5.2 微积分基本公式-习题
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1．设函数0
cos x
y tdt =
⎰，求'(0)y ，'()4
y π。 【解】由题设得'()cos y x x =，
于是得 '(0)cos01y ==，'()cos
4
4
2
y ππ
==
。 2．计算下列各导数：
⑴20x d dx
⎰；
【解】20x d dx
⎰2)x =2= ⑵
1t
d dt dx ；
【解】1t
d dt dx 1
()t d
dt dx =-=-=。 ⑶
cos 2
sin cos()x x d t dt dx
π⎰； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π⎰0cos 2
2sin 0[cos()cos()]x x
d t dt t dt dx ππ=+⎰⎰ 》
0cos 22
sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=
+⎰⎰
sin cos 2200
[cos()]cos()x x
d d t dt t dt dx dx ππ=-+⎰⎰ 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d
x x x x dx dx ππ=-+
22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+--
22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=---
22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+
2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。
⑷2ln 1
x x d dt dx t
⎰。 【解】
2ln 1x x d dt dx t ⎰21ln 11
1[]x x d dt dt dx t
t =+⎰⎰ 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t
=+⎰⎰ …
2ln 1111
[]x x d d dt dt dx t dx t =-+⎰⎰
2
211(ln )()ln d d x x x dx x dx =-+
21112ln x x x x =-⋅+⋅
12ln x x x =-+11(2)ln x x
=-。
3．设函数()y y x =由方程0
cos 0y
x
t e dt tdt +=⎰
⎰所确定，求
dy
dx
。 【解法一】方程
0cos 0y
x
t e dt tdt +=⎰
⎰中完成积分即为 0
sin 0t
y x e t
+=，
亦即为 (1)sin 0y
e x -+=，得知1sin y
e x =-，
解出y ，得ln(1sin )y x =-， 于是得
1cos (1sin )1sin 1sin dy d x x dx x dx x -=-=
--cos sin 1
x x =-。 【解法二】在方程
cos 0y
x
t e dt tdt +=⎰
⎰两边对x 求导，注意到()y y x =，得
—
00[cos ](0)y x t d d
e dt tdt dx dx
+=⎰⎰
即得 ()cos 0y d e y x dx
+=， 亦即cos 0y dy e
x dx +=，解出dy dx ，得cos y dy x dx e
=-， 方程
0cos 0y
x
t
e dt tdt +=⎰
⎰中完成积分即为 0
sin 0t
y
x e t
+=，
亦即为 (1)sin 0y
e x -+=，得知1sin y
e x =-，
再将1sin y
e x =-代入
cos y dy x
dx e
=-中， 得cos cos 1sin sin 1dy x x dx x x =-=--。 4．设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dy
dx
。
【解】问题是由参数方程求导
【解法一】dy dy dt dx dx dt =0
cos sin t
t
d udu dt d udu dt =⎰⎰cos cot sin t t t ==。 ~
【解法二】
dy dx 00
cos sin t
t
d udu
d udu =⎰⎰
cos sin tdt tdt =cos cot sin t
t t
==。
5．求下列极限： ⑴20
cos lim
x
x t dt x
→⎰
；
【解】这是“
”未定型极限，应用洛必达法则，得 20
0cos lim
x
x t dt x
→⎰2
0cos lim 1
x x →=2cos 01==。 ⑵0
2
arctan lim
x
x tdt x →⎰；
【解】这是“
”未定型极限，应用洛必达法则，得 0
2
arctan lim
x
x tdt x →⎰0arctan lim
2x x
x
→= ---- 应用洛必达法则
2
01
1lim 2
x x →+= ---- 再次应用洛必达法则 $
21112102
=⋅=+。
⑶2
2
lim
x x x
→⎰
；
【解】这是“
”未定型极限，应用洛必达法则，得
2
2
lim
x x x →
⎰0x →= ---- 应用洛必达法则
0x →= ---- 完成求导2()'x
x →= ---- 整理
1=。