数学建模模拟试题及答案

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数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。

A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。

当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。

A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。

求该直线的方程。

A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。

A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。

假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。

求两辆车首次相遇的时间。

A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。

答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。

答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。

数学建模试题(带答案)

数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。

f 和g 都是连续函数。

椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。

不妨设0)0(,0)0(g >=f 。

当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。

这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。

就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。

证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则，由g f 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章5.根据最优定价模型考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。

数学建模题目及答案-数学建模100题

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试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令为A、B离地距离之和，为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。

由假设（1），,均为的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地，故=0必成立（）。

不妨设,g（若也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知,均为的连续函数，,且对任意有，求证存在某一，使。

证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故，。

作，显然，也是的连续函数，而，由连续函数的取零值定理，存在，，使得，即。

又由于，故必有，证毕。

2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

(完整版)数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；(3)冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。

为尽量图一多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .三、计算题(每题 20 分，共 40 分)1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .(2) 原材料的利用情况 .2. 两个水厂A1 , A2将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？四、综合应用题(本题 20 分)某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线，若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .小区单价/元水厂A1A供应量 / t170B34B11 07 1B26数学建模 06 春试题模拟试题参考解答一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1. 奇数顶点个数是 0 或 2；2. 约 40.1876 ；3. N = Kn(T10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 解：问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度；刷洗地点的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。

数学建模题目及答案

1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地，故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

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数学建模模拟试题及答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是.2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 .3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作的方法建立了模型.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (.（提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为t t kC t C t t C ∆−=−∆+)()()(其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.）三、计算题（每题25分，满分50分）1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1）最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2）原材料的利用情况.2. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？数学建模模拟试题（一）参考答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. k kx y ,=是比例常数； 2. )()(2211t n p m t n p m +<+； 3. 增长率是常数还是人口的递减函数； 4. 类比.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个：（1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等；（2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等；（3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；（每个因素3分）2. 设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为,/kC C −=其通解是,e)0()(ktC t C −=而)0(C 就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有56e )0(3=−k C 和 ,40e )0(5=−k C由此解得.94e 56)0(17.040/56e 32≈=⇒≈⇒=k k C k可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定. 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有原材料限制条件： ,902321≤+x x,303221≤+x x ,805821≤+x x目标函数满足 ,680580max 21x x z += 合在一起便是所求线性规划模型：,680580max 21x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+.2,1,0,8058,3032,9023212121j x x x x x x x j （1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知：最优解为,)740,745(T*=X 目标值为753300max =z （万元）.（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有7259单位的剩余量. 2. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解，首先确定初始方案：其次对方案进行最优性检验：λ11 = 10-4+6-7=5 > 0， λ12 = 6-4+6-5=3 > 0， λ31 = 8-7+5-3=3 > 0，λ33 = 9-3+5-6=5 > 0，故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：21503310223021160231701,,,,B A B A B A B A B A ⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯ 总费用为2460150310630516071704=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）.。

数学建模题目及答案-数学建模100题

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地,次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

(15 分)解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设： (1 )地面为连续曲面(2) 长方形桌的四条腿长度相同(3) 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 (4) 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心 0旋转时，对角线ab 与x 轴的夹角记为V容易看岀，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令f(v)为A B 离地距离之和，g(r)为CD 离地距离之和，它们的值由h 唯一确定。

由假设(1 )，f(R ，gU) 均为二的连续函数。

又由假设(3)，三条腿总能同时着地,不妨设f(0) =0, g(0) 0g (若g(0)也为o ,则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转) ，于是问题归结为：已知f(v)，g(v)均为V 的连续函数，f(0)=0, g(0)0且对任意二有 f®)g(r °) = o ，求证存在某一二0，使 f 仇)g&0)=0。

证明：当9 =n 时，AB 与CD 互换位置，故f (二)• 0，g (二)=0。

作h(3 = f()划)，显然，h(^ )也是二的连续函数，h(0) = f (0) - g(0) ::: 0而h(「：)= f (二)-g (二)• 0，由连续函数的取零值定理，存在^0，0「0 ：：：二，使得h 仇)=0，即fU 。

)= gp 0)。

又由于f (入沟厲)=0，故必有 f 厲)=gC 。

数学建模模拟试题与答案

数学建模模拟试题及答案一、填空题（每题 5 分，共 20 分）1.若 y z, z x, 则 y 与x的函数关系是.2.在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队 1 有m1个顾客，每人都买了n1件商品，队 2 有m2个顾客，每人都买了n2件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队 1 的条件是.3.马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了4.在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作的方法建立了模型 .二、分析判断题（每小题15 分，满分 30 分）1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出 5 种.2.一起交通事故发生 3 个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是56 /100( mg / ml ), 又过两个小时，含量降为 40 / 100(mg / ml ), 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100 (mg / ml ) .（提示：不妨设开始时刻为t0,C (t) 表示t时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔 [ t,t t ] 内酒精浓度的改变量为C (t t ) C (t)kC(t)t其中 k0 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的. ）三、计算题（每题25 分，满分50 分）1.一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8 个单位，产值为580 元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、 3、5 个单位，产值为680 元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30 和 80 单位 . 试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1）最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由.（ 2）原材料的利用情况.2.三个砖厂 A1 , A2 , A3向三个工地 B1 , B2 , B3供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表. 试安排调运方案，使总费用最小？工地B1B2B3供应量 / 万块砖厂A11064170A2756200A3839150需求量 / 万块160180180数学建模模拟试题（一）参考答案一、填空题（每题 5 分，共 20 分）1.y kx, k 是比例常数；2.m1 ( p n1 t) m2 ( p n2t) ；3.增长率是常数还是人口的递减函数；4.类比 .二、分析判断题（每小题15 分，满分30 分）1.问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个：（1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等；（ 2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等；（3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；（每个因素 3 分）2.设 C (t) 为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为C /kC ,其通解是 C (t) C (0) e kt , 而 C (0)由题设可知 C(3)56,C(5) 40,就是所求量 .故有C (0)e 3 k56 和 C (0)e 5 k40,由此解得e2 k56 / 40k 0.17 C (0) 56e3 k94.可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.三、计算题（每题25 分，满分 50 分）1.设 x1 , x2表示甲、乙两种产品的产量，则有原材料限制条件：3x1 2 x290,2x13x230,8x15x280,目标函数满足max z 580x 1 680x 2 ,合在一起便是所求线性规划模型：max z 580x 1680x 2 , 3x 1 2x 2 90, 2x 1 3x 2 30, 8x 1 5x 2 80,x j 0, j1,2.（ 1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地 . 计算知：最优解为 X *( 45 , 40)T ,7 7 目标值为 max z 53300（万元） . 7（ 2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有 592单位的剩余量 .72. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解，首先确定初始方案：工地单价/ 百元B 1B 2B 3供应量 /万块170砖厂A 1 10160 630410 170 A 2 7 5150 6 200 A 38 3 9 150需求量 / 万块160180180其次对方案进行最优性检验：11= 10-4+6-7=5 > 0 ， 12= 6-4+6-5=3 > 0，31= 8-7+5-3=3 > 0，33= 9-3+5-6=5 > 0，故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：1701603010B3,A3150B2A1B3,A2B1,A2B2,A2总费用为 4170 7 160530610 3 1502460 （百元）.。

数学建模题目及答案

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

〔15分〕解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否认的。

因此对这个问题我们假设：〔1〕地面为连续曲面〔2〕长方形桌的四条腿长度一样〔3〕相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的〔4〕方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、、D的初始位置在及x轴平行，再假设有一条在x轴上的线,那么也及A、B，C、D平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线及x轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()gθ为fθ为A、B离地距离之与，() C、D离地距离之与，它们的值由θ唯一确定。

由假设〔1〕，()gθfθ,()均为θ的连续函数。

又由假设〔3〕，三条腿总能同时着地，故()f θ()g θ=0必成立〔∀θ〕。

不妨设(0)0f =(0)0g >〔假设(0)g 也为0，那么初始时刻已四条腿着地，不必再旋转〕，于是问题归结为： ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，及互换位置，故()0f π>，()0g π=。

数学建模模拟试题及参考答案

《数学建模》模拟试题一、（02'）人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

二、（02'）雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

三、（03'）要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论；（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030,0==θθ时的总淋雨量。

（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为∂，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数∂,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。

四、（03'）建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。

参考答案一、人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

初等数学建模试题极其答案

1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处.雨速是常数.方向不变。

你是否走得越快.淋雨量越少呢？2.假设在一所大学中.一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。

再设图书馆平均一周收回借出书的1/10.若在充分长的时间内.一位普通教授大约借出多少年本书？3.一人早上6：00从山脚A上山.晚18：00到山顶B；第二天.早6：00从B下山.晚18：00到A。

问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家.家中的狗一直在二人之间来回奔跑。

已知哥哥的速度为3公里/小时.妹妹的速度为2公里/小时.狗的速度为5公里/小时。

分析半小时后.狗在何处？6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面.并事先约定先到者在那等待10分钟.若另一个人十分钟内没有到达.先到者将离去。

用图解法计算.甲乙两人见面的可能性有多大？7.设有n个人参加某一宴会.已知没有人认识所有的人.证明：至少存在两人他们认识的人一样多。

8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10端小孔的面积为0.5平方厘米.9.假设在一个刹车交叉口.所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡.计算这种情下的刹车距离。

如果汽车由西驶来.刹车距离又是多少？10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。

包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。

为了节省材料.如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1：a:b.选坐.v>0,而设语雨L(1q -+v x ),v≤x Q(v)=L(v x -q +1),v>x2.解：由于教授每天借一本书.即一周借七本书.而图书馆平均每周收回书的1/10.设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数.则它应满足（时间t 以周为单位）其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性题得X(t) =70[1-e t 10 ]由于当t ∞时.其极限值为70,故在充分长的时间内.一位普通教授大约已借出70本书。

数学建模习题及答案

第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。

将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。

用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。

试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。

解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。

若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

数学建模试题(带答案)大全

(14 分)
得分
四、(满分 10 分) 雨滴的速度 v 与空气密度、粘滞系数和重力加速度 g 有关，其中粘
滞系数的量纲[ ]= L1MT 1 1，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式.
解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0.其量纲表达式为
[ v ]=LM0T-1，
学分 5 4 4
4
数据结构
3
5
应用统计
4
6
计算机模拟 3
7
计算机编程 2
8
预测理论
2
9
数学实验
3
所属类别数学数学数学；运筹学
数学；计算机数学；运筹学
计算机；运筹学计算机运筹学运筹学；计算机
先修课要求
微积分；线性代数计算机编程微积分；线性代数计算机编程
应用统计微积分；线性代数
由 U 0, U 0 可得到最优价格:
p1
p2
1
T
1
3T
p1 2b [a b(q0
)] 4
P2 2b [a b(q0 4 )]
前期销售量
T、（2 a
0

bp1
)dt
后期销售量
T
T /2 (a p2 )dt
总销售量
Q0
=
aT
bT 2
(
p1
p2 )
在销售量约束条件下 U 的最大值点为
~p1
a b
Q0 bT
T 8
,
P~2
a b
Q0 bT
T 8
7. (1)雨水淋遍全身， s 2(ab bc ac) 2*(1.5*0.5 0.5*0.2 1.5*0.2) 2.2m2

建模数学试题及答案

建模数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是线性方程的标准形式？A. $ ax + by = c $B. $ ax^2 + by^2 = c $C. $ ax^3 + by^3 = c $D. $ ax + by + cz = d $答案：A2. 函数 $ f(x) = x^2 $ 的导数是什么？A. $ 2x $B. $ x^2 $C. $ x $D. $ 1 $答案：A3. 以下哪个是二阶微分方程？A. $ y' = 2x $B. $ y'' = 2x $C. $ y = 2x $D. $ y' + y = 2x $答案：B4. 积分 $ \int x^2 dx $ 的结果是？A. $ \frac{x^3}{3} + C $B. $ x^3 + C $C. $ 2x^2 + C $D. $ 3x^2 + C $答案：A5. 以下哪个是矩阵？A. $ [a] $B. $ (a, b) $C. $ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $D. $ \{a, b\} $答案：C6. 以下哪个是概率论中的随机变量？A. 一个固定的数字B. 一个确定的函数C. 一个可能取不同值的变量D. 一个常数答案：C7. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 函数B. 微分C. 向量空间D. 积分答案：C8. 函数 $ f(x) = \sin(x) $ 的不定积分是什么？A. $ -\cos(x) + C $B. $ \cos(x) + C $C. $ \sin(x) + C $D. $ \tan(x) + C $答案：B9. 以下哪个是微分方程？A. $ y = 2x $B. $ y' = 2x $C. $ y'' = 2x $D. $ y''' = 2x $答案：B10. 以下哪个是统计学中的基本概念？A. 函数B. 微分C. 样本D. 积分答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性方程 $ ax + by = c $ 的斜率是 _______。

(完整版)数学建模试卷(附答案)

2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的万元．3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：（1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为。

二、简答题：（25分）1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。

（5分）2、写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。

（10分）三、（每小题15分，共60分）1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。

随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。

后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。

谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。

结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。

试建立数学模型解释这个现象。

3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量数学建模参考答案2．约40．18763．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数二、1、建立数学模型的基本方法：机理分析法，统计分析法，系统分析法2、优化模型的一般形式将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数，在约束条件下的最大值或最小值，其中为设计变量（决策变量），为目标函数为可行域三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：)()(1n n p f p =-ϕ9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=- .,...,,,)(m i h i 210==x )(x f u =.,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x)(x f Ω∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or .,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x .,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x经递推有：kk p kkk k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑Λ0p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。

数学建模题目及答案-数学建模100题

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地，故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。