定积分的性质和基本定理

第二节 定积分的性质

和基本定理

用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭

示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效

§2.1

一、定积分的基本性质

性质 1

b a

1dx=∫b a

dx=b-a

证 0

lim →λ∑=n

1

i f(ξi ）Δx i ＝

lim →λ∑=n

1

i １·Δx i ＝0

lim →λ

(b-a)=b-a

b

a 1dx=∫b

a

dx=b-a

性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］

b

a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b

a f(x)dx+β

∫b a

g(x)dx

证：设F(x)=αf(x)+β

g(x),

lim →λ∑=n

1

i F(ξi ）Δx i ＝0

lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］

Δx

i

＝0

lim →λ［α∑

=n

1

i f(ξi ）Δx i ＋β

∑

=n

1

i g(ξi ）Δ

x i ］

＝αb a

f(x)dx+β∫b

a

g(x)dx

αf(x)+βg(x)在［a,b

b

a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫

b a f(x)dx+β

∫b a

g(x)dx

特别当α=1,β=±

1

b

a ［f(x)±g(x)］dx=∫

b a f(x)dx ±∫

b a

g(x)dx

当β

=0

b

a αf(x)dx=α∫

b a

f(x)dx

性质 2

性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意

两点构成的区间上可

b a

f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b

c

f(x)dx

证

a,b,c

(i)当a

是一个固定的

b a

f(x)dx= 0

lim →λ∑

],[b a f(ξi ）Δx i

∑

]

,[c a

＝0

lim →λ［∑]

,[c a f(ξi ）Δx i ＋∑]

,[b c f(ξi )Δx

i

＝0

lim →λ∑]

,[c a f(ξi )Δx i ＋0

lim →λ∑]

,[b c f(ξi ）Δx

i

c

a f(x)dx+∫b

c

f(x)dx

（ii)当

c

由(i)

a c

f(x)dx=∫b

c f(x)dx+∫a

b

f(x)dx

-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b a

f(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c

f(x)dx 对于其它4种位置与(ii)

性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。

。

性质4 若f(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥0，且a

b a

f(x)dx ≥

证 由f(ξi ）≥0,Δx i >0，有f(ξi ）Δx i

>0

∑

=n

1

i f(ξi ）Δx i >0

b a

f(x)dx=0

lim →λ∑=n

1

i f(ξi ）Δx i ≥

性质

4

性质5 若f(x),g(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥g(x)，

且a

b

a f(x)dx ≥∫b

a

g(x)dx

证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，

4

b a

f(x)dx-∫b

a g(x)dx ＝∫b

a ［f(x)-g(x)］dx ≥

性质

5

性质6 若f(x)在［a,b ］上连续f(x)≥0但

f(x)

b

a

f(x)dx>0

证 由f(x)=0，则存在x 0∈［a,b ］，不妨设x ０∈(a,b)，有f(x ０)>0，由f(x)在［a,b ］上连续，所以在点x ０处连续，即0

x x lim →f(x)=f(x ０)>0，由连续保

号性知，对0<2

)

x (f 0

存在δ１>0，当x ∈(x ０-δ１,x ０＋δ１）时，有f(x)>

2

)x (f 0x ∈［x ０－21δ，x ０＋21

δ］⊂ (x ０－δ１，x ０

＋δ１）时，f(x)> 2

)

x (f

b

a f(x)dx=∫x ０－

2

1

δa

f(x)dx+⎰

δ+

δ-2x 2x 102

0f(x)dx+

∫

b

x ０＋

2

1

δf(x)dx

⎰

δ+

δ-2x 2x 102

0f(x)dx ≥

⎰

δ+

δ-2x 2x 102

02

)

x (f 0 dx=2)x (f 0⎰δ

+δ-2x 2x 1020dx=2)x (f 01δ

>0 性质

6

推论 若f(x),g(x)在［a,b ］上连续，f(x)≥g(x)，

且f(x)≠g(x)，a

b a

f(x)dx>∫b a

g(x)dx

若将性质

5

－｜f(x)｜≤f(x)≤｜

f(x)

b

a ｜f(x)｜dx ≤∫

b a f(x)dx ≤∫b

a ｜f(x)｜

dx

性质7 若f(x)在［a,b

b a

f(x)｜dx ≤∫b

a ｜f(x)｜

dx