第1讲 等差数列与等比数列

第1讲 等差数列与等比数列

高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

真 题 感 悟

1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n

D.S n ＝1

2n 2－2n

解析 设首项为a 1，公差为d .

由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，

d ＝2.

所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）

2×2＝n 2

－4n . 答案 A

2.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n

a n

＝( )

A.2n －1

B.2－21－n

C.2－2n －1

D.21－n －1

解析 法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝24

12＝2.

由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1（1－q n ）

1－q

＝2n －1，

所以S n a n ＝2n

－1

2n －

1＝2－21－n .

法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②

②①得a 4

a 3

＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3

q 2＝1，下同法一. 答案 B

3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝3

4，则S 4＝

________.

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝3

4， 则4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－1

2， ∴S 4＝

1×⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪

⎫－124

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝58.

答案 58

4.(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n

＋1

＝3b n －a n －4.

(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.

(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝1

2(a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1， 所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为1

2的等比数列. 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，

所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝

1

2n －1，a n

－b n ＝2n －1， 所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －1

2，

b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.

考 点 整 合

1.等差数列

(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1

＋n （n －1）

2

d ； (3)常用性质：

①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；

③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列. 2.等比数列

(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；

(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q

1－q ；

(3)常用性质：

①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ；

③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.

温馨提醒 应用公式a n ＝S n －S n －1时一定注意条件n ≥2，n ∈N *.

热点一 等差、等比数列的基本运算

【例1】 (1)(2020·全国Ⅱ卷)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n .若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( ) A.2

B.3

C.4

D.5

解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，

∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .

又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，

∴2k ＋1（1－210）1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，

∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4. 答案 C

(2)(2019·北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.

①求{a n }的通项公式；

②记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解 ①设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，

所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12.