材料力学课件：扭转

方向：垂直于半径
17
3.静力学方面
微剪力 dQ dA
微力矩 dT dQ
则有：
G
d
dx
dA
T
T
dT
A
A dA
G d 2dA T dx A
定义 A 2dA IP
极惯性矩
圆轴扭转角变化率 d T
dx GIP 18
G
d
dx
d T
dx GIP
圆轴扭转切应力一般公式
T
IP
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力 §4-3 圆轴扭转强度与动力传递
1
§4-1 引言
工程中的扭转问题
F F
满足强度与刚度条件才 能保证构件正常工作
2
材料力学分析的基本思路
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
3
A
M
B
M M
归纳与比较： 1、受扭圆轴的外力与变形特征如何？ 2、与拉压杆比较的异同？
几何方面：实验观测
合理假设
连续体的变形协调条件(数学表达)
11
1. 试验与假设
观察外部变形
圆周线： 形状与大小不变
径向无变形
间距不变 纵向线 ： 偏转同一个角度
轴向无变形 周向无变形
结论：相邻圆周线只绕轴线作相对刚性转动
12
内部变形规律(假设): 相邻横截面只绕轴线作相对 刚性转动
平面假设
保持平面，形状与大小不变
Ip
2dA
A
•空心圆截面
Dd
dA 2d
d
IP
D/ 2 2 2d D4 (1 4 )
d/2
32
WP
D3
16
(1 4 ),
d
D
•实心圆截面
设 0
D4
IP 32 ,
WP
D3
16
23
圆轴扭转应力小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
扭转变形基本公式： d T
max
T WP
● 材料在比例极限范围内。 (在切应力公式推导时使用了剪切虎克定律)
● 只能用于圆截面轴(包括空心圆截面轴)。 (在非圆截面扭转时，平面假设不成立)
拉压杆应力推导问题也使用变形协调，由应变相等得到应 力相等，但没有使用虎克定律。该结论在应力超过弹性极 限下仍然成立。
22
4. 极惯性矩与抗扭截面系数
dx GIp
扭转切应力公式：
T
Ip
最大扭转切应力：
max
T Wp
公式的适用范围： 圆截面轴； max p
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例：画横截面扭转切应力分布示意图。
R1
R2
O
T
空心轴
R1
R2
G1
G2
T
组合轴 (G2 G1 )
O
O
25
组合轴扭转切应力分析
设平面假设成立
d
dx
0 R1
G
所以：
G2 G1
d
dx
d
dx
0 R2 R2 R1
R1 R2 G2 G1
组合轴 G2 G1
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➢ 薄壁圆管的扭转切应力 1、精确计算
R1 R2
——按空心圆筒的计算办法
2、近似计算
管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布
T= AR0 A2R0
T
2 R02
当R0/10时，足够精确
适用于弹性、非弹性、各向同性、各向异性的均质材料薄壁管
例：画扭矩图( m:单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
m
A
B
C
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml
CD段： T3 2ml
画扭矩图
x
与轴力图比较考察对应关系
9
2. 对应的轴力图与扭矩图
分布：与 成正比
方向：垂直于半径
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总结
外部变形
平面假设
切应变
d
dx
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
横截面上切应力
T
IP
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➢ 圆轴横截面上最大扭转切应力
T
IP
max
圆轴扭转最大切应力：
max
TR IP
T IP / R
抗扭截面系数
定义
WP
IP R
max
T WP
21
公式的适用范围
4
➢ 基本概念
外载荷：外力矩的矢量沿轴线
变形：各横截面绕轴线作相对旋转 轴线保持直线
横截面间绕轴线的相对角位移
扭力矩 扭转 扭转角
外力矩的矢量沿轴线，以扭转变形为主要变 形形式的杆件—— 轴
5
轴的动力传递
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
横截面
半径仍为直线 间距不变
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轴内某点的变形规律
dx
（不同位置变形的协调关系）
截取微段
用相距dx的一对横截面 截取微楔
取夹角为d的一
对径向纵截面
R
a Ac
dx
O1
O2
d
b d
B
C
D
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微楔的变形情况
O1
半径仍为直线
dx
O2
R
d
研究对象：微元体
a
b
dx
b’
d a
A
d
B B’
d’ d
c
b
b’ d
d
C
D
d’
D’
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变形几何方程
小变形
O1
tan
bb' ab
d
dx
a
c
d
dx
同一横截面内任一
径线偏转同一个角度
dx
O2
d
b b’
d
d’
d const.
dx
16
d
dx
几何协调关系
O1
O2
2. 物理方程
G
G d
dx
A
B
C
D
使用剪切胡克定律，线弹性范围
分布：与 成正比
公式中还有哪些量未被确定？
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§4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计 一、扭转失效与扭转极限应力
塑性材料 扭断
脆性材料 扭断
扭转极限应力
u
s b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
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二、圆轴扭转强度条件
许用切应力： u
n
ห้องสมุดไป่ตู้安全因数
n
工作应力：
max
T
WP
max
强度条件：
max
T Wp
n : 转速 (r min)
功率：KW 力偶矩：N.m
P 103 M 2 n
60
P
M 9549 kW
Nm
n
r / min
6
§4-2 扭矩
1. 扭矩与扭矩图
m
M
A
M
m
B
A
mT
x
M
m
扭矩：矢量方向垂直于横截面 A
m
Tx
的内力偶矩，并用T 表示。 M
m
符号规定：矢量方向(按右手定则)与横截面外法线方
M 3ml
m
A
B
C
D
对应拉压问题 与轴力图
q
F 3ql
l
l/2 l/2
T ml
x
2ml
l
l/2 l/2
FN ql
2ql
x
10
§4-3 圆轴扭转应力
问题分析与研究思路
M
1
T M
2
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。
连续体的静不定问题 。
分析方法：静力学、几何、物理三方面。 关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件
向一致的扭矩为正，反之为负。
扭矩与扭力矩的差异？
7
扭矩图：扭矩随杆轴线变化的图线。
例：画扭矩图。
在AB和BC段分别切开， 分别考察左与右段平衡
AB段： T1 2M BC段： T2 M
画扭矩图。 注意：扭矩图与受扭轴对 齐，标注正负号。
B
2M
A
3M
2M
A
T
T2 M
T1 2M
2M
M
C
M
C
M
x
8