二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨
联合分布与边缘分布
变量 ( X ,Y )具有概率密度函数
z
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y)G
1 A
0, 其它
O
则称 ( X ,Y )在G上服从均匀分布.
x
z f ( x, y) y
G
边缘分布密度
fX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y)
f ( x, y)dx,
若对任意的 x, y, 有 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
则称 X ,Y 相互独立.
y
y2
( x2 , y2 )
P{ x1 x x2 , y1 y y2 }
y1
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
O x1
x2 x
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
图 2.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且 F (, y) 0, F ( x,) 0,
(3) 设 D 是 xOy 平面上的区域，点 ( X ,Y ) 落入 D 内
的概率为 P{( x, y) D} f ( x, y)dxdy D
(4) 若 f ( x, y) 在点( x, y) 连续，则有
2
F ( x, xy
y
)
f ( x, y).
注：
设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A.若二维随机
pij 满足下列性质：
(1) pij 0,1, j 1,2, ; (2)
pij 1.
ij
由 X 和 Y 的联合概率分布，
得边缘分布:
pi P{ X xi } pij ,i 1,2, j
联合分布与边缘分布的关系
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
感谢您的观看
THANKS
的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。
2.1二维随机变量及其联合分布
x 0 , 0 y 2 x 1)
y=2x+1
分布函数为 F ( x , y ) P X x , Y y
（1）当 x
1 2
时， -1/2
F ( x, y ) P 0
（2）当
1 2
x 0 时，
y=2x+1
y 0时 ， f ( x , y ) 0,
求概率 (1) P X 1, Y 3 ; ( 2 ) P X Y 3 解 P X 1, Y 3
D
f ( x, y )dxdy
4
2 1 2
1 0
dx 1 8
3 2
1 8
(6 x y )dy 1 2 3 8
1 0
(6 y xy
如何反映（X，Y）的取值规律呢？
联想一维离散型随机变量的分布律。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
表达式形式
P X x i , Y y j p ij ( i 1, 2 , ; j 1, 2 , )
表格形式（常见形式）
X
Y
y1
p11
。。。...
y2
p1 2
3 y
[1 e
2 y
]d y
5 y
3e 0
3 y
dy
3e 0
dy 1
3 5
2 5
例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
1 ( 6 x y ), 0 x 2 , 2 y 4 f ( x, y) 8 0, 其他
Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。 不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性
边缘分布和联合分布的关系
边缘分布和联合分布的关系嘿，朋友们！今天咱们来聊聊边缘分布和联合分布这对超有趣的概率概念。
你可以把联合分布想象成一场超级盛大的派对，派对里有各种各样的人，来自不同的地方，有着不同的特点。
这个派对就是所有可能事件的大集合，就像一个装满了奇奇怪怪小物件的魔法盒子，每一个小物件就是一个具体的事件组合。
而边缘分布呢，它就像是从这个超级派对里单独挑出某一类人来。
比如说，只看那些戴帽子的人或者只看穿红衣服的人。
它就像是从那满满当当的魔法盒子里，只挑出红色的小物件或者圆形的小物件。
这边缘分布呀，有点像是在这个超级复杂的大拼图里，只看拼图的一条边，虽然只是一部分，但也能看出一些独特的东西呢。
联合分布知道派对里所有人的各种组合情况，什么戴眼镜的男生和穿裙子的女生站在一起啦，高个子和矮个子聊天啦之类的。
但是边缘分布就不管这些组合中的搭配情况，只关心某一类人的整体状况。
这就好比联合分布是一个超级八卦的人，知道谁和谁在干嘛，而边缘分布是一个有点小固执的人，只关心某一类人的情况，其他一概不管。
有时候啊，联合分布就像一个超级大厨，他能做出各种各样搭配奇妙的菜肴，把各种食材组合在一起。
而边缘分布就像是只吃某一种食材的挑食者，比如只吃胡萝卜，不管胡萝卜和什么搭配。
不过呢，这挑食者（边缘分布）也能从侧面反映出这个大厨（联合分布）的一些信息，毕竟大厨的食材里有这个挑食者喜欢的嘛。
这两者之间的关系还特别微妙呢。
就像两个性格迥异的好朋友，一个热情奔放啥都关心（联合分布），一个有点小孤僻只关心自己那点事儿（边缘分布）。
但是他们又互相离不开，因为从边缘分布能大概推测出联合分布的一些轮廓，而联合分布能完整地解释边缘分布的一些特性。
再夸张一点说，联合分布是一个超级大的宇宙，里面有各种各样的星球（事件组合）。
边缘分布就是从这个宇宙里单独揪出某一种星球，比如只看蓝色星球。
虽然只是蓝色星球，但也能从侧面反映出这个宇宙可能存在的一些普遍规律。
而且呀，边缘分布有时候像是联合分布的简化版，联合分布的信息太多啦，就像一个啰嗦的老太太，而边缘分布把它简化了，变成了一个简洁的小清单，只列出某一类的关键信息。
维随机变量的联合分布与边缘分布
针对连续型和离散型随机变量，分别提出了边缘分布的求解方法，包 括积分法、求和法等，并通过实例验证了方法的有效性。
联合分布与边缘分布在统计推断中的应用
将联合分布与边缘分布的理论应用于统计推断中，如参数估计、假设 检验等问题，提高了统计推断的准确性和效率。
对未来研究的展望
• 高维随机变量的联合分布与边缘分布：随着数据维度的增加，高维随机变量的 联合分布与边缘分布研究将成为未来的重要方向，需要探索新的理论和方法来 解决高维数据的挑战。
PART 07
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
研究成果总结
联合分布与边缘分布的理论体系
本文构建了多维随机变量联合分布与边缘分布的理论框架，明确了两 者之间的关系和转化方法。
联合分布的性质
深入探讨了联合分布的性质，如联合分布的对称性、可加性、连续性 等，为实际应用提供了理论支持。
维随机变量的联合分 布与边缘分布
https://
REPORTING
• 引言 • 二维随机变量及其联合分布 • 边缘分布及其性质 • 条件分布及其性质 • 二维随机变量的独立性 • 二维随机变量函数的分布 • 总结与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
二维随机变量函数的分布求法
01
分布函数法
首先求出(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，然后通过Z=g(X,Y)的关系式求出
Z的分布函数G(z)。
02
概率密度函数法
若(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)ห้องสมุดไป่ตู้则可以通过Z=g(X,Y)的关系式求
出Z的概率密度函数h(z)。
联合分布与边缘分布的关系
例2 一射手进行射击, 每次击中目旳旳概率为p(0<p<1), 射击到击中目旳两次为止. 设以X 体现首次击中目旳所进 行旳射击次数, 以Y 体现总共进行旳射击次数. 试求 X 和 Y 旳联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量旳条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件旳随机变量旳取值
是拟定旳数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
3.2 边沿分布
联合分布函数与边沿分布函数旳关系
FX ( x) F ( x, ) ; FY ( y) F (, y).
由联合分布律求边沿分布函数
FX ( x) F ( x, )
pij , FY ( y) F (, y)
pij .
xi x j1
y j y i1
由联合概率密度求连续型r.v.旳边沿分布函数
Y X x1 xi
p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1• pi
1
•
三、连续型随机变量旳边沿概率密度
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y), 由于
x
FX ( x) F ( x,)
[ f ( x, y)d y]d x,
P{Y y j } pij P{X xi ,Y y j }
i 1
i 1
P{Y y j X xi } P{X xi }, i 1
P{X xi } 0, j 1, 2,
类似逆概公式(求条件分布律)
P{X
xi
Y
yj}
P{Y
yj
X
xi } P{X
第二节边缘分布32
PX xi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y ) ，
X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y)
则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
fX (x)
f (x, y)dy
x
2
fX
x
1
e
(
x μ1 2σ12
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
e dy
1 2 1 ρ2
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令
t
1 1
ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
,
则有
fX
x
1
e
(
x μ1 2σ12
)2
2πσ1
t2
e 2 dt
1
e
(
x μ1 2σ12
)2
0,
0 x 1 其它
fY ( y)
24 5
y( 3 2
2y
y2 2
),
0 y 1
0,
其它
在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要
求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度
函数是分片表示的时候，在计算积分时应
特别注意积分限 .
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f ( x, y)dxdy
1x
0[0 cy(2 x)dy]dx
c
1
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。
利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。
将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。
运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。
本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。
关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。
联合分布与边缘分布的关系知识分享
联合分布与边缘分布的关系知识分享联合分布与边缘分布是概率论中非常重要的两个概念。
在实际问题中，我们通常要考虑多个变量之间的关系，而这些变量的联合分布和边缘分布可以帮助我们更好地理解和描述这些关系。
本文将对联合分布和边缘分布的概念及其关系进行介绍和说明。
一、联合分布的概念联合分布是指多个随机变量在同一组实验中可能出现的所有取值及其对应的概率分布。
联合分布通常用符号f(x1,x2,...,xn)表示，其中x1,x2,...,xn为多个随机变量的取值。
它描述的是这些变量同时取不同值的概率。
边缘分布是指多个随机变量中某一个或几个变量的概率分布。
即将联合分布中的某些变量“边缘化”，得到的是这些变量的边缘分布。
边缘分布的符号通常用f(x)或f(xi)表示，其中x或xi表示某一个或几个变量的取值。
它描述的是这些变量单独取某一个或几个取值的概率分布。
例如，对于两个随机变量x和y的联合分布f(x,y)，我们可以求出它们各自的边缘分布f(x)和f(y)。
联合分布和边缘分布之间存在着紧密的联系。
具体而言，可以从联合分布中推导出各个变量的边缘分布。
以下以两个随机变量为例来说明。
1. 从联合分布求出边缘分布f(x) = ∫ f(x,y)dy其中，对y求积分就可以从f(x,y)中消去y，得到f(x)。
同理，可以求出y的边缘分布。
假设已知x和y各自的边缘分布f(x)和f(y)，现在需要求出它们的联合分布f(x,y)。
此时，需要利用边缘分布和条件概率的知识，因为一个随机变量的边缘概率分布和条件概率分布是密切相关的。
具体而言，可以利用以下公式：其中，f(y|x)表示已知x的情况下，y的条件概率分布，可以从条件概率的定义中得到：同理，可以得到f(x|y)：由此，可以利用边缘概率分布和条件概率分布求出联合概率分布。
这个方法被称为贝叶斯定理。
四、总结。
二维随机变量与联合概率分布
二维随机变量与联合概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
而在某些情况下，我们需要考虑两个或者多个随机变量之间的关联关系，这就引出了二维随机变量的概念。
本文将介绍二维随机变量以及联合概率分布的相关知识。
一、二维随机变量的定义在概率论中，二维随机变量由两个随机变量组成，通常用大写字母（如X、Y）表示。
二维随机变量可以表示为(X,Y)。
二、联合概率分布的定义联合概率分布是二维随机变量(X,Y)所对应的概率分布。
对于任意的(x,y)，联合概率分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中P表示概率。
三、联合概率密度函数如果二维随机变量的取值是连续的，那么联合概率分布可以用联合概率密度函数来描述。
记为f(x,y)，则对于任意的(x,y)，联合概率密度函数满足以下条件：1. f(x,y)大于或等于0；2. 在整个定义域上的积分等于1，即∬f(x,y)dxdy=1；3. 对于任意的事件A，有P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y)dxdy。
四、边缘概率分布边缘概率分布是指在二维随机变量的联合分布中，只考虑某一个随机变量的概率分布。
对于离散型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率分布进行计算。
对于连续型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率密度函数积分得到。
五、条件概率分布条件概率分布是指在给定一个随机变量的取值时，另一个随机变量的概率分布。
对于二维随机变量(X,Y)，在给定X=x的条件下，Y的条件概率为P(Y=y|X=x)，表示Y取值为y的条件下，X取值为x的概率。
六、独立性如果二维随机变量X和Y的联合概率分布等于边缘概率分布之积，即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，那么称X和Y是相互独立的。
七、联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数是指二维随机变量(X,Y)的分布函数，记为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。
边缘分布函数是指在联合分布函数中，只考虑某一随机变量的取值的分布函数。
301 二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数及其性质
二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数1.理解二维随机变量的分布函数的概念。
2.掌握二维随机变量的分布函数的性质。
3. 理解二维随机变量边缘分布函数的概念。
1.二维随机变量的分布函数。
2.二维随机变量分布函数的性质。
3.二维随机变量边缘分布函数的定义。
内容提要教学要求一、二维分布函数设X和Y是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(,)X Y为二维随机变量(向量).对任意实数(,)x y称)(,),F x y P X x Y y=≤≤为(,X,X Y的联)y定义1:定义2:二、二维分布函数的性质性质1.(,)F x y 对,x y 分别都是单调不减的.1)y 12y y ∀<固定1,x 都有≤12x x ∀<固定1,y 都有1121(,)(,).F x y F x y ≤2)y ()11,X x Y y ≤≤)12,X x Y y ≤≤⊆≤P P 1)y 11(,)F x y 12(,).F x y性质2.0(,)1F x y ≤≤且0(,)F x −∞lim (,y F x y →−∞=(,)F y −∞lim (,x F x y →−∞=0=(,)F −∞−∞lim (,)x y F x y →−∞→−∞=0=(,)F +∞+∞lim (,)x y F x y →+∞→+∞=1=(,)lim (,)???y F x F x y →+∞+∞=Y =(,)P X Y ≤+∞≤+∞性质3.(,)F x y 关于(0,)F x y +=是右连续的.,x y (,0)F x y +=性质4.(,)X Y 落在矩形区域22(,)F x y 内的概率为{}1212(,),G x y x x x y y y =≤≤≤≤随机点12(,)F x y −21(,)F x y −11(,)F x y +0≥(,)F x y (,)F x y性质5.(,)F x y 一定是某个满足以上4条性质的二维随机变量的分布函数.性质1.(,)F x y 对,x y 分别都是单调不减的.性质2.0(,)1F x y ≤≤且….性质3.(,)F x y 关于是右连续的.,x y 性质4.(,)X Y 落在矩形区域….随机点三、二维边缘分布()X F x =()P X x ≤(,)P X x Y ≤≤+∞(,)F x +∞lim (,)y F x y →+∞=()Y F y =(,)F y +∞lim (,)x F x y →+∞=我们分别称为(,)X Y 关于X 和Y 的边缘分布函数.谢谢观看!12。
302 二维离散型随机变量的联合概率分布以及边缘分布
二维离散型随机变量的分布律
二维离散型随机变量的分布律
内容提要
1. 二维离散型随机变量的联合分布律。 2. 二维离散型随机变量的边缘分布律。
教学要求 掌握二维离散型随机变量的 联合分布律以及边缘分布律的求解方法。
一、联合分布律
设 ( X ,Y ) 所有可能取值为 ( xi , yj ), i, j ∈ + .
X Y −1
0
1
0
0.1
0.2
0α.3
1
0.β1
0.1
0.2
且 P ( X + Y = 1) = 0.4,求α , β 的值. 进一步
注： 适合文字与图片结合。
求 P ( X 2Y 2 = 1).
解: 0.1 + 0.2 + α + β + 0.1 + 0.2 = 1
α + β = 0.4, α + 0.1 = 0.4
XY
y1
x1
p11
yj
p1 j
xi
pi1
pij
∑ 1.∀i, j ∈ + , pij ≥ 0. 2. pij = 1. i, j
3.G 是平面点集
P (( X ,Y ) ∈ G ) = ∑ pij ( ) xi , y j ∈G
注： 适合文字与图片结合。
( ) P = X xi = ,Y y= j pij .
解: P( X 2Y =2 1=) P ( X= 1,Y= 1) + P( X = 1,Y = −1)
= 0.3.
注： 适合文字与图片结合。
二、边缘分布律 P(= X
X Y y1
二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布
二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即有则称为连续型随机向量；并称的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度具有下面两个性质：一般来说，当（X，Y）为边疆型随机向量，并且其联合分布密度为，则X和Y的边缘分布密度为例2 设（X，Y）的联合分布密度为考研教育网试求：（1）常数C；（2）P{0＜X＜1，0＜Y＜2｝；（3）X与Y的边缘分布密度解（1）由的性质，有即C=12（3）先求X的边缘分布：①当x＜0时，，于是②当x≥0时，只有y≥0时，，于是因此同理下面介绍两种常见的连续型随机向量的分布：（1）均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
在以后的讨论中，我们经常遇到的区域D有下面八种情况：问题：试求出上面八种情况下二维均匀分布的边缘分布，以为例，其步骤如下：（ⅰ）先用联立不等式表示区域：（ⅱ）写出联合分布密度函数：由均匀分布的定义，考虑到，因此考研教育网（ⅲ）分别求出X与Y的边缘分布，这里分两种情况来讨论X的边缘分布：①当x＜0或x＞1时，，于是②当0≤x≤1时，只有0≤y≤x时，,于是同理，可求出Y的边缘分布例3 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中考研教育网求X的边缘密度解区域D实际上是以（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1）为顶点的正方形区域（见图3.9），其边长为，面积，因此（X，Y）的联合密度是即（2）正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即考研教育网。
(二维随机变量的边缘分布)
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
Oy Biblioteka x2x由于6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
第3章 多维随机变量及其分布
第3章 多维随机变量及其分布
3.2 二维随机变量的边缘分布
二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息: 1. 每个分量的信息，即边缘分布; 2. 两个分量之间的关系程度，即相关系数; 3. 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分 布; 本节先讨论边缘分布．
3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数
0
0dx
x 6( x x2 )dx,
1,
0
0,
x0
3x2 2x3, 0 x 1
1,
其他
0 x 1, 其 他.
x0 0 x1 其他
【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度 fX(x)和fY(y)．
解：由于的概率密度为
f (x, y)
则称 f ( x1, x2 ,, xn ) 为 ( X1, X2 ,, Xn ) 的概率密 度函数.
(3) n维随机变量的边缘分布函数
FX1 ( x1) F ( x1,,,,) 称为 n 维随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 关于 X1 的边缘 分布函数.
FXi ( xi ) F (,, xi , ,..., )
边缘分布与联合分布的关系
边缘分布与联合分布的关系在统计学和概率论中，我们经常需要讨论数据的边缘分布和联合分布，这两种分布在概率论和统计学中都具有重要的意义。
边缘分布是指在多个随机变量之间，只考虑其中一个特定随机变量的概率分布，而联合分布则是指同时考虑多个随机变量之间的概率分布。
这篇文章将讨论边缘分布和联合分布之间的关系。
首先，让我们考虑一个简单的例子。
假设我们有两个随机变量X和Y，它们的联合分布可以用一个二维矩阵来表示，其中每个元素都表示X和Y同时取到某个值的概率。
例如，下面是一个二维矩阵，表示X和Y的联合概率分布：| X\Y | 0.5 | 1.0 | 1.5 ||------|----:|----:|----:|| 1.0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 || 2.0 | 0.1 | 0.2 | 0.1 || 3.0 | 0.2 | 0.1 | 0.0 |从上面的矩阵中，我们可以读出X和Y的联合概率分布。
例如，当X=1.0，Y=0.5时，它们同时发生的概率是0.1。
但是，我们也可能会对X和Y的边缘分布感兴趣。
边缘分布可以理解为只考虑一个随机变量的概率分布，而忽略其他随机变量的影响。
在这个例子中，对于X的边缘分布和Y的边缘分布，我们可以分别计算出如下的概率分布：X的边缘分布：从上面的表格中，我们可以看出X和Y的边缘分布分别是什么。
例如，当X=1.0时，它的概率是0.4，这意味着如果我们只考虑X这个随机变量的取值，那么X等于1.0的概率是0.4。
同样地，对于变量Y也是如此。
那么边缘分布和联合分布有什么关系呢？答案是，通过联合分布可以计算出边缘分布。
具体来说，对于两个随机变量X和Y，我们可以通过它们的联合概率分布来计算它们的边缘概率分布。
方法如下：X的边缘分布：P(X=x) = ΣyP(X=x,Y=y)其中，Σ是求和符号，x和y分别代表X和Y的可能取值。
例如，对于上面给出的联合分布，我们可以计算出X的边缘分布如下：P(X=1.0) = P(X=1.0,Y=0.5) + P(X=1.0,Y=1.0) + P(X=1.0,Y=1.5) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6从上面的计算结果可以看出，我们可以通过联合概率分布来计算出边缘概率分布。
联合分布函数与边缘分布函数的关系解读.
0
0 P{ y Y y }
存在, 则称此极限为在条件Y=y下, X的条件分布函数,
记作 P{X x Y y} 或 FX Y ( x y).
lim P{ X x y Y y } lim P{ X x, y Y y }
0
0 P{ y Y y }
F(x, y ) F(x, y)
联合分布、边缘分布、条件分布的关系
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布, 求
fX Y ( x y), fY X ( y x) .
r
2
x
2
•
x
-r
r
•
r2 x2
例4 已知( X ,Y ) ~ N 1,12; 2, 22; , 求 f X Y ( x y) .
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
得
6( fY ( y)
y y), 0,
0 y 1, 其他.
例6 设(X,Y)在区域 G {(x, y) 0 x 1, y x}上服从 均匀分布,求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.
例7 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2
ρ
(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
x , y , 其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1. 试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .
303 二维连续型随机变量的联合分布密度以及边缘密度
0
0
( ) ( ) = 1 − e−3 1 − e−8
二、边缘分布(密度)
二维随机变量 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘分布函数为
FX= ( x) P ( X ≤= x ) P ( X ≤ x,Y ≤ +∞ )
= F ( x, +∞)
y
( ) x
+∞
∫ ∫ =
f (u, v)dv du
−∞ −∞
区域 G 内的概率为
∫∫ f ( x, y)dxdy.
G
∂2F(x, y)
在 f ( x, y) 连续点有 ∂x∂y = f ( x, y).
例子: 设 ( X ,Y )的概率密度函数为
12e −(3 x+4 y) , x > 0, y > 0;
f ( x, y) =
0
;其他.
求 P ( X ≤ 1, Y ≤ 2).
−∞ −∞
x
∫ ∫ =
+∞
dx
0
+∞ Cfe(−x( 3, xy+)4 y)
0
dy
∫ ∫ = C +∞ e −3 xdx +∞ e −4 ydy = C
0
0
12
从而 C = 12.
设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量, 密度函数为
f ( x, y). G为平面区域, 则随机点 ( X ,Y ) 落在
若存在 f ( x, y) ≥ 0 对任意的 ( x, y) 都有
x
y
∫ ∫ F ( x, y) = dxu f (ux, vy))ddvy
−∞
−∞
则称 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量, f ( x, y)
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摘要
本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。
利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。
将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。
运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。
本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。
关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布
Abstract
In this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.
Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution
目录
摘要...........................................................................................................................I Abstract......................................................................................................................... II 1 随机变量独立性及其判定. (1)
1.1 随机变量独立性定义 (1)
1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)
1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)
1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)
1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)
1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)
1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)
1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)
1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)
2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)
2.1 二维随机变量的分布函数 (16)
2.2 二维离散型随机变量 (17)
2.3 二维连续型随机变量 (18)
2.4 随机变量的独立性 (18)
2.5条件分布 (19)
2.6 二维随机变量函数的分布 (20)
结论 (21)
致谢 (21)
参考文献 (22)
0 引言
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。
由于随机现象的普遍性，使得其在现实生活中具有极其广泛的应用，特别是在科学技术、工业和农业生产等方面。
随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。
根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。
而随机变量则是指随机事件的数量表现，随机变量的独立性是概率统计中最基本的概念之一，无论在科学理论研究还是在社会生产、生活等实际的应用中都具有非常重要的意义。
当前概率论和数理统计很多已有的研究成果都是在随机变量独立性的前提下得到的，因而对随机变量独立性的研究具有非常重要的现实意义。
1 随机变量独立性及其判定
1.1 随机变量独立性定义
在我们研究随机变量独立性判定时，首先我们需要了解什么是随机变量独立独立性，当然在此之前我们需要了解一个更为具体的概念，即什么是随机变量。
随机变量表示随机试验中各种结果的实值单值函数。
如某一时间段经过火车站安全门的人数，传真机在一定时间内收到的传真次数等等，都是关于随机变量的实例。
1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义
定义1.1.1设为概率空间，为上定义的实值函数，如果有
则称为随机变量。
随机变量是上关于可测的实值函数。
一般我们省略，将等简写成等。
随机变量在不同条件下因为偶然因素的影响，其取值可能不同，即随机变量具有不确定性、随机性。
引入了刻画随机事件之间关系的随机事元的关系事元的概念.利用关系元刻画随机事件之间的关系更加全面、简洁、方便，特别是利用关系元研究二维离散型随机变量的两个随机变量之间的关系，可通过可拓推理方法寻找变换T，使两个随机变量的相关程度或独立性发生传导变换，进而为涉及二维随机变量的分布律和边缘分布律的矛盾间题，提供一种解决的途径。
同样的方法，也可用于研究二维连续型随机变量的两个随机变量之间的关系。
定义1.1.2 设为概率空间上的个随机变量，若其联合分布函数等于各自的边缘分布函数之积，即
称相互独立。
1.1.2随机变量独立性的两个简单定理
定理1.1.1
如果随机变量相互独立，则其中任何一部分随机变量仍然独立。
值得注意的是，解法一是根据联合分布的协方差的一般求法来解的，而当联合密度函数为连续函数时，根据重积分的相关知识二重积分的积分顺序是可以交换的，并不会影响最终结果，所以在计算联合分布中单个
随机变量的数学期望时，可直接利用联合密度函数进行计算，而无须先求边。