人教版初中求函数解析式的基本方法

中考中求函数解析式的基本方法

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。

一、定义法

根据函数的定义求其解析式的方法。

例1. 已知，求。

解：因为

二、换元法

已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。

例2. 同例1。

解：令，

所以，

所以。

评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。

三、方程组法

根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

例3. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。

解：，①

②

得，

所以。

评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例4. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有

，求的解析式。

解：令，

令，

所以，

所以

五、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

例5. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。

解：因为解集为（1，3），

设，

所以

①

由方程

得②

因为方程②有两个相等的实根，

所以，

即

解得

又，

将①得

。

六、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，

所以，

当，

所以

七、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

例7. 已知函数，求它的反函数。

解：因为，

反函数为

八、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数

若，写出函数的解析式。

解：

九、建模法

根据实际问题建立函数模型的方法。

例9. 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解：设容器高为xcm，容器的容积为

。

求的导数，得

当，那么为增函数；当，那么

为减函数；

因此，在定义域（0，24）内，函数只有当时取得最大值，其最大值为

答：当容器的高为10cm，容器的容积最大，最大容积为。

十、图像法

利用函数的图像求其解析式的方法。

例10. 在同一平面直角坐标系中，函数的图像关于直线对称。现将的图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：由图像求得解析式

将向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的图像，

所以

因为的图像关于对称，所以互为反函数。

所以

所以选（A）。

十一、轨迹法

设出函数图像上任一点P（x,y），根据题意建立关于x,y的方程，从而求出函数解析式的方法。

例11. 已知函数的图像与函数的图像关于原点对称，求的解析式。

解：设的图像上任一点P（x，y），P关于原点的对称点在的图像上，

所以，

所以