费马点及其在中考中的应用

费马点及其在中考中的应用

一、费马点的由来

费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．

二、探索费马点

1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．

下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC，

作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．

则△APC≌△AP′C′，

∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°．

∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′，

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC．

所以A是费马点．

图1 图2

2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为

120°的点．

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′BP′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形．

因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC 为最小．

当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°，∴∠BPC=120°．

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．

三、费马点的简单应用

近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子．

例1(2009浙江湖州--25)

若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．

(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，

则PB的值为________；

(2)如图3，在锐角△ABC外侧作等边△ACB，连结BB′．

求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．

解：(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°，∴∠PBA=∠PCB．又∠APB=∠BPC=120°，

∴△PBA∽△PCB，则PB2=PA×PC=12，即PB=2．

(2)证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，连结AP，再在PB′上

截取PE=PC，连结CE．

∵PC=CE，AC=CB′，∠PCA=∠ECB′，

∴△ACP≌△B′CE．

∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′．

∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，

∴P为△ABC的费马点，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．

例2 (2009北京) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)，

C(0，4)，延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB，交BC的延长线于点E．

(1)求D点的坐标；

(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过B点的直线

y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式；

(3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿

y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)

【析】本题第三问要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明．如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到．而用费马点的知识就能轻松找出这个G点．

由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0，6)，所以，本题第三问便可以转化为：AO⊥OM于点O，AO=6，MO=6，G点从M出发，向O点运动到达G点后，再沿GA到达A点．若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置．

(如图5，G点按照上述要求到达A点所用的时间为t)

解法一：方程解法

设GO=x，则MG=6-x，AG=，

则t=，

移项平方得：3x2+(12-4t)x +36+24t-4t2=0，

∵方程有解，

Δ=(12-4t)2-12(36+24t-4t2)≥0 解得t≥6，

将t=6代回方程，求出x=2时，t最小．

解法二：费马点解法

如图6，要使MG+AG最小，即使MG+2AG最小．

作A关于MO的对称点A'，

则MG+2AG=MG+AG+A'G，

即MG+AG+A'G最小．故G为△AA'M的费尔马点．作∠GAO=30°，交MO 于G点，则∠AGM=∠A'GM=∠AG A'=120°，故G点为所求．OG=2．由此利用费马点的解法可以看出：

当动点G在OM上的运动速度是在AG上的2倍的时候，动点的位置与MO 的长度无关，与AO的长度有关，GO长是AO长的倍．

2009北京中考25题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考）

Q

N O M

G

K

B

A

其中K为DE与y轴的交点，由前两个问题容易得知ABK

为等边三角形，G为y轴上的任意一点，作