高三数学9月月考试题理1
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题
的不等式 (x 2) f x f 7 的解集为（ ）
A．x 1 x 2 或 x 4 C．x 1 x 4
B．x x 7 D．x x 1或 2 x 4
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6．已知函数
f
x
x2
a x
2ax, x 2
4
的最大值为 ,x 2
2x
1，则实数
a
的值为（
）
两点，且 A，B 两ห้องสมุดไป่ตู้的横坐标分别为 3 ， 5 . 5 13
(1)求 cos 的值；
(2)求 sin 2 cos2 的值. 1 cos 2
18．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据
以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v
(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为
D．若 g x f x 1 ax2 在 x 0 处取得极小值，则 a 0 或 2
2
11．已知函数 f x log1 ax2 3ax 2 ，下列说法正确的是（ ）
3
A．若 f x 值域为 R ，则 a 8
9
B．若
f
x
定义域为
R
，则
a
0,
8 9
C．若 f x 最大值为 0，则 a 4
v 10
3
1
(升)，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度
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v 为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总
2 用氧量为 y (升). (1)求 y 关于 v 的函数关系式；
(2)若 c v 15c 0 ，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少.
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。
湖北省沙市2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含解析
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合{}215=∈<N M x x ，若{}05⋃=≤<M N x x ，则集合N 可以为（）A.{}4 B.{}45≤<x x C.{}05<<x x D.{}5<x x 2．若复数232022202320241i i i i +i i z =-+-++- ，则z =（）A.B.C.1D.23．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为60︒，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．12br B ．12b- C ．32b- D ．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.155．已知,(0,π)αβ∈，且cos 5α=，sin()10αβ+=，则αβ-=（）A ．4πB ．34πC ．4π-D ．34π-6．已知函数2()()ln 0f x x ax b x =++≥恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．函数()ln 1f x x =-与函数()πsin 2g x x =的图象交点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波拉契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为1122n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log1(14(xx x⎡⎤⎣-⎦-<+的正整数解，则n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．已知数据12310x x x x、、、、，满足：()12210i ix x i--=≤≤，若去掉110x x、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P xσ>=，若()0.34P x a<=，则0.5a=C．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i ix y i=的线性回归方程为 23y x=+，若6130iix==∑，则6163iiy==∑D．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1DD的中点，F为正方形11C CDD内一个动点（包括边界），且1//B F平面1A BE，则下列说法正确的有（）A．动点FB．1B F与1A B不可能垂直C．三棱锥11B D EF-体积的最小值为13D．当三棱锥11B D DF-的体积最大时，其外接球的表面积为25π211．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,A B 两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN NF=，则（）A．lB．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF2D．2||BF FA FD⋅>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“[]1,4x∃∈使20040x ax-+>”为假命题，则实数a的取值范围为___________.13．在ABC∆中，BC=，∠3Aπ=，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BF BC=，则AE AF⋅的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为()1,2,,7ia i= ，若47a=，123567a a a a a a++<++，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()4sin sin sin -=-A b B c A B .（1）求a 的值；（2）若ABC △的面积为()22234+-b c a ，求ABC △周长的取值范围.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21na nb =-，若数列{}nc 满足11n n n n b c b b ++=⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()12n T n λ-+≤恒成立，求λ的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,22OB OO AB AC ====.(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值；(3)求点G 到直线OD 距离的最大值.18．已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >，且)*n ∈N ，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(1)求E 的方程；(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0n Q t n ∈N ，设2nn p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21n b n n =-∈N ，求211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑.19．如果函数的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x ⎰=，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线=op ，直线x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C ⎰=+，其中C 为常数；()()2202204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，，其中Rm ∈，对[)0,a b ∞∀∈+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.1．C2．C 【详解】()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++C6．B 【详解】∵()0f x ≥恒成立，设2()g x x ax b =++，则当1x >时()0g x ≥，01x <<时()0g x <，∴(1)0g =⎧⎨≤，即101a b a b++=⇒=--⎧⎨≤，∴1a ≥-11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为x 则11,,0,242xy p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝可知MNF 为等边三角形，即且MN ∥x 轴，可知直线则直线:32p l y x ⎛⎫=- ⎪12．【详解】因为“0使00”为假命题，所以“[]1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，其等价于4≥+a x x在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.13．11814．360【解析】∵12345621+++++=，∴310S ≤，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360A A ⨯⨯=个这样的数列。
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案
江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。
贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案
数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试卷[含答案]
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数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（ ）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（ ）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（ ）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
忻州市2024年9月月考高三数学试题与答案
忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,22.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.23.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.236.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.17.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165 B.167C.169 D.1718.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f = B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.17.已知函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x fx f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3m n的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ==.（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240e f x -<<忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,2【答案】B【分析】根据题意求集合,A B ，进而求交集即可.【详解】令20x ->，解得2x <，则{}|2A x x =<，令240x -≥，解得22x -≤≤，则{}{}|220,1,2B x x =∈-≤≤=N ，所以{}0,1A B = .2.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等求,a b ，即可得结果.【详解】因为()()2i 1i 2i a b +-=+，则()212i 2i a a b ++-=+，可得2212a a b +=⎧⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以1a b +=.3.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.【详解】由题意可知：20,2x x x ∃>>的否定为20,2x x x ∀>≤.4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+【答案】B【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得.【详解】由2AP PB = ，则22AP AB AP =-，即23AP AB =uu u r uu u r ，则23PA AB =-，故23PD PA AD AB AD =+=-+.5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.23【答案】D【分析】根据期望的性质可得()4E ξ=，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可.【详解】因为()()3312E E ξξ==，即()4E ξ=，又因为随机变量(),B n p ξ~，且()43D ξ=，则()4413np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得623n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.6.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.1【答案】D【分析】根据题意利用基本不等式可得2()422x y x y xy +--=≤，解得2x y +≥，结合题意整理即可得最小值.【详解】因为0,0,24x y x y xy >>++=，则2()422x y x y xy +--=≤，当且仅当1x y ==时，等号成立，解得2x y +≥或4x y +≤-（舍去），所以()342122x y x y x y xy x y +--+-=+-=-≥.7.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165B.167C.169 D.171【答案】B【分析】由题意整理可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得121n a n =+，即可得结果.【详解】因为1122n n n n a a a a ++++=，可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，又因为12121a a a =+，即121121112a a a a +==+，即21112a a -=，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是2为公差的等差数列，且317a =，则131122743a a =-⨯=-=，可得()132121n n n a =+-=+，即121n a n =+，所有10031320167a ==.8.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 【答案】D【分析】根据题意同构可得()()22eln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e xax ≥，参变分析可得2e x a x ≤，构建()2e ,0xh x x x=>，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.【详解】由题意可知：()()2e2ln ln 0xf x a x x a =+---≥，整理可得()()22e ln e ln x x ax ax +≥+，设()ln ,0g x x x x =+>，则()110g x x=+>'，可知()g x 在0,+∞内单调递增，由题意可知：()()2exg g ax ≥，则2exax ≥对任意∈0,+∞内恒成立，可得2e xa x ≤对任意∈0,+∞内恒成立，设函数()2e ,0x h x x x =>，则()()2221exx h x x -'=，令ℎ'>0，解得12x >；令ℎ'<0，解得102x <<；可知ℎ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递增，可知ℎ的最小值为12e 2h ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得02e a <≤，所以a 的取值范围为(]0,2e .【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得()()22e ln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e x ax ≥.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()(12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣【答案】AD【分析】由题意可得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解出即可得A ；借助整体思想与正弦函数的单调性可得B ；由题意可得21x x -的最小值为原函数的最小正周期，即可得C ；结合原函数在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域及其性质可得D.【详解】对A ：由题得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，所以()ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<，所以π6ϕ=，故A 正确；对B ：当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7ππ13π2666x ≤+≤，所以()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误；对C ：21x x -的最小值为最小正周期π，故C 错误；对D ：当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2663x ≤+≤，所以a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣，故D 正确.11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f =B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑【答案】ACD【分析】对A ：结合奇函数的性质，负值0x =代入计算即可得；对B ：由()1f x '+为奇函数可得()1f x +为偶函数，再利用偶函数的性质结合A 中所得可得()()2f x f x +-=；对C ：由B 中所得()()22f x f x ++=，即可得()()4f x f x =+，对其左右求导后结合周期性即可得；对D ：由C 中所得可得()f x 的周期，结合赋值法计算出一个周期内的和即可得.【详解】对A ：由()g x 为奇函数，可得()()21210f x f x +-+-+-=，即()()222f x f x ++-+=，令0x =，解得()21f =，故A 正确；对B ：由()1f x '+为奇函数可得，则()1f x +为偶函数，所以1+=1−，所以()()2f x f x =-，又()()222f x f x -++=，所以()()22f x f x ++=，又()()2f x f x -=+，所以()()2f x f x +-=，故B 错误；对C ：由()()22f x f x ++=可得，()()242f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，求导可得，()()4f x f x ''=+，故'的一个周期为4，故C 正确；对D ：由()()4f x f x =+，故()f x 的一个周期为4，因为()()222f x f x -++=，令1x =可得，()()132f f +=，令2x =可得，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，所以202412024()420244k f k ==⨯=∑，故D 正确.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.【答案】2【分析】根据题意关系可得R r=，再结合侧面积公式运算求解即可.【详解】设球的半径为R ，由题意可知：234ππ3r R ⨯=⨯，解得R r =，223622R r ⎫===⎪⎭.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.【答案】【分析】借助两角差的正切函数公式化简并计算可得tan 3α=，然后利用正切函数定义即可得解.【详解】π1tan 5tan tan tan 41tan 2ααααα-⎛⎫+-=+=⎪+⎝⎭，整理得()()tan 32tan 10αα-+=，因为π02α<<，所以tan 0α>，所以tan 3α=，则310sin 10α==.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.【答案】2242133x y +=【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据垂直关系的坐标运算以及两点斜率公式，即可求解4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可求解.【详解】由已知条件可知,,0,a b a b >≠，联立2211x y ax by +=⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得：()2210a b x bx b +-+-=，设1,1,2,2，则1212Δ021b x x a b b x x a b ⎧⎪>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩,则()()()1212121222111a y y x x a b a y y x x a b ⎧+=-+=⎪⎪+⎨-⎪=--=⎪+⎩，由OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，又因为2OM k =，所以1212121222220OM y y a k x x b a b x x y y a b +⎧⎪===⎪+⎪⎨⎪+-⎪+==⎪+⎩，解得4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以椭圆的方程为2242133x y +=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面11BB C C ，即可得1AC BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得证；（2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【小问1详解】侧面11BCC B 为正方形，11BC B C ∴⊥，直三棱柱1111,ABC A B C AC CC -∴⊥，111,,,,AC CC AC BC BC CC C BC CC ⊥⊥⋂=⊂ 平面11BB C C ，AC ∴⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ，1AC BC ∴⊥1111,,,BC B C AC B C C AC B C ⊥=⊂ 平面1AB C1BC ∴⊥平面1AB C ；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系1C ABC -，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2C A B B C .又由()()11,2,0,0,2,2AB BC =-=- ，设平面1ABC 的一个法向量为 =s s ，则有120220n AB x y n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，则2,1x z ==，于是()2,1,1n =，又由()1111,2,2,2,3,AB AB n AB n =-⋅=== 设直线1AB 与平面1ABC 所成的角为θ，所以1116sin cos ,9AB n AB n AB n θ⋅===⋅ ，故直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值为9.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.【分析】（1）根据周期求解2ω=，利用对称可得π3ϕ=，即可求解；（2）平移可得()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可利用整体法，结合三角函数的性质即可求解.【小问1详解】设()f x 的最小正周期为T ，则ππ22T ω==，所以2ω=，因为()π2π3k k ϕ⨯+=∈Z ，所以()2ππ3k k ϕ=-∈Z ，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】依题意，()ππππsin 2sin 2121236g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m ≤+≤+，当π6m <时，()g x 的最大值为()g m ，最小值为()102g =，不符题意；当π6m ≥时，()g x 的最大值为1，所以()g x 的最小值为1-，所以π3π262m +≥，解得2π3m ≥，所以m 的最小值为2π3.17.已知函数()f x 是()(0x g x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x f x f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3mn的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.【分析】（1）由题意可得()log a f x x =，()()2log 2log 1a a F x x x =--，结合题意解得2a =，进而可得22log 6,log 3m n ==，结合换底公式运算求解；（2）换元令log a t x =，根据二次函数值域结合t 的值域特征分析可得[]2,2t ∈-，列式求解即可.【小问1详解】因为函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，则()log a f x x =，即()()2log 2log 1a a F x x x =--，则()()24log 42log 411a a F =--=-，解得log 42a =或log 40a =（舍），可得2a =，即()2log f x x =，()2x g x =，又因为()()26log 6,23nf mg n ====，即22log 6,log 3m n ==，所以232log 6log 6log 33336mn ===.【小问2详解】由（1）可知：()()2log 2log 1a a F x x x =--，且1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令log a t x =，则[]log 2,log 2,(01a a t a ∈-<<时)或[]log 2,log 2,(1a a t a ∈->时），可得221y t t =--，若函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，可知221y t t =--的最小值2-，最大值7，令2212y t t =--=-，解得1t =；令2217y t t =--=，解得2t =-或4t =；且log 2a 与log 2a -互为相反数，可知[]2,2t ∈-，则log 22a -=或log 22a =，解得22a =或a =，综上所述，a =或.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ== .（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；（2）（i ）设D 为AB 的中点，结合重心的性质及向量运算可得1133CG CM CN λμ=+ ，再利用三点共线定理即可得解；（ii ）由题意可得ABC V 为等边三角形，可设其边长为1，则可用,λμ表示两三角形周长之比，结合（i ）中所得与基本不等式即可得解.【小问1详解】由题可知()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A B C A B A B A B+=--=-+=-=-又()0,πC ∈，所以π3C =；【小问2详解】（i ）设D 为AB 的中点，则1122CD CA CB =+ ，又因为23CG CD = ，所以11113333CG CA CB CM CN λμ=+=+ ，因为,,M G N 三点共线，所以11133λμ+=，所以113λμ+=；（ii ）由CA CB =，π3C =，可得ABC V 为等边三角形，设ABC V 的边长为1，CMN 与ABC V 周长分别为12,C C ，则23C =，MN =，所以1C λμ=++，所以12C C =由113λμ+=可得，3λμλμ=+≥（当且仅当λμ=时等号成立），解得49λμ≥，所以124293C C λμ=++，所以CMN 和ABC V 的周长之比的最小值为23.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240ef x -<<.【分析】（1）求导，利用导数求()f x 的单调性和极值；（2）（i ）求导可得()()()1ln f x x a x a x x a ⎡⎤=+++⎣⎦+'，构建()()()ln g x x a x a x =+++，由题意可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i ）可知，121e a x a -<<-，且()()()2111ln f x x a x a =-++，构建()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，利用导数求最值即可.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =，可知()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当()0f x '>；可知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 的极小值为11e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.【小问2详解】（i ）由题意可得：()f x 的定义域为(),a -+∞，且()()()()1ln ln x f x x a x a x a x x a x a⎡⎤=++=+++⎣⎦++'，设()()()ln g x x a x a x =+++，可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，则()()2ln g x x a =++'，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<；当21,e x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；可知()g x 在21,e a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在21,e a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递增，则()g x 的最小值为2211e e g a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，则()0,ln 0x a x a +>+<，可得()()ln 0x a x a ++<，可得()()()ln g x x a x a x x a =+++<<-，即当x 趋近于a -时，()g x 趋近于a -，可得210e 0a a ⎧--<⎪⎨⎪->⎩，解得210e a -<<，所以实数a 的取值范围为21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）可知，121ea x a -<<-，且()()111ln 0x a x a x +++=，所以()()()()211111ln ln f x x x a x a x a =+=-++，设()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()()ln 2ln h x x x =-+'，因为210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h x '<，可知210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，且2214e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()240e h x -<<，所以()1240e f x -<<.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解。
甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含答案
高考模拟金典卷·数学（答案在最后）（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A. B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A.3- B.43-C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为2，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，sin 2cos 3B B =.（1）求A .（2）若5b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i ）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii ）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni n n αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.高考模拟金典卷·数学（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4【13题答案】【答案】①.31π②.125π【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3π；（2）20.【16题答案】【答案】（1）3a =-，1b =（2）增区间为(,1)∞--和(2,)+∞，减区间为(1,2)-，极大值为5e，极小值为2e -【17题答案】【答案】（1）23（2）分布列见解析，()1E X =【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【19题答案】【答案】（1）2122x y =+（2）（i ）证明见解析；（ii ）1221n n +---。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,|(1)(3)0A x x B x x x =>=+-<，则()A B =R I ð（ ） A ．()3,+∞B ．()1,-+∞C ．()1,3-D ．(]1,1-2．若复数()13i 3i z -=-（i 为虚数单位），则z z -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uu u r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ） A ．54B ．1C ．78D ．585．若两个等比数列{}{},n n a b 的公比相等，且1234,2b a a ==，则{}n b 的前6项和为（ ） A ．578B ．638C ．124D ．2526．若函数()sin f x x x ωω=(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．27．已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB V 面积的最小值为（ ）A ．6B ．112C ．92D ．6 8．已知函数y =f x 的定义域为R ，且f −x =f x ，若函数y =f x 的图象与函数()2log 22x x y -=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+ B ．若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C ．若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D ．若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos b c A =，内角A 的平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC =B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD △11．设函数()()2(1)4f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的极小值点B ．()()224f x f x ++-=-C ．不等式()4210f x -<-<的解集为{}|12x x <<D ．当π02x <<时，()()2sin sin f x f x >三、填空题12．在△ABC 中，若a ＝2,b ＋c ＝7,1cos 4B =-，则b =13．如果一个直角三角形的斜边长等于积为.14．已知函数()()0e 23xf x f x =-++'，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线e xxy =上，则PQ 的最小值为．四、解答题15．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．(1)若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值； (2)求ABC V 面积的最大值．16．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y ，求Y 的分布列、数学期望和方差；(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠=o ，点D 是棱11A B 的中点．(1)证明：AD BC ⊥；(2)求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()10F ,，直线l 经过点F ，且与C 相交于A ，B 两点，记l 的倾斜角为α. (1)求C 的方程；(2)求弦AB 的长（用α表示）；(3)若直线MN 也经过点F ，且倾斜角比l 的倾斜角大π4，求四边形AMBN 面积的最小值.19．如果n 项有穷数列{}n a 满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即()11,2,,i n i a a i n -+==L ，则称有穷数列{}n a 为“对称数列”.(1)设数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 成等差数列，且253,5==b b ，依次写出数列{}n b 的每一项；(2)设数列{}n c 是项数为21k -(k *∈N 且2k ≥)的“对称数列”，且满足12n n c c +-=，记n S 为数列{}n c 的前n 项和.①若1c ，2c ，…，k c 构成单调递增数列，且2023k c =.当k 为何值时，21k S -取得最大值? ②若12024=c ，且212024k S -=，求k 的最小值.。
绵阳南山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
2024年9月绵阳南山中学2024-2025学年秋高三上9月月考试题数 学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．若命题p ：x R ∃∈，2220x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2220x x ++> B ．x R ∀∈，2220x x ++< C ．x R ∀∈，2220x x ++>D ．x R ∀∈，2220x x ++≤3．若0a b c <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11c c a b-<- B ．2a b c +>C ．2ab c >D ．ac bc >4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，102a =，则14S =（ ） A ．49B ．63C ．70D ．1265．已知函数1()ln(1)f x x x b=+-为偶函数，则b =（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．16．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则mi n t 后物体的温度θ℃满足公式()010e ktθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）A ．ln2k =B ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需4minC ．2ln2k =D ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需2min 7．根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆy bx a =+，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=-B ．()1f x x=-C ．()3f x x x =+D ．()cos f x x x =-10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，且()26.6350.01P χ>=，则下列说法正确的是（ ）A ．饭前服药的患者中，药效强的频率为45B ．药效弱的患者中，饭后服药的频率为710C ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异11．已知函数()f x （x R ∈）是奇函数，()g x 是()f x 的导函数（x R ∈），()12f =且有()f x 满足()()222f x f x +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)0f =B ．函数()g x 为偶函数C ．(1)1g =D ．函数()g x 的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12．若1cos 3α=，()0,α∈π，则sin 2α= . 13．函数1()2sin (440)f x x x x x=--≤≤≠且的所有零点的和等于 . 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数 a = .四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5,7a b ==. (1)若8c =，求B ；(2)若ABC V 的面积为，求c .16．（15分）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且364n n S a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，求λ的取值范围．17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为 c m y ，测得一些数据图如下表所示:(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y 关于x 的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:()5521140, 5.53i i i i i x y y y ===-=∑∑.参考公式:相关系数()()niix x y y r --=∑ˆy bx a =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii nii ix x yy bay bx x x ==--==--∑∑.18．（17分）函数32()231f x x ax =-+.(1)若a =1，求函数()f x 在1x =-处的切线方程；(2)证明：存在实数a 使得曲线()y f x =关于点(1,3)-成中心对称图形； (3)讨论函数()f x 零点的个数.19．（17分）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()12120f x f x x x +++<.数学参考答案及评分标准二、 多选题12、913、0 14四、解答题 15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-== …………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=； ……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而sin C =…………………………………….……..8分若(0,)2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==12分从而8 c =或 …………………………………..13分 16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以 是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分 所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16， 因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，………………………………………………… …...14分所以λ的取值范围为[)7,17. …………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110ii x x =-=∑，……………………… …….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53==≈≈ ……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+． ………………………………………….…………..13分 当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分 18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分 （2） (1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a = …………………………………………………….……6分 现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分 即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心. ………………………………………. .9分 （3）2()666()f x x ax x x a '=-=-， 3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点； i)若01a <<，即3()10f a a =->， ()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分 ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分 iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分 3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>， x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点； …………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. ………………………….15分 而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分 综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。
浙江省金华市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案
金华2024学年第一学期高三9月月考数学试题卷（答案在最后）命题：高三数学组校对：高三数学组一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，利用交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .故选：C2.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D3.函数π()cos sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换得到()1πsin 2244f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，利用2πT ω=求出最小正周期.【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得()2ππ22cos cos sin sinsin cos sin 4422f x x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()1cos 21πsin 2sin 2cos 2sin 242244244x x x x x -⎛⎫=-⋅=+-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选：C4.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（）附：若随机变量Z 服从正态分布()2,,()0.68N P Z μσμσ-<≈.A.82B.78C.74D.70【答案】B 【解析】【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布()257.4,20.664N ，再利用正态密度曲线的轴对称性和百分位数的定义进行求解即可.【详解】根据题意得标准差为57.40.3620.664⨯=，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布()257.4,20.664N ，又因为0.6884%0.52=+，且()0.68P Z μσ-<≈，所以全体学生成绩的第84百分位数约为57.420.66478μσ+=+≈.故选：B .5.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，FA FB ⊥，2FA FB =，则l 的斜率是（）A.±1B.C.D.±2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到11,AA AF BB BF ==，可求得AH ，做1BH AA ⊥在直角三角形Rt ABH △中，可求得BH ，结合斜率的定义进行求解即可【详解】下图所示为l 的斜率大于0的情况．如图，设点A ，B 在C 的准线上的射影分别为1A ，1B ，1BH AA ⊥，垂足为H ．设22FA FB a ==，0a >，则AB =．而11AH AA BB AF BF a =-=-=，所以2BH a ==，l 的斜率为2BH AH=．同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．另一种可能的情形是l 经过坐标原点O ，可知一交点为O ，则FO FA ⊥，可求得2FA FO p ==，可求得l 斜率为2FA FO=，同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．故选：D6.某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成43~48 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A 、B 两点在水平方向的距离约为（）A.13mB.19mC.23mD.29m【答案】D 【解析】【分析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，由题意得出0b =，()()()300020010tan 1030f c f x ax cx f x ax c α⎧==-⎪⎪=+=-'⎨=+='⎪⎪⎩，求出02x ，即可得解.【详解】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，()232f x ax bx c '=++，在滑道最陡处，0x =，则()f x '的对称轴为直线0x =，则03ba-=，可得0b =，则()23f x ax c '=+，()3f x ax cx =+，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则()sin cos 120tan 2sin tan cos 2f c παπααπααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'==+==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，所以，()3tan x f x ax α=-，()213tan f x ax α'=-，由图可知()()2003000130tan 10tan f x ax x f x ax αα⎧=-=⎪⎪⎨='⎪-=-⎪⎩，可得0230tan x α=，4348α<< ，则()0230tan 29m x α=≈.故选：D.7.设,,A B C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为（）A.94-B.2- C.32-D.43-【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A 在平面xOy 中，设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影，利用向量不等式可得：()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，即可求解【详解】将正方体置于空间直角坐标系O xyz -中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影．可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= 则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 1133AB AC b c =⋅+uuu r uuu r，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +-=-≥- ，所以2AB AC ⋅≥-，当()1,1,0A ，11222b c b c -=-=，且330b c =时等号成立．故选：B【点睛】关键点点睛：本题形式简洁，但动点很多，且几乎没有约束条件，这时就需要学生对于动点所在的位置进行分类讨论，讨论的顺序、对于对称性的使用都对学生提出了很高的要求．从几何角度来看，点B ，C 不会位于A 所在面的一侧，故如果采用坐标形式计算数量积，一定会有一项是非负的，且可以取到0．找到这一突破口后，即可将问题转化为平面向量的问题，也就很容易得到结果了．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++<<+，11a =，n S 是{}n a 的前n 项和．若2024m S =，则正整数m 的所有可能取值的个数为（）A.48B.50C.52D.54【答案】D 【解析】【分析】根据11n n a a ++<可得11n n a a +<-，由累加迭代法可得n a n >，进而可得()14046m m +<，由122n n a a +<+得252,3n n a n -<⨯≥，进而根据等比数列的求和可得406225m <，两种情况结合可得1063,m ≤≤进而可求解.【详解】由11n n a a ++<，得11n n a a +<-，由累加法，当2n ≥时，=−K1+K2+⋅⋅⋅+211>1+1+⋅⋅⋅+1=，因此=1+2+⋅⋅⋅+>1+2+⋅⋅⋅+=2024>所以()14048m m +<，当63m =时，()14032m m +=，故63m ≤；由122n n a a +<+，得()2221321122222222222,a a a a a a <+⇒<+<++=++所以()2233243112222222222a a a a <+<+++=++，以此类推，得1122212222252,3n n n n n n n a a n -----<++=+=⨯≥，因此()12212145222m m m S a a a -<++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+，即()2121220245552512m m ---<+⨯=⨯--，得1202925m ->；又892256,2512==，所以19m -≥，即10m ≥；综上可知，1063m＃，故满足条件的正整数m 所有可能取值的个数为6310154-+=个.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式1122n n n a a a ++<<+将数列的通项公式通过放缩法和累加法可求得n a n >且252,3n n a n -<⨯≥，再由2024m S =解不等式即可得出正整数m 的所有可能取值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知()1,0A -，()3,2B，()2,1C -，ABC V 的外接圆为M ，则（）A.点M 的坐标为()1,1- B.M 的面积是5πC.点()4,3在M 外D.直线23y x =-与M 相切【答案】BC 【解析】【分析】根据垂直平分线计算交点得到圆心为()1,1，再计算半径为R =个选项得到答案.【详解】()1,0A -，()3,2B 的垂直平分线的斜率满足：131220AB k k +=-=-=--，()1,0A -，()3,2B 的中点为()1,1，故垂直平分线方程为()21123y x x =--+=-+；同理可得()3,2B，()2,1C -的垂直平分线方程为：1433y x =-+，231433y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，两条垂直平分线的交点为：()1,1，故圆心为()1,1，R ==，圆方程为()()22115x y -+-=.对选项A ：点M 的坐标为()1,1，错误；对选项B ：M 的面积是2π5π⨯=，正确；对选项C ：()()224131135-+-=>，正确；对选项D ：M到直线的距离5d ==<，相交，错误.故选：BC10.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X ，掷出点数之和为Y ，则（）A.事件“X 为奇数”发生的概率18B.事件“17Y <”发生的概率为5354C.事件“2X =”和事件“4Y =”相等D.事件“4X =”和事件“Y ＝6”独立【答案】ABC 【解析】【分析】利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断AB ；写出事件的所有基本事件判断C ；利用相互独立事件的定义判断D.【详解】对于A ，事件“X 为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为311()28=，A 正确；对于B ，事件“17Y <”的对立事件为“17Y =或18Y =”，而“18Y =”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为311(6216=，“17Y =”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为13311C (672=，因此()11531712167254P Y <=--=，B 正确；对于C ，事件“2X =”和事件“4Y =”包含相同的样本点(2,1,1,(1,2},1,(1),1,2))，因此是相等事件，C 正确；对于D ，事件“4X =”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1”，其概率为6121636=，事件“6Y =”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或者1个1，1个2和1个3”，其概率为1365216108++=，而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率31152167236108=≠⨯，D 错误．故选：ABC11.设1a >，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，()()()yf x f y a f x y -=-，()10f ≠，则（）A.()00f =B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.()()11n f n a n f +>+【答案】AD 【解析】【分析】运用赋值判定A;运用赋值结合反证法判定B;运用特例判定C;运用赋值加累加法判定D ．【详解】令y x =可知，()()()00xa f f x f x =-=，所以()00f =，A 正确；令1x =，1y =-得()()()1112f f f a--=，令1x =-，1y =得()()()112f f af --=-，则()()1220f af a+-=．若()f x 是奇函数，则()()22f f -=-，结合1a >知()20f =．而令2,1x y ==得()()()211f f af -=，所以()10f =，矛盾！，故()f x 不是奇函数，B 错误；取()()11xf x a a =-+>，则()()()yxyf x f y a a a f x y -=-=-，满足题设要求，但此时()f x 为减函数，故C 错误；由()()()211f f af -=，()()()2321f f a f -=，…，()()()11nf n f n a f +-=，累加可得()()121111n nf n a a a a f a ++-=+++=- ．设()()()()1111n n n F n aa a n a na n +=---+=-+-，()()()()111110n n n F n F n a a a a a ++-=--+=-->，故()()10F n F >=，即()()11n f n a n f +>+，D 正确．故选：AD.【点睛】知识点点睛：本题考查抽象函数、函数的基本性质、函数与不等式．抽象函数作为近年来的热门考点，以形式简洁、内涵丰富而常见于各大模拟卷及高考卷．本题属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于各数位均不为0的三位数abc ，若两位数ab 和bc 均为完全平方数，则称abc 具有“S 性质”，则具有“S 性质”的三位数的个数为__________．【答案】4【解析】【分析】先列出具有两位数，且每一位都不为0的完全平方数，然后根据题意组合即可.【详解】已知22416,525==2222636,749,864,981====经过组合可知：具有“S 性质”的组合有：16,64ab bc ==；36,64ab bc ==；64,49ab bc ==；81,16ab bc ==，此时的三位数分别为：164,364,649,816，共4个.故答案为：413.过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60o 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.【答案】2【解析】【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积.【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60o的直线过右焦点，由双曲线2213x y -=可得渐近线方程为3y x =±，双曲线的半焦距为2c =，故右焦点坐标为()2,0F ，过倾斜角为60o的直线方程为)2y x =-，由)23y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得交点坐标为(A ，由)233y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩可得交点坐标为3,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，倾斜角为60o的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为12222⎛⎫⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：2.14.已知四面体ABCD 各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC ⊥平面BCD ，直线AD 与BC 所成的角为90︒，则该四面体体积的最大值为_________________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探求四面体体积的表达式，并确定体积最大时四面体的结构特征，结合球半径、球心O 到平面ABC 和平面BCD 的距离及BC 长表示出最大体积的关系式，再利用均值不等式、导数求最值求解作答.【详解】在ABC V 中，过A 作AH BC ⊥于H ，连接DH ，因为AD BC ⊥，,,AH AD A AH AD =⊂ 平面ADH ，则⊥BC 平面ADH ，显然DH ⊂平面ADH ，有DH BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，则90AHD ∠= ，四面体ABCD 的体积1136AHD V S BC BC AH DH =⋅=⋅⋅ ，当BC 长固定时，DH 经过DBC △的外接圆圆心2O 时，DH 最大，此时H 为BC 中点，并且AH 经过ABC V 外接圆圆心1O ，四面体ABCD 的体积V 最大，令四面体ABCD 外接球球心为O ，连接12,OO OO ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面BCD ，令1122,,2OO d OO d BC a ===，显然四边形12OO HO 是矩形，于是222222129d d a OH CH OC ++=+==，且21AH d DH d ==+，21(AH DH d d ⋅=≤9d d =+21d d +=，即21d d =时取等号，此时21d d ==，929AH DH ⋅=+=，因此1(93V a ≤，令()(93f a a a =+<<，4()9f a '=+，由()0f a '=，得a =0a <<()0f a '>3a <<时，()0f a '<，因此()f a 在上单调递增，在上单调递减，所以当a =()f a 取得最大值f =V 的最大值为故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知()sin f x x a x =+，曲线()y f x =在点()π,πP 处的切线斜率为2.（1）求a 的值；（2）求不等式()()1320f x f x ++->的解集.【答案】（1）1-（2）(),4-∞【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；（2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可.【小问1详解】由已知()sin f x x a x =+，得()1cos f x a x =+'，又函数=在点()π,πP 处的切线斜率为2，即()π1cos π12f a a =+=-='，解得1a =-；【小问2详解】由（1）得()sin f x x x =-，()1cos f x x =-'，则()1cos 0f x x ='-≥恒成立，即()f x 在R 上单调递增，又()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-，即函数()f x 为奇函数，由()()1320f x f x ++->，可知()()()13223f x f x f x +>--=-，即123x x +>-，解得4x <，即不等式的解集为(),4∞-.16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足1,EF l EF BB ⊥⊥.（1）证明：⊥EF 平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的余弦值为63，求该三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得11B C ∥l ，再结合线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果.【小问1详解】由三棱台111ABC A B C -知，11B C ∥平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C ∥l ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又11,EF BB BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以⊥EF 平面11BCC B ；【小问2详解】取BC 中点M ，连接AM ，以A 为原点，AM 为y 轴，1AA 为z 轴，过点A 做x 轴垂直于yOz 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()()()()113,33,0,2,3,,6,0,0,1,3,,B B h CB BB h ==-设平面11BCC B 的法向量为 =s s ，则100CB n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即6030x x zh =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =，可得平面11BCC B 的一个法向量(0,3n h = ，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，23,31m n n h m ⋅==+=，所以23cos ,31m nm n m n h ⋅==⋅+⨯由6cos 3θ=，得3sin 3θ=，由（1）知EF∥n，所以233sin cos ,|331m n h θ===+⨯，解得6h =(11923V h s s ss +'='=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知,,a b c 成公比为q 的等比数列．（1）求q 的取值范围；（2）求tantan 22A C的取值范围．【答案】（1）5151,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭（2）135,32⎡⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可；（2）利用正弦定理、余弦定理化简根据q 的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解.【小问1详解】由题意知2,b aq c aq ==，根据三角形三边关系知：22222201110q q q a aq aq q qa aq aq q q aq aq a q >⎧+>⎧⎪⎪+>+>⎪⎪⇒⎨⎨+>+>⎪⎪⎪⎪+>>⎩⎩，解得11,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）及正弦定理、余弦定理知：222222221sin 1cos 2tan tan 221cos sin 12a b c A C A C a a c b a aq aq ab c b a A C c a c b a aq aq bc +---+-+-=⋅=⋅==+-++-+++222122111111q q q q q q q q q+-==-=-++++++，由对勾函数的性质知：()11f q q q=++在1,12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭上单调递减，在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以())111f q q q ⎡=++∈⎣，则2131,1321q q⎡-∈⎪⎢⎪⎣⎭++，即tantan 22A C的取值范围为13,32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(A ，且C 的右焦点为()2,0F ．（1）求C 的方程：（2）设过点()4,0的一条直线与C 交于,P Q 两点，且与线段AF 交于点S ．（i ）若AS FS =，求PQ ；（ii ）若APS △的面积与FQS 的面积相等，求点Q 的坐标．【答案】（1）22184x y +=（2）（i ）5PQ =；（ii ）2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入椭圆方程，再由222a b c =+的关系式即可得出结果；（2）（i ）由AS FS =可知S 为AF 的中点，即可得2,2S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求出直线PQ 的方程并与椭圆联立，利用弦长公式即可得出结果；（ii ）易知直线SF 平分PFQ ∠，由两三角形面积相等以及三角形相似可证明//PF AQ ，再由点Q 在线段AF 的垂直平分线上，与C 的方程联立可得2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【小问1详解】根据题意有221(0)42a b a b+=>>，且由椭圆的几何性质可知22224a b c b =+=+，所以228,4a b ==.所以C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】（i ）如下图所示：若AS FS =可得，S 为AF的中点，可得2,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即PQ的斜率为202244PQ k -==--，所以直线PQ的方程为()44y x =--；设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线和椭圆方程可得252404x x --=，所以1212168,55x x x x +==-，即可得5PQ===因此可得5PQ =；（ii ）显然PQ 的斜率存在，设PQ 的方程为()4y k x =-，代入C 的方程有：()222221163280kx k x k +-+-=，其中Δ0>.则可得2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，以下证明：直线SF 平分PFQ ∠，易知AF x ⊥轴，故只需满足直线FP 与FQ 的斜率之和为0.设,FP FQ 的斜率分别为12,k k ，则：()()()()121212121212121244242222224k x k x k x x y y k k k x x x x x x x x --+-+=+=+=------++，()()1212121238224x x x x k x x x x -++=⨯-++，代入2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，有120k k +=，故直线AF 平分PFQ ∠，即AFP AFQ ∠=∠.因为APS △的面积等于FQS 的面积，故SA SP SF SQ =，即SA SQ SFSP=，故//PF AQ .故,AFQ AFP FAQ AQ FQ Q ∠=∠=∠⇒=在线段AF 的垂直平分线上.易知线段AF的垂直平分线为2y =，与C 的方程联立有27x =，故Q的坐标为2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.设5n ≥为正整数，120n a a a <<<< 为正实数列．我们称满足j i k ja a r a a -=-（其中1≤<<≤i j k n ）的三元数组(,,)i j k 为“r -比值组”.（1）若5n =，且{}n a 为等差数列，写出所有的1-比值组；（2）给定正实数r ，证明：中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个；（3）记r -比值组的个数为()n f r ，证明：2()4n n f r <.【答案】（1）(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由15i j k ≤<<≤以及等差数列性质得1j i k ja a j ia a k j--==--，进而根据r -比值组的定义对i 和相应j i -的取值进行分类讨论即可得解.（2）依据题意得,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，接着由4j =得i 的取值有三种即可得证.（3）由,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，再对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n n jj f r g r -==∑即可得证.【小问1详解】因为{}n a 为等差数列，设其公差为d ，若5,1n r ==，则15i j k ≤<<≤，()()1j i k ja a j i d j ia a k j dk j---===---，所以当1i =且1j i -=时，2j =，1k j -=即3k =，此时1-比值组为()1,2,3；当1i =且2j i -=时，3j =，2k j -=即5k =，此时1-比值组为()1,3,5；当1i =且3j i -=时，4j =，3k j -=即7k =，不符合；当2i =且1j i -=时，3j =，1k j -=即4k =，此时1-比值组为()2,3,4；当2i =且2j i -=时，4j =，2k j -=即6k =，不符合；当3i =且1j i -=时，4j =，1k j -=即5k =，此时1-比值组为()3,4,5；当3i =且2j i -=时，5j =，不符合；当4i =且1j i -=时，5j =，不符合；综上，若5n =且{}n a 为等差数列的所有的1-比值组为(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5).【小问2详解】因为120n a a a <<<< ，1≤<<≤i j k n ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，因为4j =，所以2i =或3或4共三种取法，所以中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个.【小问3详解】对给定的()1j j n <<，满足1≤<<≤i j k n ，且j i k ja a r a a -=-①的三元数组的个数记为()j g r ，因为120n a a a <<<< ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得①成立，因为i j <，所以i 值有1j -种取法，故()1j g r j ≤-，同理，若当,j k 固定时，则至多有一个i 使得①成立，因为j k <，所以k 值有n j -种取法，故()j g r n j ≤-，所以(){}min ,1j g r n j j ≤--，当n 为偶数时，设2,N n m m *=∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当121m j m +≤≤-时，(){}min ,12j g r n j j n j m j ≤--=-=-，所以()()()121221()n m m n jjj j j j m f r g r g r g r --===+==+∑∑∑()()()()()2121121211221mm j j m j m j m m m -==+≤-+-=++⋯+-+-+-+⋯++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()22211224m m m m n m m m --=+=-<=，当n 为奇数时，设21,N n m m *=+∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当12m j m +≤≤时，(){}min ,121j g r n j j n j m j ≤--=-=+-，则有()()()()()12222121()121n mmmmn j j j j j j j j m j j m f r g r g r g r g j g m j-===+==+==+≤-++-∑∑∑∑∑()()()()()22111211221224m m m m n m m m m m -+=++⋯+-++-+-+⋯++=+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以综上，记r -比值组的个数为()n f r ，则2()4n n f r <.【点睛】关键点睛：求证2()4n n f r <的关键1是得出,i j 固定时至多有一个k 使得j i k j a a r a a -=-成立，从而结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，关键2是明确到()21j j n ≤≤-影响到,1n j j --的大小，而n 的奇偶性影响()12n jj g r -=∑的取值，进而对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n nj j fr g r -==∑并将()12n j j g r -=∑分成两部分计算即可得证.。
金华一中高三9月月考数学试卷(理科)及答案
金华一中高三9月月考数学试卷理科试题命题人：徐志平 校对：孔小明一、选择题（下列各小题的四个答案中仅有一个是正确的，请将正确答案填入答题纸的表格中，每小题5分，50分）1．已知集合{}{}2540,1,2,3,4,M x Z x x N =∈-+<=则MN =( ).A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}2,3D ．{}1,2,42. 函数()22x xf x -=+的图象关于 对称. ( )A. 坐标原点B. 直线y x =C. x 轴D. y 轴3. 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的 ( )A. 必要而不充分条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 充分而不必要条件4. 已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为（ ） A ． 23 B. 23- C. 1811D. 29-5．已知命题p ：在△ABC 中，“C B >”是“sin sin C B >”的充分不必要条件；命题q ：“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p q ∨”为假D ．“p q ∧”为真6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 7.若当x R ∈时，函数()xf x a =始终满足0()1f x <≤，则函数1log ayx=的图象大致为( )8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( ) A. 10 B. 12 C. 100 D. 102 9. 设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ） A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增 B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减 C ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递增 D ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递减10．已知函数b ax x x f +-=2)(2 )(R x ∈，给出下列命题：（1）)(x f 必是偶函数； （2）当)2()0(f f =时，)(x f 的图象关于直线1=x 对称；（3）若02≤-b a ，则)(x f 在区间[),+∞a 上是增函数； （4）)(x f 有最大值b a -2.其中正确．．的命题序号是（ ） A.（3） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（2）（3）二、填空题：把答案填在答题纸相应题号后的横线上（本大题共7小题，每小题4分，共28分）.11. 知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是顶角为0120的等腰三角形， 则该三棱锥的体积为_____________． 12.若存在．．实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 . 13．设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切．．0x ≥成立,则a 的取值范围为________.14．已知z=2x +y ，其中x ，y 满足,2,,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 。
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B =I （ ） A ．(2,3]B ．[1,2)C ．(,4)-∞D ．[1,4)2．已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（ ） A ．2,10z z ∀∈+<C B ．2,10z z ∀∈+≥C C ．2,10z z ∃∈+<CD ．2,10z z ∃∈+≥C3．正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（ ） A ．7B ．5C ．3D ．14．若sin160m ︒=，则︒=sin 40（ ）A ．2m -B ．2-C ．2-D ．25．已知向量(1,2),||a a b =+r r r (2)b b a ⊥-r r r ，则cos ,a b 〈〉=rr （ ）A ．B ．C D6．函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（ ）A ．{}1-B ．{0}C ．{1}D ．{1,1}-7．函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（ ） A ．16B ．76C ．136 D ．16或768．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC =u u u r u u u r ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则E 的离心率为（ ）A B C D二、多选题9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 不可能为常数列C ．若{}n a 为递增数列，则0k >D ．若{}n S 为递增数列，则1k >10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ）A ．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B ．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C ．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D ．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(1)0f '= B ．4是()f x '的一个周期 C ．(2024)0f =D ．()f x 的图象关于点(2,1)对称三、填空题12．曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为．13．若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为．14．过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =．四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．(1)求角C ；(2)若AB 边上的高为1，ABC V ABC V 的周长． 16．如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==(1)证明：AB PC ⊥；(2)若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值． 17．已知函数()ln f x x ax =+．(1)若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；(2)若()1,()e ()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．18．动点(,)M x y 到直线1:l y 与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x ．记点M 的轨迹方程为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值； (3)已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．19．设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ． (1)写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；(2)证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；(3)设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．。
福建省福州黎明中学2025届高三上学期9月月考数学试题
福建省福州黎明中学2025届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2870A x x x =−+≥，集合{}210160B y y y =−+<，则A B =（ ）A ．{}78x x ≤<B ．{}78x x <≤C ．{}27x x ≤<D ．{}27x x <≤2．已知复数1i23iz +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．31i 1313+ B ．51i 1313+ C ．53i 1313+ D ．34i 1313+ 3．已知向量()()1,2,2,a b x =−=，若()()3//2b a b a −+，则实数x =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．4−4．方程ππsin sin sin 33x x ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭在[]0,2π内根的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知某圆台上下底面半径（单位：cm ）分别为2和5，高（单位：cm ）为3，则该圆台的体积（单位：3cm ）是（ ） A ．113π3B ．115π3C ．117π3D ．119π36．对任意的实数[]0,2m ∈，不等式()()230x x m −−+>恒成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1x <或3x >B ．1x <或2x >C ．2x <或3x >D ．R7．在钝角ABC V 中，π6C =，4AC =，则BC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．83(0,(,3∞+）D ． 8．已知函数()2ln f x x mx x =−+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2ln23ln3,89++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3ln32ln2,94++⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ln32ln2,94++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．2ln23ln3,89++⎛⎫⎪⎝⎭9．已知随机变量X ，Y ，其中31Y X =+，已知随机变量X 的分布列如下表若()3E X =，则（ ） A ．310m =B ．15n =C ．()10E Y =D ．()21D Y =10．下列命题中正确的是（ ）A ．函数1sin2y x =−的周期是πB ．函数21cos y x =−的图像关于直线π4x =对称 C ．函数2sin cos y x x =−−在π[,π]4上是减函数D ．函数ππcos(2022))36y x x =−++的最大值为111．设函数32()231f x x ax =−+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差3d =，求第10项10a 的值为 .13．已知双曲线()22221,0x y a b a b −=>，1F ，2F 为双曲线的左右焦点，过1F 作斜率为正的直线交双曲线左支于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)()12y y <两点，若12AF a =，290ABF ∠=︒，则双曲线的离心率是 ．14．已知平面向量a ，b 的夹角为θ，b a −与a 的夹角为3θ，1a =，a 和b a −在b 上的投影为x ，y ，则()sin x y θ+的取值范围是 ．15．已知锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin()cos A B C −=． (1)求角B 的大小； (2)求222a cb +的取值范围．16．已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式； （2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．17．已知函数()2ln ()f x ax x a R =−+∈．（1）讨论()f x 的单调性﹔（2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>−，求a 的取值范围．18．设()y f x =是定义域为R 的函数,如果对任意的()1212,R x x x x ∈≠,()()1212f x f x x x −<−均成立,则称()y f x =是“平缓函数”.(1)若()2f x x =,试判断()y f x =是否为“平缓函数”并说明理由;(2)已知()y f x =的导函数()'f x 存在,判断下列命题的真假:若()y f x =是“平缓函数”,则()'1f x ≤,并说明理由.(3)若函数()y f x =是“平缓函数”,且()y f x =是以1为周期的周期函数,证明:对任意的()1212,R x x x x ∈≠,均有()()1212f x f x −<. 19．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线3:C y x =上的点()111,P x y 作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于()222,P x y ，过点2P 作曲线C 的切线2l 与曲线C 交于点()333,P x y ，依此类推，可得到点列：()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，…，(),n n n P x y ，…，已知11x =． (1)求数列{}n x 、{}n y 的通项公式；(2)记点n P 到直线1n l +（即直线12n n P P ++）的距离为n d ，（I ）求证：1211149n d d d +++>； （II ）求证：1211181192n n d d d ⎛⎫+++>− ⎪⎝⎭，若n 值()*0,N n n >∈与（I ）相同，则求此时12111nd d d +++的最小值．。
高三数学试题与解析-四川省绵阳南山中学高2022级9月月考+数学答案
绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考数学参考答案及评分标准一、单选题题号12345678答案CC BBCDDA二、多选题题号91011答案ACDACABD 三、填空题12、13、0四、解答题15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==…………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=；……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而43sin 7C =，…………………………………….……..8分若(0,2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==…12分从而8 c =或 …………………………………..13分16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭.…………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16，因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，……………………………………………………...14分所以λ的取值范围为[)7,17.…………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110i i x x =-=∑，…………………………….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53=≈≈……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+．………………………………………….…………..13分当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=，由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分（2）(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a =…………………………………………………….……6分现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心.………………………………………..9分（3）2()666()f x x ax x x a '=-=-，3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点；i)若01a <<，即3()10f a a =->，()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>，x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点；…………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.………………………….15分而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。
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大石桥二高中2016-2017学年度上学期9月月考高三数学（理）科试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 1．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．若复数34a ii-+的实部是25，则实数a =（ ）A ．2B ．143C ．23D ．23-3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 4．已知tan （α﹣）=，则的值为（ ）A ．B ．2C ．2D ．﹣25．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则5()6f π的值为（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．326．已知||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．90° 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =,则95S S =（ ）A ．1B ．2C ．95 D ．598．在ABC Rt ∆中， 90=∠A ，F E AC AB ,,4,2==分别为BC AB ,的中点，则=⋅AF CE （ ） A ．9 B ．9- C ．7 D ．7- 9．曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率等于（ ）A ．2e C ．2 D ．110．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）.A. 1>aB. 1,0≠>a aC. 10<<aD. φ∈a 11．已知函数1()lnsin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（ ） A ．(32)， B ．(32)-， C ．(12)， D ．(35)，12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式()()2201420144(2)0x f x f ++-->的解集为（ ） A ．(),2012-∞- B ．()2012,0-C ．()2016,0-D ．(),2016-∞-二、填空题（每题5分，共20分） 13．函数y ＝lg(2)x +的定义域为________．14．若函数()22f x x ax =+-在()0,+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 ． 15．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________．16．已知x 21x 2f (x)3,x 2x 1⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩-，，若f (x)a 0-=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为三、解答题（共70分，规范书写，写出必要的证明或计算过程） 17．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 262sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+-=π，R x ∈ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，若3,1,1)2(===c b B f ，求a 的值．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，（2）求出{}n a 的通项公式。
（3）求数列{}n na 的前n 项和T n .19．（本小题满分12分）如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，且BD AC =，ABCD PA 底面⊥，1==AB PA ，3=BC ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）证明：当点E 在边BC 上移动时，总有PE AF ⊥； （2）当CE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°．20．（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数469634（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查， 求恰有2人不赞成的概率；（3）在（2）的条件下，再记选中中不赞成．．． “车辆限行”的人数为ξ，求随 机变量ξ的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.选做题（22题和23题只选一题作答，满分10分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为12(312x t t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式|1|()3|2|m f x x +≥+-有解，求实数m 的取值范围.数学理科参考答案6-10 BADCA 11A 12D13．[)1,-+∞ 14．[)0+∞， 15．120． 16．()10，17、（12分）试题解析：（Ⅰ）x x x f 2sin 2)62sin(2)(-+-=π)2cos 1()6sin 2cos 6cos2(sin 2x x x --π+π-=)2cos 212sin 23(2cos 1x x x +-+=12sin 232cos 21+-=x x 1)32cos(++=πx 所以函数)(x f 的最小正周期为π。
（Ⅱ）由1)2(=B f 得11)3cos(=++πB ,即0)3cos(=+πB 又因为π<<B 0,所以πππ3433<+<B 所以23ππ=+B ,即6π=B ． 因为3,1==c b 所以由正弦定理C c B b sin sin =,得23sin =C 故ππ323或=C 当22322=+===c b a A C ，从而时，ππ当16632=====b a B A C ，从而，又时，πππ故a 的值为1或2．18．（12分）试题解析：（1）∵S n =2a n ﹣3n ，对于任意的正整数都成立，∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣3n ﹣3， 两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ﹣3，即a n+1=2a n +3，∴a n+1+3=2（a n +3），∴b n+1=2 b n 所以数列{b n }是以2为公比的等比数列，（2）由已知条件得：S 1=2a 1﹣3，a 1=3．∴首项b 1=a 1+3=6，公比q=2，∴a n =6⋅2n ﹣1﹣3=3⋅2n﹣3．（3）∵na n =3×n ⋅2n﹣3n∴T n =3（1⋅2+2⋅22+3⋅23+…+n ⋅2n）﹣3（1+2+3+…+n ），2T n =3（1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+n ⋅2n+1）﹣6（1+2+3+…+n ）， ∴﹣T n =3（2+22+23+ (2)）+3（1+2+3+…+n ）=()()22131362212n n n n n -+⨯-⋅+- ∴()()3166262nn n n T n +=-⋅+-19．（12分）试题解析：（1）分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间坐标系则可得P （0，0，1），B （0，1，0），F （0，，），D（，0，0）设BE=x，则E（x，1，0）∴=（x，1，﹣1）得=x•0+1×+（﹣1）×=0可得，即AF⊥PE成立；（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为则，得∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）∴sin45°==，得=解之得x=或x=∵BE=x，∴BE=，即当CE等于2时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．20．（12分）试题解析：（1）各组的频率分别为,,，,,，所以图中各组的纵坐标分别为,,，, ,（2）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()111224644422225105104246666222=,1045104522575C CC C CpC C C Cξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=（3）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()22642251061545150=,104522575CCpC Cξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C CC CpC C C Cξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：ξ123p1575 34752275475所以ξ的数学期望65E ξ=． 21．（12分）解：（Ⅰ）'()xf x e a =- 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增；0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ），0a >时，min ()(ln )f x f a =，(ln )0f a ∴≥ ， 即ln 10a a a --≥，记()ln 1g a a a a =-- (0)a >．'()1(ln 1)ln g a a a =-+=-，()g a ∴在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，()(1)0g a g ∴≤=，故()0g a =，得1a =．（Ⅲ）由（Ⅱ）1x e x ≥+，即ln(1)x x +≤(1)x >-，则0x >时，ln(1)x x +<．要证原不等式成立，只需证：21232(31)k nkk =⨯<-∑，即证：2131(31)knk k =<-∑ 下证21322(31)3131k k k k +≤---- ① 22343323133431k k k k k k⋅⇔≤-⋅+⋅-⋅+224(3231)33431k k k k⇔-⋅+≥⋅-⋅+ 234330k k ⇔-⋅+≥(31)(33)0k k ⇔--≥①中令1,2,,k n =，各式相加，得213(31)knk k =-∑1222()3131<---2322()3131+---122()3131n n +++---11223131n +=---1<成立， 故原不等式成立.方法二：1n =时，2233(31)2n n ⨯=-， 2n ≥时，22323(31)(31)(33)n n n n n ⨯⨯<---1123(31)(31)n n n --⨯=--1113131n n -=---， 2n ≥时，213(31)k nk k =-∑3112231n<+--2<． 22．（10分）试题解析：（1）利用极坐标公式, 把曲线C 的极坐标方程22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为22sin 2cos ρρθρθ=+,所以曲线C 的普通方程是2222x y y x +=+,即()()22112x y -+-=.（2）直线和曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P ,把直线的参数方程12(312x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数) 代入曲线C 的普通方程是()()22112x y -+-=中, 得210t t --=,()21212121212121211111,451t t t t t t t t t t PA PB t t t t +=-⎧∴∴+=+==+-=⎨=-⋅⎩.23．试题解析：（1）不等式()0f x >，即2+120x x -->， 由不等式2+12x x >-两边平方化简得：()()3130x x -+> 解得：3x <-或13x >，所以不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．（2）由条件知，不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解. 设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥， 而()21+2421245g x x x x x =+-≥+-+=，由15m +≥解得：6m ≤-或4m ≥ ，所以a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞.。