大学物理-流体力学-教学课件

三、 连续性原理 1 原理的推导
描述稳定流动的流体任一流管中流体元在不同
v 截面处的流速 与截面积 的S关系。
和
v v 和
取一细流管，任取两个截面 S1
S 2 ，两截面处的流速分别为
2， 流体密度分别为 1 和
1
2
。
S1
Δt
v1
S2
则在时间 t 内，流入细流管的流体质量
v2
m1 1V1 1S1v1t 同理，流出的质量 m2 2V2 2S2v2t
s2 v2
P1 gh1 P2 gh2
即
P2 P1 g(h1 h2 ) = 3.5×105Pa
当水龙头完全打开后，由伯努利方程：
第二节 理想流体的伯努利方程
理想流体在重力场中作稳定流动。取图示细流管，设
△t 内，流体从初位置 ac移动到末位置bd 。
则在△t内流过两截面S1和 S2的流体体积分别为
V1 v1S1t V2 v2S2t
d
c
v2
S2 Δt
由连续性原理得 V1 V2 V b v1
由于流体的流动状态保持不变，因此，
说明：①流场中流线是连续分布的； ②空间每一点只有一个确定的流 速方向，所以流线不可相交； ③流线密处，表示流速大，流 线稀处，表示流速小。
3.流管 由一组流线围成的管状区域称为流管。 说明：①流管内流体的质量是守恒的。 ②通常所取的“流管”都是“细
流管”。细流管的截面积S 0
时，流管就成为流线。 问题：流体质元能否穿越流管侧壁？
二.稳定流动: 1.稳定流动
流体流经的空间称为流体空间或流场 。流 体的流动状态不随时间变化的流动称为稳定流动。
说明： ①流体在空间各点的速度分布不变。 ②流体质量元在不同地点的速度可以各
v1 v2 v3
不相同。
③“稳定流动”并不仅限于“理想流体”。
2. 流线
流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。
Δt
由动能定理 ： A Ai Ek 即
S1 P1 h1
Vgh1
i
Vgh2 +(P1
P2 )V
1 2
V (v22
v12 )
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
或 P 1 v2 gh C
伯努利方程
注意 ：
Ek
(EK
2
0
1 2
Vv22
)
(EK
0
1 2
Vv12
)
伯努利方程的意义
（1）伯努利方程是理想流体做定常流动时满足的能量守恒关系。
流体作稳定流动时，流管内流体质量守恒，即 m1 m2
1S1v1 2S2v2 或 Sv C （常量）
上式称为连续性原理，它是流体作稳定流动时的质量守恒方
程，其中 Sv 称为质量流量。
对于不可压缩流体， 为常量，故有 Sv Q 常量
上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，
其中Q 称为体积流量。
（3）注意统一单位（国际单位），适用于理想流体的定常流动;
（4）P、h、v 均为可测量，它们是对同一流管而言的;
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v
之间的关系。对于水平管有： P1
1 2
v12
P2
（6）在工程和医学上，伯努利方程常用下式
P
1 2
v22 v2
h
常量
等式左边分别称为压力头、速度头和水头。 g 2g
大学物理B
张义
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第一节: 理想流体与稳定流动
流体:能够流动的连续介质,是气体和液体 的总称。基本特征:流动性。
一.理想流体:不可压缩的，没有粘性的流体。
（3）对于分支管道，连续性方程变为：
n
n
vs vi si或vs ivi si
i 1
i 1
应用：天然气管，石油管等
只适用于 “细流管”
例：流体在半径为R的管内作稳定流动，截面上的流速按 v v0(1 r R) 分布，r为截面上某点到轴线的距离。设R=5cm，
v0 1.2m s1, 求体积流量。
a
S1
Δt
流体由 ac移动到bd的过程中，bc段流管中流体的动能
和重力势能保持不变，故△t 时间内，流体动能变化量为：
Ek
1 2
Vv22
1 2
Vv12
在△t 时间重力做的功为： AG Vgh1 Vgh2 Δt
在△t 时间内外力对该段流体做功：
S2
P2
A1 P1S1v1t P1V
h2
A2 P2S2v2t P2V
求 水管狭细处水的流速
解 由连续性原理知 S1v1 S2v2
S1
v1
S2
v2
得
v2
S1v1 S2
8m s1
2.讨论:
(1)举几个应用连续性方程的例子 用水冲地 水雕 吹沙 (2) 流量：单位时间内流过某截面的流体体积和 流体质量分别称为流体的体积流量和质量流量:
体积流量: QV vS
质量流量: Qm vS
说明： ① 对同一流管而言，C 一定。截面积 S 小处则速度 大，截面积 S 大处则速度小。
② Sv C是对细流管而言的。物理上的“细”，不
是指管径小。只要同一截面上各处速度一样，不论
管径多大，均可看成“细流管”。
例 一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4∶1，
已知水管粗处水的流速为2m·s-1。
解：如图，取一半径为r，宽度为dr的圆环面元ds， 则通过该面元的体积流量元为：
dQv vdS v0(1 r R) 2rdr
Qv
Qห้องสมุดไป่ตู้ 0
dQv
R 0
v0
(1
r
R)
2
rdr
2v0
R 0
(r
r2
R)dr
2
v0
(
r2 2
r3 ) 3R
R 0
1 3
v0
R
2
3.14 103 (m3
s1 )
P1
P2
g (h1
h2 )
1 2
(v
2 2
v12 )
P1 P2 表示单位体积流体流过细流管 S1S2时外压力所作的功；
g( h1 h2 ) 表示单位体积流体流过细流管S1S2时重力所作的功；
1 2
(
v
2 2
v12
) 表示单位体积流体流过细流管S1 S 2 后动能的变化量；
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理;
例 水管里的水在压强 P = 4.0×105Pa 作用下流入室内，水管
的内直径为 2.0 cm ，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，
内直径为 1.0 cm 。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内
水的流速为4.0m·s-1 。 求 浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。
解 当水龙头关闭时，v1 v2 0 ，由伯努利方程