数学建模 四大常考全等模型复习练习题
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(2)CF⊥AE.
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特征:有三个直角. (1)一线三垂直型:
模型四 三垂直型
考虑:△ABE≌△ECD 结论:BC=BE+EC=AB+CD
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(2)三个直角(不在同一直线):
考虑:△ABE≌△BCD 结论:EC=AB-CD
考虑:△ABE≌△ECD 结论:BC=AB-CD
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2021广东中考高分突破 数学Leabharlann Baidu
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第四章 三角形
数学建模 四大常考全等模型
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模型解读
模型一 平移型 特征:沿同一直线(l)平移可得两三角形重合.
已知:
AE=BF, CB∥DF, AC∥DE 结论:△ABC≌△EFD
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证明:∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∵∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B.
在△ABC 和△DEC 中,
AB=DE ∠B=∠DEC, BC=EC ∴△ABC≌△DEC(SAS).
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6.如图,△EBF是等腰直角三角形,点B为直角顶点,四边形 ABCD是正方形. (1)求证:△ABE≌△CBF; (2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.
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模型二 翻折型 特征:所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重 合. (1)在三角形中:
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(2)在正方形中:
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3.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.求证:△BOC 是等腰三角形.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ADF=∠CDE=90°,AD=CD. ∵AE=CF,∴DE=DF. 在△ADF 和△CDE 中, AD=CD ∠ADF=∠CDE, DF=DE
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∴△ADF≌△CDE(SAS).∴∠DAF=∠DCE. ∠AGE=∠CGF
在△AGE 和△CGF 中, ∠GAE=∠GCF, AE=CF
∠AEB=∠DFA 在△BEA 与△AFD 中, ∠EBA=∠FAD ,
AB=AD
∴△BEA≌△AFD(AAS).∴AE=DF.
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7.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l 的垂线,点E,F为垂足,连接BF. (1)求证:AE=DF; (2)若AE=6,BF=2 29 ,则△ABF的面积为 8 .
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(2)两个正方形:
已知:四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形 结论:△ABD≌△AFC;BD=FC;BD⊥CF
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5.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且 BC=CE,AB=DE.求证:△ABC≌△DEC.
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7.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l 的垂线,点E,F为垂足,连接BF. (1)求证:AE=DF; (2)若AE=6,BF=2 29 ,则△ABF的面积为 .
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2021年-2022年最新 证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD. ∵BE⊥l,DF⊥l, ∴∠AEB=∠DFA=90°. ∵∠EAB+∠FAD=90°,∠EAB+∠EBA=90°, ∴∠FAD=∠EBA.
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模型训练
1.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B. 若DE=3,CE=4,则BC= 3 .
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2.如图,点B,D在AE上,BC∥EF,AC∥DF,请补充一个条件: AD=BE(答案不(唯只一填)写一个即可),使
△ABC≌△DEF.
证明:∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE. ∴∠OBC=∠OCB.∴BO=CO. ∴△BOC是等腰三角形.
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4.(创新题)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的 点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.求证:AG=CG.
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证明:(1)∵△EBF 是等腰直角三角形,∴BE=BF,∠EBF=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABE+∠ABF=∠CBF+∠ABF.
∴∠ABE=∠CBF.
AB=CB 在△ABE 和△CBF 中, ∠ABE=∠CBF,
BE=BF ∴△ABE≌△CBF(SAS).
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∴△AGE≌△CGF(AAS),∴AG=CG.
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模型三 旋转型(手拉手) 1.特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度 所构成的.
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2.结论: (1)两个等边三角形:
已知:△ABE和△ACF均为等边三角形 结论:△ABF≌△AEC;BF=EC;∠BOE=∠BAE=60°
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特征:有三个直角. (1)一线三垂直型:
模型四 三垂直型
考虑:△ABE≌△ECD 结论:BC=BE+EC=AB+CD
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(2)三个直角(不在同一直线):
考虑:△ABE≌△BCD 结论:EC=AB-CD
考虑:△ABE≌△ECD 结论:BC=AB-CD
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2021广东中考高分突破 数学Leabharlann Baidu
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第四章 三角形
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模型解读
模型一 平移型 特征:沿同一直线(l)平移可得两三角形重合.
已知:
AE=BF, CB∥DF, AC∥DE 结论:△ABC≌△EFD
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证明:∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∵∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B.
在△ABC 和△DEC 中,
AB=DE ∠B=∠DEC, BC=EC ∴△ABC≌△DEC(SAS).
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6.如图,△EBF是等腰直角三角形,点B为直角顶点,四边形 ABCD是正方形. (1)求证:△ABE≌△CBF; (2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.
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模型二 翻折型 特征:所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重 合. (1)在三角形中:
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(2)在正方形中:
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3.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.求证:△BOC 是等腰三角形.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ADF=∠CDE=90°,AD=CD. ∵AE=CF,∴DE=DF. 在△ADF 和△CDE 中, AD=CD ∠ADF=∠CDE, DF=DE
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∴△ADF≌△CDE(SAS).∴∠DAF=∠DCE. ∠AGE=∠CGF
在△AGE 和△CGF 中, ∠GAE=∠GCF, AE=CF
∠AEB=∠DFA 在△BEA 与△AFD 中, ∠EBA=∠FAD ,
AB=AD
∴△BEA≌△AFD(AAS).∴AE=DF.
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7.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l 的垂线,点E,F为垂足,连接BF. (1)求证:AE=DF; (2)若AE=6,BF=2 29 ,则△ABF的面积为 8 .
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(2)两个正方形:
已知:四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形 结论:△ABD≌△AFC;BD=FC;BD⊥CF
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5.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且 BC=CE,AB=DE.求证:△ABC≌△DEC.
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7.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l 的垂线,点E,F为垂足,连接BF. (1)求证:AE=DF; (2)若AE=6,BF=2 29 ,则△ABF的面积为 .
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2021年-2022年最新 证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD. ∵BE⊥l,DF⊥l, ∴∠AEB=∠DFA=90°. ∵∠EAB+∠FAD=90°,∠EAB+∠EBA=90°, ∴∠FAD=∠EBA.
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1.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B. 若DE=3,CE=4,则BC= 3 .
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2.如图,点B,D在AE上,BC∥EF,AC∥DF,请补充一个条件: AD=BE(答案不(唯只一填)写一个即可),使
△ABC≌△DEF.
证明:∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE. ∴∠OBC=∠OCB.∴BO=CO. ∴△BOC是等腰三角形.
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4.(创新题)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的 点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.求证:AG=CG.
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证明:(1)∵△EBF 是等腰直角三角形,∴BE=BF,∠EBF=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABE+∠ABF=∠CBF+∠ABF.
∴∠ABE=∠CBF.
AB=CB 在△ABE 和△CBF 中, ∠ABE=∠CBF,
BE=BF ∴△ABE≌△CBF(SAS).
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∴△AGE≌△CGF(AAS),∴AG=CG.
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模型三 旋转型(手拉手) 1.特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度 所构成的.
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2.结论: (1)两个等边三角形:
已知:△ABE和△ACF均为等边三角形 结论:△ABF≌△AEC;BF=EC;∠BOE=∠BAE=60°