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化工流体力学第二章习题解答精选全文

可编辑修改精选全文完整版习题2-2 一元流动用拉格朗日变数表示x =x (a,t ),p =p(a,t ),试证明：拉格朗日变数表示压力p 的当地变化率为：(,)(,)(,)(,)/p a t p a t x a t x a t t t a t ∂∂∂∂⎡⎤-⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦证明：压力的导数为Dp p u p Dt t∂=+•∇∂ p 的当地变化率为p Dp u p t Dt ∂=-•∇∂ 式中：Dp Dt 用拉氏变数表示为(,)p a t t ∂∂ u 用拉氏变数表示为(,)x a t t∂∂ p ∇用拉氏变数表示为(,)p a t a a t ∂∂•∂∂ 所以有：(,)(,)(,)(,)/p p a t p a t x a t x a t t t t a t ∂∂∂∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦习题2-3已知速度分布,t t x y u y u x e e -==++，求迹线方程。

解：x dx u y dt== 又t t y dy u x e e t -==++∂ 22t t d x dy x e e dt dt-∴==++ 积分可得：()()12121212t t t t t t t t x C e C e te te y C e C e te te ----=++-=+++如果t=0时，质点位置(,)a b ,则可得：12,22a b a bC C +-==2-4解：流线x ydxdyu u dx dy A Bt C∴==+可得：'Cy x C A Bt ∴=++上式为一直线轨线：()223'331(1)2(2)dxA Btdt x At Bt C dyCdt y Ct C y C y t C C C ∴=+=++==+-==+ 式2代入式（1）可得：()()2''3321(3)2y y x A C B C C C C =++++可见轨线为抛物线。

2-5解：Q AU =（1）等截面A=const ， Q=const 所以：0x duuua u dt t x ∂∂==+=∂∂（2)变截面 A=A(x), ()x Qu A x ='22'3()()()()()x x u du u a u dt t xQ Q A x A x A x Q A x A x ∂∂==+∂∂⎛⎫=- ⎪⎝⎭=- 2-6解：22222211220.03750.0375d x d y d z a i j k dt dt dtt i t k=++=+ x=8时，t=12.9则加速度为0.1350.135a i k =+2-7解：双曲正切函数()21tanh tanh 'cosh x xx x e e x x e e x ---==+2=tanh 1cosh UtlU t l θθθ∂=∂令 x x u u a u t x ∂∂=+∂∂其中：222222211cosh 2cosh 11cosh 2cosh u U x U U U t l l l U x U l l θθθθ∂=-∂=- tanh tanh tanh 22x x u U U u U x x l l θθθ∂⎡⎤==•-⎢⎥∂⎣⎦可得加速度计算：2222222211tanh tanh tanh cosh 2cosh 22111(1)22cosh tanh x x u u U x U U U a u U x t x l l l l U x Ut Ut l l l l θθθθθ∂∂⎡⎤=+==--•-⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）当x=L 时，其加速度为 222112cosh 2tanh U a Ut Ut l l l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当a=0时，222222222110cosh 2tanh cosh 2tanh cosh cosh 2tanh 2sinh sinh 2Ut Ut l l Ut Ut l l θθθθθ-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===或其中：22sinh 2e e θθθ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭(222100=52Ut ln 5e e e l θθθ-+-=±=±解得：所对应时间：(ln 52l t U =± 2-9流体质点的速度与质点到OX 轴的距离成正比，并且与OX 轴平行。

山海经习题精选及参考答案

山海经习题精选及参考答案《山海经》是中国古代一部具有重要历史、地理、神话传说意义的著作，在历史上有着极为重要的地位。

其前面部分描述了中国大陆各地山川、河流、地形，后面部分主要描绘神怪、动物和海洋世界。

因其文学价值高且深受人民喜爱，现今也成为许多考试和竞赛题库的重要素材。

在此，就为大家带来一些《山海经》习题精选及参考答案。

一、问题：下列关于《山海经》中记载的经文的描述正确的是？1.《山海经》是一部关于海洋世界的百科全书2.《山海经》前部分主要记载了中国大陆各地山川、河流、地形3.《山海经》中描述的神怪、动物基本上虚构的4.《山海经》和《本草纲目》属于同一类著作参考答案：1. √ 2. √ 3. × 4. ×注释：《山海经》既包括海洋世界，也包括中国大陆的地理信息，其记载大多来自于古代人类的传说和民间信仰。

《山海经》对于中国古代文化的传承和发展起到了重要作用，被誉为“中国地理文化之源”。

二、问题：在《山海经》中，常出现的神话灵兽是哪些?参考答案：《山海经》中有许多神怪、灵兽，如瑞兽麒麟、神鸟凤凰、蛟龙、九头鸟、海毛虫等，这些神话灵兽被古代人视为有灵性的生物，常被用来描述自然界的各种神秘生物。

三、问题：《山海经》中有哪些地名?参考答案：《山海经》中有大量的地名，包括山川、河流、荒原等。

比如大荒北经的“崑崙山”、“涿鹿山”、“離堂山”、“扶桑山”等，东海经的“横水泉”、“滕伐泉”、“瀛洲”等，这些地名反映了中国古代人民对于自然地理的认识和传承。

四、问题：《山海经》中的神怪、动物有什么神奇的能力和特性？参考答案：《山海经》中的神怪、动物具有各种神奇的能力和特性，如鲲鲤有能够变身、吐泡、激起大风的神奇能力；黑水玄蛇能够直立行走、发出怪叫、毒害人畜；巨蜥有能够喷火、穿山的特点，这些灵异的特性为《山海经》增添了独特的文学气息。

五、问题：《山海经》通过哪些故事和传说反映中国古代人民的价值观？参考答案：《山海经》中通过许多故事和传说反映了古代中国人民的价值观，如历山、通山、洞庭等地的地理特点使得人们对于自然的认知和敬畏，而“九子”、“九黎”、“楚师”、“帝喾”等传说则展现了古代中国人民的勇敢、忠诚和智慧。

《平行四边形》习题精选及参考答案

《平行四边形》习题精选及参考答案一、填空题1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是 .2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 则四边形ABEC是四边形．3．在四边形ABCD中∠A＝50°欲使四边形为平行四边形，则∠B= ，∠C＝，∠D＝ .4．在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形．5．如图12-1-29，在□ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有个平行四边形．6．在□ABCD中连结BD作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q在线段BD上，且BP＝DQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除□ABCD外）有个，它们是 .二、判断题1．平行四边形的对边分别相等（）2．平行四边形的对角线相等（）3．平行四边形的邻角互补（）4．平行四边形的对角相等（）5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（）6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（）三、选择题1．能判断四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边平行，一组邻角互补D．一组对边相等，一组邻角相等2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（）A．已知平行四边形的两邻边B．已知平行四边形的两邻角C．已知平形四边形的两对角线D．已知平行四边形的两边及夹角3．平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（）A．20和18 B．40和50C．60和30 D．32和504．如图12-1-30所示，已知□ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有（）个平行四边形．A．5个B．6个C．7个D．10个5．能判定四边形为平行四边形的是（）A．一组对角相等B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分 D．一对邻角互补6．以下结论正确的是（）A．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形．B．一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形．C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形．D．对角线相等的四边形是平行四边形．7．在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（）A．AE、CF分别平分∠DAB、∠BCDB．AE，CF使∠BEA＝∠CFDC．E、F分别是BC、AD的中点D．BE＝BC，AF＝AD8．□ABCD对角线交点为O，△OBC的周长为59cm，且AD＝28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（）A．12cm和9cm B．24cm 和38cmC．8．5cm和22．5cm D．15．5cm 和29．5cm四、解答题1．如图12-1-31所示，在□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，四边形AECF是平行四边形吗？2．如图12-1-32所示，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠1＝∠2，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？3．如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？4．如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°，FD⊥AD于D，求证四边形ABCD 是平行四边形．5．如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MD ∥AB，NE∥AC求证：BD＝DE＝CE五、证明题1．已知：如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE＝CF（2）AE∥CF2．已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE ＝BF，求证AE＝CF参考答案一、填空题1．平行四边形点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2．平行四边形3．130°，50°，130°4．平行四边形点拨：由题意可得两组对边分别平行5．4个点拨：□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB6．3个□AECF，□APCQ，□AMCN二、判断题1．√ 2．×点拨：对角线不一定相等，但互相平分3．√ 4．√5．×点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6．√三、选择题1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B四、解答题1．解：四边形AECF是平行四边形点拨：由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF ∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°，即∠AEC+∠ECF＝18O°，所以AE∥CF，故四边形AECF是平行四边形．2．解：四边形ABCD是平行四边形由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°，所以AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．3．解：是平行四边形点拨：AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE ＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四边形．4．证明：∵BD⊥AD ∴∠BDA=90°∵∠DBC＝90°，DC＝AB，DB＝DB∴△ADB≌△CBD ∴AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形5．证明：∵NE，MD互相平分∴四边形MNDE为平行四边形∴MN DE又∵MD∥AB，NE∥AC ∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形∵MN＝BD，MN＝CE ∴BD=DE＝CE五、证明题1．证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB DC ∴∠ABE＝∠CDF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF ∴∠AEB＝∠CFD∴∠AED＝∠BFC（等角的补角相等）∴AE∥CF2．证明：如图（3）所示∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC ∴∠1＝∠2∵BD是直线∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°∴∠3＝∠4∴△ADE≌△CBF ∴AE＝CF。

抽象代数习题精选精解

抽象代数习题精选精解抽象代数是数学中的一个分支，研究的是抽象的代数结构及其属性。

这里列举一些抽象代数习题，希望对于初学者来说有所帮助。

一、环与域1. 求证：整数环中有无限多个素元。

解答：先定义若 $p$ 是素数，则 $p$ 是一个整数环中的素元。

现在假设整数环中只有有限个素元 $p_1,p_2,\ldots,p_n$。

令$P=p_1p_2\cdots p_n + 1$，则 $P$ 不是素数，且 $P$ 是整数环中的元素。

根据算术基本定理，$P$ 可以表示为若干素元的积，但由于 $P$ 不是素数，所以 $P$ 不能表示为 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 的积。

这就与 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 是整数环中所有的素元矛盾了。

所以整数环中有无限多个素元。

2. 证明：有限域的元素个数必须是素数幂。

解答：设 $F$ 是一个有限域，则 $F$ 必须有一个加法单位元$0$ 和一个乘法单位元 $1$。

$F$ 的乘法群是一个阶数为 $q-1$ 的循环群，其中 $q$ 是 $F$ 中的元素个数。

由于 $q-1$ 是素数幂，所以 $q$ 必须是素数幂。

也就是说，有限域的元素个数必须是素数幂。

二、群1. 证明：任何一个群都存在唯一的单位元。

解答：设 $G$ 是一个群，$g$ 是 $G$ 中的任意元素。

取$e_1=e_2g$，其中 $e_1,e_2$ 是 $G$ 的单位元。

由于 $G$ 是群，我们可以通过左乘和右乘来证明$e_2=e_1$。

假设$e_2\neq e_1$，则 $ge_1=ge_2$，且 $e_1g=e_2g$。

左乘 $g^{-1}$ 可以得到$e_1=e_2$，这与假设不符。

所以，$e_2=e_1$，即 $G$ 中存在唯一的单位元。

2. 设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，证明：$|H|$ 整除 $|G|$。

解答：由拉格朗日定理得$|G|=|H|(G:H)$。

一次函数习题精选及答案

一次函数习题精选及答案一次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

它可以描述线性关系，如一个物体在匀速直线运动时的位置和时间的关系。

因此，掌握一次函数的性质和解题方法是非常重要的。

下面将为大家分享一些典型的一次函数习题和解答，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1.已知函数 y=2x+1，问在 x=3 的时候 y 的值是多少？解答：将x=3代入函数中得：y=2×3+1=7，因此当x=3时，y=7。

2. 已知函数 y=kx，若该函数在点(2，6)上的函数值为12，则k的值为多少？解答：将x=2和y=12代入函数中得：12=k×2，解得k=6，因此该函数的解析式为y=6x。

3.已知函数 y=3x-5，求该函数的零点及其在 x=2 处的函数值。

解答：令y=0，解得x=5/3，因此函数的零点为x=5/3。

将x=2代入函数中得：y=3×2-5=1，因此当x=2时，y=1。

4.已知函数 y=2x+3，求函数图像在 y 轴上的截距。

解答：将x=0代入函数中得：y=2×0+3=3，因此函数图像在 y轴上的截距为3。

5.已知函数 y=-x/2+4，求函数图像在 x 轴上的截距。

解答：将y=0代入函数中得：0=-x/2+4，解得x=8，因此函数图像在 x 轴上的截距为8。

6.已知函数 y=ax+b，且该函数在点(1,5)上的斜率为2，求函数的解析式。

解答：根据斜率的定义可知：2=(y2-y1)/(x2-x1)=(ax2+b-ax1-b)/(x2-x1)=a，因此函数的斜率为2。

将x=1和y=5代入函数中得：5=a+b，因此可以得到函数的两个方程：a=2，a+b=5，解得b=3，因此该函数的解析式为y=2x+3。

以上是一些经典的一次函数习题和解答，它们覆盖了一次函数的一些基本概念和思想。

在实际的解题过程中，还需要结合具体的实例和题目进行逐一分析和解答。

因此，除了掌握基本的一次函数知识外，也需要不断地进行习题练习和解析，培养自己的数学思维和能力。

解一元一次方程习题精选含答案解析

一、解方程：（1）=x ﹣．（3）．（5）．（7）4（x﹣1）﹣3（20﹣x ）=5（x﹣2）；(9)（11）．（13）．（2）（x﹣1）=2﹣（x+2）．（4）（6）[3（x﹣）+]=5x﹣1 (8)(10)（12）（14）（17）（19）x﹣﹣3（21）．（23）．20．解方程（1）．（2）．（I8）12y﹣2.5y=7.5y+5（20）．（22）．二、计算：（1）(2)÷（4）﹣42×+|﹣2|3×（﹣）3（5）当k为什么数时，式子比的值少3．6.2.4解一元一次方程（三）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2005•宁德）解方程：2x+1=7考点：解一元一次方程．专题：计算题；压轴题．分析：此题直接通过移项，合并同类项，系数化为1可求解．解答：解：原方程可化为：2x=7﹣1 合并得：2x=6系数化为1得：x=3点评：解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式．2．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），化简可得：3x+3=8x﹣8，移项可得：5x=11，解可得x=．故原方程的解为x=．点评：若是分式方程，先同分母，转化为整式方程后，再移项化简，解方程可得答案．3．（1）解方程：4﹣x=3（2﹣x）；（2）解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）先去括号，然后再移项、合并同类型，最后化系数为1，得出方程的解；移项得：﹣x+3x=6﹣4，合并得：2x=2，系数化为1得：x=1．（2）去分母得：5（x﹣1）﹣2（x+1）=2，去括号得：5x﹣5﹣2x﹣2=2，移项得：5x﹣2x=2+5+2，合并得：3x=9，系数化1得：x=3．点评：（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生害怕心理．因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．（2）本题的另外一个重点是教会学生对于分数的分子、分母同时扩大或缩小若干倍，值不变．这一性质在今后常会用到．4．解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：此题两边都含有分数，分母不相同，如果直接通分，有一定的难度，但将方程左右同时乘以公分母6，难度就会降低．解答：解：去分母得：3（2﹣x）﹣18=2x﹣（2x+3），去括号得：6﹣3x﹣18=﹣3，移项合并得：﹣3x=9，∴x=﹣3．点评：本题易在去分母和移项中出现错误，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．5．解方程（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；（2）x﹣=2﹣．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）先去括号，再移项、合并同类项、化系数为1，从而得到方程的解；（2）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10（2分）移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10（3分）合并得：2x=54（5分）系数化为1得：x=27；（6分）（2）去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2）（2分）去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4（3分）移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3（4分）合并得：5x=5（5分）多项式）作为一个整体加上括号．去括号时要注意符号的变化．6．（1）解方程：3（x﹣1）=2x+3；（2）解方程：=x﹣．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）是简单的一元一次方程，通过移项，系数化为1即可得到；（2）是较为复杂的去分母，本题方程两边都含有分数系数，如果直接通分，有一定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．解答：解：（1）3x﹣3=2x+33x﹣2x=3+3x=6；（2）方程两边都乘以6得：x+3=6x﹣3（x﹣1）x+3=6x﹣3x+3x﹣6x+3x=3﹣3﹣2x=0∴x=0．点评：本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以要学会分开进行，从而达到分解难点的效果．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．7．﹣（1﹣2x）=（3x+1）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1）﹣7+14x=18x+6﹣4x=13x=﹣．点评：解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1．此题去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．8．解方程：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+1；（2）．点：专题：计算题．分析：（1）可采用去括号，移项，合并同类项，系数化1的方式进行；（2）本题方程两边都含有分数系数，如果直接通分，有一定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．解答：解：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+13x﹣7=4x﹣2∴x=﹣5；（2）原方程可化为：去分母得：40x+60=5（18﹣18x）﹣3（15﹣30x），去括号得：40x+60=90﹣90x﹣45+90x，移项、合并得：40x=﹣15，系数化为1得：x=．点评：（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生害怕心理．因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果；（2）本题的另外一个重点是教会学生对于分数的分子、分母同时扩大或缩小若干倍，值不变．这一性质在今后常会用到．9．解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：，去分母得：2x﹣（3x+1）=6﹣3（x﹣1），去括号得：2x﹣3x﹣1=6﹣3x+3，移项、合并同系数化为1得：x=5．点评：去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．10．解方程：（1）4x﹣3（4﹣x）=2；（2）（x﹣1）=2﹣（x+2）．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可求出方程的解；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1可求出方程的解．解答：解：（1）4x﹣3（4﹣x）=2去括号，得4x﹣12+3x=2移项，合并同类项7x=14系数化1，得x=2．（2）（x﹣1）=2﹣（x+2）去分母，得5去括号，得5x﹣5=20﹣2x﹣4移项、合并同类项，得7x=21系数化1，得x=3．点评：（1）此题主要是去括号，移项，合并同类项，系数化1．（2）方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．11．计算：（1）计算：（2）解方程：考点：解一元一次方程；有理数的混合运算．专题：计算题．分析：（1）根据有理数的混合运算法则计减；（2）两边同时乘以最简公分母4，即可去掉分母．解答：解：（1）原式=，=，=．（2）去分母得：2（x﹣1）﹣（3x﹣1）=﹣4，解得：x=3．点评：解答此题要注意：（1）去分母时最好先去中括号、再去小括号，以减少去括号带来的符号变化次数；（2）去分母就是方程两边同时乘以分母的最简公分母．12．解方程：考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）这是一个带分母的方程，所以要为1，从而得到方程的解．（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．解答：解：（1）去分母得：3（3x﹣1）+18=1﹣5x，去括号得：9x﹣3+18=1﹣5x，移项、合并得：14x=﹣14，系数化为1得：x=﹣1；（2）去括号得：x﹣x+1=x，移项、合并同类项得：x=﹣1，系数化为1得：x=﹣．点评：本题考查解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的一般步骤，注意移项要变号、去分母时“1”也要乘以最小公倍数．13．解方程：（2）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．解答：（1）解：去分母得：5（3x+1）﹣2×10=3x﹣2﹣2（2x+3），去括号得：15x+5﹣20=3x﹣2﹣4x﹣6，移项得：15x+x=﹣8+15，合并得：16x=7，解得：；（2）解：，4（x﹣1）﹣18（x+1）=﹣36，4x﹣4﹣18x﹣18=﹣36，﹣14x=﹣14，x=1．点评：本题考查解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的一般步骤，注意移项要变号、去分母时“1”也要乘以最小公倍数．14．解方程：（1）5（2x+1）﹣2（2x﹣3）=6 （2）+2（3）[3（x﹣）+]=5x﹣1考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（2）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解得x的值；（3）乘最小公倍数去分母即可；（4）主要是去括号，也可以把分数转化成整数进行计算．解答：解：（1）去括号得：10x+5﹣4x+6=6移项、合并得：6x=﹣5，方程两边都除以6，得x=﹣；（2）去分母得：3（x﹣2）=2（4﹣3x）+24，去括号得：3x﹣6=8﹣6x+24，移项、合并得：9x=38，方程两边都除以9，得x=；（3）整理得：[3（x﹣）+]=5x﹣1，4x﹣2+1=5x﹣1，移项、合并得：x=0．点评：一元一次方程的解法：一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式．解题时，要灵活运用这些步骤．15．（A类）解方程：5x﹣2=7x+8；（B类）解方程：（x﹣1）﹣（x+5）=﹣；（C类）解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：通过去分母、去括号、移项、系数化为1等方法，求得各方程的解．解答：解：A类：5x﹣2=7x+8移项：5x﹣7x=8+2化简：﹣2x=10即：x=﹣5；B类：（x﹣1）﹣（x+5）=﹣去括号：x﹣﹣x﹣5=﹣化简：x=5即：x=﹣；C类：﹣=1去分母：3（4﹣x）﹣2（2x+1）=6去括号：12﹣3x﹣4x﹣2=6化简：﹣7x=﹣4即：x=．点评：本题主要考查一元一次方程的解法，比较简单，但要细心运算．16．解方程（1）3（x+6）=9﹣5（1﹣2x）（2）（3）（4）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）去括号以后，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；（2）（3）首先去掉分母，再去括号以后，移项，合并同类项，系数化为1以后即可求解；（4）首先根据分数的基本性质，把第一项分母中的0.3化为整数，再去分母，求解．解答：解：（1）去括号得：3x+18=9﹣5+10x 移项得：3x﹣10x=9﹣5﹣18合并同类项得：﹣7x=﹣14则x=2；（2）去分母得：2x+1=x+3﹣5移项，合并同类项得：x=﹣3；（3）去分母得：10y+2（y+2）=20﹣5（y﹣1）去括号得：10y+2y+4=20﹣5y+5移项，合并同类项得：17y=21系数化为1得：；（4）原方程可以变形为：﹣5x=﹣1去分母得：17+20x﹣15x=﹣3移项，合并同类项得：5x=﹣20系数化为1得：x=﹣4．解方程的过程中要注意每步的依据，这几个题目都是基础的题目，需要熟练掌握．点评：17．解方程：（1）解方程：4x﹣3（5﹣x）=13（2）解方程：x﹣﹣3考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）先去括号，再移项，化系数为1，从而得到方程的解．（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：（1）去括号得：4x﹣15+3x=13，移项合并得：7x=28，系数化为1得：得x=4；（2）原式变形为x+3=，去分母得：5（2x﹣5）+3（x﹣2）=15（x+3），去括号得10x﹣25+3x﹣6=15x+45，移项合并得﹣2x=76，系数化为1得：x=﹣38．点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．18．（1）计算：﹣42×+|﹣2|3×（﹣）3（2）计算：﹣12﹣|0.5﹣|÷×[﹣2﹣（﹣3）2]（3）解方程：4x﹣3（5﹣x）=2；（4）解方程：．考点：解一元一次方程；有理数的混合运算．分析：（1）利用平方和立方的定义进行计算．（2）按四则混合运算的顺序进行计算．（3）主要是去括号，移项合并．乘最小公倍数去分母，再求值．解答：解：（1）﹣42×+|﹣2|3×（﹣）3==﹣1﹣1=﹣2．（2）﹣12﹣|0.5﹣|÷×[﹣2﹣（﹣3）2]====．（3）解方程：4x﹣3（5﹣x）=2去括号，得4x﹣15+3x）=2移项，得4x+3x=2+15合并同类项，得7x=17系数化为1，得．（4）解方程：去分母，得15x﹣3（x﹣﹣3×15去括号，得15x﹣3x+6=10x﹣25﹣45移项，得15x﹣3x﹣10x=﹣25﹣45﹣6合并同类项，得2x=﹣76系数化为1，得x=﹣38．点评：前两道题考查了学生有理数的混合运算，后两道考查了学生解一元一次方程的能力．19．（1）计算：（1﹣2﹣4）×；（2）计算：÷；（3）解方程：3x+3=2x+7；（4）解方程：．考点：解一元一次方程；有理数的混合运算．专题：计算题．分析：（1）和（2）要熟练掌握有理数的混合运算；（3）和（4）首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．解答：解：（1）（1﹣2﹣4）×=﹣=﹣13；（2）原式=﹣1×（﹣4﹣2）×（﹣）=6×（﹣）=﹣9；（3）解方程：3x+3=2x+7移项，得3x﹣2x=7﹣3合并同类项，得x=4；（4）解方程：去分母，得6（x+15）=15﹣10（x﹣7）去括号，得6x+90=15﹣10x+70移项，得6x+10x=15+70﹣90合并同类项，得16x=﹣5系数化为1，得x=．点评：（1）和（2）要注意符号的处理；（4）要特别注意去分母的时候不要发生数字漏乘的现象，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则．20．解方程（1）﹣0.2（x﹣5）=1；（2）．考点：解一元一次方程．分析：（1）通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得x的值；（2）通过去分母以及去括号、移项、系数化为1等过程，求得x的值．解答：解：（1）﹣0.2（x﹣5）=1；去括号得：﹣0.2x+1=1，∴﹣0.2x=0，∴x=0；（2）．去分母得：2（x﹣2）+6x=9（3x+5）﹣（1﹣2x），∴﹣21x=48，∴x=﹣．点评：此题主要考查了一元一次方程解法，解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．21．解方程：（x+3）﹣2（x﹣1）=9﹣3x．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：先去括号得x+3﹣2x+2=9﹣3x，然后移项、合并同类得到2x=4，然后把x的系数化为1即可．解答：解：去括号得x+3﹣2x+2=9﹣3x，移项得x﹣2x+3x=9﹣3﹣2，合并得2x=4，系数化为1得x=2．点评：本题考查了解一元一次方程：先去分母，再去括号，接着移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，然后合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．22．8x﹣3=9+5x．5x+2（3x﹣7）=9﹣4（2+x）．．．考点：解一元一次方程．专题：方程思想．分析：本题是解4个不同的一元一次方程，第一个通过移项、合并同类项及系数化1求解．第二个先去括号再通过移项、合并同类项及系数化1求解．第三个先去分母再同第二个．第四个先分子分母乘以10，再同第三个求解．解答：8x﹣3=9+5x，解：8x﹣5x=9+3，3x=12，∴x=4．∴x=4是原方程的解；5x+2（3x﹣7）=9﹣4（2+x），解：5x+6x﹣14=9﹣8﹣4x，5x+6x+4x=9﹣8+14，15x=15，∴x=1．∴x=1是原方程的解．．解：3（x﹣1）﹣2（2x+1）=12，3x﹣3﹣4x﹣2=12，3x﹣4x=12+3+2，﹣x=17，∴x=﹣17．∴x=﹣17是原方程的解．，解：，5（10x﹣3）=4（10x+1）+40，50x﹣15=40x+4+40，50x﹣40x=4+40+15，10x=59，∴x=．∴x=是原方程的解．点评：此题考查的知识点是解一元一次方程，关键是注意解方程时的每一步都要认真仔细，如移项时要变符号．23．解下列方程：（1）0.5x﹣0.7=5.2﹣1.3（x﹣1）；（2）=﹣2．考点：解一元一次方程．分析：（1）首先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1，即可求解；（2）首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化成1，即可求解解答：解：（1）去括号，得：0.5x﹣0.7=5.2﹣1.3x+1.3移项，得：0.5x+1.3x=5.2+1.3+0.7合并同类项，得：1.8x=7.2，则x=4；（2）去分母得：7（1﹣2x）=3（3x+1）﹣42，去括号，得：7﹣14x=9x+3﹣42，移项，得：﹣14x﹣9x=3﹣42﹣7，合并同类项，得：﹣23x=﹣46，则x=2．点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．24．解方程：（1）﹣0.5+3x=10；（2）3x+8=2x+6；（3）2x+3（x+1）=5﹣4（x﹣1）；（4）．考点：解一元一次方程．分析：（1）移项，合并同类项，然后系数化成1即可求解；（2）移项，合并同类项，然后系数化成1即可求解；（3）去括号、移项，合并同类项，然后系数化成1即可求解；（4）首先去分母，然后去括号、移项，合并同类项，然后系数化成1即可求解．解答：解：（1）3x=10.5，x=3.5；（2）3x﹣2x=6﹣8，x=﹣2；（3）2x+3x+3=5﹣4x+4，2x+3x+4x=5+4﹣3，9x=6，x=；（4）2（x+1）+6=3（3x﹣2），2x+2+6=9x﹣6，2x﹣9x=﹣6﹣2﹣6，﹣7x=﹣14，x=2．点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．25．解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：方程两边乘以10去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．解答：解：去分母得：5（3x﹣1）﹣2（5x﹣6）=2，去括号得：15x﹣5﹣10x+12=2，移项合并得：5x=﹣5，解得：x=﹣1．点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．26．解方程：（1）10x﹣12=5x+15；（2）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解；（2）先去括号，再移项、合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：（1）移项，得10x﹣5x=12+15，合并同类项，得5x=27，方程的两边同时除以5，得x=；（2）去括号，得=，方程的两边同时乘以6，得x+1=4x﹣2，移项、合并同类项，得3x=3，方程的两边同时除以3，得x=1．点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．27．解方程：（1）8y﹣3（3y+2）=7（2）．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解；（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．解答：解：（1）去括号得，8y﹣9y﹣6=7，移项、合并得，﹣y=13，系数化为1得，y=﹣13；（2）去分母得，3（3x﹣1）﹣12=2（5x﹣7），去括号得，9x﹣3﹣12=10x﹣14，移项得，9x﹣10x=﹣14+3+12，合并同类项得，﹣x=1，系数化为1得，x=﹣1．点评：本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．28．当k为什么数时，式子比的值少3．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：先根据题意列出方程，再根据一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．解答：解：依题意，得=+3，去分母得，5（2k+1）=3（17﹣k）+45，去括号得，10k+5=51﹣3k+45，移项得，10k+3k=51+45﹣5，合并同类项得，13k=91，系数化为1得，k=7，∴当k=7时，式子比的值少3．点评：本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．29．解下列方程：（I）12y﹣2.5y=7.5y+5（II）．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据一元一次方程的解法，移项，合并同类项，系数化为1即可得解；（Ⅱ）是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．解答：解：（Ⅰ）移项得，12y﹣2.5y﹣7.5y=5，合并同类项得，2y=5，系数化为1得，y=2.5；（Ⅱ）去分母得，5（x+1）﹣10=（3x﹣2）﹣2（2x+3），去括号得，5x+5﹣10=3x﹣2﹣4x﹣6，移项得，5x﹣3x+4x=﹣2﹣6﹣5+10，合并同类项得，6x=﹣3，系数化为1得，x=﹣．点评：本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．30．解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：由于方程的分子、分母均有小数，利用分数的基本性质，分子、分母同时扩大相同的倍数，可将小数化成整数．解答：解：原方程变形为，（3分）去分母，得3×（30x﹣11）﹣4×（40x﹣2）=2×（16﹣70x），（4分）去括号，得90x﹣33﹣160x+8=32﹣140x，（5分）移项，得90x﹣160x+140x=32+33﹣8，（6分）合并同类项，得70x=57，（7分）系数化为1，得．（8分）点评：本题考查一元一次方程的解法．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．本题的难点在于方程的分子、分母均有小数，将小数化成整数不同于去分母，不是方程两边同乘一个数，而是将分子、分母同乘一个数．。

发动机原理与构造习题解答精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版发动机原理与构造习题解答一、发动机的工作原理和总体构造1、汽车发动机通常是由哪些机构与系统组成？它们各有什么功用？(1) 曲柄连杆机构：进行热功转换。

曲柄连杆机构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。

它由机体组、活塞连杆组和曲轴飞轮组等组成。

在作功行程中，活塞承受燃气压力在气缸内作直线运动，通过连杆转换成曲轴的旋转运动，并从曲轴对外输出动力。

而在进气、压缩和排气行程中，飞轮释放能量又把曲轴的旋转运动转化成活塞的直线运动。

(2) 配气机构：控制进、排气门的开启时刻及延续时间。

配气机构的功用是根据发动机的工作顺序和工作过程，定时开启和关闭进气门和排气门，使可燃混合气或空气进入气缸，并使废气从气缸内排出，实现换气过程。

配气机构大多采用顶置气门式配气机构，一般由气门组、气门传动组和气门驱动组组成。

(3) 燃料供给系统：汽油机：由化油器向气缸供给由汽油与空气混合的混合气。

柴油机：由喷油泵提供雾状柴油，通过喷油器喷入气缸。

汽油机燃料供给系的功用是根据发动机的要求，配制出一定数量和浓度的混合气，供入气缸，并将燃烧后的废气从气缸内排出到大气中去；柴油机燃料供给系的功用是把柴油和空气分别供入气缸，在燃烧室内形成混合气并燃烧，最后将燃烧后的废气排出。

(4) 润滑系统：减少相对运动部件的摩擦阻力，减轻磨损。

润滑系的功用是向作相对运动的零件表面输送定量的清洁润滑油，以实现液体摩擦，减小摩擦阻力，减轻机件的磨损。

并对零件表面进行清洗和冷却。

润滑系通常由润滑油道、机油泵、机油滤清器和一些阀门等组成。

(5) 冷却系统：降低气缸及高温部件的高温，使发动机保持正常的工作温度。

冷却系的功用是将受热零件吸收的部分热量及时散发出去，保证发动机在最适宜的温度状态下工作。

水冷发动机的冷却系通常由冷却水套、水泵、风扇、水箱、节温器等组成。

(7) 点火系统：（汽油机独有）在压缩行程接近上止点时，点火系即在火花塞电极间产生电火花以点燃混合气。

《动物营养学》习题解答【精选】

《动物营养学》课程习题解答绪论1.名词解释：营养；动物营养；动物营养学2.问答题：（1）动物营养学的任务是什么？（2）简述动物营养学在动物生产中的重要作用。

（3）简述动物营养学发展的历史、现状和未来。

第一章动物与饲料1.名词解释：营养物质；概略养分分析分案；游离水（自由水、初水分）；吸附水（结合水）；粗蛋白质；粗脂肪；粗纤维；粗灰分；无氮浸出物；非蛋白氮；中性洗涤纤维；酸性洗涤纤维；可消化养分；消化率；表观消化率与真消化率；抗营养物质2.问答题：（1）饲料中概略养分的种类有哪些？（2）说明饲料中各种营养物质的基本功能。

（3）比较动植物体化学成分的特点及差别。

（4）动物对饲料的消化方式有哪些？比较各类动物的消化特点。

（5）营养物质的吸收方式有哪些？（6）影响消化率的因素与哪些？第二章水的营养1.名词解释：代谢水；总可溶固形物2.问答题：（1）水的性质有哪些？（2）水的营养生理作用有哪些？（3）说明水的来源和排泄途经。

（4）影响动物需水量的因素有哪些？（5）水缺乏将对动物造成哪些影响？（6）衡量水质的指标有哪些？第三章蛋白质营养1.名词解释：美拉德反应（棕色反应）；瘤胃氮素循环；必需氨基酸与非必需氨基酸；半必需氨基酸与条件性必需氨基酸；限制性氨基酸；蛋白质生物学价值；净蛋白质利用率；蛋白质效率比；蛋白质化学评分；必需氨基酸指数；可消化氨基酸、可利用氨基酸与有效氨基酸；蛋白质降解率；理想蛋白质；氨基酸平衡；氨基酸互补；氨基酸拮抗；氨基酸中毒2.问答题：（1）组成蛋白质的化学元素主要有哪些？（2）蛋白质的性质及分类。

（3）蛋白质的营养生理作用？（4）影响蛋白质消化吸收的因素有哪些？（5）比较非反刍动物与反刍动物蛋白质消化代谢的特点。

（6）说明反刍动物蛋白质评定新体系的特点。

（7）说明单胃动物理想蛋白质模式的特点。

（8）动植物体内NPN的种类。

（9）反刍动物利用尿素应注意的问题。

（10）瘤胃微生物在饲料蛋白质降解过程中的利弊。

彭代渊王玲-信息论与编码理论-第二章习题解答精选全文

1第2章信息的度量2.1 同时扔一对质地均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为5”或“面朝上点数之和为8”或“两骰子面朝上点数是3和6”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？解：某一骰子扔得某一点数面朝上的概率是相等的，均为1/6，两骰子面朝上点数的状态共有36种,其中任一状态出现都是等概率的,出现概率为1/36。

设两骰子面朝上点数之和为事件a ，有：⑴ a=5时，有1+4，4+1，2+3，3+2，共4种，则该事件发生概率为4/36=1/9，则信息量为I(a)=-logp(a=5)=-log1/9≈3.17(bit)⑵ a=8时，有2+6，6+2，4+4，3+5，5+3，共5种，则p(a)=5/36,则I(a)= -log5/36≈2.85(bit) ⑶ p(a)=2/36=1/18,则I(a)=-log1/18≈4.17(bit)2.2 如果你在不知道今天是星期几的情况下问你的朋友“明天是星期几”，则答案中含有多少信息量？如果你在已知今天是星期三的情况下提出同样的问题，则答案中你能获得多少信息量（假设已知星期一至星期日的排序）？解：设“明天是星期几”为事件a ：⑴ 不知道今天是星期几：I(a)=-log1/7≈2.81(bit) ⑵ 知道今天是星期几：I(a)=-log1=0 (bit)2.3 居住某地区的女孩中有20%是大学生，在女大学生中有80%是身高1米6以上的，而女孩中身高1米6以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1米6以上的某女孩是大学生”的消息，求获得多少信息量？解：设“居住某地区的女孩是大学生”为事件a ，“身高1米6以上的女孩”为事件b ，则有： p(a)= 0.2，p(b|a)=0.8，p(b)=0.5，则“身高1米6以上的某女孩是大学生”的概率为：32.05.08.02.0)()|()()|(=⨯==b p a b p a p b a p信息量为：I=-logp(a|b)=-log0.32≈1.64(bit)2.4 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男同志：“你是否是红绿色盲？”，他回答“是”或“否”，问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中含有多少信息量？如果你问一位女同志，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：⑴ 男同志回答“是”的概率为7%=0.07，则信息量I=-log0.07≈3.84(bit) 男同志回答“否”的概率为1-7%=0.93，则信息量I=-log0.93≈0.10(bit) 平均信息量为：H 1=-(0.07×log0.07+0.93×log0.93) ≈0.37(bit/符号) ⑵ 问女同志的平均自信息量：H 2=-[0.05×log0.05+(1-0.05) ×log(1-0.05)] ≈0.045(bit/符号)2.5 如有7行9列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概率落入任一方格内，2且它们的坐标分别为（X A ，Y A ）、（X B ，Y B ），但A 、B 不能落入同一方格内。

全等三角形习题精选(含答案)

全等三角形进步演习1.如图所示,△ABC ≌△ADE,BC 的延伸线过点∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=50°,求∠DEF 2.如图,△AOB 中,∠B=30°,将△AOB绕点O 到△A ′OB ′,边A ′B ′与边OB 交于点C （A ∠A ′CO的度数为若干？3.如图所示,在△ABC 中,∠A=90°,D.E 分离是△ADB ≌△EDB ≌△EDC,则∠C 的度数是若干？4.如图所示,把△ABC 绕点C 顺时针扭转35°C,A ′B ′交AC 于点D,若∠A ′DC=90°,则∠A=5.已知,如图所示,AB=AC,AD ⊥BC 于D,且AB+BD+AD=40cm,则AD 是若干？6.如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,分离过点的垂线BC.CE,垂足分离为D.E,若BD=3,CE=2,7.如图,AD 是△ABC 的角等分线,DE ⊥AB,DF ⊥衔接EF,交AD 于G,AD 与EF 8.如图所示,在△ABC 中,AD 为∠⊥AC 于F,△ABC 的面积是28cm 2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长.9.已知,如图：AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD,∠CAF=∠DAF,求证：AF ⊥CD10.如图,AD=BD,AD ⊥BC 于D,BE ⊥AC 于E,AD 与BE BH 与AC 相等吗？为什么？A B'CBB11.如图所示,已知,AD 为△ABC 的高,E 为ACF,且有BF=AC,FD=CD,求证：BE ⊥AC12.△DAC.△EBC 均是等边三角形,AF.BD求证：（1）AE=BD （2）CM=CN（4）MN ∥BC13.已知：如图1,点C 为线段AB 上一点,△ACM.△CBN 都是等边三角形,AN 交MC 于点E,BM 交CN于点F（1）求证：AN=BM（2）求证：△CEF 为等边三角形14.如图所示,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形,下列结论：①AE=CD;②BF=BG;③BH 等分∠AHD;④∠AHC=60°;⑤△BFG 是等边三角形;⑥FG ∥AD,个中准确的有（）A ．3个个15.已知：F 在BD 上的延伸线上 16.如图：在△ABC 中,BE.CF 分离是AC.AB 双方上的高,在BE 上截取BD=AC,在CF 的延伸线上截取求证：（1）AD=AG（2）AD 与AG 的地位关系若何17．如图,已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点,点F 在BC 上,且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD-CFAA BB18．如图所示,已知△ABC 中,AB=AC,D 是CB 延伸线上一点, ∠ADB=60°,E 是AD 上一点,且DE=DB,19．如图所示,已知在△AEC 中,∠E=90°⊥AC,垂足为F,DB=DC,求证：BE=CF20．已知如图：AB=DE,直线AE.BD 订交于°,AF ∥DE,交BD 于F,求证：CF=CD21．如图,OC 是∠AOB 的等分线⊥OA 于D,PE ⊥OB 于E,F 是OC上一点,衔接DF 和EF,求证：DF=EF22．已知：如图,BF ⊥AC 于点F,CE ⊥AB 于点E,且BD=CD,求证：（1）△BDE ≌△CDF （2）点D 在∠A 的等分线上23．如图,已知AB ∥CD,O 是∠ACD 与∠BAC 的等分线的交点,OE ⊥AC 于E,且OE=2,则AB 与CD 24．如图,过线段AB BN,按下列请求绘图并答复：画∠MAB.∠NBA 的等分线交于E （1）∠AEB 是什么角？（2）过点E 作一向线交AM 于D,交BN 于C,不雅察线段DE.CE,你有何发明？（3）无论DC 的两头点在AM.BN 若何移动,只要DC 经由点E,①AD+BC=AB;②.25．如图,△ABC 长分离是20.30.40,其三条角等分线将△ABC 分为三个三角形,则S △BCC26．正方形ABCD 中,AC.BD 交于O,∠EOF=90°,已知AE=3,CF=4,则S △BEF 为若干？27．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,点D 是AB 的中点,AF ⊥CD 于H,交BC 于F,BE ∥AC 交AF 的延伸线于E,求证：BC 垂直且等分DE28．在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN 经由点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E（1）当直线MN 绕点C 扭转到图①的地位时,求证：DE=AD+BE （2）当直线MN 绕点C 扭转到图②的地位时,求证：DE=AD-BE （3）当直线MN 绕点,试问DE.AD.BE 具有1 解：∵△ABC ≌△∴∠D=∠B=50° ∵∠ACB=105°∴∠ACE=75°∵∠CAD=10° ∠ACE=75°∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°2 依据扭改变换的性质可得∠B′=∠B,因为△AOB 绕点O 顺时针扭转52°,所以∠BOB′=52°,而∠A'CO 是△B′OC 的外角,所以∠A′CO=∠B′+∠BOB′,然子女入数据进行盘算即可得解．解答：解：∵△A′OB′是由△AOB 绕点O 顺时针扭转得到,∠B=30°,∴∠B′=∠B=30°,∵△AOB 绕点O 顺时针扭转52°,∴∠BOB′=52°,∵∠A′CO 是△B′OC 的外角,∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．故选D ．3 全等三角形的性质;对顶角.邻补角;三角形内角和定理．AA剖析：依据全等三角形的性质得出∠A=∠DEB=∠DEC,∠ADB=∠BDE=∠EDC,依据邻补角界说求出∠DEC.∠EDC的度数,依据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠A=∠DEB=∠DEC,∠ADB=∠BDE=∠EDC,∵∠DEB+∠DEC=180°,∠ADB+∠BDE+EDC=180°,∴∠DEC=90°,∠EDC=60°,∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC,=180°-90°-60°=30°．4剖析：依据扭转的性质,可得知∠ACA′=35°,从而求得∠A′的度数,又因为∠A的对应角是∠A′,即可求出∠A的度数．解答：解：∵三角形△ABC绕着点C时针扭转35°,得到△AB′C′∴∠ACA′=35°,∠A'DC=90°∴∠A′=55°,∵∠A的对应角是∠A′,即∠A=∠A′,∴∠A=55°;故答案为：55°．点评：此题考核了扭转地性质;图形的扭转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点扭转固定角度的地位移动．个中对应点到扭转中间的距离相等,扭转前后图形的大小和外形没有改变．解题的症结是准确肯定对应角．5因为AB=AC 三角形ABC是等腰三角形所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因为AD垂直于BC于D,所以 BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6 解：∵BD⊥DE,CE⊥DE∴∠D=∠E∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°又∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°∵在Rt△ABD中,∠ABD+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE∵在△ABD与△CAE中{∠ABD=∠CAE∠D=∠EAB=AC∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE,AD=CE∵DE=AD+AE∵BD=3,CE=2∴DE=57证实：∵AD是∠BAC的等分线∴∠EAD＝∠FAD又∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠AED＝∠AFD＝90°边AD公共∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）∴AE＝AF即△AEF为等腰三角形而AD是等腰三角形AEF顶角的等分线∴AD⊥底边EF（等腰三角形的顶角的等分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）8 AD等分∠BAC,则∠EAD=∠FAD,∠EDA=∠DFA=90度,AD=AD所以△AED≌△AFDDE=DFS△ABC=S△AED+S△AFD28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE)DE=29AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD则△ABC≌△AEDAC=AD△ACD是等腰三角形∠CAF=∠DAFAF等分∠CAD则AF⊥CD10 解：∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90∴∠CAD+∠C＝90∵BE⊥AC∴∠BEC＝∠ADB＝90∴∠CBE+∠C＝90∴∠CAD＝∠CBE∵AD＝BD∴△BDH≌△ADC （ASA）11 解：（1）证实：∵AD⊥BC（已知）,∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直界说）,∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中,∴Rt△BDF≌Rt△ADC（）.∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.∵∠1＋∠2=90°（已证）,所以∠1＋∠C=90°.∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°）,∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC（垂直界说）;12 证实：（1）∵△DAC.△EBC均是等边三角形,∴AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中,AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE=BD（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB,即∠CAM=∠CDN．∵△DAC.△EBC均是等边三角形,∴AC=DC,∠ACM=∠BCE=60°．又点A.C.B在统一条直线上,∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°,即∠DCN=60°．∴∠ACM=∠DCN．在△ACM和△DCN中,∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM=CN．(3)由（2）可知CM=CN,∠DCN=60°∴△CMN为等边三角形(4)由(3)知∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°∴∠CMN+∠MCB=180°∴MN//BC13剖析：（1）由等边三角形可得其对应线段相等,对应角相等,进而可由SAS得到△CAN≌△MCB,结论得证;（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB,进而得出∠MCF=∠ACE,由ASA得出△CAE≌△CMF,即CE=CF,又ECF=60°,所以△CEF为等边三角形．解答：证实：（1）∵△ACM,△CBN是等边三角形,∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°,在△CAN和△MCB中,AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=BC,∴△CAN≌△MCB（SAS）,∴AN=BM．（2）∵△CAN≌△CMB,∴∠CAN=∠CMB,又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°,∴∠MCF=∠ACE,在△CAE和△CMF中,∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF,∴△CAE≌△CMF（ASA）,∴CE=CF,∴△CEF为等腰三角形,又∵∠ECF=60°,∴△CEF为等边三角形．点评：本题重要考核了全等三角形的剖断及性质以及等边三角形的剖断问题,可以或许控制并闇练应用．14考点：等边三角形的性质;全等三角形的剖断与性质;扭转的性质．剖析：由题中前提可得△ABE≌△CBD,得出对应边.对应角相等,进而得出△BGD≌△BFE,△ABF≌△CGB,再由边角关系即可求解题中结论是否准确,进而可得出结论．解答：解：∵△ABC与△BDE为等边三角形,∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,∴∠ABE=∠CBD,即AB=BC,BD=BE,∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD,∠BDC=∠AEB,又∵∠DBG=∠FBE=60°,∴△BGD≌△BFE,∴BG=BF,∠BFG=∠BGF=60°,∴△BFG是等边三角形,∴FG∥AD,∵BF=BG,AB=BC,∠ABF=∠CBG=60°,∴△ABF≌△CGB,∴∠BAF=∠BCG,∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°,∴∠AHC=60°,∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°,∴B.G.H.F四点共圆,∵FB=GB,∴∠FHB=∠GHB,∴BH等分∠GHF,∴题中①②③④⑤⑥都准确．故选D．点评：本题重要考核了等边三角形的性质及全等三角形的剖断及性质问题,可以或许闇练控制．15考点：全等三角形的剖断与性质．剖析：细心剖析题意,若能证实△ABF≌△GCA,则可得AG=AF．在△ABF和△GCA中,有BF=AC.CG=AB这两组边相等,这两组边的夹角是∠ABD和∠ACG,从已知前提中可推出∠ABD=∠ACG．在Rt△AGE中,∠G+∠GAE=90°,而∠G=∠BAF,则可得出∠GAF=90°,即AG⊥AF．解答：解：AG=AF,AG⊥AF．∵BD.CE分离是△ABC的边AC,AB上的高．∴∠ADB=∠AEC=90°∴∠ABD=90°-∠BAD,∠ACG=90°-∠DAB,∴∠ABD=∠ACG在△ABF和△GCA中 BF=AC ∠ABD=∠ACG AB=CG ．∴△ABF≌△GCA（SAS）∴AG=AF∠G=∠BAF又∠G+∠GAE=90度．∴∠BAF+∠GAE=90度．∴∠GAF=90°∴AG⊥AF．点评：本题考核了全等三角形的剖断和性质;要肄业生应用全等三角形的剖断前提及等量关系灵巧解题,考核学生对几何常识的懂得和控制,应用所学常识,造就学生逻辑推理才能,规模较广．16 1.证实：∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90∴∠ACF+∠BAC＝90,∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF∵BD＝AC,CG＝AB∴△ABD≌△GCA （SAS）∴AG＝AD2.AG⊥AD证实∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90∴AG⊥AD17过E做EG⊥AF于G,衔接EF∵ABCD是正方形∴∠D=∠C=90°AD=DC∵∠DAE=∠FAE,ED⊥AD,EG⊥AF∴DE=EGAD=AG∵E是DC的中点∴DE=EC=EG∵EF=EF∴Rt△EFG≌Rt△ECF∴GF=CF∴AF=AG+GF=AD+CF18因为：角EDB=60°DE=DB所以：△EDB是等边三角形,DE=DB=EB过A作BC的垂线交BC于F因为：△ABC是等腰三角形所以：BF=CF,2BF=BC又：角DAF=30°所以：AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】（AE+ED）=2DB+BC,个中ED=DB所以：AE=DB+BC,AE=BE+BC19填补：B是FD延伸线上一点;ED=DF（角等分线到双方上的距离相等）;BD=CD;角EDB=FDC（对顶角）;则三角形EDB全等CDF;则BE=CF;或者填补：B在AE边上;ED=DF（角等分线到双方上的距离相等）;DB=DC则两直角三角形EDB全等CDF（HL）即BE=CF20解：∵AF//DE∴∠D=∠AFC∵∠B＋∠D=180°,,∠AFC＋∠AFB=180°∴∠B=∠AFB∴AB=AF=DE△AFC和△EDC中：∠B=∠AFB,∠ACF=∠ECD(对顶角）,AF=DE∴△AFC≌△EDC∴CF=CD21 证实：∵点P在∠AOB的角等分线OC上,PE⊥OB,PD⊥AO,∴PD=PE,∠DOP=∠EOP,∠PDO=∠PEO=90°,∴∠DPF=∠EPF,在△DPF和△EPF中PD=PE∠DPF=∠EPFPF=PF （SAS）,∴△DPF≌△EPF∴DF=EF．22 考点：全等三角形的剖断与性质．专题：证实题．剖析：（1）依据全等三角形的剖断定理ASA证得△BED≌△CFD;（2）衔接AD．应用（1）中的△BED≌△CFD,推知全等三角形的对应边ED=FD．因为角等分线上的点到角的双方的距离相等,所以点D在∠A的等分线上．解答：证实：（1）∵BF⊥AC,CE⊥AB,∠BDE=∠CDF（对顶角相等）,∴∠B=∠C（等角的余角相等）;在Rt△BED和Rt△CFD中,∠B=∠CBD=CD(已知)∠BDE=∠CDF,∴△BED≌△CFD（ASA）;（2）衔接AD．由（1）知,△BED≌△CFD,∴ED=FD（全等三角形的对应边相等）,∴AD是∠EAF的角等分线,即点D在∠A的等分线上．点评：本题考核了全等三角形的剖断与性质．经常应用的剖断办法有：ASA,AAS,SAS,SSS,HL等,做题时需灵巧应用．23考点：角等分线的性质．剖析：请求二者的距离,起首要作出二者的距离,过点O作FG⊥AB,可以得到FG⊥CD,依据角等分线的性质可得,OE=OF=OG,即可求得AB与CD之间的距离．解答：解：过点O作FG⊥AB,∵AB∥CD,∴∠BFG+∠FGD=180°,∵∠BFG=90°,∴∠FGD=90°,∴FG⊥CD,∴FG就是AB与CD之间的距离．∵O为∠BAC,∠ACD等分线的交点,OE⊥AC 交AC于E,∴OE=OF=OG（角等分线上的点,到角双方距离相等）,∴AB与CD之间的距离等于2•OE=4．故答案为：4．点评：本题重要考核角等分线上的点到角双方的距离相等的性质,作出AB与CD之间的距离是准确解决本题的症结．24考点：梯形中位线定理;平行线的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的性质．专题：作图题;探讨型．剖析：（1）由两直线平行同旁内角互补,及角等分线的性质不可贵出∠1+∠3=90°,再由三角形内角和等于180°,即可得出∠AEB 是直角的结论;（2）过E点作帮助线EF使其平行于AM,由平行线的性质可得出各角之间的关系,进一步求出边之间的关系;（3）由（2）中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线,可知无论DC的两头点在AM.BN若何移动,只要DC经由点E,AD+BC的值总为必定值．解答：解：（1）∵AM∥BN,∴∠MAB+∠ABN=180°,又AE,BE分离为∠MAB.∠NBA的等分线,∴∠1+∠3=12（∠MAB+∠ABN）=90°,∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°,即∠AEB为直角;（2）过E点作帮助线EF使其平行于AM,如图则EF∥AD∥BC,∴∠AEF=∠4,∠BEF=∠2,∵∠3=∠4,∠1=∠2,∴∠AEF=∠3,∠BEF=∠1,∴AF=FE=FB,∴F为AB的中点,又EF∥AD∥BC,依据平行线等分线段定理得到E为DC中点,∴ED=EC;（3）由（2）中结论可知,无论DC的两头点在AM.BN若何移动,只要DC经由点E,总知足EF为梯形ABCD中位线的前提,所以总有AD+BC=2EF=AB．点评：本题是盘算与作图相联合的摸索．对学生应用作图对象的才能,以及应用直角三角形.等腰三角形性质,三角形内角和定理,及梯形中位线等基本常识解决问题的才能都有较高的请求．25如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分离是20,30,40,其三条角等分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5考点：角等分线的性质．专题：数形联合．剖析：应用角等分线上的一点到角双方的距离相等的性质,可知三个三角形高相等,底分离是20,30,40,所以面积之比就是2：3：4．解答：解：应用同高不合底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．点评：本题重要考核了角等分线上的一点到双方的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的,这点式异常重要的．26解：正方形ABCD∵AB＝BC,AO＝BO＝CO,∠ABC＝∠AOB＝∠COB＝90,∠ABO＝∠BCO ＝45∴∠BOF+∠COF＝90∵∠EOF＝90∴∠BOF+∠BOE＝90∴∠COF＝∠BOE∴△BOE≌△COF （ASA）∴BE＝CF∵CF＝4∴BE＝4∵AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+4＝7∴BF＝BC-CF＝7-4＝3∴S△BEF＝BE×BF/2＝4×3/2＝627考点：线段垂直等分线的性质;全等三角形的剖断与性质．专题：证实题．剖析：证实出△DBP≌△EBP,即可证实BC垂直且等分DE．解答：证实：在△ADC中,∠DAH+∠ADH=90°,∠ACH+∠ADH=90°,∴∠DAH=∠DCA,∵∠BAC=90°,BE∥AC,∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA,∴在△ABE与△CAD中,∠DAH=∠DCA∠CAD=∠ABEAB=AC∴△ABE≌△CAD（ASA）,∴AD=BE,又∵AD=BD,∴BD=BE,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,故∠ABC=45°．∵BE∥AC,∴∠EBD=90°,∠EBF=90°-45°=45°,∴△DBP≌△EBP（SAS）,∴DP=EP,即可得出BC垂直且等分DE．点评：此题症结在于转化为证实出△DBP≌△EBP．经由过程应用图中所给信息,证实出两三角形类似,而证实类似可以经由过程证实角相等和线段相等来实现．28 1）证实：∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD;（2）证实：在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB,∴△ADC≌△CEB（AAS）,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE;（3）DE=BE-AD．证实的办法与（2）雷同已赞成9| 评论(2)。

部编版道德与法治三年级上册(教科书全册)课本习题解答(教师使用)精选全文

可编辑修改精选全文完整版部编版道德与法治三年级上册（教科书全册）课本习题解答第一单元学习快乐第1课学习伴我成长P2:让我们追寻成长的脚步，回想一下我们是怎样在学习中成长起来的。

答：从出生到现在，我们成长的每一步都离不开学习。

儿时在妈妈耐心地一遍遍口语示范下，我学会了说话；在爸爸小心地搀扶下，我学会了走路；上幼儿园了，奶奶教我自己整理玩具；和爷爷过马路的时候，爷爷教我“红灯停，绿灯行”的交通规则。

在学校，老师传授给我们各种文化、科学知识，教给我们做人的道理······我们就像小树，在学习中成长。

P3:1.从出生到现在，我们已经有了很多本领。

这些本领都是天生就有的吗？答：这些本领不是天生就有的，而是我们通过学习后天形成的。

我们通过不停地向周围的人学习，从一个嗷嗷待哺的婴儿成长为现在聪明能干的小学生。

2.你在学习中获得的本领有：答：示例：我能写很多字了，还能读书了；我还学了礼仪，会使用礼貌用语了；在美术课上我学会了做手工；我还知道怎样上网查阅资料等。

3.如果没有学到这些本领，我们会是什么样子呢？答：如果没有学到这些本领，我们就无法与人交流，无法融入社会；我们的日常生活就不能处理，我们的身心健康就会受到影响；我们无法适应学校生活，无法取得进步。

P4:我们小孩子需要学习，那么大人是否还需要学习呢？让我们去调查一下，看看大人们还在学什么。

示例：P6:1.你知道学习的途径有哪些吗？答：学习的途径有：在学校学习；向他人请教；观察大自然；上网查阅资料；阅读课外书籍、图书馆查阅资料等。

2.玩耍对我们来说是很重要的学习途径。

说说自己在玩耍中学到了什么。

答：在与同学的交往中我学会了人与人之间如何友好相待；在野外玩耍时我学会了观察大自然；参观科技馆时我学到了不少科学知识；在和小朋友踢球时我学会了团结合作等。

第2课我们学习，我们快乐P10:向同学推荐几本好书，把书名写在上面，再把书中你喜欢的内容讲给同学听。

习题及解答——精选推荐

=100.91×；=177.55×=136.69×1n =20.7936-2788.51/1n =20.9065-3096.52/1n =20.989 1-3346.65/和ψ 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9F(ψ) -1.051 -3.516 2.04 2.123 0.825 0.547 0.4245 0.346 0.242 -0.0977 以ψ为横坐标，F（ψ）为纵坐标作图得迭代次数ψ)(ψf)(ψdf /ψd1 0.1 0.366 0.5642 0.75 0.0436 0.511 30.840.0092—∑=31i ix＝0.999，∑=31i iy＝1.008，结果以满意9. 在101.3 kPa 下，对组成为45 %（摩尔百分数，下同）正已烷，25 %正庚烷及30 %正辛烷的混合物计算。

（1）泡点和露点温度（2）将此混合物在101.3kPa 下进行闪蒸，使进料的50 % 汽化。

求闪蒸温度，两相的组成。

解：因为各组分都是烷烃，所得的汽、液相均可看成理想溶液，i K 只取决于温度和压力，若计算精度不要求非常高可使用烃类的P －T －K 图，见图2-1假设T ＝82℃，由P ＝101.3kPa 得下表：组分i xi Ki i i x K y =正己烷 45％ 1.5 0.675 正庚烷 25％ 0.63 0.158 正辛烷30％0.280.084∑iixK ＝0.917<1，说明所设温度偏低，重设T ＝85.8℃，得组分i xi Ki i i x K y =正己烷 45％ 1.6 0.72 正庚烷 25％ 0.7 0.175 正辛烷30％0.310.093∑iixK ＝1.008≈1，故泡点温度为85.8℃。

同理，可迭代求出露点温度设T ＝95℃，此时组分iyiKix ＝iy /iK正己烷 45％ 2.0 0.225 正庚烷 25％ 0.9 0.278 正辛烷30％0.4250.705∑i y /i K =1.2068>1，所设温度偏低，重设T ＝102.4℃，得组分i yi Ki x ＝i y /i K正己烷 45％ 2.35 0.1915 正庚烷 25％ 1.08 0.2315 正辛烷30％0.5200.5769组分 i xi y正己烷 31.0％ 58.90％正庚烷 27.0％ 22.45％正辛烷 42.85％17.14％结果（1）泡点：85.8oC ，露点：102.4oC ；（2）闪蒸温度94.1oC ；气相组成：正已烷—0.31，正庚烷—0.27，正辛烷—0.43；液相组成：正已烷—0.59，正庚烷—0.23，正辛烷—0.17。

完整版)解一元一次方程习题精选附答案

完整版)解一元一次方程习题精选附答案6.2.4 解一元一次方程一、解答题（共30小题）1.解方程：2x+1=7.2.删除此题。

3.（1）解方程：4-x=3(2-x)；2）解方程：删除此题。

4.解方程：删除此题。

5.解方程：1）4(x-1)-3(20-x)=5(x-2)；2）x-1=2(x+1)。

6.（1）解方程：3(x-1)=2x+3；2）解方程：x-1=3(x-2)。

7.-1+2x=3x+1.8.解方程：1）5(x-1)-2(x+1)=3(x-1)+x+1；2）删除此题。

9.解方程：删除此题。

10.解方程：1）4x-3(4-x)=2；2）(x-1)+2=2-(x+2)。

11.（1）计算：删除此题。

2）解方程：删除此题。

12.解方程：删除此题。

13.解方程：1）删除此题。

2）删除此题。

14.解方程：1）5(2x+1)-2(2x-3)=6；2）x+2；3）3(x-1)+2=5x-1.15.（A类）解方程：5x-2=7x+8；B类）解方程：(x-1)-(x+5)=-2；C类）解方程：删除此题。

16.解方程：1）3(x+6)=9-5(1-2x)；2）删除此题；3）删除此题；4）删除此题。

17.解方程：1）4x-3(5-x)=13；2）x+3.18.（1）计算：-42x+|-2|3x(-1)；2）计算：-12-|0.5-2|÷2×[-2-(-3)2]；3）4x-3(5-x)=2；4）(x+1)+2=4(x-1)。

19.（1）计算：-1-2-4×(-2)；2）计算：-6÷2；3）3x+3=2x+7；4）2x-3=5x+1.20.解方程：1）-0.2(x-5)=1；2）删除此题。

21.解方程：(x+3)-2(x-1)=9-3x。

22.8x-3=9+5x；5x+2(3x-7)=9-4(2+x)。

23.解下列方程：1）0.5x-0.7=5.2-1.3(x-1)；2）x+3=-2.24.解方程：1）-0.5+3x=10；2）x= -1；3）5x+3=1；4）删除此题。

生物的遗传习题精选及解答

生物的遗传习题精选及解答1、“种瓜得瓜，种豆得豆”这句俗语说明自然界中普遍存在着()。

A．生殖现象B．遗传现象C．进化现象D.变异现象解“种瓜得瓜：种豆得豆”这句俗语说明生物的亲代和子代之间在性状上能稳定遗传，说明自然界中普遍存在着遗传现象。

选项B正确。

2、性状是指()。

A．生物体的形状B．生物体的性别C．生物体的形态、生理特征D．生物体的大小解性状是指生物体所表现出来的特征，包括外部形态、内部结构和生理功能等特征。

选项C正确。

3、人类的遗传物质主要存在于()。

A．细胞质中B．细胞膜中C．细胞核中D．细胞的各个部分解人体的体细胞和生殖细胞中都含有遗传物质，大部分遗传物质存在于细胞核中，附着在染色体上，极少部分存在于细胞质中，细胞膜中则不存在遗传物质。

选项C正确4、人体细胞中含染色体()。

A．23条B．46对C．23对D．30条解人的每个体细胞中都含有23XtBp 46条染色体。

选项C正确。

5、下列有关人类基因的描述，错误的是()。

A．基因是遗传物质中决定生物性状的小单位B．基因都是成对存在的C．一对基因中、可能都是隐性的D．一对基因，一个来自父方，一个来自母方解A项中叙述的是基因的概念，是正确的。

而基因在体细胞中成对存在，在生殖细胞中则成单存在。

一对基因可能都是隐性的，此时生物体表现出隐性性状，而且，一对基因中，一个来自父方，一个来自母方，因为体细胞中的染色体有一半来自父方的精子，一半来自母方的卵细胞。

应选选项B。

6、下列病症中，不属于遗传病的是()。

A．色盲B糖尿病C.白化病D．侏儒症解遗传病是指由遗传物质发生改变引起的、可遗传的疾病，色盲、白化病和糖尿病都属于遗传病。

侏儒症则是由于少儿体内缺少生长激素引起的,不是遗传病。

选项D正确。

7、禁止近亲结婚的目的是()。

A．防止遗传病的发生B．防止遗传病的传播C．减小遗传病发生的机率D．缩小遗传病发生的范围解近亲是指直系血亲和三代以内旁系血亲，由于近亲很可能从共同的祖先那里继承了同一个隐性致病基因，因而近亲结婚会增大隐性遗传病的发病机率，禁止近亲结婚则可以减小遗传病的发病机率，但不能防止遗传病的发生。

解一元一次方程习题精选附答案

2．
考点：
解一元一次方程．
专题：
计算题．
分析：
这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
解答：
解：左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），
化简可得：3x+3=8x﹣8，
移项可得：5x=11，
解可得x= ．
故原方程的解为x= ．
点评：
若是分式方程，先同分母，转化为整式方程后，再移项化简，解方程可得答案．
解：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+1
3x﹣7=4x﹣2
∴x=﹣5；
（2）原方程可化为：
去括号得：6﹣3x﹣18=﹣3，
移项合并得：﹣3x=9，
∴x=﹣3．
点评：
本题易在去分母和移项中出现错误，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
5．解方程
（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；
（2）x﹣ =2﹣ ．
考点：
解答：
解：（1）3x﹣3=2x+3
3x﹣2x=3+3
x=6；
（2）方程两边都乘以6得：x+3=6x﹣3（x﹣1）
x+3=6x﹣3x+3
x﹣6x+3x=3﹣3
﹣2x=0
∴x=0．
点评：
本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以要学会分开进行，从而达到分解难点的效果．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．

《近似数与有效数字》习题精选及参考答案

《近似数与有效数字》习题精选及参考答案一、选择题1．由四舍五入得到的近似数，它的精确度是精确到() ．A．十分位B．百分位C．千分位D．万分位2．将近似数精确到时，有效数字有() ．A．5、1、9 B．5、2 C．5、2、0 D．5、l、9、73．将数375800精确到万位的近似数是() ．A．38 B．380000 C．37. 6万D．4．下列说法正确的是() ．A．近似数4000和4万的精确度一样B．将圆周率精确到千分位后有四个有效数字3、1、4、2C．近似数与近似数的精确度一样D．354600精确到万位是3500005．若有两个数、，用四舍五入法得到的近似数分别是和，则、应满足() ．A．的精确度高B．的精确度高C．与的精确度相同D．，的精确度不能确定6．近似数5和的准确值的取值范围大小关系是() ．A．的取值范围大B．5的取值范围大C．取值范围相同D．不能确定7．用四舍五入法得到的近似数，其准确数的范围是() ．A． B ．C．D．二、填空题1．由四舍五入得到的近似数0.600的有效数字是________．2. 用四舍五入法取近似值，3.1415926精确到百分位的近似值是_________，精确到千分位近似值是________．3. 用四舍五入法取近似值，0.01249精确到0.001的近似数是_________，保留三个有效数字的近似数是___________．4. 用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是______________；保留两个有效数字的近似数是____________．5. 用四舍五入法得到的近似值0.380精确到_____位，48.68万精确到___位．6．将保留三个有效数字为__________．7．一天有86400秒，这个数保留一位有效数字应为__________．8．若称得小明体重约为48千克，则小明的准确体重的范围是_________．三、解答题1．下列各数是近似数，还是准确数？（1）公共汽车从小宏家到学校只有3站；（2）他每天都工作9小时或10小时；（3）这个城市有200万人口；（4）5月份有31天；（5）他身高1.69米；（6）吃晚饭的时间是17时．2．把一个四位数四舍五入到十位，所得数再四舍五入到百位，再四舍五入到千位，恰为2000，这个数至少是多少？参考答案：一、1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B二、1. 3个；2. 3.14，3.142；3. 0.012，0.0125；4. 400，4.0×102．5. 千分，百．6．． 7．．8．．三、1．（1）准确数；（2）近似数；（3）近似数；（4）准确数；（5）近似数；（6）近似数提示：身高的测量与时间的掌握不会十分精确．2．1445提示：每次引起“入”的数（位置在最右边）都是5．内容丰富的数──0问一个小学生：“0表示什么？”他会立刻回答：“表示没有．”但对于学习了有理数的中学生，就不能再说“0表示没有”了．在数轴上，数0和其他的数一样，可以用一个点表示，表示0的点是一个分界点，正数、负数以0分界．数0是数轴上原点的坐标，也是数轴的三要素(原点、方向、单位长)之一．没有原点就不能确定数轴．温度是0℃，0℃读作“零摄氏度”，表示在1标准大气压下，纯水结冰的温度，也表示一个特定的温度，不能说没有温度．用0可以表示数位．如20，0.04中的0都表示数位．20与2大不相同，0.04与4也大不相同．20中的0表示个位；0.04中小数点前的0表示个位，小数点后的零表示十分位．0是整数，是一个非负、非正的中性数．它小于一切正数，大于一切负数．是正负数的分界点．0是一个了不起的数，它有重要的特性：在加减法中，一个数加、减0，原数不变，等于不加不减，即a+0＝0+a＝a， a-0＝a．在乘除法中，0与任何数相乘，得到的积是0；0被任何非0数除，得到的商仍然是0．即a×0＝0×a＝0，0÷a＝0(a≠0)．此外，0没有倒数；0的相反数还是0(-0＝0)；0的绝对值是0(|0|＝0)．0有丰富的内容，“没有”仅是0的意义的一个方面．在学习数学中，将会遇到许多与0有关的数学概念．近似数与有效数字中的几个问题1．精确度(精确到哪一位数)的意义大家都会用四舍五入法求一个准确数的近似值．例如，46.3172精确到0.01的近似值是46.32，这里精确度是事先规定的．又如用刻度尺测量书本的长度，得20.3cm，这个数量也是近似数，它精确到0.1cm．这个精确度是根据度量工具的限制(常用的刻度尺只标明“毫米”)由四舍五入的法则规定的．可以推断，书本长度的准确值在20.25cm到20.35cm之间，即它一定小于20.35cm而大于或等于20.25cm，所以用四舍五入截取一个准确数的近似数后，可以根据近似数和精确度推断出准确数的范围，这就是精确度的意义．2．有效数字的意义用刻度尺测量桌子的长度，得到106.5cm，这个近似数精确到0.1cm，它与上面量出的书本长度的两个近似数与准确数误差都不超过0.05cm，因此人们常常认为它们分别表示书本和桌子长度时，精确度是一样的．但是，当我们从下面的角度去想这个问题时，就会发现它们的“精确程度”是不一样的．度量课本长度时，平均每厘米产生的误差最多是，而度量桌子时，平均每厘米产生的误差最多是，为什么精确程度是一样的两个近似数会有这种差别呢？从上面的算式不难发现：分子都是0.05，分母大小不相同．也就是说，20.3有三个有效数字，106.5有四个有效数字．由此我们可以看出，一个近似数的有效数字越多，每单位数量产生的误差(即相对误差)就越小，这个近似数的精确度就越高，这就是“有效数字”的意义．3．近似数1.6与1.60的区别(1)有效数字不同：1.6只有两个有效数字，而1.60有三个有效数字．(2)精确度不同：1.6精确到十分位，与准确数的误差不超过0.05，它所代表的准确值在1.55到1.65之间，即小于1.65而大于或等于1.55；1.60精确到百分位，它与准确数误差不超过0.005，它所代表的准确值在1.595到1.605之间，即小于1.605而大于或等于1.595．由此可见，1.60比1.6的精确度高，故必须注意：近似数末尾的“0”不能随便去掉！例1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？(1)10亿； (2)2.4万； (3)1.060×105．解(1)精确到亿位，有两个有效数字1，0；(2)精确到千位，有两个有效数字2，4；(3)精确到百位，有四个有效数字1，0，6，0．说明有些同学认为，(1)精确到个位；(2)精确到十分位；(3)精确到千分位，其实错了．在(1)中，它是四舍五入到亿位(这里的0是亿位，而不是个位)；在(2)中，它是四舍五入到千位(这里的4是千位而不是十分位)；在(3)中，它四舍五入到百位(这里的0是百位而不是千分位)．此外，对于用科学记数法表示的数a×10n(1≤|a|＜10，n是正整数)，有效数字由a的有效数字确定，精确度要将它化为原数来确定．如1.060×105=106000，易知它精确到百位．例2 用四舍五入法，按下列要求对原数按括号中的要求取近似值：(1)37024(精确到千位)；(2)3045(保留两个有效数字)．解(1)37024=3.7024×104≈3.7×104；(2)3045=3.045×103≈3.0×103．八达岭长城全长一万二千多里，是世界上最伟大的建筑之一．长城始建于秦始皇时期，经过历代的增补修筑，现在我们能看到的长城几乎都是明代所建．八达岭长城是明长城中保存最好的一段，也是最具代表性的一段．这里是长城重要关口居庸关的前哨，海拔高达1015米，地势险要，城关坚固，历来是兵家必争之地．登上八达岭长城，极目远望，山峦起伏，雄沉刚劲的北方山势，尽收眼底．长城因山势而雄伟，山势因长城更加险峻．“不到长城非好汉”，到北京不登长城，犹如到上海不游城隍庙一样，是不可想象的．迄今为止，已有包括尼克松、撒切尔夫人等在内的三百多位世界知名人士曾登上八达岭一览这里的山河秀色．第五次全国人口普查公报（第1号）2001-05-15 11:01:42根据国务院的决定，我国于2000年11月1 日进行了第五次全国人口普查的登记工作．在国务院和地方各级人民政府的统一领导和全国各族人民的支持配合下，通过近千万普查工作人员艰苦努力，又经过事后质量抽查，圆满完成了人口普查的现场登记和复查任务．目前，普查的全部资料正在用电子计算机进行数据处理．主要数据的快速汇总工作已经结束，现公布如下：一、总人口全国总人口为129533万人．其中：祖国大陆31个省、自治区、直辖市（不包括福建省的金门、马祖等岛屿，下同）和现役军人的人口共126583万人．香港特别行政区人口为678万人．澳门特别行政区人口为44万人．台湾省和福建省的金门、马祖等岛屿人口为2228万人．二、人口增长祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，同第四次全国人口普查1990年7月1日0时的113368万人相比，十年零四个月共增加了13215万人，增长11.66%．平均每年增加1279万人，年平均增长率为1.07%．三、家庭户人口祖国大陆31个省、自治区、直辖市共有家庭户34837万户，家庭户人口为119839万人，平均每个家庭户的人口为3.44人，比1990年第四次全国人口普查的3.96人减少了0.52人．四、总人口性别构成祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，男性为65355万人，占总人口的51.63%；女性为61228万人，占总人口的48.37%．性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为106.74．五、年龄构成祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，0-14岁的人口为28979万人，占总人口的22.89%；15-64岁的人口为88793万人，占总人口的70.15%；65岁及以上的人口为8811万人，占总人口的6.96%．同1990年第四次全国人口普查相比，0-14岁人口的比重下降了4.80个百分点，65岁及以上人口的比重上升了1.39 个百分点．六、民族构成祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，汉族人口为115940万人，占总人口的91.59%；各少数民族人口为10643万人，占总人口的8.41%．同1990年第四次全国人口普查相比，汉族人口增加了11692万人，增长了11.22%；各少数民族人口增加了1523万人，增长了16.70%．七、各种受教育程度人口祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，接受大学（指大专以上）教育的4571万人；接受高中（含中专）教育的14109万人；接受初中教育的42989万人；接受小学教育的45191万人（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）．同1990年第四次全国人口普查相比，每10万人中拥有各种受教育程度的人数有如下变化：具有大学程度的由1422人上升为3611人；具有高中程度的由8039人上升为11146人；具有初中程度的由23344人上升为33961人；具有小学程度的由37057人下降为35701人．祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，文盲人口（15岁及15岁以上不识字或识字很少的人）为8507万人，同1990年第四次全国人口普查相比，文盲率由15.88%下降为6.72%，下降了9.16个百分点．八、城乡人口祖国大陆31个省、自治区、直辖市的人口中，居住在城镇的人口45594万人，占总人口的36.09%；居住在乡村的人口80739万人，占总人口的63.91%．同1990年第四次全国人口普查相比，城镇人口占总人口的比重上升了9.86个百分点．注：1、本公报为初步汇总数．2、普查登记以2000年11月1日0时（北京时间）为标准时间，普查登记的对象是具有中华人民共和国国籍并在中华人民共和国境内大陆上常住的人．3、普查登记结束后，全国统一抽取602个调查小区进行了登记质量的抽样调查．抽查结果，人口漏登率为1.81%．祖国大陆31个省、自治区、直辖市的总人口中已包括据此计算的漏登人口．4、香港特别行政区的人口数为香港特别行政区政府提供的2000年6月30日的数据．5、澳门特别行政区的人口数为澳门特别行政区政府提供的2000年9月30日的数据．6、台湾省和福建省的金门、马祖等岛屿的人口数是由台湾当局公布的2000年12月的数据．7、家庭户人口不包括现役军人，也不包括相互之间没有家庭成员关系、集体居住的人．8、城乡人口是按国家统计局1999年发布的《关于统计上划分城乡的规定（试行）》计算的．。

一元一次方程习题精选附答案

一元一次方程习题精选附答案6.2.4 解一元一次方程（三）一、解答题（共30小题）1.解方程：2x+1=72.删除此题3.1）解方程：4-x=3(2-x)；2）解方程：删除此题4.解方程：删除此题5.解方程1）4(x-1)-3(20-x)=5(x-2)；2）x-1=2(x-3)。

6.1）解方程：3(x-1)=2x+3；2）解方程：x-1=1/x。

7.-1+2x=3x+18.解方程：5(x-1)-2(x+1)=3(x-1)+x+1；9.解方程：删除此题10.1）4x-3(4-x)=2；2）(x-1)+2=2-(x+2)。

11.1）计算：删除此题2）解方程：删除此题12.解方程：删除此题13.1）删除此题2）删除此题14.1）5(2x+1)-2(2x-3)=6；2）删除此题3）3(x-1)+|x-2|=5x-1.15.A类）解方程：5x-2=7x+8；B类）解方程：(x-1)-(x+5)=-2；C类）解方程：删除此题16.1）3(x+6)=9-5(1-2x)；2）删除此题17.1）4x-3(5-x)=13；2）x+3=2x-3.18.1）计算：-42×|-2|÷(3-|3|)；2）计算：-12-|0.5-|-2-(-3)|÷2；3）解方程：4x-3(5-x)=2；4）解方程：删除此题19.1）计算：-7×(-1/3)÷(4/5)；2）删除此题3）解方程：3x+3=2x+7；4）解方程：6x-2=4x+10.20.1）-0.2(x-5)=1；2）删除此题21.解方程：4x+5=9.22.3x=-12.23.1）0.5x-0.7=5.2-1.3(x-1)；2）5x+2(3x-7)=9-4(2+x)；3）2x+3(x+1)=5-4(x-1)；4）删除此题24.解方程：x=21/6.25.解方程：-2x+5=3x+4.26.1）5x=27；2）删除此题27.解方程：x^2+3x-4=0.28.当k=3时，式子比值少3.29.I）7.5y=14；II）删除此题。

高中三角函数习题解析精选含详细解答

三角函数题解1.2003上海春;15把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位;再沿y 轴向下平移1个单位;得到的曲线方程是A.1－y sin x +2y －3=0B.y －1sin x +2y －3=0C.y +1sin x +2y +1=0D.－y +1sin x +2y +1=02.2002春北京、安徽;5若角α满足条件sin2α＜0;cos α－sin α＜0;则α在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.2002上海春;14在△ABC 中;若2cos B sin A ＝sinC;则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.2002京皖春文;9函数y =2sin x 的单调增区间是 A.2k π－2π;2k π＋2πk ∈ZB.2k π＋2π;2k π＋23πk ∈Z C.2k π－π;2k πk ∈Z D.2k π;2k π＋πk ∈Z5.2002全国文5;理4在0;2π内;使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为 A.4π;2π∪π;45πB.4π;π C.4π;45πD.4π;π∪45π;23π6.2002北京;11已知fx 是定义在0;3上的函数;fx 的图象如图4—1所示;那么不等式fx cos x ＜0的解集是A.0;1∪2;3B.1;2π∪2π;3图4—1C.0;1∪2π;3D.0;1∪1;37.2002北京理;3下列四个函数中;以π为最小正周期;且在区间2π;π上为减函数的是 A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝31cos xD.y =－cot x8.2002上海;15函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π的大致图象是9.2001春季北京、安徽;8若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角;则点P cos B －sin A ;sin B －cos A 在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.2001全国文;1tan300°+cot405°的值是 A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋311.2000全国;4已知sin α＞sin β;那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角;则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角;则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角;则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角;则tan α＞tan β12.2000全国;5函数y ＝－x cos x 的部分图象是13.1999全国;4函数fx =M sin ωx ＋ϕω＞0;在区间a ;b 上是增函数;且fa =－M ;fb =M ;则函数gx =M cos ωx ＋ϕ在a ;b 上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m14.1999全国;11若sin α＞tan α＞cot α－2π＜α＜2π);则α∈A.－2π;－4π B.－4π;0C.0;4πD.4π;2π15.1999全国文、理;5若fx sin x 是周期为π的奇函数;则fx 可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x16.1998全国;6已知点P sin α－cos α;tan α在第一象限;则在0;2π内α的取值范围是 A.2π;43π∪π;45πB.4π;2π∪π;45π C.2π;43π∪45π;23πD.4π;2π∪43π;π 17.1997全国;3函数y =tan 3121-x π在一个周期内的图象是18.1996全国若sin 2x >cos 2x ;则x 的取值范围是 A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π;k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π;k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π;k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z }19.1995全国文;7使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是A.－43π;4πB.－2π;2πC.－4π;43πD.0;π20.1995全国;3函数y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是A.6πB.2πC.32πD.3π21.1995全国;9已知θ是第三象限角;若sin 4θ＋cos 4θ＝95;那么sin2θ等于 A.322 B.－322 C.32D.－32 22.1994全国文;14如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;那么a 等于A.2B.－2C.1D.－123.1994全国;4设θ是第二象限角;则必有 A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θ D.sin2θ－cos 2θ 24.2002上海春;9若fx =2sin ωx 0＜ω＜1)在区间0;3π上的最大值是2;则ω＝ .25.2002北京文;13sin 52π;cos 56π;tan 57π从小到大的顺序是 .26.1997全国;18︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.1996全国;18tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.1995全国理;18函数y ＝sin x －6πcos x 的最小值是 .29.1995上海;17函数y ＝sin 2x ＋cos 2x在－2π;2π内的递增区间是 .30.1994全国;18已知sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π;则cot θ的值是 .31.2000全国理;17已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到32.2000全国文;17已知函数y ＝3sin x ＋cos x ;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到33.1995全国理;22求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 34.1994上海;21已知sin α＝53;α∈2π;π;tan π－β＝21; 求tan α－2β的值.35.1994全国理;22已知函数fx =tan x ;x ∈0;2π;若x 1、x 2∈0;2π;且x 1≠x 2;证明21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.37. 求函数f x =121log cos()34x π+的单调递增区间38. 已知fx =5sin x cos x -35cos 2x +325x ∈R ⑴求fx 的最小正周期； ⑵求fx 单调区间；⑶求fx 图象的对称轴;对称中心..39若关于x 的方程2cos 2π + x - sin x + a = 0 有实根;求实数a 的取值范围..参考答案1.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+;因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位;因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得y +1sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解;可直接化为：y +1cos x －2π+2y +1－1=0;即得C 选项.2.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号;∴α在二、四象限; 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5;满足题意的角α应在第二象限3.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin A ＋B ＋sin A －B 又∵2sin A cos B ＝sin C ; ∴sin A －B ＝0;∴A ＝B 4.答案：A解析：函数y =2x 为增函数;因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.5.答案：C解法一：作出在0;2π区间上正弦和余弦函数的图象;解出两交点的横坐标4π和45π;由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线;由正弦线、余弦线知应选C.如图4—7 6.答案：C图4—5解析：解不等式fx cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x+;x =π;但在区间2π;π上为增函数.B 项：作其图象4—8;由图象可得T =π且在区间2π;π上为减函数.C 项：函数y =cos x 在2π;π区间上为减函数;数y =31x 为减函数.因此y =31cos x 在2π;π区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间2π;π上为增函数. 8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数;B 为偶函数;C 为非奇非偶函数. 9.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角;∴A ＋B ＞90°; ∴B ＞90°－A ;∴cos B ＜sin A ;sin B ＞cos A ;故选B. 10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan360°－60°＋cot360°＋45°＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反;所以可排除A 、C;在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反;所以排除B.只有在第四象限内;正弦函数与正切函数的增减性相同.12.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数;它的图象关于原点对称;所以排除A 、C;当 x ∈0;2π时;y ＝－x cos x ＜0.13.答案：C图4—8解法一：由已知得M ＞0;－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k πk ∈Z ;故有gx 在a ;b 上不是增函数;也不是减函数;且当ωx ＋ϕ＝2k π时gx 可取到最大值M ;答案为C.解法二：由题意知;可令ω＝1;ϕ＝0;区间a ;b 为－2π;2π;M ＝1;则gx 为cos x ;由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin ωx ＋ϕ的性质;兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用正用逆用；解法二取特殊值可降低难度;简化命题. 14.答案：B解法一：取α＝±3π;±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值;易知α＝－6π适合;又只有－6π∈－4π;0;故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈－2π;0;再由tan α＞cot α得:α∈－4π;0评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系;1995年、1997年曾出现此类题型;运用特殊值法求解较好.15.答案：B解析：取fx =cos x ;则fx ·sin x =21sin2x 为奇函数;且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案：B解法一：P sin α－cos α;tan α在第一象限;有tan α＞0; A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α;故答案为B.解法二：取α＝3π∈2,4ππ;验证知P 在第一象限;排除A 、C;取α＝65π∈43π;π;则P 点不在第一象限;排除D;选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分;又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π;故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用;突出考查了转化思想和转化方法的选择;采用排除法不失为一个好办法.17.答案：A解析：y ＝tan 3121-x π＝tan 21x －32π;显然函数周期为T ＝2π;且x ＝32π时;y =0;故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换;抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0;所以2k π+2π<2x <2k π+23π;k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z 注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ;sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象或单位圆得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47πk ∈Z ;2k π+45π<x <2k π+47π可写作2k +1π+4π<x <2k +1π+43π;2k 为偶数;2k +1为奇数;不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π;n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质;应注意三角公式的逆向使用. 19.答案：A 解法一：由已知得：2 sin x －4π≤0;所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π;2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π;令k =－1得－43π≤x ≤4π;选A. 解法二：取x ＝32π;有sin 2132cos ,2332-==ππ;排除C 、D;取x ＝3π;有sin3π＝213cos ,23=π;排除B;故选A. 解法三：设y ＝sin x ;y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11;观察知答案为A.解法四：画出单位圆;如图4—12;若sin x ≤cos x ;显然应是图中阴影部分;故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象;属基本求范围题;入手容易;方法较灵活;排除、数形结合皆可运用.20.答案：C图4—12图4—11解析：y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π＝554sin3x ＋4π＋53cos3x ＋4π＝5sin3x ＋4π＋ϕ其中tan ϕ＝43所以函数y ＝sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin α＋ϕ;其中sinϕ＝22ba b +;cos ϕ＝22ba a +;及正弦函数的周期性.21.答案：A解法一：将原式配方得sin 2θ＋cos 2θ2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95;sin 22θ＝98;由已知;θ在第三象限; 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限;所以sin2θ＝322;故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π;有4k π＋2π＜4k π＋3πk ∈Z ;知sin2θ＞0;应排除B 、D;验证A 、C;由sin2θ＝322;得2sin 2θcos 2θ＝94;并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得sin 2θ＋cos 2θ2＝1成立;故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.22.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;表明：当x =－8π时;函数取得最大值12+a ;或取得最小值－12+a ;所以有sin －4π+a ·cos －4π2=a 2+1;解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角;则2k π＋2π＜θ＜2k π＋πk ∈Z ;即2θ为第一象限角或第三象限角;从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13;所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π;k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π;k 为奇数时;2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23πn ∈Z ； k为偶数时;2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2πn ∈Z ;都有tan 2θ＞cot 2θ;选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念;高于课本.24.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴fx 在0;3π区间上为单调递增函数∴fx max ＝f3π即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4325.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0;tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时;tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π26.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin图4—133230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ;∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°;∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.28.答案：－43 解析：y ＝sin x －6πcos x ＝21sin2x －6π－sin 6π＝21sin2x －6π－21当sin2x －6π＝－1时;函数有最小值;y 最小＝21－1－21＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性或值域.29.答案：2,23ππ-解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin 42π+x ;当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2πk ∈Z 时;函数递增;此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2πk ∈Z ;只有k ＝0时;－23π;2π－2π;2π. 30.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ;cot θ便可求了;为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251;即sin θ－cos θ2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π 则2π＜θ＜43π;如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57;于是 sin θ＝54;cos θ＝－53;cot θ＝－43. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512;又θ∈0;π;有cos θ＜0＜sin θ;且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根;故有cos θ＝－53; sin θ＝54;得cot θ＝－43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力;方法较灵活. 31.解：1y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝412cos 2x －1＋41＋432sin x cos x ＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π＋45＝21sin2x ＋6π＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;图4—14即x ＝6π＋k π;k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π;k ∈Z ｝.2将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变;得到函数 y ＝sin2x ＋6π的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍横坐标不变;得到函数 y ＝21sin2x ＋6π的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度;得到函数y ＝21sin2x ＋6π＋45的图象；综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.解：1y ＝3sin x ＋cos x ＝2sin x cos6π＋cos x sin6π＝2sin x ＋6π;x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;即x ＝3π＋2k π;k ∈Z .所以;当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π;k ∈Z ｝2变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变;把纵坐标伸长到原来的2倍;得到函数 y ＝2sin x ＋6π的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.解：原式＝211－cos40°＋211＋cos100°＋21sin70°－sin30° ＝1＋21cos100°－cos40°＋21sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70° ＝43－21sin70°＋21sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.解：由题设sin α＝53;α∈2π;π; 可知cos α＝－54;tan α＝－43又因tan π－β＝21;tan β＝－21;所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββtan α－2β＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++=因为x 1;x 2∈0;2π;x 1≠x 2;所以2sin x 1＋x 2＞0;cos x 1cos x 2＞0;且0＜cos x 1－x 2＜1; 从而有0＜cos x 1＋x 2＋cos x 1－x 2＜1＋cos x 1＋x 2; 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++;所以21tan x 1＋tan x 2＞tan 221x x +即21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.解1x 必须满足sin x -cos x >0;利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+;k ∈Z ∴函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π;k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时;0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-∴121log 2y -≥∴ 函数值域为+∞-,213∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称;∴()f x 不具备奇偶性4∵ fx+2π=fx ∴ 函数fx 最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知;以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准;可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准;可区分sin x +cos x 的符号37.解：∵f x =121log cos()34x π+令431π+=x t ;∴y=t cos log 21;t 是x 的增函数;又∵0<21<1;∴当y=t cos log 21为单调递增时;cost 为单调递减且cost>0;∴2k π≤t<2k π+2πk ∈Z;∴2k π≤431π+x <2k π+2π k ∈Z ;6k π-43π≤x<6k π+43π k ∈Z;∴f x =)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是6k π-43π;6k π+43πk ∈Z38.解： 1T=π 2增区间k π-12π;k π+125π;减区间k π+]1211k ,125π+ππ 3对称中心62k π+π;0;对称轴π+π=1252k x ;k ∈Z39.解：原方程变形为：2cos 2x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2x - sin x + a = 0;∴817)41(sin 22sin sin 222-+=-+=x x x a ;∵- 1≤sin x ≤1 ;∴81741sin m in -=-=a x 时，当； 11sin m ax ==a x 时，当; ∴a 的取值范围是1,817-。

整式的乘除精选习题解答题

整式的乘除精选习题解答题一．解答题（共30小题）1．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．2．（2014春•泗洪县校级月考）若2•8n•16n=222，求n的值．3．（2014春•句容市校级期中）一个长方形的长是4.2×104cm，宽是2×104cm，求此长方形的面积及周长．4．（2014春•宝应县月考）已知2m=5，2n=7，求24m+2n的值．5．（2014春•寿县期中）已知a m=2，a n=3，求a3m+2n的值．6．（2014春•灌云县校级月考）小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=﹣1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=﹣1，那么方程x2=﹣1可以变成x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个解，小明还发现i具有以下性质：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（﹣1）3=﹣1，i7=i6•i=﹣i，i8=（i4）2=1，…请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n+1=，i4n+2=，i4n+3=，i4n+4=（n为自然数）．7．（2008春•昆山市期末）已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．8．（2012春•化州市校级期末）已知3×9m×27m=316，求m的值．9．（2013秋•万州区校级月考）已知：162×43×26=22x﹣1，[（10）2]y=1012，求2x+y的值．10．（2014春•桓台县校级月考）已知x3=m，x5=n用含有m、n的代数式表示x14．11．（2014春•石景山区期末）2x6y2•x3y+（﹣25x8y2）（﹣xy）．12．（2011秋•长春期中）计算：（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1）．13．（2a2）•（3ab2﹣5ab3）14．已知ab2=﹣1，求（﹣ab）（a2b5﹣ab3﹣b）的值．15．化简：2a3×（﹣a﹚2．16．（2015春•宝应县月考）我们规定一种运算：=ad﹣bc，例如=3×6﹣4×5=﹣2，=4x+6．按照这种运算规定，当x等于多少时，=0．17．（2013秋•东莞期末）计算：（a﹣1）（a2+a+1）18．（2014春•招远市期末）计算：（3a+1）（2a﹣3）﹣（6a﹣5）（a﹣4）．19．（2014春•金牛区期末）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．20．（2014春•江山市校级期中）若（x﹣3）（x+m）=x2+nx﹣15，求的值．21．（2014秋•太和县期末）计算：（8a3b﹣5a2b2）÷4ab．22．（2014秋•宜宾校级期中）已知5x=36，5y=2，求5x﹣2y的值．23．（2010秋•南安市期末）计算：（3a3b﹣9a2b2﹣21a2b3）÷3a2b．24．（2014春•上街区校级期中）（2a+b）4÷（2a+b）2．25．（2014春•南海区校级月考）已知：x m=3，x n=2，求：（1）x m+n的值；（2）x2m﹣3n的值．26．（2010•西宁）计算：（）﹣1﹣（3.14﹣π）0+0.254×44．27．（2010•漳州）计算：（﹣2）0+（﹣1）2010﹣28．（2010•晋江市）计算：|﹣4|﹣（﹣3）2÷﹣2010029．（2009•长沙）计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣130．（2008•湘潭）计算：|﹣1|+（3﹣π）0﹣（）﹣1．整式的乘除精选习题解答题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．2．（2014春•泗洪县校级月考）若2•8n•16n=222，求n的值．【考点】同底数幂的乘法．【分析】把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可．【解答】解：2•8n•16n，=2×23n×24n，=27n+1，∵2•8n•16n=222，∴7n+1=22，解得n=3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．3．（2014春•句容市校级期中）一个长方形的长是4.2×104cm，宽是2×104cm，求此长方形的面积及周长．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】根据长方形的面积=长×宽，周长等于四边之和，代入长和宽的值即可得出答案．【解答】解：面积=长×宽=4.2×104×2×104=8.4×108cm2．周长=2（长+宽）=2（4.2×104+2×104）=1.24×105cm．综上可得长方形的面积为8.4×108cm2．周长为1.24×105cm．【点评】此题考查了同底数幂的乘法及加法运算，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，难度一般．4．（2014春•宝应县月考）已知2m=5，2n=7，求24m+2n的值．【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．【解答】解：∵2m=5，2n=7，又∵24m=625，∴22n=49，∴24m+2n=625×49=30625故答案为30625．【点评】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．5．（2014春•寿县期中）已知a m=2，a n=3，求a3m+2n的值．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】由a3m+2n根据同底数幂的乘法化成a3m•a2n，再根据幂的乘方化成（a m）3•（a n）2，代入求出即可．【解答】解：∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=a3m•a2n=（a m）3•（a n）2=23×32=8×9=72．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，有理数的混合运算，关键是把原式化成（a m）3×（a n）2，用了整体代入．6．（2014春•灌云县校级月考）小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=﹣1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=﹣1，那么方程x2=﹣1可以变成x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个解，小明还发现i具有以下性质：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（﹣1）3=﹣1，i7=i6•i=﹣i，i8=（i4）2=1，…请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n+4=1（n为自然数）．【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】阅读型．【分析】根据所给例子找出规律，再把所求式子与已知相联系即可得出答案．【解答】解：∵i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从n=1开始，4个一次循环．∴i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i（n为自然数），i4n+4=1．故答案为：i，﹣1，﹣i．1．【点评】本题是信息给予题，主要考查了幂的乘方的性质，读懂题目信息并正确利用性质是解答本题的关键．7．（2008春•昆山市期末）已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】先都转化为同底数的幂，根据指数相等列出方程，解方程求出x、y的值，然后代入x﹣y计算即可．【解答】解：∵2x=4y+1，∴2x=22y+2，∴x=2y+2 ①又∵27y=3x﹣1，∴33y=3x﹣1，∴3y=x﹣1②联立①②组成方程组并求解得，∴x﹣y=3．【点评】本题主要考查幂的乘方的性质的逆用：a mn=（a m）n（a≠0，m，n为正整数），根据指数相等列出方程是解题的关键．8．（2012春•化州市校级期末）已知3×9m×27m=316，求m的值．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可．【解答】解：∵3×9m×27m，=3×32m×33m，=31+5m，∴31+5m=316，∴1+5m=16，解得m=3．【点评】本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘；幂的乘法法则：底数不变指数相加．9．（2013秋•万州区校级月考）已知：162×43×26=22x﹣1，[（10）2]y=1012，求2x+y的值．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】运用同底数幂的乘法和幂的乘方的性质，求x，y的值，再代入求2x+y的值．【解答】解：∵162×43×26=22x﹣1，[（10）2]y=1012，∴28×26×26=22x﹣1，102y=1012，∴2x﹣1=20，2y=12解得x=，y=6．∴2x+y=2×+6=21+6=27．故答案为27．【点评】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质是解题的关键．10．（2014春•桓台县校级月考）已知x3=m，x5=n用含有m、n的代数式表示x14．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的性质可得出m、n的代数式．【解答】解：根据题意可把14次方分为9次方加5次方，∵x3=m，x5=n，∴x14=x9•x5=（x3）3•x5=m3n．【点评】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，属于基础题，关键在于掌握幂的乘方的运用．11．（2014春•石景山区期末）2x6y2•x3y+（﹣25x8y2）（﹣xy）．【考点】单项式乘单项式．【分析】利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式求解即可．【解答】解：2x6y2•x3y+（﹣25x8y2）（﹣xy）=2x9y3•+25x9y2，=27x9y2．【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟记单项式乘单项式的法则．12．（2011秋•长春期中）计算：（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1）．【考点】单项式乘多项式．【专题】计算题．【分析】利用单项式乘以多项式中的每一项后把所得的积相加即可得到结果．【解答】解：（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1）=﹣2x3y•3xy2+（﹣2x3y）•4xy+（﹣2x3y）=﹣6x4y3+8x4y2﹣2x3y．【点评】本题考查了单项式乘以多项式的知识，属于基础题，比较简单．13．（2a2）•（3ab2﹣5ab3）【考点】单项式乘多项式．【分析】单项式乘以多项式时用单项式和多项式中的每一项相乘，然后再相加即可．【解答】解：（2a2）•（3ab2﹣5ab3）=（2a2）•3ab2﹣（2a2）•5ab3=6a3b2﹣10a3b3．【点评】本题考查了单项式乘以多项式的知识，解题的关键是牢记法则并熟记有关幂的性质．14．已知ab2=﹣1，求（﹣ab）（a2b5﹣ab3﹣b）的值．【考点】单项式乘多项式．【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵ab2=﹣1，∴原式=﹣a3b6+a2b4+ab2=﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2=1+1﹣1=1．【点评】此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．15．化简：2a3×（﹣a﹚2．【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．【分析】先计算幂的乘方，再根据单项式的乘法法则计算即可．【解答】解：2a3×（﹣a﹚2=2a3×a2=2a5．【点评】本题考查了幂的乘方以及单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2015春•宝应县月考）我们规定一种运算：=ad﹣bc，例如=3×6﹣4×5=﹣2，=4x+6．按照这种运算规定，当x等于多少时，=0．【考点】多项式乘多项式；解一元一次方程．【专题】新定义．【分析】根据新定义运算可得方程（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+3）=0，根据多项式乘多项式的法则将方程展开，再移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：∵=ad﹣bc，=0，∴（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+3）=0，x2﹣1﹣（x2+x﹣6）=0，x2﹣1﹣x2﹣x+6=0，﹣x=﹣5，x=5．故当x等于5时，=0．【点评】考查了多项式乘多项式，解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．17．（2013秋•东莞期末）计算：（a﹣1）（a2+a+1）【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘多项式用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，把所得的积相加，可得答案．【解答】解：原式=a•a2+a•a+a×1﹣a2﹣a﹣1=a3﹣1．【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．18．（2014春•招远市期末）计算：（3a+1）（2a﹣3）﹣（6a﹣5）（a﹣4）．【考点】多项式乘多项式．【分析】根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．【解答】解：（3a+1）（2a﹣3）﹣（6a﹣5）（a﹣4）=6a2﹣9a+2a﹣3﹣6a2+24a+5a﹣20=22a﹣23．【点评】此题考查了整式的混合运算，在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号，是一道基础题．19．（2014春•金牛区期末）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．【考点】多项式乘多项式．【分析】（1）形开式子，找出x项与x3令其系数等于0求解．（2）把p，q的值入求解．【解答】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵积中不含x项与x3项，∴P﹣3=0，qp+1=0∴p=3，q=﹣，（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2=36﹣+=35．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p，q的值20．（2014春•江山市校级期中）若（x﹣3）（x+m）=x2+nx﹣15，求的值．【考点】多项式乘多项式．【专题】计算题．【分析】首先把）（x﹣3）（x+m）利用多项式的乘法公式展开，然后根据多项式相等的条件：对应项的系数相同即可得到m、n的值，从而求解．【解答】解：（x﹣3）（x+m）=x2+（m﹣3）x﹣3m=x2+nx﹣15，则解得：．=．【点评】本题考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，理解多项式的乘法法则是关键．21．（2014秋•太和县期末）计算：（8a3b﹣5a2b2）÷4ab．【考点】整式的除法．【分析】利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可．【解答】解：原式=8a3b÷4ab﹣5a2b2÷4ab=．【点评】本题考查了整式的除法，牢记运算法则及运算律是解答此类题目的关键．22．（2014秋•宜宾校级期中）已知5x=36，5y=2，求5x﹣2y的值．【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．【解答】解：（5y）2=52y=4，5x﹣2y=5x÷52y=36÷4=9．【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变指数相减．23．（2010秋•南安市期末）计算：（3a3b﹣9a2b2﹣21a2b3）÷3a2b．【考点】整式的除法．【分析】本题是整式的除法，多项式除以单项式可以是将多项式3a3b﹣9a2b2﹣21a2b3中的每一个项分别除以单项式3a2b即可．【解答】解：原式=3a3b÷3a2b﹣9a2b2÷3a2b﹣21a2b3÷3a2b=a﹣3b﹣7b2．【点评】本题考查了整式的除法．整式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．24．（2014春•上街区校级期中）（2a+b）4÷（2a+b）2．【考点】同底数幂的除法．【分析】运用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减运算，再运用完全平方公式展开．【解答】解：（2a+b）4÷（2a+b）2=（2a+b）2=4a2+4ab+b2【点评】本题主要考查了同底数幂的除法和完全平方公式，解题的关键是熟记法则．25．（2014春•南海区校级月考）已知：x m=3，x n=2，求：（1）x m+n的值；（2）x2m﹣3n的值．【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】运用同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方运算即可．【解答】解：（1）∵x m=3，x n=2，∴x m+n=x m•x n=3×2=6，（2）∵x m=3，x n=2，∴x2m﹣3n=（x m）2÷（x n）3=9÷8=，【点评】此题考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题的关键是熟记法则．26．（2010•西宁）计算：（）﹣1﹣（3.14﹣π）0+0.254×44．【考点】负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂．【专题】计算题．【分析】此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果．【解答】解：原式=2﹣1+=2﹣1+1=2．【点评】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算．27．（2010•漳州）计算：（﹣2）0+（﹣1）2010﹣【考点】负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+1﹣2=0．故答案为0．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算．28．（2010•晋江市）计算：|﹣4|﹣（﹣3）2÷﹣20100【考点】零指数幂；绝对值；有理数的乘方．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、有理数的乘方、绝对值的化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=4﹣9÷﹣1=4﹣9×3﹣1=﹣24．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．29．（2009•长沙）计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】按照实数的运算法则依次计算：先算乘方，后算乘除，然后算加减．【解答】解：∵（﹣2）2=4，（）﹣1=3；∴（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1=4﹣6+3=1．故答案为1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．30．（2008•湘潭）计算：|﹣1|+（3﹣π）0﹣（）﹣1．【考点】负整数指数幂；绝对值；零指数幂．【专题】计算题．【分析】按照实数的运算法则依次计算，（3﹣π）0=1，（）﹣1=2、|﹣1|=1．【解答】解：原式=1+1﹣2=0．故答案为0．【点评】涉及知识：负指数为正指数的倒数，任何非0数的0次幂等于1，绝对值的化简．。

(完整版)三角形内角和综合习题精选(含答案)

三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3)．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;（2）在△BED中作BD边上的高;（3）若△ABC的面积为60,BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．如图，DB是△ABC的高,AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E．（1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数;（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1)如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________ ，∠XBC+∠XCB=_________ ．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；(2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？(3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？(4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2)、（3）、(4）小题只需写出结论,不需要证明】7．如图，已知△ABC中,∠B=∠E=40°，∠BAE=60°,且AD平分∠BAE．（1）求证:BD=DE；（2）若AB=CD,求∠ACD的大小．8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+｜2x﹣y｜=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问:点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3）如图，延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD,∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．(1）当∠OCD=50°（图1)，试求∠F．（2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)（图2），∠F的大小是否变化？若变化,请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C),（1)试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；（3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系,并判断当∠BOC=170°时,是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．(1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．(2)．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C﹣∠B）．（3）．如图(2)若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。