3-10-物理建模：动力学中“等时圆模型”问题的分析思路

球在各杆上滑行的时间之比为（ ）
A.1∶1∶1 B.5∶4∶3 C.5∶8∶9 D.1∶2∶3
ABCD四点是否满 足等时圆规律？
解析 本题考查等时圆知识，亦可用牛顿运动定律结合运动学知
识解析，意在考查考生灵活选用物理规律解答物理问题的能力。
由题可知A、B、C、D恰好在以AC为直径的圆上，且C为最低点
300 R
为 t1 和 t2, 则 t1 C 600
与 t2 之比为( )
θ
A.2：1 B.1：1
P D
C. 3 ：1 D.1： 3 r
B
【解析】审设题光视滑角斜槽轨道 与(1)水条平件模面型的：夹A角B、为CDθ均，为则 物光滑体斜下槽滑. 时 的 加 速 度 为 α槽(滑动2=)到情g过s况B轨程i(nD极模θ)类,过型道由似程：几，中重的均何，物为受关由匀力长A系加与(，C速运度斜) s直=2线(运R+动r。)sin这θ两,由个过运程动可学
理 3．过程模型：如自由落体运动，匀加速(或匀减 常 用 速)直线运动、平抛运动、匀速圆周运动等．
模 4．结论模型：如“等时圆”模型、滑块模型、
型 传送带模型等．
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1.“等时圆”模型
(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过圆周最低点的光滑弦由静
止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且为 t＝2 2Rcos θ＝12at2 及 mgcos θ＝ma 解得)(如图甲所示)．
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➢4.跟踪训练
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【跟综训练】 如图示, 光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的
两邻边和对角线,AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直,各杆上分别
套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质
量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶
点由静止释放,不计空气阻力,则a、b、d三小
，由等时圆知识可知三小球在杆上运行时间相等，A对。
答案 A
解析显隐
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【跟综训练】(多选)如图右下图所 【解析】：设圆轨道半径为
示装置，位于竖直平面内的固定光 R，据“等时圆”理论
滑圆轨道与源自文库平轨道面相切于M点，
与竖直墙相切于A点，竖直墙上另 一点B与M的连线和水平面的夹角
公通(3)过选式列其通s中式任12 方a一t 2程光,来滑得处斜理t槽.，2as求=
其滑2斜的2(gR面加sinr长速)sin度度 及，=重再2物由Rg沿运 r 斜动, 槽学即下公所 用式求的出时重间物下t 滑与时倾间角. θ 无 关，所以 t1=t2，B 项正确。 答自案己：试B试解答此题吧解析！显隐
第三章 牛顿运动定律
物理建模： “等时圆模型”问题的分 析思路
➢ 1.模型特点 ➢ 2.典例剖析 ➢ 3.规律方法 ➢ 4.跟踪训练 ➢ 5.真题演练
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➢1.模型特点
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1．对象模型：如质点、点电荷等．
中 学
2．条件模型：如光滑面、匀强电场、匀强磁场
物 等．
Rg (可由
(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下
滑，到达圆周低端的时间相等，且为 t＝2 Rg(如图乙所示).
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2.思维 模板
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➢2. 典例剖析
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【典例】 如图示，在倾角为 θ 的斜面上方的 A 点处放置一光滑的木板 AB，B 端刚好在斜 面上．木板与竖直方向 AC 所成角度为 α，一 小物块自 A 端沿木板由静止滑下，要使物块 滑到斜面的时间最短，则 α 与 θ 角的大小关 系应为 ( )．
ta＝
4gR＝ 2
R g；
为60°，C是圆轨道的圆心．已知
在同一时刻，a、b两球分别由A、 B 点在圆外，有 tb>ta
B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨 C 球做自由落体运动
道运动到M点；c球由C点自由下落
由刚才例题，
到M点．则（ ） A．a球最先到达M点
有 tc＝ 你 解能答2否本gR；快应速用
B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点
如何通过 做“等时 圆”确定 最短时间
解析显隐
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【典例】如图所示，AB 和 CD 为两
条光滑斜槽，它们各自的两个端点
均分别位于半径 R 和 r 的两个相切
的圆上，且斜槽都通过切点 P。设
有一重物先后沿两个斜槽，从静止
出发，由 A 滑到
B 和由 C 滑到 D，A
所用的时间分别
呀？
故有 tc<ta<tb.C、D 正确．
D．c、a、b三球依 次先后到达M点
答案 CD
解析显隐
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➢5.真题演练
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➢3.规律方法
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反思总结
等时圆规律的应用
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对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可 考虑用等时圆模型求解． a. 可直接观察出的“等时圆” b.运用等效、类比自建“等时圆” c.注意建立“等时圆”的方法
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A．α＝θ B．α＝θ2 C．α＝θ3 D．α＝2θ
解析 如图示,在竖直线 AC 上选取一点 O，以适当 的长度为半径画圆，使该圆过 A 点,且与斜面相切 于 D 点.由等时圆知识可知,由 A 沿斜面滑到 D 所用 时间比由 A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将 木板下端与 D 点重合即可,而∠COD＝θ,则 α＝θ2. 答案 B