2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做

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2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一:在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(),2a c b =-m ,()cos ,cos C A =n ,且⊥m n .

(1)求角A 的大小;

(2)若5b c +=,ABC △a .

例题二:如图,在ABC △中,π

4A ∠=,4AB =,BC =点D 在AC 边上,且1cos 3

ADB ∠=-.

(1)求BD 的长;

(2)求BCD △的面积.

例题三: ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos 0a c B b A ++=.

(1)求B ;

(2)若3b =,ABC △的周长为3+ABC △的面积.

例题四:已知函数()22

cos cos sin f x x x x x =+-.

(1)求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间;

(2)已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()1f C =,2c =,()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.

例题一:【答案】(1)π3

A =;(2

)a = 【解析】(1)由⊥m n ,可得0⋅=m n ,即2cos cos cos b A a C c A =+, 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即()2sin cos sin B A A C =+, ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=,∴2sin cos sin B A B =,即()sin 2cos 10B A -=, ∵0πB <<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2

A =

, ∵0πA <<,∴π3A =. (2

)由ABC S =△

1sin 2

ABC S bc A ==△,∴4bc =, 又5b c +=,由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=,

∴a =

例题二:【答案】(1)3;(2

【解析】(1)在ABD △中,∵1cos 3

ADB ∠=-,

∴sin 3ADB ∠=, 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠,

∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠. (2)∵πADB CDB ∠+∠=,

∴()1cos cos πcos 3

CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=. ∴(

)sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=

,sin CDB ∠= 在BCD △中,由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠, 得21179233

CD CD =+-⨯⨯,解得4CD =或2CD =-(舍). ∴BCD △

的面积11sin 3422S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯=. 例题三:【答案】(1)2π3

B =;(2

)ABC S =△ 【解析】(1)∵()2cos cos 0a c B b A ++=,

∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=,()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,

()sin 2cos sin 0A B B C ++=,

∵()sin sin A B C +=.∴1cos 2

B =-, ∵0πB <<,∴2π3

B =. (2)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭

,229a c ac ++=,∴()29a c ac +-=,

∵3a b c ++=+3b =,∴a c +=,∴3ac =,

∴11sin 322ABC S ac B ==⨯=△. 例题四:【答案】(1)函数最小正周期为π,单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦Z ;(2)

ABC S =△. 【解析】(1)()22π

cos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝

⎭, 2ππ2

T ==,即函数最小正周期为π, 由πππ2π22π262k x k -

≤+≤+得ππππ36

k x k -≤≤+, 故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . (2)由()1f C =,得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭, ∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+,∴πC k =或ππ3

C k =+, ∵()0,πC ∈,∴π3C =

, 又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=, ∴2sin cos 2sin2B A A =,即sin cos 2sin cos B A A A =,

①当cos 0A =时,即π2A =,则由π3

C =,2c =,可得ABC S =△, ②当cos 0A ≠时,则sin 2sin B A =,即2b a =,

则由2221cos 22a b c C ab +-==,解得a =,b =,

∴1sin 2ABC S ab C =△

综上:ABC S △

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