两根之和为2的是（ D ）A、x2﹣x+2=0B、x2﹣2x+2=0C、x2﹣x﹣2=0D、2x2﹣4x+1=018、关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0，则m的值是（ D ）A、m=3或m=﹣1B、m=﹣3或m=1C、m=﹣1D、m=319、关于未知数x的方程ax2+4x﹣1=0只有正实数根，则a的取值范围为（ A ）A、﹣4≤a≤0B、﹣4≤a＜0C、﹣4＜a≤0D、﹣4＜a＜020、已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（ D ）A、﹣1B、2C、22D、3021、某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（B ）A、100（1+x）2=280B、100（1+x）+100（1+x）2=280C 、100（1﹣x ）2=280D 、100+100（1+x ）+100（1+x ）2=280三、解方程1、09)23(42=-+x2、 22)13()12(-=+x3、22350x x --=4、06322=--x x5、x x 9)23(2=-6、 2)1()3(22=-++x x四、解答题1、证明：无论买m 取何值，方程08)5(2=-+-+m x m x 一定有两个不同的实数根。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

第26章专题06二次函数与一元二次方程重难点专练(教师版)

专题06二次函数与一元二次方程重难点专练（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＝0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】【分析】除了x =2，y =﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x =2，y =﹣1错误．【详解】由表中数据得x =0和x =4时，y =3；x =1和x =3时，y =0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x =2时y =﹣1错误，因为x=2为对称轴，则其所对的纵坐标必为最值，题中的-1不符合要求．故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．若方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则m 的取值范围是（） A ．4m <- B ．4m >-C ．4m <D ．4m >【答案】A 【分析】将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m 的取值范围．【详解】∵方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，令f （x ）=x 2+（m+2）x+m+5，则f （1）=1+m+2+m+5＜0，解得，m ＜-4．故选A ．【点睛】本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题． 3．抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0）【答案】A 【分析】根据y 轴上点的坐标特征把x ＝0代入y ＝-（x−1）2＋5，然后计算出对应的y 的值，即可确定抛物线与y 轴的交点坐标．【详解】把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∵抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象上点的坐标满足其解析式．4．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点()2,0，对称轴为直线1x =-．下列结论：①0abc >；①80a c +=；①对于任意实数m ，总有()()2110a m b m -++≤；①对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（P 为常数，且0P ＞）的根为整数，则P 的值有且只有三个，其中正确的结论是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下， a ＜0；∵抛物线的对称轴为直线x 2ba=-=-1＜0， ∵b ＜0；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，故∵正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝-1， ∵2ba-=-1， ∵b ＝2a ， ∵经过点()2,0∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0， ∵4a +4a +c ＝0， ∵8a +c ＝0，故∵正确；∵当x ＝-1时，y 最大，即对于任意实数m 有a -b +c ≥am 2+bm +c ， ∵am 2+bm ≤a -b ，∵()()2110a m b m -++≤故∵正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝-1，与x 轴的一个交点是（2，0）， ∵抛物线与x 轴的另个交点是（﹣4，0）， ∵b ＝2a ，8a +c ＝0∵y ＝ax 2+2ax ﹣8a ＝a （x +1）2﹣9a （a ＜0）， ∵顶点坐标为（-1，﹣9a ），由图象得当0＜y ≤﹣9a 时，﹣4＜x ＜2，其中x 为整数时，x ＝-3，-2，-1，0，1，又∵x ＝-3与x ＝1时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-3与x ＝1；又∵x ＝-2与x ＝0时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-2与x ＝0；当x ＝-1时，直线y ＝p 恰好过抛物线顶点．存在P 使得根为x ＝-1所以P 值可以有3个．故∵正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x 轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 5．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 【答案】D 【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线12y x m =+与抛物线C 2相切时m 的值以及直线12y x m =+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】解：∵抛物线211(6)2(4)(8)22y x x x =--=--与x 轴交于点A 、B ， ∵B （4，0），A （8，0）． ∵抛物线向左平移4个单位长度． ∵平移后解析式21(2)22y x =--．当直线12y x m =+过B 点，有2个交点， ∵1402m ⨯+=．解得m =-2．当直线12y x m =+与抛物线C 2相切时，有2个交点， ∵211(2)222x m x +=--．整理，得x 2-5x -2m =0． ∵∵=25+8m =0． ∵m =258-．如图，∵若直线12y x m =+与C 1、C 2共有3个不同的交点， ∵258-＜m ＜-2．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．6．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；①关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；①7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >． ∵c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1， ∵a -b = -2,2a -b ＞0， ∵2a -a -2＞0， ∵a ＞2＞0， ∵b =a +2＞0， ∵abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∵∵=24(3)b a c --=28b a +＞0,∵230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ∵b =a +2，a ＞2，c =1， ∵a +b +c =a +a +2+1=2a +3， ∵a ＞2， ∵2a ＞4， ∵2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．7．将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（）A ．214-或3- B ．134-或3- C ．214或3- D ．134或3- 【答案】A 【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B ∴-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b =+3b ∴=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -≤≤时，只有一个交点当13x -≤≤的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到∴当13x -≤≤时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b ∴∆=--⨯⨯--=+= 214b ∴=-综上所述3b =-或214- 故答案是：A ．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．8．已知二次函数1y ＝a 2x +ax ﹣1，2y ＝2x +bx +1，令h ＝b ﹣a ，（） A ．若h ＝1，a ＜1，则2y ＞1y B ．若h ＝2，a ＜12，则2y ＞1y C ．若h ＝3，a ＜0，则2y ＞1y D ．若h ＝4，a ＜﹣12，则2y ＞1y【答案】B 【分析】先利用2y 减去y 1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a ＞0，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，据此对各个选项计算分析即可．【详解】解：2y ﹣1y ＝（1﹣a ）2x +（b ﹣a ）x +2，由2y ＞y 1得2y ﹣1y ＞0，∵1﹣a ＞5，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，A 、若h ＝1，a ＜1，则b ﹣a ＝1，1﹣a ＞0∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝1﹣8（1﹣a ）＝﹣7+8a ，无法判断∵与0的大小关系, 故A 错误； B 、若 h ＝2，a ＜12，则b ﹣a ＝2，8a ＜4, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝4﹣8（1﹣a ）＝﹣4+8a ＜0，故B 正确；C 、若h ＝3，则b ﹣a ＝3，a ＜0,∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝9﹣8（1﹣a ）＝1+8a ，无法判断∵与0的大小关系, 故C 错误； D 、若h ＝4，a ＜﹣12，则b ﹣a ＝4，1﹣a ＞32, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝16﹣8（1﹣a ）＝8+8a ＜4，无法判断∵与0的大小关系, 故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用根的判别式和不等式的性质是解题的关键．9．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．则下列结论中，正确的是（）①0abc <；①2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；①203m n +<-． A ．①① B ．①①①C ．①①D ．①①【答案】B 【分析】由表知，当x =0和1时，函数值均为2，从而可得关于a 、b 、c 的方程组，可得a 与b 的关系及c 的值，再当12x =-时，与其对应的函数值0y <，可得关系a 的不等式，可判断a 的符号且可得a 的取值范围，从而可判断b 的符号，因而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等，从而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m ，再根据n 的值及a 的取值范围，即可对∵作出判断．【详解】由表得：22c a b c =⎧⎨++=⎩ ，即2b ac =-⎧⎨=⎩∵22y ax ax =-+当12x =-时，与其对应的函数值0y <即112042a a ++< ∵83a <-∵b >0 ∵abc <0 故∵正确 ∵1222b a a a --=-= 即抛物线的对称轴为直线12x = ∵11(2)322--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等且为t 表明方程2ax bx c t ++=的两个根分别为x =-2和x =3 故∵正确 ∵11(1)222--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m 当x =-1时，n =a +a +2=2a +2 ∵n +m =2n =4a +4 ∵83a <- ∵n +m 203<-故∵正确故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，难点是∵和∵的判断，关键是抛物线的对称性及a 的取值范围．10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．有以下结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c t ++=的两个根；①83a <-；①203m n +>-．其中，正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得2b ac =-⎧⎨=⎩，可得二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2，根据当12x =-时，对应的函数值y ＜0，有a 83-＜，b 83＞，即得a ＜0，b ＞0，c ＞0，故∵∵正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x 12=，由抛物线过（-2，t ）而得必经过（3，t ），关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的实数根为2-和3，故∵正确；由m ＝2a +2，n ＝2a +2，结合a 83-＜，可得m +n 203-＜，故∵不正确；【详解】解：将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：22c a b c =⎧⎨=++⎩，解得2b ac =-⎧⎨=⎩， ∵二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2， ∵当12x =-时，对应的函数值y ＜0，∵1412a +a +2＜0，∵a83-＜，∵﹣a83＞，即b83＞，∵a＜0，b＞0，c＞0，∵abc＜0，故∵∵正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），∵抛物线对称轴为x12 =，∵抛物线过（-2，t），∵根据对称性：抛物线过经过（3，t），∵关于x的方程ax2+bx+c＝t的实数根为2-和3，故∵正确；∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，∵m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，∵m+n＝4a+4，∵a83-＜，∵m+n203-＜，故∵不正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．二、填空题11．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.【答案】（0，2）【分析】令x=0求出y值，即可得答案.【详解】∵当x＝0时，y＝2，∵抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．故答案为：（0，2）【点睛】此题考查了二次函数与x轴、y轴的交点坐标，当x=0时，求得二次函数与y轴的交点，当y=0时，求得二次函数与x 轴的交点.12．二次函数y ＝x 2x y 轴的交点坐标是_____．【答案】（0．【分析】根据图象与y 轴的相交的特点可求出坐标．【详解】由图象与y 轴相交则x ＝0，代入得：y∵与y 轴交点坐标是（0；故答案为（0）．【点睛】考查了图象与坐标轴相交的特点，一元二次方程的解，是基础题． 13．已知抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k ＝______．【答案】3，﹣9，﹣3 【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x 轴上与y 轴上两种情况进行讨论．【详解】解：当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在x 轴上时，∵＝0，即∵＝[－（k+3）]2﹣4×9＝0，解得k ＝3或k ＝﹣9；当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在y 轴上时，x ＝3022bk a ，解得k ＝﹣3．故答案为：3，﹣9，﹣3．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．如图，一段抛物线：(2)(02)y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ⋯如此进行下去，则2020C 的顶点坐标是_______．【答案】（4039，-1）【分析】，当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，即可求解．【详解】解：(2)(02)y x x x =--≤≤，令 y=0，则x=0或2， ∵A 1（2，0），从点O 到点A 2是一个完整周期，OA 1=2，故：OA 2=4，当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；抛物线C n 横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，故答案为：（4039，-1）．【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到函数与坐标轴交点、图形旋转，关键是通过找规律的方式确定C 2020的位置．15．抛物线22+31y x x =--与x 轴的交点坐标是__________．【答案】（12，0）或（1，0）【分析】根据抛物线与x 轴的交点坐标特点，令y =0求解x 的值，即可求得坐标．【详解】∵x 轴上点的纵坐标为0， ∵−2x 2+3x −1=0，解得：x 1=12，x 2=1， ∵抛物线y =−2x 2+3x −1与x 轴的交点坐标是（12，0）或（1，0），故答案为：（12，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，熟知x 轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 16．己知抛物线()229y x a x =-++的顶点在x 轴上，则a =__________．【答案】4或－8 【分析】接利用二次函数的性质，得出∵＝b 2−4ac ＝0，进而得出答案．【详解】∵抛物线y ＝x 2−（a ＋2）x ＋9的顶点在x 轴上， ∵∵＝b 2−4ac ＝[−（a ＋2）]2−36＝（a ＋2）2−36＝0，解得：a ＝4或−8．故答案为：4或−8．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出判别式的符号是解题关键． 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线2222y x tx t t =-+-++．（1）若该抛物线过原点，则t 的值为________．（2）已知点(4,2)A --与点(2,2)B -，若该抛物线与线段AB 只有一个交点，则t 的范围是__．【答案】1-或2 43,05t t -≤<-<≤ 【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；(2) 把点(4,2)A --与点(2,2)B -分别代入解析式，求出t 的值,再根据抛物线开口确定t 的范围．【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线2222y x tx t t =-+-++得，202t t =-++，解得，11t =-，22t =；故答案为：1-或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线x t =；把点(4,2)A --代入解析式得，221682t t t -=---++，解得，13t =-，24t =-；当13t =-时，抛物线与线段刚好有两个交点(4,2)--和(2,2)--，当24t =-时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是43t -≤<-；把点(2,2)B -代入解析式得，22442t t t -=-+-++，解得，10t =，25t =；当10t =时，抛物线与线段刚好有两个交点(2,2)--和(2,2)-，当25t =时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是05t <≤；故答案为：43,05t t -≤<-<≤ 【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，关于x 的方程20(0)ax bx c m m +++=>有两个根，其中一个根是5，若关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<有两个整数根，则这两个整数根分别是______．【答案】4或-2 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x 的方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）的两个整数根，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，∵ax 2+bx +c =0的两个根为3和-1，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）有两个根，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的两个根为函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-m 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）一个根是5，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的另一个根为-3，函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， ∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根是函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-n 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间， ∵关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<的两个整数根是4或-2，故答案为： 4或-2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．19．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c q ++=的两个根；①当0x >时，y 随x 的增大而增大；①43m n +>．其中所有正确结论的序号是_____．【答案】∵∵ 【分析】根据表格信息和二次函数性质逐条判断即可．【详解】解：∵由表格可知函数的对称轴为：x ＝12（-1+2）＝12，即122b a -=，=-b a ， ∵ab ＜0， ∵c ＝﹣2＜0， ∵abc ＞0，故∵错误； ∵∵函数的对称轴为：x ＝12，点（﹣2，q ）关于对称轴的对称点为（3，q ）， ∵﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝q 的两个根，故∵正确； ∵由∵得，b ＝﹣a ，当x ＝﹣12时，y ＝14a ﹣12b ﹣2＞0，解得：3a ﹣8＞0，∵a ＞83，抛物线的对称轴为直线12x =，当12x >时，y 随x 的增大而增大；当102x <<时，y 随x 的增大而减小；故∵错误；∵当1x =-时，m ＝a ﹣b ﹣2，当1x =时，n ＝a +b ﹣2， ∵m +n ＝2a ﹣4 ∵a ＞83， ∵m +n ＞43，故∵正确；故答案为∵∵．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．20．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；①若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；①若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________．【答案】∵∵ 【分析】先联立方程组，得到2410ax x --=，根据判别式即可得到结论；∵先求出a ＜1，分两种情况：当0＜a ＜1时，当a ＜0时，进行讨论即可；∵求出抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而即可求解．【详解】解：联立22122y ax x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得2410ax x --=，∵∆=()()2441164a a --⨯-⨯=+，当0a <时，∆有可能≥0， ∵抛物线与直线22y x =+有可能有交点，故∵错误；抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为：直线x =1a，若抛物线与x 轴有两个交点，则∆=()2240a -->，解得：a ＜1， ∵当0＜a ＜1时，则1a ＞1，此时，x ＜1a，y 随x 的增大而减小，又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间， ∵当a ＜0时，则1a ＜0，此时，x ＞1a，y 随x 的增大而减小，又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故∵正确；抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫⎪⎝⎭，，∵111a a a-=+， ∵抛物线的顶点所在直线解析式为：x +y =1，即：y =-x +1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∵1010a a a⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得：1a ，故∵正确．故答案是：∵∵．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．21．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ＞0）的对称轴是直线x ＝1，图象与x 轴交于点（－1，0）．下列四个结论： ①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为121,3x x =-=； ①3a ＋c ＝0；①对于任意实数t ，总有2at bt a b ++；①不等式2()0ax b k x c k +-+-（k 为常数）的解集为1x <-或3kx a>+．其中正确的结论是_________（填写序号）．【答案】∵∵∵ 【分析】由抛物线与x 轴的交点坐标和对称轴对称即可判断∵；根据图象与x 轴交点的坐标和对称轴即可判断∵；先根据题意确定抛物线的最小值为a +b +c ，再由抛物线的性质可得at 2+bt +c ≥a +b +c 恒成立，即可判断∵；由∵得c =-3a ，b =-2a ，即y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k ，再由图象与x 轴交于点（－1，0）和对称轴x =1，可得y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴的另一交点，再分情况讨论即可判断∵．【详解】解：∵抛钱与x 轴交于点（-1，0），且抛物线的对称轴：x =1， ∵抛物线与x 轴的另一交点为（3，0），∵方程ax 2+bx +c =0的解即就是抛物线与x 轴交点的横坐标：x 1=-1，x 2=3，则∵正确；将（-1，0）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 得：a -b +c =0 又∵抛物线的对称轴x =2ba-=1，即：2a +b =0， ∵3a +c =0，则∵正确； ∵抛物线的对称轴x =1且a >0， ∵抛物线开口向上， ∵物物线的最小值为a +b +c ，∵对任意t ，at 2+bt +c ≥a +b +c ，即at 2+b ≥a +b ，则故∵正确；由∵可得：c =-3a ，b =-2a ，∵y =ax 2+（b -k ）x +c -k =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 对称轴(2)122a k kx a a-+=-=+当x =-1时，y =0，设y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴另一交点横坐标为t ，则1122t k a -=+得：3k t a=+ 当3k a +<-1，即k <-4a 时， ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≤3ka+或x ≥-1，当k ≥-4a 时，ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≥3ka+或x ≤-1，则∵错误．故填：∵∵∵．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，正确理解题意、掌握二次函数与一元二次方程和不等式的关系成为解答本题的关键．22．若关于x 的函数()()22454y a x a x a =---+的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_________．【答案】25208，，【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论．【详解】解：∵当a=2时，原函数解析式为 y=-3x+8 此时b=8≠0故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点∵当a≠2时，原函数为二次函数故该函数一定与y 轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0，4a) 当该交点是原点时，a=0，此时函数解析式为225=-+y x x方程2250x x -+=的判别式∵=25＞0故此时函数图象与x 轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点当该交点不是原点时，a≠0因为该函数图象与坐标轴有两个交点所以该函数与x 轴有且仅有一个交点则方程()()224540a x a x a ---+=有两个相等的实数根，可得∵=()()2454?2?40a a a ---= 整理，得 8a -25=0 解，得 a=258综上可知a=2，0，258．故答案为：2,0，258．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的性质，分类讨论的思想解决本题，需要注意两个词：∵函数，∵与坐标轴的交点．23．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论： ①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；①若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-； ①抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】∵∵∵【分析】∵将()3,0-代入解析式即可判定；∵由b =c ，可得a =-2c ，cx 2+bx +a =0可得cx 2+cx -2c =0，则原方程可化为x 2+x -2=0，则一定有根x =-2；∵当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a ，b ，c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0≤0，故∵错误；∵若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确．【详解】解：∵抛物线经过点()3,0-∵()2033a b c =--+，即9a -3b +c =0 ∵0a b c ++= ∵b =2a 故∵正确；∵b =c ，0a b c ++= ∵a =-2c ， ∵cx 2+bx +a =0∵cx 2+cx -2c =0，即x 2+x -2=0 ∵一定有根x =-2 故∵正确；当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a 、b 、c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0，故∵错误；若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确．故填：∵∵∵．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．三、解答题24．已知:如图，反比例函数的图象经过点A 、P ，点A(6,43)，点P 的横坐标是2．抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过坐标原点，且与x 轴交于点B ，顶点为P ．求:（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B 点坐标．【答案】(1) 反比例函数的解析式为：y=8x；(2) y=﹣（x﹣2）2+4，B点的坐标为：（4，0）．【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案；（2）把x=2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y=0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【详解】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入得：43=k6，解得：k=8，即反比例函数的解析式为：y=8x；（2）把x=2代入y=8x 得：y=82=4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y=a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，即抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣2）2+4，把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+4=0，解得：x1=0，x2=4，即B点的坐标为：（4，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点．解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式；（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣23x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan①CEB 的值．【答案】（1）y ＝﹣23x 2﹣43x +2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）tan∵CEB 的值是23．【详解】（1）∵抛物线y ＝﹣23x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2），∵()()2233032b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩，得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∵y ＝﹣23x 2﹣43x+2＝()228133x -++， ∵抛物线顶点D 的坐标为（﹣1，83），即该抛物线的解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）∵y ＝()228133x -++，∵该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∵点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点C （0，2）， ∵点E 的坐标为（﹣2，2），当y ＝0时，0＝()228133x -++，得x 1＝﹣3，x 2＝1， ∵点B 的坐标为（1，0），设直线BE 的函数解析式为y ＝kx +n ，022k n k n +=⎧⎨-+=⎩，得2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线BE 的函数解析式为y ＝﹣23x +23，当x ＝0时，y ＝23，设直线BE 与y 轴交于点F ，则点F 的坐标为（0，23）， ∵OF ＝23， ∵点C （0，2），点E （﹣2，2）， ∵OC ＝2，CE ＝2，∵CF ＝2﹣23＝43， ∵tan∵CEF ＝42323CE CF ==，即tan∵CEB 的值是23．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()4,5A 与点()0,3B -，且与x 轴交于点C 、D ．（1）求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标．（2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上， ①求n 的最小值；①若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--，()1,0-C ，()3,0D ；（2）∵-4，∵10m <<或21m <<【分析】（1）用待定系数法求函数的表达式，进而求解；（2）∵由2223(1)44y x x x =--=---，即可求解；∵令2|||23|3y x x =--=，解得2x =或1 【详解】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得51643b cc =++⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为223y x x =--，令2230y x x =--=，解得3x =或1-，故抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)、(1,0)-；（2）∵2223(1)44y x x x =--=---，故n 的最小值为4-；∵令2|||23|3y x x =--=，解得x =0、2x =或1故m 的取值范围的10m <<或21m <<．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数248(0)y mx mx m =-+-≠．（1）若0m >，当14x -≤≤时，函数图象的最低点M 的纵坐标为-18，求m 的值；（2）若该函数图象上有两点()()1122,,A x y B x y ，设12n x n ≤≤+，当26x ≥时，总有12y y ≤，求n 的取值范围；（3）已知(4,0)A -和(6,0)B ，若抛物线与线段AB 只有一个公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）m =2;（2）2≤n ≤ 4;（3）当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点．【分析】（1）根据m ＞0，判断函数图像的开口向下，再根据对称轴：4222b m x a m=-=-=-，那么依据题意可知当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---，解之即可得到答案；（2）因为当26x ≥时，总有12y y ≤，那么根据函数的增减性可得当x ＞2时y 随x 的增大而增大，根据题意判断A 、B 两点的位置得到n ≥-2或n +2≤6，解得:-2≤n ≤ 4; （3）物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2;又因为抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，那么点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，根据当x =-4时，y ≥0，当x =-2时，y <0，即可解得:2134m --≤≤ ，即可得到答案．【详解】解：（1）∵m ＞0 ∵-m ＜0，∵抛物线开口向下，∵14x -≤≤，且对称轴4222b m x a m=-=-=- ∵当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---解得:m =2; （2）∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵当x ＞2时y 随x 的增大而增大，如图，x =6,关于x =2的对称的直线为x =-2,过交点P 作x 轴的平行线， ∵26x ≥∵点B 在x=6右侧，∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵点()11,A x y 在x =-2与x =6之间， n ≥-2或n +2≤6 解得:-2≤n ≤ 4;（3）∵抛物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,令-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2；又∵抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，如图，点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，当x =―4时，y ≥0，当x =-2时，y <0，解得:2134m --≤≤ 综上所述:当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的最值、交点问题等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28．已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）21(0)b a a =-->；（2）56；（3）1344a ≤≤ 【分析】（1）利用待定系数法将点A 、B 的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在13x ≤≤范围内，y 的最大值只可能在1x =或3x =处取得，进行分类讨论∵若12y y <时，∵若12y y =，∵12y y >，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，即方程。

初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析

初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析一、一元二次方程1,已知关于x的方程x2- (2k+1) x+k2+i = 0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线L的长.【答案】(1)k> 3 ；(2) A.【解析】【分析】(1)根据关于x的方程x2—(2k+1)x+k2 + 1=0有两个不相等的实数根，得出 ^〉。

，再解不等式即可；(2)当k=2时，原方程x2-5x+5=0,设方程的两根是m、n,则矩形两邻边的长是m、n, 利用根与系数的关系得出m+n=5, mn=5,则矩形的对角线长为J m2n2,利用完全平方公式进行变形即可求得答案 . 【详解】(1) •••方程x2—(2k+1)x+ k2+1 = 0有两个不相等的实数根，A= [-(2k+1)]2-4X 1 x(史1)=4k-3>0, ,3. . k > 一,4(2)当k=2时，原方程为x2- 5x+ 5 = 0, 设方程的两个根为m, n,• - m + n= 5, mn= 5,矩形的对角线长为：Vm2~n2 jm n 2mn J15 .【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) ^〉。

时，方程有两个不相等的实数根；( 2) 4=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 4〈0时，方程没有实数根.2.父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过大众点评”或美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评网上的购买价格比原有价格上涨一m%,购买数量和原计划一样：美团”网29上的购头价格比原有价格下降了一m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在20【答案】(1) 120; (2) 20. 【解析】试题分析：(1)本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在大众点评120a (1-25%) (1+3m%),在美团”网上的购买实际消费总额：a[120 (1 - 25%) - -9-m] (1+15m%)；根据在两个网站的实际消费总额比原计划20的预算总额增加了一 m%'列方程解出即可.2试题解析：(1)解：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680 x<120解法二：7680+ 80+0.8=96 + 0.8=12兆), 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；(2)解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120X0由(1 — 25%) (1 + 5m%) +a[120 X 0.81 — 25%) - -m] (1+15m%) =120 x 0282 20(1 — 25%) X2 (1+ — m%)),即 72a (1+ — m%) +a (72 — — m) ( 1+15m%) =144a 2 220(1+ 15m%),整理得：0, 0675m 2-1.35m=0, m 2- 20m=0,解得：m 1=0 (舍)2m 2=20.答：m 的值是20.点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出大众点评”或美团”实际消费总额是解题关键.3.按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出而的值.两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了一 m%,求出m 的值.2网上的购买实际消费总额:【答案】4. .. 1.7 X 35=59.5 1.7 X 80=136 151，这家酒店四月份用水量不超过m吨(或水费是按y=1.7x来计算的)，五月份用水量超过m吨(或水费是按F =1一■工-丽来计算的)w则有151=1.7X80+(80—m) X--100即m2-80m+1500=0解得m〔二30, m2=50.又..•四月份用水量为35吨，m1=30<35,「51=30舍去.m=50【解析】5.观察下列一组方程：①x2 x 0;②x2 3x 2 0;③x2 5x 6 0;④x2 7x 12 0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程1若x2kx 56 0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；2请写出第n个方程和它的根.【答案】(1) x1 = 7, x2= 8. (2) x1=n—1, x2= n.【解析】【分析】(1)根据十字相乘的方法和连根一元二次方程”的定义，找到56是7与8的乘积，确定k值即可解题，(2)找到规律，十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k=— 15,则原方程为x2—15x+56=0,则(x—7)(x—8)=0,解得x1=7, x2=8.(2)第n 个方程为x2-(2n- 1)x+ n(n -1)=0, (x- n)(x— n + 1)=0,解得x1 = n_1, x2= n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程，与十字相乘联系密切，连根一元二次方程是特殊的十字相乘，中等难度，会用十字相乘解题是解题关键.2 _ k6.关于x的万程kx k 2 x — 0有两个不相等的实数根.41求实数k的取值范围；2是否存在实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) k 1且k 0； (2)不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式V 0,由此可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围.2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在1中的取值范围内.【详解】解：1依题意得V (k 2)2 4k k 0,k 1 ,又Q k 0,k的取值范围是k 1且k 0；2解：不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，2 k理由是：设万程kx k 2 x - 0的两根分别为x1，X2,4k 2x1 x2由根与系数的关系有：k ,1x1 x24又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，由1知，k 1,且k 0,4 “人什一k —不符合题意，3因此不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．方程2560x x --=的两根之和为（） A ．6-B ．5C ．5-D ．12．已知2是关于x 的方程230x mx m +-=的一个根，则这个方程的另一个根为（） A ．6-B ．6C ．3-D ．33．以﹣2和3为两根的一元二次方程是（） A ．x 2+x ﹣6=0 B ．x 2﹣x ﹣6=0 C ．x 2+6x ﹣1=0D ．x 2﹣6x+1=04．关于x 的一元二次方程2(2)10a x x -+-=，则a 的条件是（） A ．4a ≠B ．3a ≠C ．2a ≠D ．1a ≠5．下列一元二次方程中,没有实数根的是（） A ．2210x x -+= B ．2210x x -+= C ．2210x x --=D ．220x x -=6．下列方程中，属于一元二次方程是 ( ) A ．2x 2﹣y ﹣1＝0B ．x 2＝1C ．x 2﹣x （x+7）＝0D ．211x = 7．一元二次方程220x px +-=的一个根为2，则p 的值以及另一个根为（） A ．1，－1B ．1，1C ．－1，－1D ．－1，18．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是248cm ，则原来的正方形铁皮的面积是（） A ．28cmB ．29cmC ．264cmD ．268cm9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x ＋m ）（x ＋n ）＝x 2－5x ＋4，则m ＋n 的值为（）A ．－5B ．5C ．－4D ．410．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m 2﹣7＝0的一个根是﹣2，则m 的值可以是（）A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．﹣3或111．下列各式中是一元二次方程的是（） A ．x 2+1＝1xB ．x （x+1）＝x 2﹣3C ．2x 2+3x ﹣1D ．﹣x 2+3x ﹣1＝12．若方程()23630m x x --+=有解，则m 的取值范围是（）A ．6m <B ．6m ≤C ．6m ≤且3m ≠D ．6m <且3m ≠13．某商品原价300元，连续两次降价a%后售价为260元，下面所列方程正确的是（）A ．300（1+a%）2＝260B ．300（1﹣a 2%）＝260C ．300（1﹣2a%）＝260D ．300（1﹣a%）2＝26014．方程x 2+x ﹣6＝0的两个根为（） A ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣2 B ．x 1＝﹣3，x 2＝2 C ．x 1＝﹣2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝3 15．下列方程中是一元二次方程的是（）①ax 2+bx +c ＝0；①231223x x --=；①（x ﹣2）（2x ﹣1）＝0；①2120x x --=；①21y =；①x 2＝8．A ．①①①①B ．①C ．①①①①①①D ．①①①16．若关于x 的一元二次方程2(2)40x a x --+=有两个相等的实数根，则实数a 的值为（） A ．2B ．-2C ．-2或6D ．-6或217．下列方程中是一元二次方程的有（）①2320ax x -+= ①(1)(1)y y x x -=+ ① 2244x x = ①22226x y y x -+=+A ．①①B ．①①C ．①D ．①①①18．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c 的值为（） A ．±4B ．4C ．±16D ．1619．已知方程22610x x +-=的两个实数根为12,x x ，则1211+x x 的值为（） A ．-3B ．3C ．6D ．-6二、填空题20．已知x ＝1是一元二次方程x 2﹣mx+1＝0的一个解，则m 的值是_____． 21．方程22021x x =的解是 _____．22．已知m 是一元二次方程2250x x --=的一个根，则223-+=m m _________； 23．一元二次方程210x 的解__________．24．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x ，则所列的方程应为_______（不增加其它未知数）． 25．请写出一个以1、2为根的一元二次方程________26-3为根，且二次项系数为1的一元二次方程为_______． 27．一元二次方程223x +=中，=a _______，b =________，c =________． 28．若m 是方程2310x x -+=的一个根，则2262021m m -+的值为_____．29．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．30．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．31．若1x ，2x 是方程2x x 20160--=的两个实数根，则312x 2017x 2016+-=______. 32．在等腰ABC 中，顶角36A =︒，点D 在一腰AC 上，连接BD ，线段BD 与底边BC 的长相等．若6BC =．则AD =________；若6AB =，则AD =________．33．如果关于x 的方程x 2-5x + a = 0有两个相等的实数根，那么a=_____. 34．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2017120182x x 的值为________________． 35．已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长为_______________；36．下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符．(注：而立之年表示人到了30岁) 聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是__________岁． 37．已知一元二次方程22510x x --=的两根为1x ,2x ，则12x x +=___38．已知关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根12,x x ，且122x x <<，则实数m 的取值范围为________．39．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式b 2+c 2＝2a 2+16a+14与bc ＝a 2﹣4a ﹣5，那么a 的取值范围是_____．三、解答题40．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？41．解下列方程：2104x --=． 42．据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？43．如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD ，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC 长为x 米．(1)AB=________米（用含x 的代数式表示）；(2)若矩形鸡舍ABCD 面积为150平方米，求篱笆BC 的长；(3)矩形鸡舍ABCD 面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x 的值；若不可能，则说明理由． 44．解分式方程21211x x x -=++ 45．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．46．材料阅读：材料1：符号“1212a ab b ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为12122112a a a b a b b b =-．如525(4)2(3)1434=⨯--⨯-=---．材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：2320x x ++=．①232(1)(2)x x x x ++=++①(1)(2)0x x ++=．故10x +=或20x +=．因此原方程的解是11x =-，22x =-．根据材料回答以下问题：（1）二阶行列式3642=___________；二阶行列式3321x x =中x 的值为__________．（2）求解241214x x x -=+中x 的值．（3）结合材料，若31x x m x-=，618x n -=，且0m n -<，求x 的取值范围．47．某地特产槟榔芋深受欢迎，某商场以7元/千克收购了3 000千克优质槟榔芋，若现在马上出售，每千克可获得利润3元．根据市场调查发现，近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克，为了获得更大利润，商家决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天，在贮藏过程中平均每天损耗约10千克．（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x 天后一次性出售，请完成下列表格：（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润29 000元？ 48．综合与探究如图，抛物线2y ax x c =++与x 轴交于A ，()4,0B 两点（点A 在点B 的左侧）．与y 轴交于点()0,4C ，直线BC 经过B ，C 两点，点Р是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB ，PC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点P 的横坐标为n ，四边形OBPC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，当S 取最大值时，在PC 的垂直平分线上是否存在一点M ，使BPM △是等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．49．已知：如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间t (s )，解答下列各问题：（1）求ABC ∆的面积;（2）当t 为何值是，△PBQ 是直角三角形？（3）探究：是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是ABC ∆面积的八分之五？如果存在，求出t 的值；不存在请说明理由.参考答案：1．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：一元二次方程的两根之和为：551--=，故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 2．A【分析】把2x =代入方程230x mx m +-=中，得出22230m m +-=，解得4m =，再解一元二次方程即可．【详解】解：把2x =代入方程230x mx m +-=中，得出：22230m m +-=，解得：4m =，①关于x 的方程为：24120x x +-=， ①12x =，26x =-，①这个方程的另一个根为6-，故选：A ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，得出该方程是解题的关键． 3．B【分析】由一元二次方程根与系数关系,设该方程一般形式中a=1,1x +2x =1=-b;1x 2x = -6 = c,即可得出答案.【详解】解:将1x =2, 2x =-3代入公式,可得到x 2-(2-3)x+2⨯(-3)=0,即x 2﹣x ﹣6=0, 所以B 选项是正确的.【点睛】本题考查了根与系数的关系.解题时熟记一元二次方程的根与系数的关系: 1x +2x =ba-，1x 2x =c a.4．C【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：①2(2)10a x x -+-=是关于x 的一元二次方程， ①20a -≠，即2a ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 5．A【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可．【详解】A ､224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确; B ､224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C ､224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D ､224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确．故选:A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 6．B【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、含有2个未知数，故选项错误；B 、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故选项正确；C 、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误；D 、是分式方程，故选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．C【分析】先设方程的另一个根为t ，再由根与系数的关系得出关于t 、p 的方程组，求解即可得到答案．【详解】设方程的另一个根为t ，由题意得 222t p t +=-⎧⎨=-⎩ 解得11t p =-⎧⎨=-⎩ ∴ p 的值以及另一个根分别为－1，1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 的两个实数根为12,x x ，则1212·b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．C【分析】设原来的正方形铁皮的边长为cm x ，则截去2cm 宽的一条长方形的长为()2cm x -，根据长方形面积公式列方程求出正方形的边长，再用正方形面积公式求解．【详解】解：原来的正方形铁皮的边长为cm x ，则截去2cm 宽的一条长方形的长为()2cm x -，根据题意，得()2=48x x -，解得：18x =，26x =-(不符合题意，舍去)，①原来的正方形铁皮的面积()222864cm x ===，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解是的关键． 9．A【分析】从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出m 、n 的值再求和．【详解】解：根据题意得，m+n=-5，mn =4故选：A．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解例题中的运算过程并发现规律是解题关键．10．C【分析】先把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，解得m＝﹣1或3．故选：C．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及根与系数的关系，解题关键是熟练掌握计算法则.11．D【详解】只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，根据这一定义可以对各选项作出相应的判断.A选项：该方程中含有1x，不是整式方程，故A选项不符合题意.B选项：该方程整理后为x=-3. 整理后的方程为一元一次方程，故B选项不符合题意.C选项：因为本选项的式子不是等式，所以该式子不是方程. 故C选项不符合题意.D选项：在该方程中，等号两侧均为整式，只有x一个未知数且x的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意.故本题应选D.点睛：本题考查了一元二次方程的相关概念. 在判断一个方程是否是一元二次方程的时候，首先应该判断该方程是否是整式方程，如果不是整式方程，则一定不是一元二次方程. 如果原方程是整式方程，则应对原方程进行必要的整理，利用整理后的方程进行判断. 另外，方程是含有未知数的等式. 不是等式的式子一定不是方程，也不可能是一元二次方程.12．B【分析】直接分方程为一次方程和二次方程时分别讨论即可．【详解】当方程为一次方程时，30m-=，解得3m=，当方程为二次方程时，此时30m -≠，即3m =，①方程()23630m x x --+=有解，①()264330m ∆=--⨯≥，解得6m ≤，①6m ≤且3m =，综上所述，m 的取值范围是6m ≤，故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题时注意不要忘记方程为一次方程的情况． 13．D【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【详解】解：当商品第一次降价a%时，其售价为300（1﹣a%），当商品第二次降价a%后，其售价为300（1﹣a%）2．故所列方程为：300（1﹣a%）2＝260，故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 14．B【分析】利用因式解法即可求解．【详解】原方程因式分解得：()()320x x +-=，①1232x x =-=，．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．15．D【分析】分析:根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：①当a ＝0时，ax 2+bx +c ＝0不是一元二次方程； ①231223x x --=是一元二次方程；①（x ﹣2）（2x ﹣1）＝0是一元二次方程； ①2120x x--=是分式方程；①21y =不是一元二次方程；①x 2＝8是一元二次方程．①是一元二次方程的是①①①．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，①只含有一个未知数，①所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0（a ≠0）．16．C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出a 的值即可．【详解】关于x 的一元二次方程2(2)40x a x --+=有两个相等的实数根，∴∆2(2)160a =--=，即2(2)16a -=，开方得：24a -=或24a ，解得：6a =或2-．故选：C ．【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．17．C【分析】根据一元二次方程满足的条件：一个未知数、未知数的最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程对每小题分析判断即可求解．【详解】①、当a≠0时是一元二次方程，当a=0时是一元一次方程，不符合题意； ①、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；①、是分式方程，不是整式方程，不符合题意①、整理方程为：2260y y -=+，是一元二次方程，符合题意，只有①是一元二次方程，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键，对于一般式20(0)ax bx c a ++=≠，特别要注意a≠0这一条件，这是做题过程中容易忽视的知识点．18．B【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】①方程x 2-4x+c=0有两个相等的实数根，①①=（-4）2-4×1×c=16-4c=0，解得：c=4．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．19．C【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出123x x +=-，1212x x =-，将1211+x x 通分，代入数值即可求解．【详解】①方程2610x x +-=的两个实数根为12,x x ，①123x x +=-，1212x x =-，①121212113612x x x x x x +-+===-，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，熟练掌握根与系数关系是解答的关键．20．2【分析】把x ＝1代入一元二次方程x 2﹣mx+1＝0，可得110,m -+=再解方程可得答案．【详解】解： x ＝1是一元二次方程x 2﹣mx+1＝0的一个解，110,m ∴-+=2.m ∴=故答案为：2.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 21．1202021x x ==，【分析】根据因式分解法解该一元二次方程即可．【详解】解：22021x x =220210x x -=(20021)x x -=①0x =或20210x -=①1202021x x ==，故答案为：1202021x x ==，．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键． 22．8【分析】把x m =代入原方程可得：225,m m -= 从而可得答案. 【详解】解： m 是一元二次方程2250x x --=的一个根，2250,m m ∴--=225,m m ∴-=2238.m m ∴-+=故答案为：8.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求代数式的值，掌握方程的解使方程的左右两边相等是解题的关键.23．1x =±【分析】利用直接开平方法求解可得．【详解】解：①x 2-1=0，①x 2=1，则x=±1.故答案为x=±1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．()2300015000x +=．【分析】设这种商品的年平均增长率为x ，根据题意列方程即可．【详解】解：设这种商品的年平均增长率为x ，由题意得：()2300015000x +=，故答案为：()2300015000x +=．【点睛】本题考查增长率问题，解题的关键是明确题意，根据等量关系列出方程． 25．2320x x --=【详解】试题分析：以1、2为根的一元二次方程是(1)(2)0x x --=，即2320x x --=. 考点：一元二次方程的解26．(230x x +--3的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．【详解】解：①33，3--①以-31的一元二次方程为(230x x +-．故答案为：(230x x +-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积是解题的关键．27． 2 -3【分析】先移项把一元二次方程化为一般形式，然后进行求解即可【详解】解：①223x +=，①2230x -=，①2a =，b =3c =-，故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的一般形式为()200ax bx c a ++=≠．【分析】由已知可得2310m m -+=，即有231m m -=-，整体代入易求得2262021m m -+的值．【详解】①m 是方程2310x x -+=的一个根，①2310m m -+=，即231m m -=-，①222620212(3)20212(1)20212019m m m m -+=-+=⨯-+=，故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，用整体思想求值更简便． 29．10【分析】设该群一共有x 人，则每人收到（x ﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该群一共有x 人，则每人收到（x ﹣1）个红包，依题意，得：x （x ﹣1）＝90，解得：x 1＝10，x 2＝﹣9（舍去）．故答案为10．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．30．-2．【分析】先利用根的判别式求出根的情况，再利用两根和的公式计算即可得到答案.【详解】在方程22430x x +-=中2442(3)400∆=-⨯⨯-=>，①方程22430x x +-=有两个不相等的实数根；在方程2230x x -+=中2(2)41380∆=--⨯⨯=-<，①方程2230x x -+=没有实数根．设方程22430x x +-=的两个实数根分别为m 、n ，则有422m n +=-=-．故答案为：-2【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式公式，根与系数的关系公式，正确掌握计算公式是解题的关键.【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2016，再计算x13=x12+2016x1=2017x1+2016，则原式可化简为2017（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解．【详解】①x1是方程x2-x-2016=0的两实数根，①x12=x1+2016，①x13=x12+2016x1=x1+2016+2016x1=2017x1+2016，①原式=2017x1+2016+2017x2-2016=2017（x1+x2），①x1，x2是方程x2-x-2016=0的两实数根，①x1+x2=1，①原式=2017．故答案为2017．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根据已知将原式化简，利用根与系数的关系是解答此题的关键．32．63-+【分析】根据等边对等角和外角的性质证明①ABD=①A，得到AD=BD=BC=6；设AD=x，再证明①ABC①①BDC，得到AB BCBD DC=，解之即可．【详解】解：①①A=36°，AB=AC，①①ABC=①C=（180°-36°）÷2=72°，①BD=BC，①①BDC=①C=72°，①①BDC=①A+①ABD，①①ABD=72°-36°=36°，①①ABD=①A，①AD=BD，①BD=BC=6，①AD=6；若AB=AC=6，设AD=x，则BD=BC=x，①①BDC =①ABC =72°，①C =①C ，①①ABC ①①BDC ， ①AB BC BD DC=，即66x x x =-，解得：x =3-+或3--（负值舍去），经检验：x =3-+①AD =3-+，故答案为：6，3-+【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，解分式方程和一元二次方程，解题的关键是灵活运用等边对等角，从而证明三角形相似． 33．254【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a 的等式，求出a 的值．【详解】①关于x 的方程x 2-5x+a=0有两个相等的实数根，①①=25-4a=0，即a=254．故答案为：254. 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．34．23- 【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k 的不等式，利用非负数的性质得到k 的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．【详解】①方程x 2+kx+239342k k -+＝0有两个实数根， ①b 2-4ac=k 2-4（34k 2-3k+92）=-2k 2+12k-18=-2（k-3）2≥0， ①k=3，代入方程得：x 2+3x+94=（x+32）2=0，解得：x 1=x 2=-32，则2017120182x x =-23．故答案为-23．【点睛】此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，求出k 的值是本题的突破点．35．6或12或15【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2，x 2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【详解】①x 2-7x +10=0，①（x -2）（x -5）=0，①x -2=0或x -5=0，①x 1=2，x 2=5，当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．36．36【分析】这是一道数字问题的应用题，等量关系隐于诗词中，及周瑜去世时年龄为两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方等于这两个数，于是可以设个位数字为x ，列出一元二次方程求解．【详解】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为x －3，由题意，得 x 2＝10(x －3)＋x ，即x 2－11x ＋30＝0，解得x 1＝5，x 2＝6，当x ＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x ＝6时，周瑜的年龄36岁，符合题意，故答案为36.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．37．52【详解】根据韦达定理，可得，12x x +=5238．−49＜m ＜0 【分析】根据关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可以得到m 的取值范围，再根据x 1＜2＜x 2和一元二次方程和二次函数的关系，可以利用分类讨论的方法求出m 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：①关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，①2024?50m m m ≠⎧⎨-⎩＞，解得，m ＜0或0＜m ①x 1＜2＜x 2，①当m ＜0时，m ×22＋2×2＋5m ＞0，解得−49＜m ＜0；当0＜m m ×22＋2×2＋5m ＜0，解得m 无解；故答案为：−49＜m ＜0．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、根的判别式、一元二次方程与二次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．39．a ＞﹣1且a≠﹣56且a≠﹣78 【详解】试题解析：222221614,45b c a a bc a a +=++=--，22222()216142(45)4844(1)b c a a a a a a a ∴+=+++--=++=+，即有2(1).b c a +=±+又245bc a a =--，所以b ,c 可作为一元二次方程222(1)450x a x a a ±++--=①的两个不相等实数根，故224(1)4(45)24240a a a a =+---=+>，解得a >−1.若当a =b 时，那么a 也是方程①的解，222(1)450a a a a a ∴±++--=，即24250a a --=或650a --=，解得,a =或5.6a =- 当a =b =c 时，16140450a a +=--=，，解得75,84a a =-=- (舍去)，所以a 的取值范围为1a >-且56a ≠-且a ≠7.8a ≠-故答案为1a >-且56a ≠- 且a ≠7.8a ≠- 40．（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x ，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x ，依题意得：2（1+x ）2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）2.88×20%=0.576（万个）．答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．41．11x =，21x =- 【分析】利用公式法解一元二次方程，注意解题规范．【详解】解：1a =，b =14c =-. (221Δ441404b ac ⎛⎫=-=-⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，方程有两个不相等的实数根，(21x -===⨯即11x =+，21x =. 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．42．（1）25%；（2）125万辆．【分析】（1）设年平均增长率为x ，根据“该品牌汽车2018年和2020年的产量”列出关于x 的一元二次方程，最后求解即可；（2）根据“该品牌汽车2021年的年产量＝2020年的年产量×（1＋增长率）”计算即可．【详解】解：（1）设年平均增长率为x ，依题意，得：64（1＋x ）2＝100，解得：x 1＝0.25＝25%，x 2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%；（2）100×（1＋25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2021年的年产量为125万辆．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出关于x的一元二次方程成为解答本题的关键．43．(1)（45−3x）(2)篱笆BC的长为10米(3)不可能，理由见解析【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-55＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．【详解】（1）解：设篱笆BC长为x米，①篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，①AB=43+2−3x=45−3x（米）．故答案为：（45−3x）．（2）解：依题意，得：（45−3x）x=150，整理，得：x2−15x+50=0，解得：x1=5，x2=10．当x=5时，AB=45−3x=30＞20，不合题意，舍去；当x=10时，AB=45−3x=15，符合题意．答：篱笆BC的长为10米．（3）解：不可能，理由如下：依题意，得：（45−3x）x=210，整理得：x2−15x+70=0，①Δ=（−15）2−4×1×70=−55＜0，①方程没有实数根，。

中考数学复习一元二次方程专项易错题含详细答案

【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）， .
【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得： = ，解得 .
因为，即当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把带入得，解得， .
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤ ；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤ ，∴k＝－3.
2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=- ，但1-n= 不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=- (舍)，综上所述 Nhomakorabean=0.
5．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵ ，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

二次函数易错题汇编含答案

二次函数易错题汇编含答案一、选择题1.如图是二次函数y =以2+云+。

的图象，有下面四个结论：①川c>0；@a-b + c>0； ®2a + 3b>0； ®c-4b>0,其中正确的结论是（）A.①②B.①②③C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】八b八，八根据抛物线开口方向得到a > 0，根据对称轴x = -—> 0得至1」b < 0，根据抛物线与y 轴2 a的交点在x轴下方得到C < 0，所以abc > 0；x = -1时，由图像可知此时y > 0，所以b 1a -b +c > 0；由对称轴x =--=-，可得2a + 3b = 0 ；当x = 2时，由图像可知此时2 a 3y > 0,即4a + 2b + c > 0，将2a = -3b代入可得c - 4b > 0.【详解】b①根据抛物线开口方向得到a > 0,根据对称轴x =-丁〉0得至1」b < 0,根据抛物线与y 2 a轴的交点在x轴下方得到c < 0，所以abc > 0,故①正确.②x = 一1时，由图像可知此时y > 0,即a - b + c > 0,故②正确._ b 1③由对称轴x = -- = -，可得2a + 3b = 0，所以2a + 3b > 0错误，故③错误；2 a 3④当x = 2时，由图像可知此时y > 0，即4a + 2b + c > 0，将③中2a + 3b = 0变形为2 a = -3b，代入可得c - 4b > 0,故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

2.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A . ac >0B . b >0【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案. 【详解】A.由图象可知：a <0, c >0,・•・ac <0,故A 错误； bB.由对称轴可知：x = -- <0,2 a・•・b <0,故B 错误；b C.由对称轴可知：x = --- =- 1,2 a... b = 2 a ,・「x =1 时，y =0,... a +b +c =0,；.c =- 3 a ,a +c =a - 3a =- 2a >0,故 C 错误；故选D . 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型. 3.已知抛物线y = 2x 2-4x + C 与直线y = 2有两个不同的交点.下列结论：①c < 4 ；②当x = 1时，y有最小值c - 2 ；③方程2x 2 - 4x + c - 2 = 0有两个不等实根；④若连接、、人一一「，，一，人，口 “ — 八， 5 4t这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则c 二万；其中正确的结论的个数是（） A . 4 B . 3C . 2D . 1【答案】B 【解析】【分析】根据“抛物线y = 2x 2 -4x + c 与直线y = 2有两个不同的交点〃即可判断①③；根据C. a+c <0D. a +b +c =0抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：：抛物线y = 2X 2- 4X + C 与直线y = 2有两个不同的交点，・ •, 2X 2 - 4X + c = 2有两个不相等的实数根，即2X 2 - 4X + c - 2 = 0有两个不相等的实数根，故③正确，.・.△ = 16 - 4 x 2 x (c - 2)> 0，解得：c < 4，故①正确；・・•抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上，・ ,.当x=1时，y = c-2为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点(1, c-2)到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，・・•顶点(1, c-2)到直线y=2的距离为2- (c-2) =4-c ,，两交点的横坐标分别为1- (4-c ) =c-3与1+ (4-c ) =5-c ，两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),将(c-3,2)代入 y = 2X 2- 4X + c 中得：2(c - 3)2 - 4(c - 3) + c = 27解得：c =5或c = 4・・, c < 4 ,7・ •・c =-，故④错误,・ •・正确的有①②③，故选：B . 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．4.已知抛物线y =x 2+ (2a +1) x +a 2 - a ，则抛物线的顶点不可能在( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D 【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得. 【详解】2a +1 1抛物线y =x 2+ (2a +1) x +a 2 - a 的顶点的横坐标为：x = --- 2— = 一 a - 2-,4 a22- a)-(2a +1» 1纵坐标为：y = _________________ =- 2a - 4 ,3・••抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y=2x + 4 ,・•・抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.5.已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b (aM)的图象为下列图象之一，则a的值为()【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0,其顶点坐标为(0, 32),与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0,根据顶点坐标有a2=3,由抛物线与x 的交点坐标得到X2=a,所以a=-4,它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点卜1, 0)代入解析式得到a-b+a2+b=0,解得a=-l；若二次函数的图形为第四个，把(-2 0) 和(0, 0)分别代入解析式可计算出a的值.【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2,其顶点坐标为(0,32),而a2>0,所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2, a2=3,而当y=0时，x2=-a,所以-a=4, a=-4,所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=-l, y=0,则a-b+a2+b=0,所以a=-l；若二次函数的图形为第四个，令x=0, y=0,则a2+b=0①；令x=-2, y=0,则4a-2b+a2+b=0②，由①②得a=-2,这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a，0)的图象与系数的关系：a>0,开口向上；a<0,开口. ... .............................................. b 一，，一， b 4ac - b2.... .............向下；抛物线的对称轴为直线><=:；顶点坐标为(；一， ----- )；也考查了点在抛物线2a 2a 4a上则点的坐标满足抛物线的解析式.,C (1, y3)为二次函数片X2+4x—m的图象上的三6若羯 f y i)，B(—3，y2)点，则y 1，y2，y3的大小关系是()A.y < y < yB.y < y < yC.y < y < yD.y < y < y1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可.【详解】解：y i=(-4) 2+4X (-4) —m =16-16 —m = - m ,y2= (-3) 2+4X (-3) —m =9-12 —m = -3-m ,y『12+4x -m 1=1+4 -m =5 -m ,V-3 -m < -m <5 -m ,•••丫2<丫1<丫3.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响.7.二次函数y=ax2 + bx + c ( a,b,c是常数，a丰0 )的自变量％与函数值》的部分对应值如下表：且当x = -1时，与其对应的函数值y > 0.有下列结论：①abc > 0 ；②-2和3是关于20x的万程ax2 + bx + c = t的两个根；③0 < m + n < — .其中，正确结论的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解.【详解】•・•由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2b 1二抛物线的对称轴是：x=--=-；2 a 2•a、b 异号，且b=-a；•二当x=0 时y=c=-2• c < 0.,.abc>0,故①正确；•・•根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t .,.-2和3是关于％的方程狈2 +bx + c = t 的两个根；故②正确; b=-a, c=-2，二次函数解析式：j =-ax-2,・,当％=-：时，与其对应的函数值y > 0.2.38..—a — 2> 0 ,..a > —； 4 3•・•当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n , .m=n=2a-2,20m+n=4a-4 > —；故③错误故选：C . 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量工与函数值》的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键.8.如图是抛物线y = ax 2+bx +c （。

第二十一章一元二次方程易错必考68题(10个考点)专练(解析版)

第二十一章一元二次方程易错必考68题（10个考点）专练易错必考题一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，则一次项是（）A ．x-B ．1-C ．x D ．1【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得36m +=，30m +¹，可得m 的值，再代入原方程，由此即可得结果．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，∴36m +=，30m +¹，解得：3m =，把3m =代入原方程可得2660x x -+=，∴一次项是x -，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=¹，其中，2ax 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项．2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程()11x x -=-化成()200ax bx c a ++=>的形式则a b c ++=．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【详解】解：将一元二次方程()11x x -=-化成一般形式20(0)ax bx c a ++=>之后，变为210x x -+=，故1,1,1a b c ==-=，1111a b c \++=-+=，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y 的一元二次方程()()223811my m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案】二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -；参数m 的取值范围是22m ¹±【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m 的取值范围．【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：()()22383110m y m y m ---+-=，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件280m -¹，即22m ¹±．可知它的各项系数分别是二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -．参数m 的取值范围是22m ¹±．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．易错必考题二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于x 的一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2023a b --的值为（）A ．2021-B ．2021C ．2025-D ．2025【答案】D【分析】根据一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，得到20a b ++=即2a b +=-，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，∴2023202322025a b --=+=，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=和20cx bx a ++=，其中a ，b ，c 是常数，且0a c +=，如果2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程20cx bx a ++=的根的是（）A ．2B ．2-C ．1±D ．1【答案】B【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵0a ¹，0c ¹，0a c +=，∴a c=-∴1c a =-，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2x =是方程210b x x a+-=的一个根，即32b a =-，∴2231102b x x x x a --=+-=，∴2x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2x =-时方程20cx bx a ++=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m 为方程2320230x x +-=的根，那么32220262023m m m +--的值为．【答案】4046-【分析】先根据一元二次方程解的定义得到232023m m =-+，再用m 表示3m 得到()2220262023m m m +--，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为方程2320230x x +-=的一个根，∴2320230m m +-=，∴232023m m =-+，∴()322220262023220262023m m m m m m +--=+--()()32023220262023m m m =-++--23620232023220262023m m m m =--++´--()33202392023m m =--+-+93202392023m m =-´-+4046=-，故答案为：4046-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知a ，b ，c 是非零实数，关于x 的一元二次方程204c ax bx ++=，204b cx ax ++=，204a bx cx ++=，有公共解，则代数式2c a b ab b a--的值为．【答案】2或1-【分析】设公共解为t ，根据一元二次方程根的定义得到204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加可得：0abc ++=或12t =-，分别代入所求式可解答．【详解】解：设公共解为t ，则204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加得()()204abc a b c t a b c t ++++++++=，即()2104a b c t t æö++++=ç÷èø，因为2211()042t t t ++=+³，所以0a b c ++=或12t =-，当0a b c ++=时，c a b =--，\原式222c a b ab--= 22222a ab b a b ab++--= 2=；当12t =-时，110424c a b -+=，110424b c a -+=，22c b a a b \=-=-，a b \=，\原式222244b ab a a b ab-+--=234b ab ab-= 22b b-= 1=-，综上，代数式2c a b ab b a--的值为2或1-．故答案为：2或1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，求代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值．【答案】117【分析】利用一元二次方程的解可得出281x x -=，将其代入24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的化简结果中即可求出答案．【详解】解：∵x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，∴281x x -=．24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø()()247137233x x x x x x +=+---+-¸()()2497343x x x x x +--=¸---()()2416343x x x x x +-=¸---()()()()444343x x x x x x +-+=¸---()()()()433444x x x x x x +-=×--+-()()144x x =--21816x x =-+1116=+17∴代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值为117．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø；化简，得2240y y +-=；故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2320x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a -+=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2320y y --=(2)()200cy by a c -+=¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，将x y =-代入已知方程2320x x +-=，化简即可得到答案；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，x y \=-，把x y =-代入已知方程2320x x +-=，得()()2320y y -+´--=，化简得，2320y y --=，\这个一元二次方程为：2320y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x=，y 把1x y=代入已知方程()200ax bx c a -+=¹，得2110a b c y y æö-×+=ç÷èø，去分母得，20a by cy -+=，若0c =，则20ax bx -=，于是方程()200ax bx c a -+=¹有一根为0，不符合题意，0c \¹，\所求方程为：()200cy by a c -+=¹．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．易错必考题三、换元法解一元二次方程10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数x ，y 使()()22221212x y x y +---=-成立，则满足条件的x ，y 的值有（）A ．4对B ．6对C ．8对D ．无数对【答案】C【分析】先化简()()22221212x y x y +---=-可得()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-；然后求得a 的值，最后列举出符合题意的x ，y 的整数值即可解答．【详解】解：由()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-，∴23100a a --=，即()()520a a -+=，解得：5a =或2a =-（舍弃），∴225x y +=．∴满足条件的x ，y 的整数值有：12x y =ìí=î，12x y =-ìí=î，12x y =ìí=-î，12x y =-ìí=-î，21x y =ìí=î，21x y =ìí=-î，21x y =-ìí=î，21x y =-ìí=-î，共8对．故选C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程()()22212x x x x +++=时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（）A ．2120y y ++=B ．2120y y --=C ．2120y y -+=D ．2120y y +-=【答案】D【分析】将原方程中的2x x +换成y ，再移项即可．【详解】解：根据题意，得212y y +=，即2120y y +-=；故选：D ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是．【答案】12y =，24y =，【分析】根据关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1x y =-，即可得到112211y x y x -=ìí-=î，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：∵()21a y by c b -++=,∴()()2110a y b y c -+-+=,Q 关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令1x y =-，∴112211y x y x -=ìí-=î，∴1111y x -==或2213y x -==，解得12y =，24y =，故答案为：12y =，24y =．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1y x -=是解决问题的关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程210210x x -+=的根为13x =，27x =，则方程2(21)10(21)210x x ---+=的根是．【答案】12x =，24x =【分析】设21x t -=，可得210210t t -+=，根据210210x x -+=的根为13x =，27x =，可得213x -=或217x -=，即可得到答案；【详解】解：设21x t -=，可得210210t t -+=，∵210210x x -+=的根为13x =，27x =，∴213x -=或217x -=，解得：12x =，24x =，故答案为12x =，24x =；【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设21x t -=，得到210210t t -+=，结合方程210210x x -+=的根为13x =，27x =．14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =，代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø．化简，得2240y y +-=，故所求方程为2240y y +-=这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2210y y --=(2)20a by cy ++=()0c ¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y =()0y ¹，代入方程20ax bx c ++=整理即可得．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，把x y =-代入方程2210x x +-=，得：2210y y --=，故答案为：2210y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y=()0y ¹，把1x y =代入方程()200ax bx c a ++=¹，得2110a b c y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø，去分母，得20a by cy ++=，若0c =，有20ax bx +=，于是，方程20ax bx c ++=有一个根为0，不合题意，∴0c ¹，故所求方程为20a by cy ++=()0c ¹．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：为了解方程()22215140x x ---+=（），我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得121,4y y ==．当1y =，时，211x -=，∴22x =．∴2x =±；当4y =时，214x -=，∴25x =．∴5x =±．故原方程的解为12x =， 22x =-，35x =，45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：()()222540x x x x +-++=；(3)请利用以上知识解方程：42340x x --=．【答案】(1)换元；转化(2)123411711715152222,,,x x x x -+---+--====(3)122,2x x ==-【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）利用换元法解方程即可；（3）利用换元法解方程即可．【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；故答案为：换元，转化；（2）设2x x y +=，原方程可变为2540y y -+=，则()()410y y --=，∴40y -=或10y -=，∴124,1y y ==，当4y =时，24x x +=，解得1172x -±=，当1y =时，21x x +=，解得152x -±=，∴原方程的解为123411711715152222,,,x x x x -+---+--====；（3）设2y x =，原方程可变为2340y y --=，解得124,1y y ==-，∵20x ³，∴24x =，解得122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．易错必考题四、配方法的应用16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n \=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x 的一元二次方程新定义：若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22015ax bx -++取的最大值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：∵22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”，∴22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ++-+=+-+，即22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ++-+=+-+++，∴2(2)438a b a -+=-ìí+=î解得510a b =ìí=-î∴22015ax bx -++＝25105201x x -+-＝25(1)2020x -++，则代数式22015ax bx -++能取的最大值是2020．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x 和y 满足2212521640x xy y y -+++=，则22x y -= ．【答案】384【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x 与y 的值，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵()()()()222222212521641236161646420x xy y y x xy y y y x y y -+++=+++-+++-==，∴60x y +=且420y -=，解得：12y =，3x =-，则22139844x y ==--，故答案为：384．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设m 为整数，且420m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个不相等的整数根，则m 的值是．【答案】12【分析】将方程化为2(23)21x m m -+=+，根据m 为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．【详解】解：222(23)(23)21x m x m m --+-=+，\[]2(23)21x m m --=+，\2(23)21x m m -+=+，Q 420m <<，92141m \<+<，\2(23)21x m m -+=±+，Q m 为整数，且方程有两个不相等的整数根，\当2125m +=时，符合题意，解得：12m =；故答案：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++． ②求2611x x ++的最小值．解：原式2691a a =++- 解：原式2692x x =+++2(3)1a =+- 2(3)2x =++．()()3131a a =+-++ 2(3)0x +³Q ，()()24a a =++ 2(3)22x \++³，即2611x ++的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++_______________．(2)因式分解：21232a a -+．(3)求2443x x ++的最小值．【答案】(1)4(2)(4)(8)a a --(3)2【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可；（2）将32化成364-，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解．【详解】（1）解：∵()22442a a a ++=+，故答案为：4；（2）解：21232a a -+【答案】（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21()02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××- 2152AC AC =-+ 2125(5)22AC =--+21(5)02AC --£Q ，\当5AC =，四边形ABCD 的面积最大，最大值为252．【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．易错必考题五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．4a =-或1B ．4a =-C ．1a =D ．0a =【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入()221340a x x a a -+++-=得2340a a +-=，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把0x =代入()221340a x x a a -+++-=，得2340a a +-=，解得1a =或4a =-，而10a -¹，所以a 的值为4-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 3,55=，因此，{}max 3,53--=-；按照这个规定，若{}2max ,35x x x x -=--，则x 的值是（）A ．5B ．5或16-C ．1-或16-D ．5或16+【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x --=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x --=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>-，∴{}2max ,35x x x x x -==--，即2450x x --=，解得：125,1x x ==-（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x ->>，∴{}2max ,35x x x x x -=-=--，即2250x x --=，解得：116x =+（不符合题意，舍去），216x =-，综上：x 的值是5或16-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程()2923x x -=-的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得()()()3323x x x +-=-，…第一步方程两边都除以()3x -，得32x +=，…第二步解得=1x -…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是，解方程的过程从第步开始出现错误，错误的原因是；②请直接写出方程的根为．【答案】公式法二 3x -可能为0 13x =，21x =-【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；②利用因式分解法求解即可．【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：3x -可能为0，故答案为：公式法，二，3x -可能为0；②∵()2923x x -=-，∴()()()3323x x x +-=-，∴()()()33230x x x +---=，则()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得13x =，21x =-，故答案为：13x =，21x =-．【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：0a ¹且0b ¹，221003a b ab +-=，那么a b a b +-的值等于．【答案】2-或2【分析】先把已知条件化为2231030a ab b -+=，再利用因式分解法得到30a b -=或30a b -=，然后把3b a =或3a b =分别代入a b a b+-中计算即可．【详解】解：∵221003a b ab +-=，即2231030a ab b -+=，∴(3)(3)0a b a b --=，∴30a b -=或30a b -=，当30a b -=时，即33,23a b a a b a a b a a ++===---；当30a b -=时，即33,23a b b b a b b b a b ++=-==-，∴a b a b+-的值等于2-或2．故答案为：2-或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程2430x x k -+=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)43k £(2)95m =【分析】（1）一元二次方程有实数根，则0D ³，由此即可求解；（2）根据（1）中k 的取值范围求出k 的值，由此可求出方程2430x x k -+=的解，把x 的值代入一元二次方程2(2)30m x x m -++-=即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：2(4)430k D =--´³，解得43k £，∴k 的取值范围43k £．（2）解：由（1）可知，43k £，∴k 的最大整数是1，∴方程2430x x k -+=可化为2430x x -+=，解得121,3x x ==，∵一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，2130m m -++-=，解得2m =；当3x =时，(2)9330m m -´++-=，解得95m =，又20m -¹，∴95m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为1x ，()212x x x >，且213x x +为整数，求整数m 所有可能的值．【答案】(1)见解析(2)4-或2-或0或2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10D =>，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m ，1m +，得出11343111x m x m m ++==+++，然后利用有理数的整除性确定m 的整数值．【详解】（1）解：证明：Q 22[(21)]4()10m m m D =-+-´+=>，\无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）22(21)0x m x m m -+++=Q ，即()[(1)]0x m x m --+=，解得：x m =或1x m =+．\一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=的两根为m ，1m +，12x x >Q ，11x m \=+，\11343111x m x m m ++==+++，如果311m ++为整数，则4m =-或2-或0或2，\整数m 的所有可能的值为4-或2-或0或2．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m 的整数值．易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x 的一元二次方程2160x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的值可以是（）A ．8B ．8-C ．4D ．10【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个不相等的实数根，∴22441160b ac m D =-=-´´>，∴264m >，∴8b >或8b <-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹，若240b ac D =-＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac D =-=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac D =-＜，则原方程没有实数根．29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程()22230k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（）A ．73k £B ．73k >C ．73k <且2k ¹D ．73k £且2k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 20k -¹且224(2)30,k D =--´>然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；【详解】解：根据题意得 20k -¹ 且()2Δ24230k =--´>，解得 73k < 且 2k ¹，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k 的不等式是解此题的关键30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x 的方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（）．A ．0k ¹B ．1k ³-且0k ¹C ．1k ³-D ．1k >-且0k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当0k ¹时，990k D =+³，∴1k ³-，当0k =时，原方程是一元一次方程，有实数根，∴1k ³-故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ¹，，，为常数)的根的判别式24b ac D =-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，且a 满足25113a a -<ìí-£î，则a 的取值范围是（）A ．2a £-B ．23a<-C ．223a<-£-D ．233<a<-且2a ¹【答案】C【分析】由所给方程是一元二次方程可知20a -¹，由方程没有实数根可知Δ0<，再解不等组，找出交集即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，\()()212426404a a a a D =+--´=+<，20a -¹，\23a <-，2a ¹，Q a 满足25113a a -<ìí-£î，由251a -<得3a <，由13a -£得2a ³-，\23a -£<，\223a<-£-，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即Δ0<时，方程没有实数根；Δ0=时，方程有两个相等的实数根；0D >时，方程有两个不等的实数根．32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于y 的一元二次方程2230ky y -+=有实根，则k 的取值范围是．【答案】13k £且0k ¹．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0k ¹且△22120k =->，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：当0k ¹时，方程是一元二次方程，则△2(2)120k =--³有实数根，解得13k £且0k ¹．故答案为13k £且0k ¹．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△=-24b ac 有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，若关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，则b c +的值为．【答案】3-【分析】先解方程360x -=得2x =，再把2x =代入方程20x bx c ++=得420b c ++=，接着根据方程有两个相等的实数解，得到2(3)4(6)0b c D =--+=，然后通过解方程组求出b 、c ，从而得到b c +的值．【详解】解：解方程360x -=得2x =，Q 关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，2x \=为方程20x bx c ++=的解，420b c \++=，Q 关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，\2(3)4(6)0b c D =--+=，把24c b =--代入得2(3)4(246)0b b ----+=，解得121b b ==-，当1b =-时，242c =-=-，123b c \+=--=-．故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．【答案】2a <且1a ¹【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，\210Δ(2)4(1)0a a -¹ìí=--->î，解得：2a <且1a ¹．故答案为：2a <且1a ¹．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是．【答案】1-【分析】根据方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，得到()20,240k k ¹--＞，确定符合题意的整数解即可．【详解】∵x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，∴()20,240k k ¹--＞，∴0,1k k ¹＜，∵k 是整数，∴k 的最大整数值是1-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x 的方程24m x mx x m -=-．(1)有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m 的最小整数值．【答案】(1)12m >-且0m ¹(2)12m =-，122x x ==-(3)0【分析】（1）分两种情况讨论：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =->，求解即可；（2）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-=，求解即可；（3）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-³，求解即可．【详解】（1）解：24m x mx x m -=-，移项合并同类项得：2(1)04m x m x m -++=，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´>ëû，解得：12m >-；当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；∴m 的取值范围是12m >-且0m ¹；（2）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´=ëû，解得：12m =-，把12m =-代入24m x mx x m -=-得：21110822x x ---=，整理得：2440x x ++=，解得：122x x ==-；（3）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，有一个实数根，符合题意，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´³ëû，解得：12m ³-，∴m 的最小整数值是0；【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24Δb ac =-与一元二次方程根的情况是解题的关键．37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使k 为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．。

二次函数与一元二次方程专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)

二次函数与一元二次方程基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数图像与一元二次方程的关系 (2)2.二次函数a、b、c的几何意义 (4)3.利用交点式求二次函数 (6)4.用函数图像解一元二次方程（不等式） (7)5.二次函数常用解题方法总结 (8)三、重难点题型 (10)1.判别式的应用 (10)3.图像信息题 (11)3.抛物线与直线交点问题 (13)4.抛物线与三角形面积 (16)二、基础知识点1.二次函数图像与一元二次方程的关系（1）二次函数：一元二次方程：当y=0时，二次函数即化为一元二次方程。

即二次函数y=0时，x的值（与x轴的交点）为一元二次方程的解。

（2）利用配方法可转化为：y=a（）当y＝ax2＋bx＋c中，y＝0时，即得到二次方程ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.令=当＞0时，函数与x轴有两个交点，即一元二次方程有2解；当=0时，函数与x轴有一个交点，即一元二次方程有1解；＜0时，函数与x轴无交点，即一元二次方程无解。

例 1.同一坐标系中有函数，及，请填写下表。

答案：如下表所示例2.如图，一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点，则函数y=ax2＋（b－1）x＋c的图像可能为（）A B C D答案：由ax2＋bx＋c图像知：＞＞＞，即＞＜＞则函数y=ax2＋（b－1）x＋c中，＞＞＞所以函数y=ax2＋（b－1）x＋c开口向上，且与对称轴在x轴正半轴，与y轴的交点在y轴正半轴所以答案在A，C中选择因为一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点联立得：ax2＋（b－1）x＋c=0有两解即y=ax2＋（b－1）x＋c的图像与x轴有两个交点所以答案为A2.二次函数a、b、c的几何意义（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下；（2）图像关于x=对称（3）顶点坐标（-，）（4）抛物线与y轴的交点（0，c）（5）当>0，与x轴有2个交点；当=0，与x轴有1个交点；当<0，与x轴无交点（6）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），关于x=对称，（）例1.二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则下列关系式成立的是（）A.abc＞0B. a+b+c＜0C. D. 4ac－＞答案：因为抛物线开口向下所以a＜0抛物线与y轴交点在y轴正半轴所以c＞0抛物线对称轴为x=1＞0所以＞，即b＞0综上得：abc＜0，A错误令x=1得：a+b+c=y因为x=1与抛物线交点在y轴上半部分所以a+b+c＞0，即B错误令x=－1得：a－b+c＜0两边同时乘a得：＞，即C正确抛物线与x轴有两个交点，则＞0，即D错误例2.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，且OA=OC。

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